Некоторые предложения к варианту дифференциального уравнения физического процесса вихревой эффект конфузора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Например [6], применяемые для судовых двигателей пассивные виброизоляторы недостаточно эффективны на характерных частотах 16, 32 и 63 Гц. Легко видеть, что виброизолятор типа АПС с номинальной нагрузкой 3000 Н и собственной частотой колебаний 6 Гц в совокупности с ГИТ на базе РКО И-09 при п=7 будет иметь частоту настройки -16 Гц, а обеспечить величину тпр = 42,8 кг путём выбора числа инерционных трубок не представляет принципиальных трудностей.

Библиографический список

1. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред / Б. А. Гордеев [и др.]. — М. : ФизМатЛит, 2004. - 176 с.

2. Мугин, О. О. Экспериментальные исследования виброизолятора с преобразованием движения инерционных элементов / О. О. Мугин, А. В. Синёв // Вестник научно-технического развития. - М., 2012. - № 4 (56). - С. 24-31.

3. Расчётно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И. А. Трибельский [и др.]. - Омск : ОмГТУ, 2011. - 240 с.

4. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики : в 2-х т. / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. - М. : Наука, 1983. - Т. 2. - 640 с.

5. Пономарев, С. Д. Расчет упругих элементов машин и приборов / С. Д. Пономарев, Л. Е. Андреева. - М. : Машиностроение, 1980. - 326 с.

6. Щербакова, О. В. Перспективные направления в виброизоляции / О. В. Щербаков, М. К. Романенко // Речной транспорт (XXI век). - 2010. - № 1. - С. 77-80.

БУРЬЯН Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой основ теории механики и автоматического управления.

Адрес для переписки: [email protected] СОРОКИН Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры основ теории механики и автоматического управления.

СИЛКОВ Михаил Владимирович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры основ теории механики и автоматического управления.

ГАЛУЗА Юрий Фёдорович, аспирант кафедры основ теории механики и автоматического управления.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 24.12.2014 г. © Ю. А. Бурьян, В. Н. Сорокин, М. В. Силков, Ю. Ф. Галуза

№

удк 533.601.16 В. И. КУЗНЕЦОВ

О. А. ШАРИКОВ

Омский государственный технический университет

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ К ВАРИАНТУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА «ВИХРЕВОЙ ЭФФЕКТ КОНФУЗОРА»

Приводятся описание нового метода переработки механических смесей, использующего физический процесс «вихревой эффект конфузора» и вариант дифференциального уравнения движения частиц механической смеси в процессе вихревого эффекта конфузора.

Ключевые слова: вихревые потоки, сепаратор-конфузор, завихритель, тангенциальное сопло.

Описание нового технологического метода переработки механических смесей, использующего физический процесс «вихревой эффект конфузора», вариант дифференциального уравнения движения частиц механической смеси и некоторые свойства этого процесса являются содержанием данной статьи.

Для получения вихревого эффекта сепарато-ра-конфузора собирается технологическая схема, (рис. 1). Её работу можно описать следующим образом. Воздух от нагнетателя подаётся в завихри-тель, где формируется вихревой поток с осевыми и периферийными слоями [1]. В осевых слоях

создаётся необходимое разряжение, куда засасывается обрабатываемая механическая смесь. Вихревой поток поступает в вихревую трубу, из неё — в сепа-ратор-конфузор, в котором происходит обособление из механической смеси частиц нужного компонента. Обособленные частицы по отводному каналу подаются в накопитель готовой продукции, а оставшаяся часть смеси через осевое отверстие в меньшем основании сепаратора-конфузора поступает на дальнейшую обработку.

Физический процесс «вихревой эффект кон-фузора» проявляется в том, что при движении

Рис. 1. Принципиальная технологическая схема использования вихревого эффекта сепаратора-конфузора

Вихревой поток движется по винтовой линии от большего основания в сторону меньшего основания конфузора. Внутренняя боковая поверхность кон-фузора является поверхностью связи для частиц периферийного слоя потока, превращающая частицы смеси в несвободные материальные точки. Дифференциальное уравнение движения несвободной материальной точки в векторной форме, с учётом основных сил, изображённых на (рис. 2), имеет следующее содержание:

тас * Ш =-С - АР - N + Т т + К - Ц

(1)

Рассмотрим члены этого уравнения. В левой части уравнения:

масса частицы компонентов механиче-

час

ской смеси, кг.

