Асимптотическое разложение в центральной предельной теореме для сумм зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214.5

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

It is received an asymptotic expansion with a member of an order n—1 in the central limit theorem for stationary sequences with uniform strong mixing.

1. Введение. Формулировки основных результатов

Пусть {£„} = {£n, n = 1, 2,...} - стационарная в узком смысле последовательность и пусть

n

E£i = 0, Е^2 < то, Tn = ^ , an = DTn ^ то, n ^ то,

j=i

t2

Fn(x) = ¥{Tn < xan}, Ф(х) = (27г) 2 J exp |- — jdt,

— Ж

A„ = sup |Fn(x) - Ф(х)|.

X

Для последовательностей слабо зависимых величин оценки скорости стремления An к нулю последовательно улучшались на протяжении более чем тридцати лет, пока наконец Е.Рио в [1] не получил неулучшаемую по порядку оценку Ап = О (гг-а) для последовательностей ограниченных величин с равномерно сильным перемешиванием (^-перемешиванием).

Настоящая работа посвящена дальнейшему уточнению центральной предельной теоремы для сумм слабо зависимых случайных величин. Выделен класс последовательностей {£n} (так называемые последовательности с симметричным распределением), для которых при экспоненциально быстром ^-перемешивании ЕЫ 5 < той

lim sup |Е exp {it£i}| < 1 (1)

доказан аналог асимптотического разложения Эссеена в центральной предельной теореме (см., например [2, гл.5, теорема 20]). Из этого разложения (см. теорему 1), в частности, следует, что An = O(n—1).

Copyright (с

Омский государственный университет.

E-mail: griniran@gmail. com

Работа поддержана грантом РФФИ 06-01-00127.

2. Последовательности с симметричным распределением

Пусть £ = (£^ ..., £п) - случайный вектор, 6 - отображение множества {1, 2,..., и} в множество {-1,1}, то есть 6 = (61,..., 6п), 6к = ±1, к = 1, 2,..., и, и пусть А = {6} = {-1,1}{1,2>->п}. Обозначим 6 * £ = (61 £1, ...,6п£п). Распределение вектора £ будем называть симметричным, если все векторы 6 * £, 6 € А имеют одинаковое распределение. Будем говорить, что последовательность {£п} имеет симметричное распределение, если все ее конечномерные распределения симметричны.

Простейшим примером последовательности с симметричным распределением является последовательность независимых одинаково распределенных величин с симметричными распределениями.

Введем характеристическую функцию вектора £ :

и последовательность случайных величин {еп} не зависит от {£п}.

Доказательство достаточно прозрачно и здесь не приводится. Замечание!.. Если {£п} - стационарная поеледователноеть, удовлетворяющая условию РСП с коэффициентом <^(п), а {еп} - последовательность, определенная в пункте с) леммы 1, то последовательность {еп£п} также удовлетворяет условию РСП с коэффициентом ^1(п) < <^(п) [3],

Замечание 2, Нетрудно убедиться, что если {£п} - последовательность с симметричным распределением, то при каждом натуральном р поеледователь-

Будем использовать обозначение £ = п в случае, когда распределения случайных векторов £ и п совпадают, и {£п} = {пп}, когда совпадают конечномерные распределения последовательностей {£п} и {пп}.

Лемма 1. Следующие условия эквивалентны:

a) последовательность {£п} имеет симметричное распределение;

b) при любом, натуральном, и и любых действительных ^1, ...,£п

П

Ль...,гп(*1,...,*п) = Е Дсо8(4 £к );

(2)

к=1

с) {£п} = {еп£п}, где {еп} - последовательность независим,ы,х случайных

величин, таких, что

Р {єп = 1} = Р {еп = -1} = ^

ность £(^--1)р+1,] = 1, 2,... > также имеет симметричное распределение.

Лемма 2. Если {£п} - стационарная последовательность с симметричным распределением и Е|£1|4 < то, то а) ЕТп = 0, ЕТп3 = 0, п = 1, 2,...;

Ю = °Т1 = па2, п = 1,2,...;

с) ЕТ,4 = пЕ£4 + 6 Е Е£2£2, п =1, 2,...

1<г<?<п

Утверждения леммы являются следствием симметричности распределений величин £,-,£,-£*.),£,-,£3, 2 = к.

3. Вспомогательные результаты

{£ } = {£ , п = 1, 2, ... }

чим через ^<п и ^>п а-алгебры, порожденные, соответственно, семействами {£к : к < п} и {£к : к > п}.

