НЕКОТОРЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исмаилов Н. Т., PhD кафедра высшая математика Наманганский инженерно-технологический институт

Республика Узбекистан, г.Наманган

Бахрамов Р. К. преподаватель-стажер Наманганский инженерно-технологический институт

Республика Узбекистан, г.Наманган

НЕКОТОРЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИ

Аннотация. Для случая d>1 исследованы неравенства Леви, упомянутые в теоремах статьи, а также неравенства, упомянутые в научных исследованиях О.И.Клёсова, А.Н.Колмогорова и П.Леви.

Ключевые слова: медиана случайной величины,лемма Гуту, некоррелированные случайные величины, законе повторных логарифмов.

IsmailovN.T., PhD Department of Higher Mathematics Namangan Institute of Engineering and Technology Republic of Uzbekistan, Namangan

Bahramov R.K. trainee teacher

Namangan Institute of Engineering and Technology Republic of Uzbekistan, Namangan

SOME MANIFESTATIONS OF LEVY'S INEQUALITY

Annotation. For the case d>1, the Levy inequalities mentioned in the theorems of the article, as well as the inequalities mentioned in the scientific studies of O.I. Klyosov, A.N. Kolmogorov and P. Levy, were studied.

Key words: median of a random variable, Gutu's lemma, uncorrelated random variables, law of repeated logarithms.

Теорема 1. Пусть {Х( k); k < п } — некоррелированные случайные величины, где мы вводим с 0 <а< 2 ,0 < q < 1. как:

Ma =Z EX (k)

k <n

Тогда для всех x>0 справедливо неравенств Р(тах 5(к) > x) < q -dP(S(п ) > ^()а), (1)

k <п 1 - q у '

где L=1, если 0 <а< 1, или и L=2, если 0 <а <2.

ас

Теорема 2. Пусть {Х( к); к < п } — независимые случайные величины, ЕХ(к) = 0 , В(п) = ^ЕХ2(к), тогда уместно следующее:

к <п

Р(тах^(к) > х) < qdP(S(п) > х - ^2В(п)),

к <п

Р(тах S(к ) > х) < q^ Р^(п ) > х - ^2В(п ) ) (2)

к <п

ТеормаЗ. Если для кого-то с > 0, q > 0

если так, то Р^(п) - S(к) > -с) > q (к < п),

Р(тах S(к) > х) < q"dР(S(п) > х - cd) (3)

к <п

Мы знаем, что при V х>0 справедливо неравенство Леви Р{тах Рк-ц(8к-ЗД>х}<2Р@п>х) (4)

1<к <п

где |(х)-Х - медиана случайной величины.

Из этого неравенства, если выполнены следующие дополнительные условия, то при х>0

Р^п>х}<2Р^п>х-(2 } (5) мы генерируем.

(4) неравенство было получено А. Н. Колмогоровым в законе повторных логарифмов.

Теорема 4. Предположим, что Х1,...,ХП — независимые случайные величины и БХ; = 0, БХ^<сю для i= 2,...,п. Вводим следующее:

В = £ ЕХ,2,

,=1

то для V q, 0<q<1 и V х >0 справедливо следующее неравенство:

1 В 1

Р{тахSk >х}<-Р^п >х-(—)2}(б)

1<к<п q 1 - q

1<к<п q 1 - q

отсюда следует из (5) по (6), когда q = - найдено.

Теорема 5. Если для s>0 и q>0 Р^п^к>-с}^, к=1,...,п-1,

если неравенство выполнено, то при х > 0 справедливо соотношение:

Р{тах Sk>x }< Р^п>х^} (7)

где |(х)-Х - медиана случайной величины.

Из этого неравенства, если выполнены следующие дополнительные условия, то при х>0

Р^п>х}<2Р^п>х-(2 } (8) мы генерируем.

Теорема 6. Пусть >1 и {Хк, к е Ъ \} — независимые и нормально распределенные случайные величины и для них выполнены следующие условия.

