Возможности рычажного корректора в задачах динамического гашения колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article УДК 62.752, 621:534;833; 888.6, 629.4.015;02 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-38-48

ВОЗМОЖНОСТИ РЫЧАЖНОГО КОРРЕКТОРА В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

А

© Нгуен Дык Хуинь'

Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664075, г. Иркутск, ул. Чернышевского 15.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Цель исследования заключается в разработке новых подходов в решении задач коррекции динамических свойств технических объектов, работающих в условиях интенсивного вибрационного нагружения. МЕТОДЫ. Методы, применяемые в оценке возможностей динамических систем, основаны на аналитическом аппарате структурного математического моделирования. Показаны возможности сопоставления исходной механической колебательной системы и эквивалентной в динамическом отношении структурной схемы системы автоматического управления. Предложено введение дополнительных связей в виде рычажных механизмов и закрепленных на них перемещаемых сосредоточенных масс, что может существенно изменять динамические свойства системы и их реакции на периодические внешние возмущения. РЕЗУЛЬТАТЫ. Получены аналитические соотношения, определяющие условия возникновения режимов динамического гашения колебаний и возможности их корректировки при изменении настроечных параметров. ВЫВОДЫ. Разработан метод построения математических моделей для систем с рычажными связями. Исследованы особенности динамических свойств систем, в том числе на уровне амплитудно-частотных характеристик (АХЧ) в направлении использования эффектов динамического гашения колебаний.

Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, передаточные функции, межпарциальные связи, структурные схемы.

Формат цитирования: Нгуен Дык Хуинь. Возможности рычажного корректора в задачах динамического гашения колебаний // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 8. С. 38-48. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-38-48

LEVER CORRECTOR CAPABILITIES IN OSCILLATION DYNAMIC DAMPING PROBLEMS Nguyen Duc Huynh

1Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664075, Russian Federation.

ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to develop new approaches to solving the problems of correcting dynamic properties of technical objects operating under conditions of intense vibration loading. METHODS. The methods used to assess the capabilities of dynamic systems are based on the analytical apparatus of structural mathematical modeling. The possibilities to compare an initial mechanical oscillatory system and a dynamically equivalent structural scheme of the automatic control system are shown. It is proposed to introduce additional links in the form of lever mechanisms and transferred concentrated masses fixed on them. This can significantly change dynamic properties of the system and their reactions to periodic external disturbances. RESULTS. Analytic relationships have been obtained that determine the origination conditions for oscillation dynamic damping modes and the possibility of their correction under the alteration of setting parameters. CONCLUSIONS. A method has been developed for constructing mathematical models for the linkage systems. The study has been given to the features of the dynamic properties of systems including those at the level of amplitude-frequency characteristics in the direction of using the effects of dynamic damping of oscillations. Keywords: dynamic damping of oscillations, transfer functions, interpartial relations, structural schemes

For citation: Nguyen Duc Huynh. Lever corrector capabilities in oscillation dynamic damping problems. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 8, pp. 38-48. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-38-48

©

1Нгуен Дык Хуинь, аспирант Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]

Nguyen Duc Huynh, Postgraduate of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]

Введение

Проблема поддержания динамических состояний технических объектов в определенных границах является актуальной в связи с необходимостью обеспечения надежности, безопасности эксплуатации машин и соответствия их требованиям динамического качества [1].

В теории и практике вибрационной защиты машин, оборудования и аппаратуры накоплен довольно обширный арсенал эффективных решений [2-4]. Вместе с тем, ряд вопросов в задачах динамики машин еще далек от создания детализированных представлений взаимодействия элементов сложных амортизирующих устройств.

Определенные перспективы в этом направлении имеет разработка специализированных амортизаторов и систем подрессоривания (если рассматриваются транспортные средства) с использованием дополнительно вводимых устройств для преобразования движения. Ряд аспектов этой проблемы нашел отражение в работах [5, 6].

Исходная идея использования устройств для преобразования движения заключается в том, что механическая колебательная система с одной или несколькими степенями свободы, рассматриваемая как расчетная схема технического объекта, может включать в свой состав, кроме упругих и массоинерционных элементов, еще и так называемые устройства для преобразования движения (УПД). Конструктивно-технические формы УПД могут быть различными, в том числе могут быть представлены рычажными зубчатыми и несамотормозящимися винтовыми механизмами. Ряд основных вопросов оценки динамических свойств систем с УПД рассмотрен в работах [7, 8].