Ш — абсолютное ускорение частицы механической смеси, м/сек2;

В правой части уравнения:

1. Счас — вес частицы, кг; определяемый по

формуле: Счас = шЧ1

д;

Рис. 2. Принципиальная схема взаимодействия сил в процессе вихревого эффекта конфузора

закрученного потока механической смеси веществ в рабочей зоне конического сепаратора-конфузора формируется встречный вихрь из частиц периферийного слоя поступившего закрученного потока [2]. В процессе движения потока по приближению к наклонной стенке конфузора частицы периферийного слоя, у которых скорость параллельна образующей конфузора, затормаживаются. Под влиянием возникающего перепада давления частицы меняют направление своего движения на направление, противоположное основному вихрю и через боковое отверстие в обечайке, возле большего основания конфузора, поступают в канал отвода обособленных частиц.

Вихревой эффект конфузора является физическим процессом, лежащим в основе нового комплексного метода переработки механических смесей и проектируемого для этого метода модульного вихревого технологического комплекса — МВТК.

Технологические процессы переработки механических смесей, например, сепарация, обусловливают рассматривать механические смеси как совокупность частиц, входящих в них компонентов. Каждую частицу вихревого потока механической смеси, в свою очередь, можно представлять как материальную точку с массой и иными физическими свойствами. Предметом исследования статьи является процесс на небольшом, но имеющем принципиальное значение для раскрытия сути вихревого эффекта конфузора, участке движения вихревого потока в конфузоре. Это участок движения потока по внутренней конической поверхности конфузора, от точки смачивания (касания) частицами потока стенки конфузора, до точки полного торможения в осевом продвижении этих частиц.

тчас — масса частицы, кг;

д —_земное ускорение, кг*м/сек2;

2. АР — сила перепада давления, действующая на частицу, Па.

Сила перепада давления (перепад давления) выражается формулой:

АР = Р - Р1,

где: Р — полное д вление в периферийном слое потока, Па;

Р1 — полное давление в замкнутом пространстве «Ф» конфузора, Па;

АР — полное давление (перепад давления) во встречном потоке, Па.

Для раскрытия процесса возникновения перепада давления рассмотрим рис. 3. Известно, что давление в поперечном сечении вихревого потока изменяется — в периферийных слоях давление больше, в осевых слоях меньше. У точки касания потоком стенки — «Ч», в сечении взаимодействия

Рис. 3. Схема формирования перепада давления в процессе вихревого эффекта конфузора

1 — вихревая труба;

2 — свободная зона «Ф» конфузора, где давление Р1;

3 — периферийные слои потока, где давление «Р»;

4 — встречный поток из обособленных частиц периферийных слоёв;

5 — диффузор вихревой трубы;

6 — боковая стенка конфузора;

7 — задняя стенка конфузора в большем основании;

8 — вихревой поток смеси, сформированный в завихрителе;

9 — питатель, куда подаётся обрабатываемая смесь;

10 — завихритель;

11 — трубопровод от нагнетателя.

периферийного слоя потока со стенкой конфузора «Ч-Ч», где начинается торможение периферийных слоёв потока о стенку, происходит уплотнение частиц потока в периферийном слое, и давление в нём повышается дополнительно. Одновременно с этим в замкнутом пространстве конфузора, образованном задней стенкой конфузора в большем его основании, боковой стенкой, выступающей частью вихревой трубы и движущимся вихревым потоком, под действием эжекции от движущегося потока, формируется область пониженного давления, зона «Ф», в которой давление «Р1» значительно меньше давления «Р» в заторможённом, периферийном слое основного потока.

Повышение давления в заторможенном периферийном слое с одновременным понижением давления в замкнутом пространстве конфузора, зоне «Ф», приводит к «перепаду давления», « АР », в данной зоне, под влиянием которого частицы из периферийного слоя перемещаются в зону пониженного давления «Ф», формируя встречное основному потоку движение. Проекция силы перепада давления: ось «х»: Ар = АРос = -AP cos ф;

ось «z»: APz = АРц = -АР sin ф ; ось «у»: Р =0.

3. N — нормальная составляющая реакции стенки конфузора на давление частицы, на участке взаимодействия пограничных слоёв потока и стенки конфузора, кг/м2. В проекциях на координатные оси эта сила будет иметь:

Ось «x» Nx =+N ■ sinф ; ось «y» Ny=0; ось «z»

N = ■ cos ф.

