CC BY
52
Известия Коми научного центра УрО РАН Выпуск 4. Сыктывкар, 2010.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 515.164.6
НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О ТРЕХМЕРНЫХ УЗЛАХ В ЗАМКНУТЫХ 2-СВЯЗНЫХ 6-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ. ЧАСТЬ 1 (ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКИ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ)
А.В. ЖУБР
Отдел математики, Коми научный центр УрО РАН, г.Сыктывкар avzhubr@gmail.com
Изучаются множества классов диффеоморфных 3-мерных узлов (оснащенных и неоснащенных) в многообразиях вида S3 х S3# ... #S3 х S3; в частности, исследуется действие на этих множествах групп Хефлигера 3-мерных узлов в сфере S6. Результаты этой работы уточняют и дополняют более ранние результаты автора.
Ключевые слова: многомерные узлы, классификация, изотопия, диффеоморфизм
A. ZHUBR. SOME NEW RESULTS ON THREE-DIMENSIONAL KNOTS IN CLOSED TWO-CONNECTED 6-MANIFOLDS. PART 1 (PRELIMINARY INFORMATION AND STATEMENTS OF MAIN THEOREMS)
The sets of diffeomorphism classes of 3-knots (framed and non-framed) in manifolds of the form S3 х S3#... #S3 х S3 are being studied; in particular, the action of Haefliger groups of 3-knots in S6 on these sets is investigated. The results of this paper extend and supplement some earlier results of the author.
Key words: high-dimensional knots, classification, isotopy, diffeomorphism
Введение
В одной старой работе автора [1] дается классификация 3-мерных узлов в замкнутых 2-связ-ных шестимерных многообразиях — многообразиях, представляемых в виде Я3 х Я3#...#Я3 х Я3 — с точностью до диффеоморфизма (отношения, вообще говоря более грубого, чем изотопия). Эта классификация, в частности, содержит известные результаты Хефлигера о 3-мерных узлах в сфере Я6, для которых диффеоморфизм и изотопия означают одно и то же (причем методы доказательства работы [1] полностью отличны от хефлигеровских). Настоящая работа представляет собой некоторое продолжение и развитие этой старой работы. Некоторые из утверждений, обсуждаемых в данной работе, присутствуют и в [1], но упоминаются там "вскользь"; другие результаты этой работы являются новыми (например, о действии группы узлов Хефлигера на множествах узлов в многообразиях указанного выше вида).
Настоящая первая часть работы содержит подробную постановку задачи, необходимые определения, частичную историю вопроса и доказательства некоторых вспомогательных результатов. Работа заканчивается формулировками основных теорем и некоторых их следствий. Во второй части работы будут даны доказательства основных теорем.
1. Несферические узлы (вложения сфер в многообразия)
Все многообразия (и их отображения) в настоящей работе предполагаются гладкими, если не указано другое. В некоторых конструкциях будут появляться также многообразия и подмногообразия с простейшими особенностями типа разного рода "угловых" точек (как, например, произведение Dk х Dl). В этих случаях мы будем, как правило, молчаливо предполагать последующее очевидное сглаживание, каноническое с точностью до изотопии. Через I обозначается отрезок [0,1].
Для двух многообразий X,Y через Emb(X, Y) обозначается, как обычно, множество всех вложений X ^ Y. Элементы множества Emb(Sk,X), где X связно и dimX > к + 2, называются к-мерными узлами в X. Узлы fi,f2 е Emb(Sk,X) называются диф-феоморфными, если существует такой диффеоморфизм ф : X ^ X (от которого мы требуем сохранения ориентации в случае, когда X ориентируемо), что ф о f1 = f2. Диффеоморфизм узлов — отношение, вообще говоря, более грубое, чем изотопия; эти два отношения очевидным образом совпадают лишь для узлов, покрываемых вложенным шаром Dn с X, в частности, это так для сферических узлов Sk ^ Sn.
Мы обозначаем множество изотопических
классов к-мерных узлов в X через Т,к(X), а множество классов диффеоморфных узлов — через Пк(Х). Пусть БМ + (Х) — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов многообразия X, а БШ0(Х) — ее связная компонента единицы, иначе говоря подгруппа диффеоморфизмов, изотопных тождественному отображению. Тогда мы можем написать
£к (X) = ЕшЪ(5к ,Х )/Бiff 0(Х)
В силу построения в многообразии X имеется стандартный оснащенный узел Вк+1 х Яп~к~1. Чтобы удовлетворить формальному определению оснащенного узла, мы должны поставить сомножители (сферу и шар) в правильном порядке; рассмотрим для этого составное отображение
-n — k-
1 х Dk+1
Dk+1 хSn-k
1 Т X,
nk (X) = Emb(Sk ,X )/Diff + (X).
Если положить Diff + (X)/Diff0(X) = M(X), то мы имеем
Щ (X )=Ek (X )/M(X). (1)
Заметим, что группа M(X), или иначе п0Diff + (X), представляет собой аналог "группы классов отображений" (mapping class group) в теории поверхностей. Мы имеем естественный гомоморфизм
M(X) — Aut H*(X), (2)
ядро которого T(X) — аналог "группы Торелли".
