Некоторые точные решения стационарной системы уравнений для стратифицированного течения двух термовязких жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1992-6502 (P ri nt)_

2016. Т. 20, № 2 (72). С. 90-95

Ъыьмт QjrAQnQj

ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru

УДК 532.5.013.4

Некоторые точные решения стационарной системы уравнений

для стратифицированного течения двух термовязких жидкостей

а. д. Низамова 1, в. н. Киреев 2, с. ф. Урманчеев 3

1 adeshka@yandex.ru, 2 kireev@anrb.ru, 3 said@anrb.ru

1,3 ФГБУН Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра Российской академии наук 2 ФГБОУ ВО Башкирский государственный университет

Поступила в редакцию 08.04.2016

Аннотация. Рассмотрена задача о влиянии температурной зависимости вязкости жидкости на профиль скорости течения в плоском канале с неоднородным температурным полем. Получены аналитические выражения, описывающие профили скорости в невозмущенном состоянии как для течения однослойной жидкости, так и для течения двухслойной жидкости для линейной и экспоненциальной зависимостей вязкости от температуры. Получена система двух обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд возмущений скорости и температуры, которая в случае изотермического течения может быть сведена к классическому уравнению Орра-Зоммерфельда. Численно исследованы спектры собственных значений для ламинарных течений с различными зависимостями вязкости жидкости от температуры. Обнаружены значительные различия между спектрами собственных значений для течения термовязкой жидкости и жидкости с постоянной вязкости. Показано, что учет температурной зависимости вязкости жидкости оказывает существенное влияние на устойчивость ламинарного течения жидкости.

Ключевые слова: стратифицированное течение термовязкой жидкости, гидродинамическая устойчивость, уравнение Орра-Зоммерфельда, температурная зависимость вязкости, спектральная задача.

В реальных условиях течение жидкостей очень часто сопровождается перепадом температур. Однако при решении вопросов, связанных с устойчивостью течения, это обстоятельство, как правило, не принимается во внимание. Между тем, вязкость жидкости как параметр, в основном определяющий закономерности течения, весьма чувствителен к изменению температуры.

Большинство моделей, описывающих зависимость вязкости от температуры, имеют вид экспоненциально убывающих функций, которые называются моделями аррениусовского типа [1]. В работе [2] проведен достаточно подробный численный анализ влияния параметров температурной зависимости вязкости на режимы течения в плоских каналах. Дальнейшие усложнения моделей, включающие немонотонную зависимость вязкости от температуры, привели к установлению целого ряда особенностей

Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-97034-р_поволжье_а.

течения жидкостей в неоднородном температурном поле [3].

Задача об устойчивости ламинарного течения несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью описывается уравнением Орра-Зоммерфельда [4-5]. В качестве профиля скорости обычно используют профиль течения Пуазейля, который достаточно хорошо изучен [6].

Однако если вязкость жидкости зависит от температуры, то в физическом смысле некорректно рассматривать скорость течения как профиль Пуазейля [7]. В этом случае профиль скорости течения жидкости необходимо привести в соответствие с законом изменения вязкости.

В настоящей работе аналитически выводятся некоторые такие профили скоростей течения жидкости.

Рассмотрим математическую модель невозмущенного течения двух термовязких жидкостей в плоском канале с неоднородным распределением температуры (в размерном виде):

dp d | _ _ (0) du

dx dy

(0)

dy

= 0, i = 1,2,

(1)

u(0)(h) = o, u(0)(-h) = o,

(0) = u2O)(0), w(

(0)

du

(0)

dy

y=0

du №

_ (0) du2 2 dy

V(0)

d 2T

dy2

= 0, i = 1,2,

y=0

(2)

T1(0)(h) = 2, Т2(0)(-^) = 0,

(0)/

Г(0)(0) = t2(0) (0), - k

dT

(0)

dy

= - k

dT-

(0)

y=0

dy

y=0

где T и u - температура и горизонтальная компонента вектора скорости; dp / dx = const -перепад давления; ц = ц(Т) и к = const - динамическая вязкость и коэффициент теплопроводности; h - толщина слоя жидкости. Символ i равен 1 для верхней жидкости и принимает значение 2 для нижней жидкости. Символ (0) означает невозмущенное течение.