4. Г — сила трения частицы о стенку конфузора, кг.

В векторной форме закон Кулона —Амонтона имеет вид:

— v

Tmp =yN-. v

Сила трения в проекциях на координатные оси:

Tтр = y • N = Y • N • ^ = xv

Ц = (тшса ) =

-ггвращ2 окр

■ тчас И 2 Г ,

(2)

тгвращ

'окр — окружная скорость частицы во вращательном движении, м/сек;

а — центробежное ускорение частицы, м/сек2;

Г — радиус сечения взаимодействия, координата «г» или «у» точки «Ч».

Центробежная сила раскладывается на составляющие:

цнорм — нормальная составляющая центробежной силы.

Ц

норм _ час

• m

cos ф

Шчас ' Ю ' X Sin ф 2 .

- = тчас<° Х1дф .

cos ф

цпар — касательная составляющая центробежной силы, параллельная боковой стенке конфузора, т.е. образующей.

Цп

■■ тчас® ■ r ■ sin Ф =

? • ? • ?

= тча® x sin ф • sin ф = maс® x sin Ф.

Проекции нормальной составляющей центробежной силы « Цнорм ».

«х»: ЦНорм =-тчас(о2x sin2 ф cos ф;

«у»: цНорм = 0 ; «z»: ЦНорм = тчаст2x sin фcos2 ф .

Проекции касательной «Цпар » составляющей

центробежной силы:

«х»: ЦПар = тчасо2x sin2 ф cos ф ;

«у»: Ц^" = 0 ; «z»: Ц™" = тчасо2х sin2 ф cos ф .

Таким образом, дифференциальные уравнения

пар

= у • N--= у • N • cosф

Tтр = Y • N = у • N • ^ =

= Y • N--= -Y • N • sin ф .

5. К — сила Кориолиса в конфузоре на участке взаимодействия периферийных слоёв потока со стенкой конфузора;

К = m 2Ш x VоТ,

час е рез ?

где < — угловая скорость переносного движения потока;

учти — результирующая скорость относительного, поступательного движения потока, м\сек;

тчас — масса частицы обрабатываемого материала, кг.

В скалярной форме это выразится так:

движения частицы:

ось «х»: Шсх = -APX - Nx - TT - ЦГ" + Ц ось «у»: my = Ку = K = 2meV™H sin ф ось «z»: mz = -Gz - APZ - N + Tzm" -

_ jjHopm цпар _

= -Gz-APZ - Nz + T?p + Ц .

Уравнение поверхности прямого кругового конуса, которая для частиц является поверхностью связи, в каноническом виде записывается так:

9 9 9

У- + ^ - ^ = о,

9 9 9 *

a a c

(3)

где а — полуоси сечения взаимодействия потока со стенкой конфузора;

с — расстояние от начала координат до сечения взаимодействия.

Продифференцируем уравнение конической поверхности дважды и добавим к дифференциальным уравнениям движения частицы:

щасх = -AP cosф + N sin ф + N cosф

(4)

№

= + тчас 2«\v;th sin

К = шчас • 2юе • v;t • sin ф .

Проекции силы Кориолиса на координатные оси: ось «х»: K =0; ось «z»: K =0; ось «у»: — K =K,

х z J У

т.к. сила параллельна оси «у».

6. Центробежная сила «Ц» определяется по формуле:

тчасZ = -тчас9 - AP Sin Ф -- N cosф + Ny sin ф + тчасю2x sin ф

c2zz + c2yy - а2xx = 0

a2z2 + a2zz + a2y2 + a2yy - c2x2 - c2xx = 0

r

В целях определения силы реакции стенки кон-фузора «М>, рассмотрим граничный случай динамического равновесия частицы, т.е., когда нет перемещения частицы вперед или назад вдоль оси движения, оси «х», и нет перемещения в переносном вращательном движении, т.е. по оси «г». Выбираем третье уравнение системы (4), содержащее координаты «г» и «х».