2. Оснащенные узлы
Оснащенным fc-мерным узлом в связном n-мерном многообразии X называется пара, состоящая из узла f : Sk — X и накрывающего его нормального реперного поля v : Sk — Vn-k(tX); эквивалентным, с точностью до изотопии, образом можно определить оснащенный узел как вложение f : Sk х Dn-k — X .В том случае, когда многообразие X ориентировано, мы предполагаем, что оснащение v согласовано с ориентацией, т.е., пользуясь другим языком, что вложение f сохраняет ориентацию (где Sk х Dn-k снабжено стандартной ориентацией произведения). Множество изотопических классов (соответственно, классов относительно диффеоморфизма) оснащенных узлов мы обозначаем через (X) (соответственно, nkr (X)). Как и в неоснащенном случае, на множестве £kr(X) действует группа M(X) и имеет место соотношение, аналогичное соотношению (1).
3. Оснащенные узлы и хирургия
Нам будет удобно ввести следующую систему обозначений. Если f : Sk — X — некоторый узел (оснащенный или неоснащенный), то мы будем считать, что узел f "знает", в каком многообразии он расположен, и будем использовать для этого многообразия (т.е. в данном случае для многообразия X) обозначение Mf, или иногда M(f) (буква M — от "manifold").
Пусть f : Sk х Dn-k — X — оснащенный узел. Обозначим через X результат хирургии (сферической перестройки) многообразия X по оснащенной сфере f (Sk):
X = (X \ f (Sk х int Dn-k)) У Dk+1 х Sn-k-1
f
(при этом ориентация произведения Dk+1 х Sn-k-1 должна отличаться множителем (-l)k от стандартной ввиду d(Sk х Dn-k) = (-1)kd(Dk+1 х Sn-k-1)).
где Т(х,у) = (у,х) — обычная перестановка сомножителей. Действие этого составного отображения на ориентации задается выражением (_1)(п-к-1)(к+1)+к (слагаемое к в показателе — следствие нестандартной ориентации произведения Бк+1 х Яп-к-1); после упрощения получаем (_1)п(к+1)+1. Чтобы выполнить условие согласованности с ориентацией в определении оснащенного узла, выберем какой-либо линейный изоморфизм
R : Dn-k-1
D
n- k - 1
степени (-1)
n(k+1)+1
. Требуе-
мый оснащенный узел в X запишется теперь в виде Т о (¡а х Я). Мы будем обозначать этот "дуальный" узел через /, так что X можно обозначить как М^
Заметим, что соответствие / ^ / является взаимным: применив ту же самую конструкцию к узлу /, мы возвращаемся к /.
4. Связная сумма узлов
Пусть имеются узлы f0
Sk D
k
X0
и f1 : Sk х Dn k — X1. Рассмотрим отображения
go : Dk х Dn- k — Xo, 91 влетворяющие условиям:
Dk х Dn-k - X1, удо-
1. Сужение отображения д^ на шар Бк представляет собой вложение в сферу /¿(Як), сохраняющее ориентацию при г = 0 и обращающее ее
при i = 1.
k
2. Сужение д^ на каждый слой х х совпадает с сужением / на слой /-1дг(х) х Бп-к (то есть, другими словами, отображение д^ переводит стандартное оснащение шара Бк с Бк х
Dn k в заданное оснащение сферы fi(Sk) с Xi).
Приклеим теперь цилиндрIхDkхDn k кдизъ юнктному объединению X0 u X1 по отображениям
gi : i х D х D — Xi
i = 0,1,
после чего удалим из полученного связного пространства множество I х тг(Бк х Бп-к) (внутренность цилиндра вместе с внутренностями "оснований"). В полученном многообразии, отождествляемом со связной суммой Х0#Х1, имеется вложенная к-мерная сфера
S =( fo(Sk) \ go (int Dk)(U
U (I х Sk-1 х 0) U (f1(Sk) \ 91 (int Dk)),
(3)
снабженная естественным оснащением (рис. 1, часть оснащения обозначена штриховкой).
и
Рис. 1. Связная сумма узлов.
Выбрав параметризацию Sk и S (определенную, при заданных ориентациях, изотопически однозначно), мы получаем оснащенный узел в многообразии X0#Xi, который обозначаем через fo#fi и называем связной суммой узлов f0 и f1. Описанная конструкция, очевидно, инвариантна относительно диффеоморфизмов, так что мы получаем спаривание
f(Xo) х nkr(Xi) nfkr(Xo#Xi).
Эта же самая конструкция работает, с очевидными упрощениями, и в случае неоснащенных узлов и дает аналогичное спаривание
Щ(Xo) х nk(Xi) -и Щ(Xo#Xi).