Учет свойств и возможностей УПД предпочтителен в рамках методов структурного математического моделирования [9]. Определенными преимуществами обладают структурные математические модели, основанные на использовании динамических аналогий механических колебательных систем и систем автоматического управления [4-6]. В таких подходах эквивалентным представлением УПД является типовое звено с передаточной функцией структурного элемента дифференцирования второго порядка [10]. Использование в задачах динамики механических колебательных систем аналитического аппарата теории автоматического управления создает условия для разработки систем активного управления колебаниями технических объектов.

В предлагаемой статье развивается методологическая основа построения математических моделей для виброзащитных систем, ориентированных на использование активных амортизаторов, обладающих возможностями управления динамическим состоянием технического объекта за счет направленного изменения настроечных параметров системы.

Основные теоретические положения

На рис. 1 показана механическая колебательная система с тремя степенями свободы как расчетная схема некоторого технического объекта массой т2, который опирается на устройство для преобразования движения рычажного типа. Такое устройство является стержнем, на одном конце которого размещен груз массой т0 с возможностями изменения расстояния /2 до точки вращения (т. В). В точке А рычаг имеет связь в виде вращательной кинематической пары V класса с объектом защиты (АВ = /1). Одновременно в т. В рычаг соединяется вращательной кинематической парой с промежуточной массой т1. В системе используются четыре упругих элемента с жесткостями к1, к2, к3 и к4. Движение системы описывается в системе координат у0, у1, у2, связанной с неподвижным базисом; при этом положению объекта защиты т2 соответствует координата у2, рычага - у0, промежуточной массы - у1. В качестве внешнего возмущения рассматриваются гармонические колебания опорной поверхности г((). Система обладает линейными свойствами и совершает малые колебания относительно положения устойчивого статического равновесия.

©

т. А

^z (t)

Рис. 1. Принципиальная схема виброзащитной системы технического объекта с устройством для преобразования движения (УПД) Fig. 1. Schematic diagram of a vibration protection system of a technical object with a motion conversion device (MCD)

В выбранной системе координат выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют вид:

"Г 1 -2,1 -2,1 -2

(1)

П = 1 Ку1 + 1 k2 (У2 - У )2 + 1 k3 (Уо - У1 )2 + 1 k4 (У2 - Уо )2

(2)

С учетом кинематических соотношений сложного движения (1) и (2) можно записать:

Т = \тх У12 + \тгУ\ + [Л 0 + 0 - yjj ;

(3)

1 1 1 1

П =1 Vi2 +1К(У2 - У,)2 +- ki2(У1 - y2/ +1 k4( 1 + i)2 • (y2 - yY)2. (4)

Уравнения движения системы в данном случае принимают вид:

Ух

т1 + т0 (г +1)

+ У1

kx+k2 + kf +

+k4(i +1)

-y2m0i(i + l)-y2

k2 + kf + +k4 (l + ¿Y

= Kz(t);

(5)

y2[m2+mf) + y2

k2 + k3i + +k4(l + if

-ylm{)i(i + l)-yl

k + kj + +k4 (1 + i )2

= 0.

(6)

ш

На основании дифференциальных уравнений (5) и (6) может быть построена структурная схема (рис. 2), которая имеет две координаты: у и у.

m0i(i +1) p2 + k2 + + k3i2 + k4 (1 + i)2

Рис. 2. Структурная математическая модель механической колебательной системы, показанной на рис. 1 Fig. 2. Structural mathematical model of the mechanical oscillatory system in Fig. 1

Что касается координаты y, то она связана с y и y следующим соотношением:

Уо = у (! +j)- у4-Коэффициенты уравнений (5) и (6) приводятся в табл. 1.

(7)

Коэффициенты уравнений (5), (6) в координатах y, y2 Coefficients of equations (5), (6) in coordinates y, y

Таблица 1 Table 1

an a12

mx + m (i +1)2 p2 + k + k2 + kj2 + k4 (i +1)2 - [mi(i+1)p2+k2+Ki2+k4 (1+i )2]

a21 822

- [m0i(i +1)p2 + k2 + k3i2 + k4 (1 + i )2 ] (m2 + mi2 )p2 + k2 + Ki2 + k4 (1 + i)2

01 02

kxz{t) 0

Примечание. p = j'w - комплексная переменная (j = >/—T); символ <-> над переменной означает ее изображение по Лапласу [5, 6] / Note. p = jw - complex variable (j = V—T ); symbol <-> above the variable signifies its Laplace image [5, 6]

Структурная схема системы в соответствии с данными табл. 1 имеет вид, показанный на рис. 2. Система содержит два парциальных блока, связь между которыми осуществляется при помощи звена с инерционно-упругими свойствами.