п

E(X) = 0 и = 2 к<„Хк, п е . В этом случае одинаково сильны следующие связи:

а/

Е ехр{(1°ё | X |)/*}(1°ё+ | X |/-1 < да;

2 ехр{(1°ё| п (1°ё| п2|)а P(|Sn |>|п |^е) <да е> 1 когда,

п,

\а-1

2ехр{(1°ё | п (1°ё | П|) Р(тах 15 |>| п ^е) <да е > 1 когда,

п п | к<п

2ехр{(1°ё| п(1°ё^ Р^ир| 5/| кр ||> е) <да е > 1 когда.

п /

Теорема 7. Пусть 0<а<1, {Хк, к е Ъ }— независимые и нормально распределенные случайные величины и для них выполнены следующие условия.

Е(Х) = 0 уа5 =2к<пХк,п еZ+d +. В этом случае одинаково сильны следующие связи: Еехр{| X |Л(1°ё-| X |)d-1 <да;

2ехр{| п |а} | п а-2 Р(| 5 |>| п | е) < да е > 1 когда,

2ехр{| п |а} | п |а-2 Р(тах | 5 |>| п ^ е) < да е > 1 когда,

к<п

2ехр{/а}■ а2Р(Бир| 5/| кр ||> е) < да е> 1 когда.

п /<\к\

Для доказательства теорем используем приведенную выше лемму и следующие леммы.

Лемма 1. Для случайной величины X и у > 0

а/

Е ехр{(1°ё+ | X/у |)/^}(1°ё+ | X 1 < да

«2 ехр{(1°ё И )а}(1°ё, 1 )а 1 П\Х\ >\п\у) < да;

п \п\

Еехр{\ X/у \ а}(1°ё+ \ X \ )а-1 < да «2ехр{ \ п \ аУ\п \ а-1 р(\X \ >\ п \ у \ < да.

При доказательстве лемм мы используем вычисления на основе следующих стандартных перестановок.

да

2=222 d с/)...,

п /=1 |п|=/ Л(') = СагЛ {к :\ к \= '}, ' > 1.

если мы уточним, то

да

2ехр{\ п \ )а} \ п \ )а-1 Р(\ X \ >\ п \ =2Л(')ехр{/-1Р( \ X \ >]),

п 7=1

2 ехр{(1°ё \ п \ а}(1°ё +\"\ )а 1 Р(\ X \ >\ п \ = 22 а С )ехр{(1°ё ' )а Р(\ X \ >').

п \п \ 7=1 '

будет.

п

п

п

M(j) = Card {k :| k|= j} (=£d(k)) j > 1,

Также, k1 и

M (j) 1

у(ЪЕ у)-1)! и будет.

Доказательства теорем (6)-(7) следуют из этих соотношений и замен, как и в предыдущем параграфе. Пусть -мерное арифметическое

пространство, элементы которого состоят из целых положительных чисел. Введем понятие частичного порядка в Zd+:

Если m = (ш,ш...шd)и и = (и,п...иа) будет, шг < П,i= ¿,d если, ш < п

Это записывается как Кроме того, если каждый i (i=i, d) равен щ ^ да , то это п ^ да.

Теорема 8. X и { X(и), п е Zd | являются независимыми и нормально распределенными случайными величинами, для которых выполнено следующее условие: ЕХ(и) = 0, ЕХ2(п) = 1 и 6*(и) = ^Х(п),

к <п

а также быть, ^ '(и) = УагХ• I{Х|<Л/и} где I{|Х|<Л/Й} находится индикатор события.

Если так ЕХ2(2~а) ехр(Х )(log+ | X -1 < да , то

n2

P( < X) —.(X)

1 1 а

(1) становится где log+x=max(0, logx)

Доказательство теоремы.

Для доказательства теоремы мы используем следующие результаты

теории чисел. d(j) = card {k, | k и M(j) = cardjk, | k \<j

•/1 -\d—1

Согласно [ 2 ] j ^^ M(j) - J °, (9)

(d —1)!

Также V£ < 0 и j ^^ d(J) = 0( Jb)

Согласно Гуту [3], (1) можно записать следующим образом

^-e-SuPlP(^ <X) — )|=]ГejpiP^<X) — )|

\n| V\ n\ а j=1 j vJ а

(10)

Для доказательства теоремы воспользуемся следующими леммами

[3].

