Математическое моделирование диссипативного разогрева жидкости смешанного типа в цилиндрическом канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА ЖИДКОСТИ СМЕШАННОГО ТИПА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

В.Н. Колодежнов, С.С. Капранчиков

В статье рассматривается течение в цилиндрическом канале жидкости смешанного типа для одного частного случая зависимости вязкости от скорости сдвига. Получено выражение для распределения скорости жидкости. Проведен анализ влияния основных параметров системы на характер течения. Получено выражение, для определения температурных полей в канале при течении в нем жидкости такого рода. Проведен анализ влияния основных параметров модели на распределение температур

Ключевые слова: скорость жидкости, температура, скорость сдвига

В гидродинамике различают два основных вида вязких жидкостей. Если динамическая вязкость постоянна, то жидкость считается ньютоновской. Если же она зависит от скорости сдвига, то такие жидкости относятся к неньютоновским. Однако анализ литературы показывает, что существуют так называемые жидкости смешанного типа, которые в зависимости от диапазона изменения скорости сдвига у проявляют как ньютоновские, так и неньютоновские свойства [1]-[7].

Рассмотрим течение в цилиндрическом канале радиуса Я и длины Ь жидкости, вязкость которой на некотором интервале изменения скорости сдвига остается постоянной, а на другом возрастает, по мере увеличения модуля скорости сдвига. К таким жидкостям относятся пралино-вые массы [8, 9], молочные помадные массы [10] и другие так называемые дилатантные жидкости.

Такое изменение вязкости ц(у) предлагается описать моделью вида:

М 0--У <Го';

l(y ) =

El

2

г0 \у\

-r^U

du

Y = —, (1)

dr

где м - ньютоновская динамическая вязкость; у0 - пороговое значение скорости сдвига; и, г -продольная составляющая скорости и радиальная координата.

Представление вязкости жидкости в форме (1) предполагает, что цилиндрический канал разбивается на две зоны: ньютоновского течения в центральной части канала, и неньютоновского - вблизи его стенки. Это обстоятельство

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГТА,д-р техн. наук, профессор, (4732) 55-55-57, E-mail: [email protected]

Капранчиков Сергей Сергеевич - ВГТА, аспирант, тел. (4732) 55-55-57 E-mail: [email protected]

необходимо учитывать при определении распределения скорости и температур в сечении канала при течении в нем жидкости такого рода.

Тогда решение задачи по нахождению распределения скоростей и температур будем искать в виде:

() \и1(г); т( ) I7(г2); 0 -г <ям; (2)

и(г) = \ , ч 7 (г, 2) = <! (2)

К (г); 172 (г,2); г < Я

где и1 (г), и2 (г) - соответственно, скорость среды в зоне ньютоновского, а также - неньютоновского течений; Т1(г, 2), Т2 (г, 2) -

соответственно, температура среды в зоне ньютоновского и неньютоновского течений; Я^ -

пока еще неизвестная радиальная граница раздела зон течения.

Будем предполагать, что течение жидкости одномерное и установившееся. Тогда уравнения динамики жидкости, неразрывности потока и теплопереноса в безразмерном виде запишутся в форме:

21 " 2); (3)

(4)

Re- KG 4 • Ec

dP = 2 • 1 •d (

dz ’ KG r ’ dr,(

P = 0- duZ =

dr ’ : dz'

4 dT ’ 1 1

д

dz'

Pr- Ec r' dr' i du'ir'\Л2

dT ' dr’

+ L(f )•

du'(r’) ~drr

(5)

Здесь верхним штрихом обозначены безразмерные величины, полученные с учетом следующих соотношений:

R

L

Y =

L.

Ys

L =

L

L

P - P 20 1 1

P - P T - T

P’ = i • T’ =-

T„ - T*

(6)

К =ї±: ,, = !*.; К’= і ;ке = 2РЯ ■ “*

0 г/ Я Ч Я

Рг =

Ч ■С

Ес = ■

X ' с-(Т„ - Т,)

где 2' - продольная координата канала; Р', т'2 -давление среды в канале и касательные напряжения, соответственно; Р0, Р1 - давление среды на входе в канал и выходе из него, соответственно; Т,,, Т,, и5, у5 - некоторые характерные значения температуры среды в канале, а также скорости и скорости сдвига жидкости, принимаемые в качестве масштабных;

Ка, Яе, Рг, Ес - геометрический критерий подобия, а также критерии подобия Рейнольдса, Прандтля и Эккерта, соответственно; р, с, X -плотность, теплоемкость, теплопроводность

среды, соответственно.