При частоте

2 k2 + К*2 + k4 (1 + j)2 ^

меж

m0i

i (i +1)

межпарциальная связь «обнуляется» и система принимает вырожденную форму. В общем случае по каждой из координат возможны режимы динамического гашения колебаний на частотах:

k + kj2 + k4 (1 + i )2

2 "-2 ' '"3'

"Лдин _ , -2

щ + m0i

(9)

,\2

k2 + kj2 + k4 (1 + i)

2 ,v2 , ,„3,

^^Дин = ™ m,

:0i (i +1)

(10)

Передаточные функции системы определяются из структурной схемы и имеют вид:

W(p)=-y1-= (m2 + m0i )P + k2 + k3i + k4( 1 + i) . 1 k1 Z1 A( p) '

(11)

^2 =

y2 _ m0i(i +1 )p2 + k2 + kj2 + 1 + i)2

k1z1

A(p)

(12)

Введем понятие передаточной функции межпарциальных связей:

у2_ т4(1 + 1 )Р2 + к2 + к42 + V 1 + 1)2

^12(р) = ~ = ~, .2 1 2 ; ГТ2 ГП ' ( )

у (т + т0г )р + к2 + к^ + 1 + г)

где

- (14)

А(р) = {[т + т0(1 +1) ]р2 + к + к2 + к}2 + к(г +1) } х х[(т2 + т012 )р2 + ^ + к}2 + кА( 1 + г) ] - [т01(1 + 1)р2 + к2 + к}2 + кА( 1 + г)2 ]:

характеристическое частотное уравнение системы.

Если / = 0, то (11) и (12) трансформируются следующим образом:

Ж(р) = ^ = ^ + к2 + к4 ; (15)

1(р) к^ Л'(р) ' ( )

ш(р)=1^ = к1+к±! (16)

где

А'(р) = [(т1 + т0 )р2 + к1 + к2 + к4 ] • (т2р2 + к2 + к4; - (к2 + к4 / - (17)

характеристическое частотное уравнение исходной системы при / = 0.

Парциальные частоты системы в общем случае определяются как:

n 2 = k

k + k2 + k3i2 + k(i +1 )2

m + m0(i +1 )

(18)

2 _ k2 + ki2 + k( 1 + i)2

n2 =

m + m0i

(19)

Динамические свойства системы зависят не только от параметров инерционных и упругих звеньев, но и от величины передаточного отношения /.

Введение дополнительных элементов

Для обеспечения возможностей изменения динамических свойств в исходную систему (см. рис. 1) может быть введена дополнительная масса т00, как показано на рис. 3.

У^

а i Г

А

k-)

B

m.

y0j- А m

moo к ® ! Уо т. а *

Механизм изменения длины / Mechanism of length change

I

2

Рис. 3. Фрагмент инерционного элемента принципиальной схемы, приведенной на рис. 1, с добавлением к рычажному элементу дополнительной массы m00 Fig. 3. Fragment of an inertial element of the schematic diagram shown in Fig. 1 with the introduction

of the additional mass m00 to the lever element

Введение дополнительной инерционной связи m00 изменяет выражение для кинетической энергии системы, которое принимает вид

"Г 1 -2,1 -2,1 -2,1 • г2 /1Г\\

Т = ~тхУх + -ЩУг + 2■™оУо + 2т°°Уо ■

С учетом особенностей сложения переносного и относительных движений получим для координаты y'0 соотношение

У°= yi(1 + ii )- У 2^1.

(21)

Принимаем 12 + 1о = г + г0, где — = г и — = г0 соответствуют параметрам возможного

А А А

смещения дополнительной массы т00, используемой для настройки динамического состояния системы.