В лемме 2 имеют место следующие соотношения:

k

X d (j )j < Ck«+1(log k)d—1; (j >-1) (11)

j=1

(j)(log j/ < c, (log k)d+s; (§ > —1) (12)

J=1 j

n

¿jog,/ <c.dQgk)dr>,,_„< (13)

X j- (/-1)* /-1

Лемма 3. ? - является неотрицательной случайной величиной, то при г>0 справедливо соотношение:

да

X d ( j)jr-1P(? > j) < да « E? (log + ?)d-1 < да

j=i

Теперь докажем соотношение (1): для доказательства соотношения (1)

достаточно доказать аппроксимацию следующего ряда.

^ ^ end(j Л , (к( j) , х ч ,

X 0 =X-S up | P( ( Д7) < х) - р(-) |< да

j=i j * yjJ

Используем следующее неравенство [3]:

I р( ) < х) - < х) |< jP(| х |> Vj ) (14)

л/J VJ

справедливо неравенство.Согласно этому неравенству:

^end (J) . ) ч ^end (j) . „ . гтл X-^ sup | P(-j < х) - р(-) |< X | P(| X |> V7 ) +

j: J х V J ^j J: 7

^eJd(j) ,r,/S; ^ Ч /х-ni(j) . ,х-//,ij /х . . X-Л SUP | p("d < x) - р(-| +X-— sup | р(-- р(—) |= X i + X 2 + X 3d J х Vj J: J х ^J ^j

X 1' X 2' X 3 °ценим.

X 1 = XX ^jPd X |> VJ) = X Л X P(Jk <| X |< VkTY)

j =1 j j=1 J k=j

да k ¿»J л( да k

= X P(Vk <| X |< VkTT)X = X p(V* <| X |< VkT1)X ja-1eJd (j) <

k=1 j=1 j k=1 j=1

< C -X к2~aek(log+ ky-1 P(4k <|X |< Vk +1) < С- E | X |2(2— exp(X )(log+ | X 1 <

k=1

X2 оцениваем.

Согласно неравенству Эссена [3]:

^'. х - м ^7 E | У —м ? 8E | У |3

sup | P(—j= < х) -р(- 7 V • )|< C-!-v *~J ' < C 1 7 1

^3

Отсюда, согласно (12),

< C + C X ed (j) Г |х |3 dF (х) < C Н C Г( ^^^ )| х |3 .х <

— Н----. ,— ~ 2 .^v - 1

7 2 | х|=^/7 0 77х2 J- Н--

7 2

d (j* ) E | |

3

c X e d ^^ ) . ^— < C Н C X ,

^ ^ 2 ^ ' / Г 3 / ^ 1

' - --Л---- ■

7

.7

j = 1 J- sT1^3 j 7jo 2

Г х2(2--)ех (logН | х |)d-1 dF(х) < да, о

Приближенное исходя из условия теоремы. Теперь оцениваем. По лемме 1. и по условию теоремы

2 з -2JJ 2 1 J | - I dF(x) -

- 2 + J | — | dF(x) - С + СJ(x2(2~ax(log+ | x |)d1 dF(x)

V2^ J>j0 ja 2 W>^J 0

Теорема полностью доказана. В заключение.

Доказанная теорема вытекает из частного случая, т. е. теоремы при [3] Использованные источники:

1. Королюк B.C. Граничные задачи для сложных пуассоновских процессов. Киев, Наукова думка, 1975.

2.Братийчук В.С. Гусак Д.В. Граничные задачи для процессов с независимыми приращениями. Киев, Наукова думка,1990.

3.Лотов В.И. О достижении высокого уровня блужданием с задержкой внуле. Сибирский матем. журн,1999, том 40, номер 6, стр.1276-1288.

4.Барон М. И. О моменте первого достижения для процессов ожидания. Теория вероят. и ее примен. 1996, Том 41, выпуск 2, стр. 396-403.

5.КЬофЛауеу V.R. Asymptotic representations for characteristics of exit from an interval for stochastic processes with independent increments. Siberian Adv. Math,1997, T. 7, №3, pp.75-86.