МОДЕЛЬ ОДНОСЛОЙНОГО ТЕЧЕНИЯ

Используя уравнение (2) с граничными условиями, видим, что невозмущенная температура изменяется линейно по сечению канала и имеет следующий вид:

ад = i+y. (3)

Для нахождения аналитического решения уравнения (1) необходимо определить частный случай температурной зависимости вязкости. Для начала рассмотрим простейшую линейную зависимость вязкости от температуры:

Wl (T) = 1 -aLT,

где параметр а< 1/2 является степенью зависимости вязкости от температуры. Учитывая уравнение (3), можно записать зависимость вязкости от вертикальной координаты у:

ць (у) =1-аь (1 + у)-

В данном случае уравнение (1) принимает следующий вид

[1 -a l (1 + y)]

d u0 а du0 =RcdP dy2 L dy dx

и его решением является функция

L , ч Re dp uL0 (y) = —-f

aL dx

- 2ln (1 -a l (1 + y)) + 1

+1 + y

(4)

1п (1 - 2а ь)

Далее рассмотрим экспоненциальную зависимость вязкости от температуры (Т) = еа еТ , или, используя (3)

_ „-ая (1+y)

We (y) = e

В этом случае уравнение (1) примет вид:

(5)

d 2un

du

—f -aE — dy dy

0 = Re dpeaE (1+у)

dx

И его решение определяется функцией

E,, Re dp uE0 (y) =

^^ dx

2e E -(1 + e

(1 + e 2aE )• <

,aEy

e~aE - eaE

(6)

У • e

aE (1+y)

На рис. 1 показаны полученные профили скоростей и^ (у) и иЕ (у) для линейной и экспоненциальной температурной зависимости вязкости соответственно.

Из рис. 1 видно, что для достаточно маленьких значений параметра а профили скорости подобны профилю Пуазейля и для таких

Рис. 1. Профили скоростей для линейной а - оь = 0,01 (сплошная), а^ = 0,1 (пунктирная), Оь = 0,3 (штрих-пунктирная) и экспоненциальной б - ое = 0,01 (сплошная), ое = 1,5 (пунктирная), Ое = 2 (штрих-пунктирная) зависимостей вязкости от температуры

значений вполне обоснованно использовать профиль течения Пуазейля. Тем не менее, увеличение значений параметра а приводит к существенному отклонению термовязкого профиля скорости от Пуазейля: максимальное значение скорости смещается к верхней (которая имеет более высокую температуру) стенке. Такое поведение может быть связано с тем, что повышение температуры приводит к снижению вязкости. Поэтому очень важно учитывать эти особенности термовязких профилей скорости, которые определяются формулами (4) и (5).

МОДЕЛЬ ДВУХСЛОЙНОГО ТЕЧЕНИЯ

Далее рассмотрим модель двухслойного течения жидкости в канале с неоднородным распределением температуры (рис. 2).

////////М//////////,

Ш777777Ш7777777777Г

-Ь2 Т=0

Рис. 2. Схема течения двух жидкостей с температурной зависимостью вязкости в плоском канале

Аналогично модели однослойного течения видно, что невозмущенная температура имеет линейное распределение по сечению канала следующего вида:

I ау + к, для у е (0,к ],

То (у) = 1 +к гЧ т (7)

[ау + к, для у е [-к2,0],

где а, =

2К , Юк

—2—, к = —

2к

к2 + кхё

к2 + кхё

а2 =

к2 + кхй

к = а = к2.

к+ка к

Для нахождения решений уравнения (1) сначала также рассмотрим линейную зависимость вязкости о температуры: ^ (т) = 1 -а^т, или, учитывая распределение температуры:

, ч I 1 -а£(к1 + а,у1 для у е (0,hl], ...

(у) = 1 ^ , л г / т (8)

[1 -а£(Ь2 + а2у), для у е [-к2,0].