Касательные напряжения т'2 в (3), с учетом зависимости (1) вязкости от скорости сдвига определяются согласно выражению:

X 0 <-г '<г'0;

1/И + Д1 -,,>Г0; <7)

2

2

Ьа

. V*»

Ьа = Яе- Ей; Ей =

-у >г0;

р - р 1 0 ■'і

Р■ иХ

где Ьа, Еи - критерии подобия Эйлера и Лагранжа.

Для решения данной задачи запишем следующие граничные условия:

г’ = 0,

г'=я;,

г = 1,

2 ' = 0, г ' = 1,

Ои' 0.

сіг' ;

Т1' = Т2 ;

и'2 = 0;

р ' = і; р' = 0,

Т = 0;

дг'

дТ’

Щ.

(8)

дг' дг’ ’

Т' = Т' = соті;

Т = К, (г’);

где 7- принимаемая постоянной температура стенки цилиндрического канала; Т'еШ (г' ) - распределение температуры среды на входе в канал.

Гидродинамическая часть задачи решалась отдельно от тепловой.

Проводя интегрирование в (3) с учетом (4), (7), (8), получаем после соответствующих преобразований выражения для распределения скорости в зоне ньютоновского и[ (г') и неньютоновского - и'2 (г') течений:

и' (г0 = --(г)2 + с,

и2(г' ) = :гТ-ч’(г'>•

3-Т

0 < г' < КЧ;

Я’м< г’ <1,

(9)

(10)

где

Т =

Ьа - Ка-г'0

с =

±п_

Ьа - Кг

2 -г03

^(г' ) = (-г02 )-(г'-г02)

В ходе решения гидродинамической части задачи, было показано:

8-/0

К = ш

Ч \а - К

(12)

Анализ выражения (12) для определения радиальной границы раздела зон течения показывает, что зона неньютоновского течения возникает лишь при превышении критерием подобия Лагранжа некоторого критического значения

8-у'0

Ьасп, = '

К

(13)

когда заведомо выполняется условие 0 < Я'^ < 1. Если же параметры системы таковы, что

Ьа < Ьас

зона неньютоновского течения от-

сутствует и в канале реализуется традиционное течение Пуазейля.

Используя (9), (10), было получено соотношение для определения безразмерного расхода через канал:

Q' =

Q

2п-Я - и

= | г' - и1 (г' }ёг' +| г' - и\ (г' }ёг' =

(14)

X 0

Ьа - Кп - Я

ЯЧ

© =

1 - Я

64

' 2 Л

с - Я'Ч 2-©

- +------------— +-------;

2 3-Т

Іпі = -

(2 ( 7

Т2

V7 V

'Г -Уо

2 -К

р2 -П

//

^ = т-г02-

Если же зона неньютоновского течения не возникает, то расход жидкости определяется традиционно из выражения:

(15)

Ьа - Кг, Q'=. °

64

В рамках гидродинамической части математической модели процесса были проведены численные эксперименты по анализу влияния основных параметров на характеристики течения. Для примера на рис. 1 представлен график

2

4

Я

распределения безразмерной скорости течения жидкости по радиальной координате цилиндрического канала при различных значениях критерия подобия Лагранжа. Пунктирной линией на нем отмечена радиальная граница раздела зон ньютоновского и неньютоновского течений. Из представленных данных видно, что для жидкости такого рода при увеличении значения критерия подобия Лагранжа зона ньютоновского течения сокращается, а неньютоновского - возрастает.

Рис. 1. Распределение безразмерной скорости течения жидкости по радиальной координате цилиндрического канала при следующих значениях основных параметров системы KG = 0,1; f0 = 0,5 и критерия подобия Лагранжа La = 250 (1); 200 (2); 167 (3); 100 (4); 50 (5). Пунктирная линия - граница г' = Я'ц раздела зон ньютоновского и неньютоновского течений.

Представление о влиянии порогового значения скорости сдвига на зависимость безразмерного расхода от критерия подобия Лагранжа дают кривые, представленные на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость безразмерного расхода жидкости с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале от значений критерия подобия Лагранжа

при Ка = 0,1 и /0 = 1,0 (1); 0,7 (2); 0,5 (3); 0,3 (4); 0,1 (5); Ьасги = 80 (1); 56 (2); 40 (3); 24 (4); 8 (5).