тшсg(sm ф + у cos ф) + АР * 1

тчасХ - , . ,

(у sin ф - cos ф)

=>х= тчасg(sin ф + у cos ф) + АР ^

^ x -

(у sin ф - cos ф)тчас ^™cff(sln ф + у cos ф) + АР (у sin ф - cos ф)тчас

= 0

m,acZ = "^racff _ AP Sin ф - N COS ф + Nj Sin ф + + m4<1cffl2* sin ф cos2 ф + m4aсю2х sin2 фcos ф = (15)

= -m4acg - AP sin ф - N cos ф + Nj sin ф + 0

Слагаемые второй части уравнения (5), каждое, равны нулю: «(mac™2xcos2 фsinф = 0);(maск>2хsin2 фcosф = 0)», так как множитель в их составе «х = 0». Левая часть, этого же уравнения равна нулю, «m4acz = 0», так как « z = 0» при «z = const», т.к. скорость переносного вращательного движения в этом сечении постоянная.

Тогда из оставшейся части уравнения (5) определяем силу давления на стенки конфузора — «N»:

0 = -тчасд - АР sin ф - N cos ф + + Ny sin ф + 0 ^ Ny sin ф - N cos ф = = тчас9 + АР sin ф ^ N(y sin ф - cos ф) = тчас9 + АР sin ф

= тчас9 + АР sin ф ^ N =

(y sin ф- cos ф)

N =

Шчас g + AP Sln Ф (у sin Ф - cos ф)

Обозначим, для удобства записей, свободный член уравнения символом «Q». тчасg(sin ф + у cos ф) + АР

Q x = Q

(у sin ф - cos ф)шч(

тогда уравнение будет (8)

В целях решения данного дифференциального уравнения методом понижения порядка с последующим разделением переменных, учитывая, что «x=F(t)», уравнение перепишем в удобном виде, проинтегрируем:

О = 1 = А (V о ^ А V ам ^ м Iм) I м)

j d d i-í ™

i-oi+c=•

^ dx - (Ot + С)dt ^

t2

í dx - j(Ot + С)dt ^ x - O— + ct + С

Определяем постоянные интегрирования при (6) начальных условиях, «t = 0».

Найденное значение подставляем в первое исходное уравнение системы (4) и производим упрощающие преобразования. В итоге получаем дифференциальное уравнение движения частицы вдоль оси «х»:

mac 'x = -AP cos ф + N sin ф + Ny cos ф =

= - AP cos ф +

т,ас9 + AP sin ф

(y sin ф - cosф) тчас9 + AP sin ф

sin ф +

(y sin ф - cosф)

y cos ф ^

^ m„„rx =

тчас9 + AP sin ф х (y sin ф - cosф)

х(sin ф + y cos ф) - AP cos ф

тчагg + AP sin ф t . n . „

m4ac.x = -- (sin ф + у cos ф)-АР cos ф. (7)

(y sin ф - cos ф)

i = — = Qt + C ^ dt 1

m,acg(sinФ + Y cosФ) + AP*¿ , c % = c (y sin ф- cosф)тчас 1 0 1

x = dx = (Qt + C)dt ^

t2

^ = QJ + C1t + C2 ^ X0 = C2 .

Если <^ = 0», то X = С1 = X0 , где «X0 = У„х» — проекция на ось «х» начальной скорости частицы, в момент касания стенки конфузора, а проекция на ось «х» ускорения этой же частицы в этой же точке будет «Х0 = С2 = Шх ». Это логически объяснимо, т.к. мы взяли участок из непрерывного процесса и частица входит в начало исследуемого участка движения потока, уже с имеющимися скоростью и ускорением. Делаем проверку.

Упростим это выражение и перепишем для определения ускорения.

m g + AP sin ф , . .

m4acx = —^^-(sin ф + y cos ф) - AP cos ф =

(y sin ф - cos ф)

(m40cg + AP sin ф)^т ф + y cos ф) (y sin ф - cosф) AP cos ф(у sin ф - cos ф) (y sin ф - cos ф) m4acg sin ф + m40cgy cos ф + AP sin ф sin ф + AP sin фycos ф (y sin ф - cos ф) AP cos фу sin ф - AP cos ф cos ф (y sin ф - cos ф) _ m,acg(sin ф + y cos ф) + AP(sin2 ф + cos ф2) _ (y sin ф - cos ф) m40cg(sin ф + y cosф) + AP * 1 (y sin ф- cosф)

t2

x = Q — + C.t + C ^ 2 1 2

^ É^ = Q^dt + C.t0 + 0 ^ x = Qdt + C. dt 2 1 1

i = A. f ^ V d (Qdt + C dt {dt J dt 1

= m4acg{sin ф + у cosф) + AP | Q (y sin Ф - cosф)тчас

Правая часть уравнения тождественна с исходным уравнением (7). Решение верно. Производим подстановку найденных значений «N» в исходное уравнение движения, третье в системе (4) упростим:

тчасz = -шчасg - AP sin ф - N cosф + + Ny sin ф + m4t¡сю2x sin ф

+

. _ . т„агg + AP sin ш

тчасZ = ~тчас9 - AP Sin ф - -Т COS ф +

(Y Sin Ф - cos ф)

т„„гg + AP sin Ф 2 . +--^^-- y sin ф + m4t¡сю x sin ф

(Y sin ф - cos ф)

^ тчасю x sin фY +

= тчасю x sin фМ 1 +

тчас ю2 x sin фY) (Y sin ф - cos ф) 1

(Y sin ф - cos ф

После упрощающих преобразований получаем систему дифференциальных уравнений движения и поверхности частицы в конфузоре:

m _g(sm ф+у cos ф) + АР m x = —ч'ц -\---

час , . ,

(у Sin ф - cos ф) тчас У = +тчас 2®ЛТ sin ф;

1

(9)

тчасz = тШс«> x sin фу| 1 +

(у sin ф - cos ф

c2zz + c2yy - a2xx = 0

a2z2 + a2zZ + а2у2 + а2уу - с2х2 - с2хх = 0.

Рассмотрим второе уравнение системы (4). Сократим в нём значение массы частицы «тчас » и запишем в иной форме производную:

тчасУ = + тчас^е^Т Ф ^ ¿2у

dt

^ y = 2т Vотн sin ф ^ ^Ц- = 2т Vотн sin ф ^

J е рез т л.2 е рез т

d2v

y = 2®ХТН sin Ф ^ dy = sin Ф ^

^ d \ ÍL | = 2ю VошН sin ф ^

dt L dt ) е PC* V

Разделим переменные и проинтегрируем дваж-

ды:

di dy) = toy™ sin ydt = J d( dy) = J toy™ sin <pdt

4dy ] = sin Ф * t + C ^

dy 1 = 2rnev;z" sin ф * t + C3 ^

^J dy = J(2toeVT sin ф^ ^ ^ y = 2®eVZ" sin ф * t + C3t + C4.

При = t = 0, ^ y = 0; ^

^ 2®eV°TH sin ф * t = 0 ^ C3t = 0 ^ C = 0 .

Постоянная «С3» определяется из начального условия, «t0 = 0», при котором результирующая скорость в относительном поступательном движении — « уотн » равна нулю. В сечении «Ч-Ч» частица участвует в переносном вращательном движении, в котором проекциями скоростей на ось «у» будет одна — радиальная скорость во вращательном движении частицы « У^ад"4 = y ». Делаем проверку.

у =®eVpZ" sin ф * t2 + C3t + C4 ^ ^ у = (®eVprr sin ф * t2 + v;Pp^t + 0) dt ^

у = i^v™ sin ф * t + v;pp)dt ^

^ у = №ev;T sin ф * t + v;PpP)'dt ^ ^ у = a^V™ sin ф + 0.

(VBP¡¡m)'dt = 0 , т.к. при установившемся режиме работы, радиальная скорость вращательного движения величина постоянная во времени. Выражение « y» идентичное исходному выражению, значит, решение верное.

Выводы. Выполнен анализ движения частицы на небольшом, но принципиально важном участке движения вихревого потока в конфузоре; предложен вариант теоретического обоснования нового физического процесса — «вихревой эффект кон-фузора»; разработано дифференциальное уравнение движения частицы в этом процессе.

Библиографический список

1. Кузнецов, В. И. Теория и расчёт эффекта Ранка / В. И. Кузнецов. - Омск : ОМГТУ, 1994. - 217с.

2. Пат. 2475310 РФ, C2. Способ разделения механических смесей на основе использования свойств вихревого потока и применения вихревого сепаратора - конфузора / В. И. Кузнецов, О. А. Шариков, М. О. Шариков ; патентообладатели Виктор Иванович Кузнецов, Олег Алексеевич Шариков, Марат Олегович Шариков. - № 2010131618/05 ; заявл. 27.07.2010 ; опубл. 20.02.2013, Бюл. № 5.

КУЗНЕЦОВ Виктор Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры авиа- и ракетостроения Омского государственного технического университета (ОмГТУ). ШАРИКОВ Олег Алексеевич, заместитель директора ООО «НПО «Вихрь» при ОмГТУ. Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 26.12.2014 г. © В. И. Кузнецов, О. А. Шариков

>