В данном случае уравнение (1) имеет следующий вид:

Е1 -а£ (к1 + а1у)]

а и„

аи„

Ф

1 у)] - + а1—0 = Яе: , ау ау ОХ

у е (о,к],

[1 -а£ (¿2 + а2 у)]+ а2 ^ = Яе ^, ау ау ах

у е[-^2,0],

и его решением является функция (рис. 3, а):

и£(у)= ар

А + Д1п(у + С1) + Яе-^-у, у е(0,к], (9)

А + у + С2) + Яеару, у е [-к,0], ах

где

к ¿2

а

а

2

Ы- С2

г = ■

с2 - а

1п С,

1 +

1п(1 + С ) 1п с (1 + С)

А =

1 1п с (1 + С)

Яе ар а Яе ф, „ --— +--1п(1 + с ) -

а ах а ах

Со

- В21п(1 + С )1п^—

с - а

. а Яе ар

А =---— - в 1п(с2 - а),

В1 = в2 г -

ах Яе

ар

1п с (1 + С) Ох

В, = -^ [

а -

1 а 1п(1+с)

а а 1п с

с2 -с1 -

1

1п с (1 + с)

с а 1п(1+с) ^

у к с - а 1п с;

Далее рассмотрим экспоненциальную зависимость вязкости от температуры

(Т) = , или, используя формулу (3),

-аЕ (¿1+а1у)

у е (0,к],

^е(у) = 1 ,, -Л "(10)

УаЕ+а2у), у е [-к,0]. ( )

В этом случае уравнение (1) принимает вид:

а и

аип

а 2и,

аип

-Чт - = Яеареае(Ь1+а1у), у е (0, к], ау ау ОХ

- а — = Яе—еа (Ьу), у е [-к ,0], ОХ

ау2 2 ау

1

У Ч / Ч ч

/ / / / / \ \ \

/ ! / 1 / , ' \ \ ч \ ч * ч \ \

!'У '// Ч \ ■ \ 4 * V

У у \\\ \

/ / / \ Ч \

> / / г \ \

/ / / 1 \ \ \

1 > / \ \ X \

■' У < / ^- X \ \ \ ^--^

б

Рис. 3. Профили скоростей для а - линейной и б - экспоненциальной зависимостей вязкости

от температуры

и его решением является (рис. 3, б)):

и* (У) =

А + Ехва1У-—У, У е (0,И,],

а ёх Яе ёр

(11)

4 + Б2ва2У -—^е^2у, у е [-М1,

где

Яе ёр

А = - Бе _а1 - — — е ^Л а ах

А = Яе ёРеа^ё -ъг

2 ОХ

а,,

а.

'Г1 1 ^

а -

V а2 а1 уу

~ '1 еа2а-Ъ2+Ъ1 б а2 ^ 11

Б1 = Яе

а \ -Ъ

V а2 а1 у

(1 - еа2а )е

а (1 - е ~а1) - аеЪ1-Ъ2(1 - еа2а )

-а -Ъ

■ +

ае

+ Ое

«2а -Ъ2

+ -

а

а (1 - е ~а1) - аеЪ1-Ъ2(1 - еа2а )

2 а а

11

Б = 01 еЪ1-Ъ2 Б + — ^е

а^ ОХ V а^ у

РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Линеаризуя уравнения Навье-Стокса, уравнение неразрывности и уравнение сохранения энергии и заменяя инфинитезимальные возму-

(12)

щения в виде бегущей волны, получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

- 2кУ + к4Ф]-

-гк Яе[(и0 - с)(ф" - к2ф)- и"ф] + + 2^0 -(Ф"- к2Ф')+И0Ф"-- гк [ц0-р" + ^0-Р' + ^0'-Р] = 0, (е " - к2е)- гкРе(и0 - с)е- РефТ0' = 0, (13)

где ф(у), е(у) - амплитуды возмущений скорости и температуры, к > 0 - волновое число, с - собственное значение, щ (у), Т0 (у), ц0 (у) - невозмущенные скорость, температура, вязкость, Р = е - и0, Яе - число Рейнольдса, Ре - число Пекле, / - мнимая единица.