{£ }

но сильного перемешивания (у-перемешивания) с коэффициентом, перемешивания у(п) и пусть случайные величины, £ и п измеримы относительно ^<о и ^>п соответственно,

1 1 1 ИСИр = (Е|£Г)р < то, ||г/||9 < то, р>1, д>1, р~ +д~ =1.

Тогда, при любых комплексных а и Ь

|Е£77 - ЩЩ\ < 2срр (гг)||£ - а||р||/7 - 6||д. (3)

Если же

11£ 111 = Е|£ 1 < то 1Ыи = ^тавирМ < то

то

|Е£п — Е^Еп! < 2^(п)||£ - а||,||п - Ь||«,. (4)

Доказательство леммы легко получается, например, из теоремы

17,2,3 в [4] или из [5, с, 236],

Лемма 4. Пусть последовательность {£п} удовлетворяет у-перемешивания, ап ^ то, п ^ то и пусть Е|£|р < то, р > 2. Тогда, ||Тп||р < С(р) ап, где

0 < С(р) < то не зависит от п.

При 2 < р < 3 утверждение леммы доказано в [4, теорема 18,5,1], в общем случае оно следует, например, из теоремы 1,1 в [6].

Обозначим 7к (£) к-й семиинвариант случайной величины £.

{£ }

! £1 ! 4 < то .

a) 71 (Тп) = 0, 7з(Тп) = 0, п = 1, 2,...;

b) 72(Тп ) = па2, п = 1, 2,...;

с) Если Ё Р2(к) < то, то

k=i

74 — 74(6) + 6 ^ Е (£2 - Е£^) (£2 - Е^2) < то

k=i

Если же Е kip2 (к) < то, то k=i

sup |74(Tra) - nY4| < C < то.

n

Доказательство,

Так как в наших предположениях Yk (Tn) — ЕT^, k — 1, 2, 3, то утверждения а) и Ь) следуют из соответствующих утверждений леммы (2), Обозначим Рк = Е - Е£2) (£| - Е£|). В силу леммы 3 \рк\ < 2 ||£2 - Е^Ц^ р^ {к), откуда следует первое утверждение пункта с) леммы, С учетом утверждений Ь) и с) леммы (2) получаем

Y4(Tn) — ЕT4 - 3 (ET2)2 — nE£,4 + 6 £ Е£2£2 - з„2а4 =

1<i<j<n

гЕ£4 - 3na4 + 6 ^ Е (£2 - Е£2) (£2 - Е£j

1<i<j<n

n—1

— nY4(£i) + 6 X!(n - k)Pk.

k=i

Отсюда

^ n—i

|Y4(Tn) - nY4| < 6n 1 + 6]C k|pk| <

k=n k=i

OO

< 12||£02-E£2||2J>^№) <00.

?2 TT> t2W2'

k=i

Лемма доказана.

Пусть E£2 < то^мр - натуральные числа. Обозначим

i=i

fr(t)—Eexp<|it , r — 1, 2, ..•

Введем функцию

k

Ffc(z) — E Д (fi + z (exp (itQj} - fi)) j=i

r

к

= 5] ^ Лк-тЕ 5т(ХЬ...,Хк ),

т=1

где /1 = /1(^ х = ехр {йд} - /l, ^ = l,..., ^, а

50 (х1, ..., хк) 1, 5т(х1, ..., хк) ^ ^ .. .х^к

1<Л<...<,7т<к

- ш-й элементарный симметрический многочлен. Из формулы Тейлора для

функции (-) (см.,например, [7, с. 67]) получаем при I < к

/к(«) = Л(1) = /к + /к-1Е5’1№, ...,Хк) +

+/к-2Е5’2№, ...,Хк) + ... + /‘"'ЕЖ*!, ...,Хк) + Д, (6)

где

Д1 = Д№,...,ад = 2;/^^г, 1,1 >1. (7)

И=р

Пусть д, = ЕХЬ..Х,, I > 1, в2 = Е|*1|2 = 1 - |/1|2.

В дальнейшем будем обозначать через ^ = 6^(£, п,...), г = 1, 2,,... - ограниченные величины, (т.е. вир |0Д£, п, ...)| < то); если д(£,п,...) < сЛ(£,п,...), где

£,П,...

с > 0 те зависит от £,п,..., то будем писать д ^ Л, а д х Л, будет обозначать, что д ^ Л и Л ^ д.