На этом рисунке символом «о» обозначена граница линейного и нелинейного участков зависимостей (15) и (14).

Перейдем теперь к тепловой части задачи. Для определения распределения температур из уравнения (5) будем использовать допущение о том, что в качестве скорости при записи конвективной составляющей теплопереноса допустимо принимать среднюю скорость и’т течения среды

в канале, которая связана с безразмерным расходом соотношением вида:

< = — = 2 • Q.

uS

(16)

Учитывая специфическую зависимость (1) вязкости от скорости сдвига, второе слагаемое в правой части уравнения (5), можно представить в виде:

^ йи' (г')У № (г'); 0 < г' < Я';

----^ = № (г’) = \ ц

|№2(г'); Я’м< г’ < 1;

Сйи[(г')

м'(г' )•

dr’

W (Г ) =

(

r'0

dr

du'2 (r') ~drr

(17)

\

í du' (r)V

+Y0

du'2 (r') dr’

Принимая во внимание вид функции №2(г' ), а также учитывая зависимость (10) скорости и'2(г') от радиальной координаты в зоне неньютоновского течения, можно видеть, что получить решение (5) в аналитическом виде представляется затруднительным.

В этой связи, выражение для №2(г' ) предлагается интерполировать степенным полиномом №21п4(г' ) по радиальной координате для неньютоновского течения:

№2 (г г) * №“(г') -(г ), Я’ц< г' < 1, (18)

/=0

где I - максимальный порядок полинома в рамках рассматриваемого приближения; wi - ьый коэффициент полинома.

Решая линейное относительно искомой функции уравнение (5), с учетом (9), (10), (14), (16) - (18), можно показать, что его общее решение имеет вид:

T’(r',z') = f (r') + ^Cn • J0(sn • r')• e-

n=1

4

Q = -

ReKG • pru'm

f (г'); 0 < г' < Л-

f (г'); л;< г ' < 1; Pr- Ec • La2 • KІ

1024

I

•(г') + B>,

/2 (г') = 71+ Рг- Ес - £ ^ ( (г)) ) + В - 1п г

i=0 (i + 2)

где еп - корни характеристического уравнения Ь0(е) = 0; В1, В2 - константы интегрирования, определяемые из выражений:

В1 = - Я' - Рг- Ес - --——— +

+Z-

i =0

256

I -I1 -

- (1 -(г 7 +)

Б2 = Т'+ Рг- Ес-X , +

і=0 (і + 2 )

Рг- Ес - Ьа1 - КІ - Я'3 + Б - 1п г'+-------------.

1 256

Оставшиеся константы Сп в (19) искали с учетом граничного условия для температуры на входе в канал, используя свойство ортогональности базисных функций.

Окончательно, выражение для определения набора констант Сп принимают вид:

|г'- тт(г')- 0 (п- г ')°г'- Іп,1 - Іп,2

Сп = "-------1---------------------------,

j r' \J0 (я •r') dr'

0

R

Intl = j r' • fx(r') • J0 (sn • r')dr';

0

1

Int2 = j r ' • f2(r') • J0 (n • r')dr'•

R

В рамках тепловой части задачи, также были проведены численные эксперименты по анализу влияния основных параметров модели на диссипативный разогрев жидкости смешанного типа при ее течении в цилиндрическом канале. Для примера на рис. 3 представлено распределение безразмерной температуры по радиальной координате в различных поперечных сечениях канала.

Как видно из представленного рисунка по мере продвижения рабочей среды от входного сечения наблюдается вполне ожидаемый прогрев жидкости с монотонно-возрастающим по радиальной координате температурным профилем. Однако, начиная с некоторого сечения на

температурном профиле появляется экстремум (максимум).

Это обусловлено тем, что в окрестности стенки канала в области наибольших (по модулю) значений скорости сдвига происходит интенсивное тепловыделение за счет диссипации. При этом наиболее “напряженная” температурная обстановка возникает в выходном сечении канала.

Рис. 3. Распределение безразмерной температуры по радиальной координате при следующих значениях основных параметров: Ка = 0,1 ; Рг = 2,717 -108 ;

Ес = 1,863 -10-8 ; Еи = 7,143 -107 ; Яе = 1,867 -10-6 ; Т; = 0,5; г'=Я'=0,6 и 2 ' = 0,05 (1); 0,1 (2); 0,3 (3); 0,5 (4); 0,8 (5); 1,0 (6).