Граничные условия для данной системы (12) имеют следующий вид:

ф(-1) = ф(1) = 0, ф "(-1) = ф"(1) = 0,

е(-1)=е(1) = 0. ( )

Уравнение (7) системы содержит дополнительные слагаемые, характеризующие изменение, как температуры, так и вязкости по сечению канала. Если течение является изотермическим, то это уравнение сводится к уравнению Орра-Зоммерфельда.

Полученная система уравнений (12-13) является модифицированным уравнением Орра-Зоммерфельда для термовязкой жидкости с граничными условиями (14) и соответствующими выражениями (3), которая решалась численно с использованием спектрального метода и были получены собственные значения задачи и соответствующие собственные функции [6].

а

= <

а б

Рис. 4. Спектры собственных значений для параметров Re = 10000, k = 1 - ое = 0,01 (а), ое = 1 (б)

На рис. 4 представлены спектры собственных значений модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда для случая экспоненциальной зависимости вязкости от температуры.

Анализ полученных результатов показывает, что при сделанных предположениях спектр собственных значений при малых значениях параметра (ое = 0,01 на рис. 4, а), качественно совпадает со спектром классического уравнения Орра-Зоммерфельда [5-7]. При увеличении значения параметра ое спектр собственных значений существенно изменяется. При значениях параметра ое > 0,7 нижняя вертикальная ветвь начинает распадаться на две отдельные ветви (рис. 4, б).

На рис. 4, б видно, что существует одно собственное значение с положительной мнимой частью, что соответствует неустойчивому характеру течения при выбранных значениях

числа Рейнольдса и волнового числа. Однако при тех же значениях параметров течение жидкости с менее сильной зависимостью вязкости от температуры будет устойчивым (рис. 4, а).

Зависимость критического числа Рейноль-дса от термовязкого параметра представлена на рис. 5. При увеличении значения параметра критическое число Рейнольдса монотонно уменьшается для термовязкого профиля скорости (6) (рис. 5) Таким образом, влияние температурного фактора на критическое число Рейнольдса очень важно, потому что помогает получить наиболее реалистичные значения соответствующие экспериментальным данным.

На рис. 6 представлены области неустойчивости течения термовязкой жидкости с профилем скорости (4).

Рис. 5. Зависимость критического числа Рейнольдса от параметра ое для термовязкого профиля скорости

Рис. 6. Области неустойчивости течения термовязкой жидкости при аЕ = 0.25 (1), ое = 0.5 (2), ОЕ = 0.75 (3), ое = 1 (4)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дальнейшее развитие теории устойчивости течения термовязких жидкостей потребовало решения задачи о течении жидкости в плоском канале с нагреваемой нижней стенкой. Такая постановка задачи привела к необходимости рассмотрения взаимодействия двух видов не-устойчивостей, обусловленных как течением вязкой жидкости в канале, так и тепловой конвекцией. В этом случае система уравнений содержит слагаемое с числом Грасгоффа. На основе проведенных численных решений были исследованы режимы течения термовязких жидкостей в зависимости от чисел Рейнольдса и Грасгоффа и построены соответствующие диаграммы устойчивости.

Результаты работы обсуждались на Российской научно-технической конференции «Мавлю-товские чтения», посвященной 90-летию со дня рождения член-корреспондента РАН, доктора технических наук, профессора Р.Р. Мавлютова и были рекомендованы к публикации в журнале «Вестник УГАТУ».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей // Ленинград: Наука. 1975. 592 с. [ J. Frenkel Kinetic Theory of Liquids. Dover Publications, Inc.; Reissue edition, 1955. ]

2. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. О влиянии температурной зависимости вязкости на течение жидкости // Нефтегазовое дело. 2004. № 2. С. 287-295. [ S.F. Urmancheev, V.N. Kireev, "On the influence of temperature dependence of viscosity on fluid flow," (in Russian), in Nefte-gazovoe delo, Vol. 49, No. 2, 2004. ]

3. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук. 2004. Т. 396, № 2. С. 204-207 [ S.F. Urmancheev, V.N. Kireev, "Steady flow of a fluid with an anomalous temperature dependence of viscosity," in Doklady Physics, No. 5, pp. 328-331, 2004. ]

4. Orszag S. A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld equation // Journal of Fluid Mechanics. 1971. Vol. 50, Part 4. P. 689-703. [ S. A. Orszag Accurate solution of the OrrSommerfeld equation. Journal of Fluid Mechanics. Vol. 50, Part 4. 1971. ]

5. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости // М.: Физматлит, 2005. 288 с. [ P. G. Drazin, Introduction to hydrodynamic stability. Cambridge University Press, 2002. ]

6. Скороходов С. Л. Численный анализ спектра задачи Орра-Зоммерфельда. // Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. 2007. Т. 47. № 10. С. 16721691. [ S. L. Skorokhodov, "Numerical analysis of the spectrum of the Orr-Sommerfeld problem," (in Russian), in Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 47, no. 10, pp. 1672-1691, 2007. ]

7. Низамова А. Д., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Об устойчивости ламинарного режима течения термовязких жидкостей // Вестник ТюмГУ. 2015. Т. 1, № 2(2). С. 104-111. [ A. D. Nizamova, V. N. Kireev, S. F. Urmancheev, "Influence of

Temperature Dependence of Viscosity on Stability of Liquid Flows," (in Russian), in Vestnik TumGU, vol. 1, no. 2(2), pp. 104-111, 2015. ]

ОБ АВТОРАХ

НИЗАМОВА Аделина Димовна, асп. по спец. механика жидкости, газа и плазмы. Дипл. матем., сист. программист (УГАТУ, 2012). Готовит дисс. о расслоенных и пленочных течениях термовязких жидкостей.

КИРЕЕВ Виктор Николаевич, к.ф.-м.н., доц. каф. прикладной физики. Дипл. математик (БГУ, 1997). Кандидат физ.-мат. наук по теплофизике и теоретической теплотехн. Численное моделирование динамики дисперсных и аномально термовязких сред.

УРМАНЧЕЕВ Саид Федорович, д-р. ф.-м. н., проф. Дипл. инженер-исследователь (МЭИ, 1975). Иссл. в области механики многофазных систем, волновых процессов в пористых средах, термогидродинамики, матем. моделировании технологических процессов.

METADATA

Title: Some analytical solutions of stationary system of equation for the stationary two thermoviscous fluids flow Authors: A. D. Nizamova1, V. N. Kireev12, S. F. Urmancheev1 Affiliation:

1 Mavlutov Institute of Mechanics, Ufa Scientific Centre of RAS, Russia.

2 Bashkir State University, Russia. Email: 1 adeshka@yandex.ru. Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 20, no. 2 (72), pp. 90-95, 2016. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: The problem about the influence of temperature dependence of viscosity on velocity profile of laminar liquid flows in a plane channel with non-uniform temperature field is considered. The analytical expressions of undisturbed velocity profiles fluid flows have been derived. The system of two ordinary differential equations for perturbation amplitudes of velocity and temperature has been developed. The spectra of eigenvalues for laminar flows with different temperature dependences of viscosity have been studied numerically. The considerable differences between the spectra of eigenvalues for the flow of thermoviscous fluid and fluid with constant viscosity are discovered. It is shown that taking into account the temperature dependence of fluid viscosity affects considerably on stability of laminar flows. Key words: stratified thermoviscous fluids flow, hydrodynamic stability, Orr-Sommerfeld equation, temperature dependence of viscosity, spectral problem. About authors:

NIZAMOVA, Adelina Dimovna, Postgrad. (PhD) Student, Mathematician and system programmer (UGATU, 2012). KIREEV, Victor Nikolaevich, Cand. of Phys. And Maths Sci. Mathematician (BSU, 1997).

URMANCHEEV, Said Fedorovich, Prof. Dr. of Phys. And Maths Sci. Research Engineer (MPEI, 1975).