Лемма 6. £Ъш последовательность {£„} удовлетворяет условию р-переме-

шивания с коэффициентом, перемешивания р(п), то

a)Ш1(Х1,...,Хк) = 0;

b) Е£2(ХЬ ...,Хк) = (к - 1)д2 + 0(/32к2рЦр)У,

c) Е5'з(Х1, ...,Хк) = (к - 2)д3 + 0(/32к3рЦр)У,

с1) Е54(Хь ...,Хк) = (к - 3)д4 + {к-^к~4)д2 + 0(/32к4Й(р))-

к

Доказательство, а) Е51(Х1,..., Хк) = Е Е Х, = 0.

.?=1

Ь) В сумме Е52(Х1,..., Хк) имеется к — 1 слагаемое вида, ЕХ,X,+1 = д2 и (к — 1)(к — 2)/2 слагаемых вида, ЕХ,Х,, I > ^ + 1, каждое из которых по лемме 3 не превосходит 2<£2(р)||Х?-||2||Хг||2 == 2(32р^ (р), что дает нам нужную оценку для Е52(Х1,...,Хк). Соотношение с) доказывается аналогично с учетом того, что |Х^ | < 2 при всех ] .

с1) В сумме Е54(Х1,..., Хк) имеется к — 3 слагаемых вида, ЕХ,Х,+1Х,-+2Х,+3 = д4 и (к — 3)(к — 4)/2 слагаема вида ЕХ,Х^+1Х,Х'+1,

I > j + 2, каждое из которых по лемме 3 равно д\ + 0 (^32р^ (р)^, Все прочие слагаемые имеют вид ЕХ^Х^ ХкХ,, где либо ] > г+1, либо I > к+1; по лемме 3 такие слагаемые равны О (^(32р^ (р)^, а количество этих слагаемых равно С*к — (к — 3) —

— (к — 3)(к — 4)/2 = О (к4). Сказанное доказывает утверждение с1).

Лемма 7. Пусть п = кр. Если Е|15 < сю, и Е З’Р2 (?) < 00> то существует

3 = 1

е > 0 такое, что при |£| < ел/к

лад = ехр {-|^ + ^ (^5 + -^р-) } ^ (8)

Ь)

+4 1+15

к*1 < -2 + тг, 9*1= Ц19ь 1 = 2,3,4. (9)

п2 к 2

Доказательство, а) В силу леммы 5

!”/,<()=£ +Г4<«)=+л^+’■-.<*). (ю)

Где

t5 f d5

Г4^> = 5! \di* ln^J >cG(M)-

Производную 1п/1^)^ можно представить в виде дроби со знаменателем /(с), а слагаемые в числителе являются произведениями производных /®(с), I = 0,1,...,5, суммарный порядок которых равен 5 (считаем /|°'>(с) = /1 (с)). Так как при Щ < ел/к

то при достаточно малых е | /1 (с) | > '. Далее с учетом леммы 4 получаем

l/!!,(c)i<5!SL«(^) =k-t.

(\ 5

^7=J и из (10) следует теперь (8),

Ь) Нетрудно подсчитать, что = /Г2/2 — 1, g2 = (/Г3/з — 1) — 2g2 — g2*,

g4 = (/Г4/4 — 1) — 2g3* — 2g22 + 3g2 + 2g22 + g*2 з, где

g22 = ex, X3, g2 2 2 = ex, X4, g22 = /г3еexp {it(Q! + Q + Q4)} — 1.

Представив все входящие в эти выражения характеристические функции в виде (8) и воспользовавшись справедливым при любом комплексном z неравенством | expjz} — 1| < |z|exp{|z|}, последовательно оценим д2, дз, д^, при \t\ < e^Jk/l получим

k*1 < Лемма доказана.

t4 t 5

+ / = 2,3,4.

п2 к2 ’ ’

Пусть 2д < р. Обозначим

р-2д

и.? = °п £(^-1)р+9+', = °п (£(^-1)р+' + Ор-9+О,

О = ^п1 4(,-1

,=1 ,=1

и = и(+) = Еехр{г+и1}, V = ^(+) = Еехр{г+У1}.