Влияние критерия подобия Рейнольдса на распределение температуры в выходном сечении канала представлено на рис. 4.

Рис. 4. Распределение безразмерной температуры в выходном сечении канала 2 ' = 1,0 при следующих основных параметрах системы: Ка = 0,1 ; 7 = 0,5 ;

Ес = 1,863 -10-8 ; Еи = 7,143 -107 ; Рг = 2,717 -108 и Яе = 1,120 -10-6 (1); 1,5 -10-6 (2); 2,0 -10-6 (3);

2,5 -10-6 (4); 3,0 -10-6 (5); 4,0-10-6 (6).

Как и следовало ожидать, увеличение числового значения критерия подобия Рейнольдса приводит к возрастанию температурного экстремума в окрестности стенки канала. При этом

для сравнительно небольших значений Яе “пик” температуры наблюдается в зоне ньютоновского течения (например, кривая 2). По мере же увеличения значения критерия подобия Рейнольдса “пик” смещается в зону неньютоновского течения.

В результате решения поставленной задачи, были получены выражения для распределения скорости течения жидкости смешанного типа (1). Было получено выражение для температуры в канале. Анализ численных экспериментов с моделью показал, что при некоторых режимах течения, в канале возникает «пик» (экстремум) температуры. Это явление локального «перегрева» рабочей среды может оказывать отрицательное воздействие на ее характеристики при выходе из канала.

Литература

1. Михайлов, Н. В. Упруго-пластические свойства нефтяных битумов [Текст] / Н. В. Михайлов / Коллоидный журнал, - Т. 17, №3, 1955. - С. 242-246.

2. Гудкова, Т. И. К вопросу о влиянии структурномеханических свойств печатных красок на их поведение в печатном произвостве [Текст] / Т. И. Гудкова, Л. А. Коза-

ровицкий, Н. В. Михайлов // Коллоид. журн., 1960, 22, №6. - С. 649-657.

3. Ябко, Б. М. Научно-обоснованный метод выбора оптимальных составов водных красок [Текст] / Б. М. Ябко, Н.В. Михайлов. - Кишинев, 1962. - с. 17.

4. Nakamura Tadahisa, Ueki Masanori. The high temperature torsional deformation of a 0,06 % C mild steel. -Trans. Iron and steel Inst. Jap., 1975, 15, №4, p. 185-193.

5. Кузин, В.Г. Движение нелинейно-вязкой среды в цилиндрическом канале произвольного сечения [Текст] / В. Г. Кузин // Прикладная механика. Т. XV, №7, 1979, с. 101-106.

6. Овчинников, П. Ф. Виброреология [Текст] / П. Ф. Овчинников. - Киев: Наукова думка, 1983. - 272 с.

7. Анистратенко, В. А. Исследование реологических свойств фильтрационного осадка как объекта транспортирования [Текст] / В. А. Анистратенко, В. Н. Кошевая, Б. Н. Валовой // Известия ВУЗов. Пищевая технология, - №1, 1992. - С. 54-57.

8.Бирфельд, А. А. Исследование тиксотропии пра-линовых масс [Текст] / А. А. Бирфельд, Ю. А. Мачихин. -Известия вузов. Пищевая технология, 1970, № 2, с. 152154.

9. Рыбакова, Ю. С. Физико-химическое исследование орехосодержащих конфетных масс [Текст] / Ю. С. Рыбакова. Автореф. Канд. Дис. - М.: МТИПП, 1959 - 17с.

10. Никифорова, В. Н. Химические и физические

характеристики ириса и начинок карамели [Текст] / В. Н. Никифорова, Р. В. Теплова, Р. Г. Зобова, Г. А. Лядова. -М.: ЦИНТИпищепром, 1964. - 27 с.

Воронежская государственная технологическая академия

MATHEMATICAL MODELING OF THE DISSIPATIVE WARMING UP OF THE LIQUID OF THE MIXED TYPE IN THE CYLINDRICAL CHANNEL

V.N. Kolodezhnov, S.S. Kapranchikov

This article is devoted to the current of the liquid of the mixed type in the cylindrical channel for one particular case of the dependence on viscosity from speed shift. The expression for the liquid-speed distribution is received. The analysis of the influence of the main factors of the system on the character of the current is done. The expression for defining the temperature fields at the current of such type of liquid in the channel is received. The analysis of the influence of the main factors of the model on the distribution of the temperatures is done

Keywords: velocity to liquids, temperature, velocity of the shift