Тогда выражение (20) будет иметь следующий вид:

т = У1 + ^т2У1 + + О - >У /2 + у/1 +1 + V -У2О+ 'Л2- (22)

Выражение для потенциальной энергии в данном случае остается прежним. Коэффициенты уравнений движения системы с учетом т00 в координатах y, y приводятся в табл.2.

Таблица 2

Коэффициенты уравнений движения при введении дополнительной массы m00

в координатах y, y

Table 2

Coefficients of motion equations under introduction of the additional mass moo

in the coordinates y, y

an ai2

[m+m (г +1)2+Шо (г+г0 +1)2 Jp2 + +k + k2 + к3г2 + к4 (г+1)2 - {[Ш0г(г +1) + Ш00(г + г^) • (г + г^ + 1)]p2 + +к+къг2+к (1+г )2}

a2i ^22

- {[ш0г(г +1) + ш00(г + г0) • (г + г0 + 1)]p2 + +к+къг2 + к (1+г )2} [Ш + ш0г2 + Шо (г + г0 )2] p2 + + к + къг2 + к (1 + г )2

Обобщенные силы / Generalized forces

а Ö2

kxz{t ) 0

где

Запишем передаточные функции системы при введении дополнительной массы т00:

шУп) = = [т2 + '1у2 + тоо(' + го)2]Р2 + к2 + кз'2 + к4( 1 +1)2 . (22)

1 Л'(р) ' ( )

цгу )=У^ = [ 11У(' + 1) + т00(' + г0) • О + г0 + 1)]р2 + к2 + к42 + к4( 1 + 1)2 (24)

2 Л(р) ' ( )

A"(p) = {[m + m0(i +1 / + mji + i0 +1)2]p2 + k + ^ + kj2 + kJi +1 /} x

x([m2 + mi2 + m00(i + ]p2 + k + kj2 + k( 1 + i)2} - {[mj(i +1) + - (25) +m00(i + • (i + i0 +1 )]p2 + k2 + k2i2 + k4 (1 + i )2 }2

характеристическое частотное уравнение при введенной дополнительной массе m00.

Система с дополнительной массой moo при кинематическом возмущении z(t) имеет режимы динамического гашения колебаний по координатам y, y соответственно:

,2 _ k2 + къг + к4( 1 + г) ....

"Чдин .2 . 12 ' V26/

ш2 + ш0г + m0o(i +

©

'2 _ _k2 + k3i + k4(1 + i)__/oy\

m0i(i +1) + mji + i0) • (i + i0 +1)

Передаточная функция межпарциальной связи при этом имеет вид

y2 _ [m0i(i +1) + mm(i + i0) • (i + i0 +1)]p2 + k2 + kj2 + k( 1 + i)2

W"2(p) = ^r = f 0/1 20 2 3 2 . (28)

y [m2 + mj + mm(i + i0) ]p + k2 + kj + kj 1 + i)

При / = 0, /0 = 0 выражение (28) приводится к виду

У 2 _ к2 + к4

W2(p) = ^ = 2 , , ' (29)

y m2p + k2 + k4

что совпадает с известными результатами.

Особенности влияния дополнительной массы m00

Для настройки системы на решение задач изменения динамического состояния целесообразным представляется использование вариации передаточного отношения /0. Принимая в качестве примера / = 1, найдем, что (28) может быть трансформировано к виду

цг "(р) = У2 = [ 2то + тоо(1 + го) • (го + 2)]Р2 + к2 + кз + 4к4 (30)

У1 [т2

+ то + тоо( 1 + го )2 ] р2 + к2 + к3 + 4к4

На рис. 4 приведены амплитудно-частотные характеристики для модельной задачи.

АЧХ представляют собой отношение амплитуды колебаний на объекте защиты т2 (координата у2) к внешнему воздействию в виде смешения или амплитуде вибраций основания г((). Если отношение амплитуд колебаний меньше единицы, то наблюдается снижение внешних возмущений. Кривая 2 соответствует условию У2(03) = 1. Такая кривая отражает частные

У1

свойства системы, а т. (1) соответствует частоте собственных колебаний для этого случая. Линии уровня эффективной виброзащиты (горизонтальные прямые ±0,3) отражают ограничения на параметры снижения амплитуды колебаний объекта. Пересечение этих линий с АЧХ определяет диапазон частот, при котором возможно снижение действия вибраций. Вырожденный случай, очевидно, нерационален для работы оборудования.