Тогда = Ц,- + >3-, X, = У,- + 2, ] = 1, 2,..., где

У, = (ехр{г+и } — и^, 2 = ехр{г+и }(ехр{г+У,'} — V) + ^ — /1,

так что

к

л (.-)^П(/1 + - « + 2)). <п)

,=1

Лемма 8. к

\РкШ < {1 - (З2 + р252 + 8р2(р('р)}2 +16рр(д)Вк, (12)

где 82 = 1 — |V|2, р = |-| > 1, а к-1 ,-1

к_1_1

Вк = ^ II Ц(/1 + ^Х/)11оо {1 — Р2 + Р2^2 + 8р2ср(р)} 2 +

'=2 .7=1

к-1

к_2

+ 11 Ц(/1 + г^')11°о {1 — Р2 + р2^2 + 8р2(/?(р)} 2 . д=1

Доказательство,

Так как ЕУ, = 0, |У?-1 < 2, то с помощью леммы 3 при 1 < I < к получаем

,-1 к

|еП(/1 + -х,)-у П

<

1 + )-У Ц (/1 + )1 <

,=1 1='+1

'-1 к

< |ЕП(/1 + П (/1 + -2,)| +

,=1 ,='+1

'- 1 к

+4рр(?) и Ц(/1+zXj)Ц~ II П (/1+^)Ц

, )Ц1 <

,=1 ,='+1

'-1 к

< 4рр(?)^^]^[(/1 + -Х,)| ' Ц П (/1 + >

,=1 ,='+1

'-1 к

+4рр(?) ц П(/1+zXj)Цте ц П (/1+^)Ц1 <

,=1 ,='+1

'-1 к

< 8рр(?) 6', ь' = ЦД(/1 + -Х,)Цте ц Д (/1 + )Ц1. (13)

,=1 ,='+1

Положим

к к- 1

Ь1 = II П(/1 + )Ц1, Ьк = II ]^[(/1 + -Х,)Цте.

,=2 ,=1

Применяя последовательно соотношение (13), из (11) получаем

к-1 к-1

|ВД| < |еД(/1 + -Х,)-Ук| + |еД(/1 + -Х,)(/1 + -2к)| < ,=1 ,=1

к1

< |Е Д (/1 + -Х,)(/1 + -2к)| + 8рр(д)6к < ... <

,=1

кк

< |ЕП (/1 + )| +8рр(9)5^ 6'. (14)

,=1 '=1

Имеем

еП|/1 + -'2,| < (ЕП'|/1 + -'г,|2.ЕП"|/1 + ^|М , (15)

,=1 V , >1 ,>2 /

где П^П" обозначают произведения по нечетным и четным индексам соответственно, Так как Е21 = 0, то

Е|^1|2 < Е|2 — uv + /1|2 = Е| ехр{г^} — VI2 = 1 — |v|2 = £2.

р > 1,

а = |/1|2 — 2Ке/ (иу — /1) имеет место ||/1 + -2,|2 — а| < 4р2, получаем

ЕД1/1 + -2,I2 < (е|/1 + -21|2 + 8р2р(р)) БД'|/1 + -г12 < ...

,>1 ,>3

< {1 - (З2 + р252 + 8р2ф)} ^. (16)

Аналогично

Е1Г1/1 + ^|2 - I1 “ /З2 + р2^2 + 8р2^(р)}Ы . (17)

,>2

Из (15), (16) и (17) следует

Г

еП1/1 + ^1 ^ {1 — /З2 + р252 + 8р2р(р)}^ . (18)

,=1

Из (14) и (18) вытекает утверждение леммы.

4. Основные результаты

Теорема 1. Пусть {£п} - стационарная последовательность с симметричным распределением и экспоненциально быстрым, р-перемешиванием и пусть ЕЫ5 < том выполнено условие (1). Тогда,

Для доказательства потребуется еще несколько лемм.

Лемма 9. При выполнении условий теорем,ы, 1 существует е > 0 такое, что

т = Еехр {^} = ехр {4 + + в, (^-) } . (19)

где Щ < ел/к, к = к(п) = [па] , а = 1 — -щ & 0, 235.

Доказательство,

Если |£| < п-2, то, положив в (8) р = п, к =1, получим

... Г £2 ^474 „ £4

Л(*) = вхр|-- + ^ + ^

откуда следует (19),

Пусть теперь п~2 < Щ < е\[к. Положим

д = [п0,5-“] , р = [п1-“] , п = кр.

Аналогично (10) нетрудно получить

П2д | л £4д2 £2д

Ы\уП)\2 =——+ йзЧ----— ~К*) 1-1, и —>■ то,

п п2 п

п

62 = 1- М2 < —, 52 > — > (20)

п п п5

^2^2 1

[З2 = Е |ехр {ЙХ1} — /112 < Е |ехр {йХ\} — 1|2 < —< -. (21)

^"п 2

Положив в (6) и (7) I = 4, с помощью леммы 6 получаем

Ук (£) = /к(^М 1 + (к — 1)^2 + (к — 2)#3 + (к — 3)#4 +

(й'г) + @7$ к <р2 (р) ? + Д*, (22)

1

Ffc (z) dz

2ni J (z — 1) z5 |z|=p

< (p — 1) p sup |Ffc(z)|, |p| > 1. (23)

|z|=p

1 — в2

Положим в (12) р2 = — . При достаточно малых е и достаточно больших п

ко2

с помощью (20), (21), (23) и леммы 8 получаем

, kqt2

55

р-2 = (1 — /32)_1к£2 < 6—^- < 6£2k2qn~1 < р2 < ^- <

n

qk 16

/ 5. А;

|/?4 < 90/к ( И5 (l + ^ + nV(p) j + Ш*п®\р(д)Вк <.

« /к ( 4L ) + tVV{q)Bk,

п где

к

Вк < к( 1 + гр)'0 ^1 + ^ + п5р(р)^ < к(1 + гг3)'0.

По условию р(п) < ехр{—ап}, и так как к 1пп = о(д), то из (25) следует

(24)

(25)

V(q)Bfc ^ exp |9lnn + k ln(1 + n3) — aq} ~ exp {—aq}

и соотношение (24) можно переписать так:

(26)

Из (22) с помощью (9), (21), и (26) получаем

fk(t) — flit) I 1 + 6*8 (—г + -Ц- ) }> + б^ехр {—aq} .

n

к2

(27)

Далее, из (8) следует

/1 (t) = exp +

t2 t4Y4

2 4!а4 n

И4 |t|5

^т2~ ^ 71"

П /с 2

(28)

откуда с помощью (27) выводим

... I t2 t4Y4 Л /kt4 |t|5\ I л 4 Г Т

Mt) = exp { -- + + «10 ( + -p- ) !> + U exp {-Q5} .

Нетрудно видеть, что если |£| < ел/к, то при достаточно малых 0

г т I -2 ) t2 t4Y4 / kt4 |t|5

exp {-otq} = o[n exp -- + —— + \в10 — +

2 Alain \ n/ k2

так что (29) можно переписать так:

Л(«)=ехр|-| + ^ + 011(^г + й-)|. (30)

Будем считать (30) первой итерацией для /к (£). Обозначим

к1 = к1(п) = к(р) = [р“]. Заменив в (30) п на р, к на к1, получим

Л (‘^) = ^ {~>2+Щ’+ вп + ) } ' 1(1 5 ^

откуда

т = ехр {“Ж + ЩГк + "13 ( V- + ^ ) } ■ 1‘1 ^

Отсюда, повторив доказательство леммы 7, можно получить

I *1 ^ М4 , |^|5 , _П О А

\91 ^ о 3 ’ / — 2,3,4.

и к§к2

Если теперь провести приведенные выше рассуждения настоящей леммы с использованием двух последних соотношений вместо (8) и (9), то можно получить вторую итерацию для /к(£) :

, / ч [ £474 Л (кк^4 |£|5 \ 1 г-

Ш = ехр \ 2 + Щ7, + 914 + (ад!) / ’ М “ '

и т.д. После шестой итерации получим

Л(() = ехр|-|- + + «И + ^т) }, К1<^, (31)

5

где К = кк1к2кзк4к5 ~ гг"4, А = а^](1 — а)г = 1 — (1 — а)6 = |.

1=0

Из (31) следует теперь утверждение леммы в случае, когда п = кр.

Пусть теперь п = кр + г, 0 < г < п. Введем О, = 1,..., к по формулам (5)

и положим

Г

°к+1 ^п ^ ^ £кр+1, У1 (^) Е ехр{^°к+1}, Хк+1 ехр ^ Й°к+1 ^ У1.

1=1

Необходимые изменения в доказательстве равенства (19) достаточно прозрачны: главное - для /1°/ сохраняется то ж представление, что и для /1° в (28),

а новые (по сравнению с Е£1(Х1,..., Хк)) слагаемые в Е£1(Х1,..., Хк, Хк+1) и

к

«лишний» (по сравнению с Дк(г)) сомножитель в Е [] (/1 + ) (/ + гХк+1)

.7 = 1

оцениваются в общем так же, как и старые. Доказательство остается принципиально тем же, хотя и более громоздким.