Режим динамического гашения колебаний для случая, представляемого кривой 1, реализуется на частоте, соответствующей т. (10) на оси абсцисс. Система эффективно работает в режиме уменьшения колебаний на объекте правее т. (10). Если ориентироваться на предельные нормы снижения вибрации до 0,3, то режим эффективной виброзащиты начинается с т. (11). Кривая 1 построена при значении настроечного параметра т00 = 2 кг. Если настроечный параметр т00 = 10 кг (кривая 3), то частота динамического гашения определяется положением т. (9) на оси абсцисс. В этом случае частота динамического гашения находится между частотами собственных колебаний (т. (2) и т. (4)). Частотный диапазон эффективной защиты начинается с т. (3), которая продолжается до т. (3'), затем режим приемлемого рабочего состояния начинается с т. (6). Точка т. (6) находится значительно левее, чем т. (10). Таким образом, величина т00, как настроечный параметр, существенным образом увеличивает диапазон частот эффективной защиты.

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики (о) для виброзащитной системы технического

z

объекта при действии вибраций со стороны основания при заданных параметрах (k1 = 10 кН/м; k2 = 10

кН/м; k3 = 10 кН/м; k4 = 10 кН/м; m2 = 20 кг; i = 1; i0 = 2): кривая 1 (-) соответствует m0 = 5 кг,

m00 = 2 кг, m1 = 10 кг; кривая 2 (..........) соответствует m0 = 5 кг, m00 = 5 кг, m1 = 10 кг;

кривая 3 (---) соответствует m0 = 5 кг, m00 = 10 кг, mi = 10 кг;

кривая 4 (— • — • — ) соответствует m0 = 0, m00 = 0, m1 = 0

y y >

Fig. 4. Amplitude-frequency characteristics ( о) for a vibration protection system of a technical object

z

under the action of vibrations from the base side for specified parameters (k1 = 10 kN/m, k2 = 10 kN/m, k3 = 10

kN/m, k4 = 10 kN/m, m2 = 20 kg, i = 1, i0 = 2: curve 1 (-) corresponds to m0 = 5 kg, m00 = 2 kg, m1 = 10 kg;

curve 2 (..........) corresponds to m0 = 5 kg, m00 = 5 kg, m1 = 10 kg; curve 3 (---) corresponds to m0 = 5

kg, m00 = 10 kg, m1 = 10 kg; curve 4 (— • — • — ) corresponds to m0 = 0, m00 = 0, m1 = 0

Промежуточное значение настроечного параметра дают соответствующие коррекции величины частотного диапазона эффективной защиты. Важным обстоятельством является тот факт, что увеличение m00 или эквивалентное увеличение передаточного отношения /о, приводят к формированию частотного диапазона, в рамках которого будет соблюдаться условие поддержания коэффициента снижения амплитуды внешних воздействий.

Система управления обеспечивает настройку параметров динамического состояния в расширенном частотном диапазоне за счет сдвига частот динамического гашения колебаний в сторону более низких значений.

При построении алгоритма управления динамическим состоянием частота динамического гашения по координате y2 (т.е. положение объекта) является предварительным ориентиром, поскольку диапазон эффективной защиты будет зависеть от крутизны наклона линий АЧХ. В качестве рабочего диапазона выбирается частота, определяемая положением точки пересечения АЧХ при соответствующем значении m00 и линии уровня уменьшения амплитуд колебаний. На рис. 2 приведены данные, характеризующие свойства системы при промежуточных значениях m00, а информация о параметрах системы приводится в подрисуночной подписи.

Заключение

Введение дополнительных связей в виде рычажных механизмов существенным образом изменяет динамические свойства механических колебательных систем. Используемые структурные математические модели отражают особенности динамических свойств систем при введении дополнительных связей через межпарциальные связи, а также через изменения основных частотных характеристик.

1. Предложен метод построения математических моделей с рычажными механизмами как устройствами для преобразования движения. Особенность метода заключается в учете переносных сил инерции, которые формируются при кинематических формах внешних воздействий.

2. Показано, что устройства для преобразования движения при определенных условиях могут «обнулять» межпарциальные связи в системе, что приводит к специфическим режимам динамического взаимодействия.

3. Выявлено, что частоты динамического гашения колебаний в системе зависят не только от упругих и массоинерционных параметров системы, но и от особенностей реализации рычажных связей.