Лемма 10. При ел/к < Щ < е^/п, е > 0.

|/П(^)| < ехр{—^2}, ь>0.

Доказательство, Пусть кр < п < (к + 1)р. Используя замечание 2 и лемму 1, аналогично (18) получаем

1/П (*)| <

Е^СОв (*О1) 7=1

<

< (Есов2 (^) + 2(р(р))2 <

к

1 + Л(2^)

2р(р)

(32)

Пусть к = к (гг) = ^ , р = [|] . Тогда р = р(п) ~ ^ В силу леммы 9

/1(2*) х ехр ~ ехр{-2Х} ,

так что N > 0 можно подобрать так, чтобы 2<р(р) < /1(2^) < |, и из (32)

следует теперь

к

I с* / м {3 \ 2 Г (1п 4 — 1п 3) о

1Ш1<(г) ~ехр|- 2ЛГ ^

Лемма 11. При Щ > е^/п

|/пМ ^ 0<^< 1.

е > 0

найдется г < 1 такое, что |Еехр{й£1}| = |Есоэ | < т, |£| > | (см,, например, [2, с, 22]), Выберем натуральное р так, чтобы 2р(р) < (1 — т)/8. Тогда в силу лемм 3 и 1

1/п (*)|

Е ДсОЧ ^п1^} 7=1

И

<ЕП 1со^ I <

7=1

I I П

< (Е |сое (^“1£1)| + 2(р(р)у*' <

1 + т

2р(р)

<

1

N > еап|^|.

Из последнего соотношения следует утверждение леммы.

к

п

2

Доказательство теоремы 1,

Воспользуемся следующим вариантом классического неравенства Эссеена:

т

№) -С(х)\ < -п

24т

(33)

т

где Д - функция распределения, / - соответствующая ей характеристическая функция, О - функция ограниченной вариации, 9 - ее преобразование Фурье, Д(ж) — О(ж) ^ 0, х ^ ±то, 9(0) = 1, /'(0) = 9'(0) = 0, |О/(х) | < т (см,, например, [9, с, 603]),

Положим в (33)

Д (ж) = Дп(х), О(ж) = Ф(ж) +

74(3ж — ж3) 4! л/27гсг^ гг

ехр

ж2

Тогда

£2

(см,, например, [2, с, 180] Обозначим Гп(£)

4\afri

. С помощью соотношения (19) получаем при

1

\Ь\ < еу/к, к = [па] , а = 1 —гр

V 5

1/С0 -#С01 = ехр<| --

ех^ Гп(*) + $4

6

71$

— 1 — Гп(^)

^4 _|_ Ш5

Так как Гп(£) —> 0, -----------------------ё-----------------------> 0 при Щ < е\[к} п —> сю,

6

П Б

то, воспользовавшись

справедливым при любых комплексных и и V неравенством

|ехр{г( Ч- г;} — 1 — г;| < (\и\ + -\у\2 | ехр{тах(|г(|, Н)},

получаем

6

П Б

^4 + И5 ^2/,ч £4 + И5

<---------гг1- + Г2 (*) < 1 1

6

715

6

715

Следовательно,

(34)

Положив теперь в (33) Т = гг б и воспользовавшись для оценки |/(£) — д(01 при Щ < ел/к соотношением (34), а для оценки |/(£)| = |/^(01 при е\/к < |£| < - леммой 10 и при < Щ < ггв - леммой 11, получим

утверждение теоремы.

2

Литература

1. Rio, Е. Sur le theoreme de Berrv-Esseen pour les suites faiblement dependantes. (French) / E. Rio // J.Probab. Theory Relat. Fields. - 1996. - V.104. N.2. - P.255-282.

2. Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин / В.В. Петров. - М.: Наука, 1987.

3. Bradley, R. On the ^-mixing condition for stationary random sequences / R. Bradley // Duke Mathematical Journal. - 1980. - V.47. N.2. - P. 121 133.

4. Ибрагимов, И.А. Независимые и стационарно связанные величины / И.А. Ибрагимов, Ю.В. Линник. - М.: Наука, 1965.

5. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. - М: Наука, 1977, 351 с.

6. Peligrad, М. The convergence of moments in the central limit theorem for p-mixing sequences of random variables / M. Peligrad // Pros, of the American Math. Soc. -1987. - V.101. N.I. - P.142-148.

7. Лаврентьев, M.A. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.

8. Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв. - М.: ИЛ, 1962.

9. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. / В. Феллер. -М.: Мир, 1984.