4. Установлено, что введение дополнительных настроечных масс существенно изменяет вид амплитудно-частотных характеристик, в частности, формирование таких форм, которые создают возможности размыва точечных частот динамического гашения колебаний до их представлений в виде зон с усреднено-постоянным значением коэффициентов передачи амплитуды колебаний от источника возмущений к объекту.

Библиографический список

1. Mахутов НА, Aбросимов Н.В., Гаденин M.M. Обеспечение безопасности - приоритетное направление в области фундаментальных прикладных исследований II Экономические и социальные перемены: факты, тенденции, прогноз. 2013. № 3 (27). С. 46-71.

2. Harris' C.M., Allan G. Shock and Vibration Handbook. USA I Mc Graw-Hill, New-York. 2002. 877 p.

3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland, 201б. DOI: 10.1007I978-3-319-28020-2, бб9 p.

4. De Silva, C.W. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 9б7 p.

б. Елисеев С.В., Хоменко A.^ Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск: Наука, 2014. 357 с.

6. Елисеев С.В., Aртюнин A.K Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.

7. Хоменко A.^, Aртюнин A.K Ермошенко Ю.В. Динамика механических колебательных систем с рычажными механизмами для преобразования движения II Mеждународный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 1. С. 19-28.

8. Генкин M^., Рябой ß.M. Упруго-инерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. M.: Наука, 1988. 191 с.

9. Дружинский ИА Mеханические цепи. M.: Mашиностроение, 1977. 238 с.

10. Ким Д.П. Теория автоматического управления: в 2 т. M.: ФИЗMAТЛИТ, 2003. Т. 1: Линейные системы. 288 с.

References

1. Makhutov N.A., Abrosimov N.V., Gadenin M.M. Obespechenie bezopasnosti - prioritetnoe napravlenie v oblasti fun-damental'nykh prikladnykh issledovanii [Provision of safety - the priority in the sphere of fundamental and applied research]. Ekonomicheskie i sotsial'nye peremeny: fakty, tendentsii, prognoz [Economic and social changes: facts, trends, forecast]. 2013, no 3 (27), pp. 4б-71. (In Russian)

2. Harris' C.M., Allan G. Shock and Vibration Handbook. USA I Mc Graw-Hill, New-York, 2002, 877 p.

3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Switzerland, 201б. DOI: 10.1007I978-3-319-28020-2, бб9 p.

4. De Silva, C.W. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000, 9б7 p.

©

m

5. Eliseev S.V., Khomenko A.P. Dinamicheskoe gashenie kolebanii: kontseptsiya obratnoi svyazi i strukturnye metody matematicheskogo modelirovaniya [Dynamic damping of vibrations: feedback concept and structural methods of mathematical modeling]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2014, 357 p. (In Russian)

6. Eliseev S.V., Artyunin A.N. Prikladnaya teoriya kolebanii v zadachakh dinamiki lineinykh mekhanicheskikh sistem [Applied oscillation theory in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ, 2016, 459 p. (in Russian)

7. Khomenko A.P., Artyunin A.I. Ermoshenko Yu.V. Dinamika mekhanicheskikh koleba-tel'nykh sistem s rychazhnymi mekhanizmami dlya preobrazovaniya dvizheniya [Dynamics of mechanical oscillation systems with lever mechanisms for motion transformation]. Mezhdunarodnyi zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovanii [International Journal of Applied and Fundamental Researches]. 2013, no. 1, pp. 19-28. (In Russian)

8. Genkin M.D., Ryaboi V.M. Uprugo-inertsionnye vibroizoliruyushchie sistemy. Predel'nye vozmozhnosti, optimal'nye struktury [Elastic-inertial vibration isolation systems. Frontier capabilities, optimal structures]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 191 p. (In Russian)

9. Druzhinskii I.A. Mekhanicheskie tsepi [Mechanical chains] Moscow, Mashinostroenie Publ., 1977, 238 p. (In Russian)

10. Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya [Automatic control theory]. In 2 vol. FIZMATLIT Publ., 2003, vol. 1: Lineinye sistemy [Linear systems]. 288 p. (In Russian)

Критерии авторства

Нгуен Дык Хуинь подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Nguyen Duc Huynh has prepared the article and bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.

Статья поступила 01.06.2017 г.

The article was received 01 June 2017