Следует отметить, что многообразие Xo#Xi здесь определено лишь с точностью до диффеоморфизма (поскольку у нас нет какого-либо естественного выбора "приклеивающих" отображений go и gi), так что здесь нет смысла говорить об изотопических классах узлов. Чтобы можно было говорить о связной сумме как изотопическом классе, мы должны зафиксировать заранее, до выбора конкретных узлов, как многообразия Xo и Xi, так и отображения gi : Dk х Dn-k и Xi, сохраняющие ориентацию при i = 0 и меняющие ее при i = 1. Кроме того, в этом случае мы должны потребовать выполнения следующих дополнительных "условий стабильности":
^(Xo)= ^i(Xi) = {1}, dimXo,dimXi > 3. (4)
Нижеследующая лемма является техническим обоснованием "изотопического" варианта связной суммы узлов (мы формулируем ее в варианте для оснащенных узлов, предоставляя читателю сделать нужные изменения для "неоснащенного" варианта).
Лемма 1. Пусть f : S
~)k ,, глп — k
х Вп-к ^ X — оснащенный узел и д : ВК х вп~к ^ X — произвольное вложение. Пусть, кроме того, раз навсегда зафиксировано некоторое сохраняющее ориентацию вложение Ф : Бк ^ Як (например, отождествляющее шар Бк с "нижней полусферой" Я- = Як п {х1 < 0}^. Тогда:
(а) существует изотопия узла / к узлу /', удовлетворяющему коммутативной диаграмме
Sk D
^xId
n-k
f'
X
(5)
(по существу, диаграмма (5) — это условия 1 и 2 в начале этого подраздела). Мы будем называть узлы, удовлетворяющие этому условию, "закрепленными"";
(б) если узел /" также изотопен узлу / и закреплен, и если выполнены условия п1(Х) = 0 и п - к > 3, то существует изотопия между / ' и / '' в классе закрепленных узлов.
Лемма 1 — это, по существу, обобщение леммы 1.3 работы [2] (точнее следствия этой леммы и теоремы об Д-кобордизме, см. [2, с. 404-405]). Доказательство, которое мы приведем, не использует теоремы об Д-кобордизме и содержится в нескольких следующих далее рисунках и пояснениях к ним. Сразу же заметим, что часть (а) очевидна и доказательства не требует
Доказательство леммы, часть (б). Рассмотрим закрепленный узел /' (рис. 2).
Рис. 2. Закрепленный узел (исходный вид).
Мы можем посредством подходящей изотопии превратить центральную часть закрепленного узла (представляющую собой, очевидно, к-мерный шар) в сколь угодно тонкую "трубку" (произведение IхЯк-1), соединяющую центр "квадрата" д(Бк х вп-к) с копией нашего узла, не пересекающейся с "квадратом". Таким образом, мы получим конфигурацию, изображенную на рис. 3.
Dk х Dn-k
Рис. 3. Закрепленный узел (промежуточный вид).
Наконец, сделав трубку "бесконечно тонкой" (или, если угодно, заменяя трубку ее осевой линией), мы получаем окончательное представление нашего закрепленного узла (рис. 4).
Рис. 4. Закрепленный узел (окончательный вид).
Можно считать, что на этом рисунке / — это первоначальный (незакрепленный) узел, а линия (АВ) описывает способ приведения (т.е. изотопию) этого первоначального узла к закрепленному виду. Любой другой способ закрепления того же самого узла / приведет к картинке этого же вида, но с другой линией (АВ). Если выполнены условия части (б) леммы (Х односвязно, коразмерность узла не менее трех), то тогда дополнение X \ /(Як) также односвязно и, следовательно, любые две конфигурации такого вида как на рис.4 могут быть продеформированы друг в друга, что и дает требуемую "закрепленную" изотопию.
Итак, при выполнении условий (4) мы имеем спаривания
4/г)(Хо) X 4/г)(Х!) 3 Ек/г)(Хс#Х1).
5. Соединение узлов
Еще одна операция над оснащенными узлами в произвольных многообразиях, которую мы называем соединением, устроена совсем просто. Пусть опять имеются оснащенные узлы /0 : 5 к х Бп-к з Х0 и /1 : 5 к х Бп-к з Х1. Рассмотрим многообразия с краем
Х' = Xi \ /'(Як х 1П Бп-к),
г = 0,1.
Отождествим край каждого из Х' с произведением 5к х 5п-к-1 посредством соответствующего отображения Выберем некоторый линейный изомор-
физм Я : Я
1-к-1
Я
1-к- 1
степени -1 (например,
Я(Х1,Х2,. . . ,Хп-к) = (-Х1,Х2, . . . ,Хп-к)) и положим
Х = Х0
и Х1.
ыхд
Заметим, что оба вложения Х' з Х согласованы с ориентациями. Выбрав какой-либо вектор оснащения и сдвинув любой из узлов / (вместе с оснащением) в соответствующее многообразие Х' с Х, мы получим оснащенный узел / : Як х Бп-к з Х, изотопический класс которого не зависит ни от того, какой из двух узлов мы выбрали, ни от выбора вектора сдвига. С другой стороны, у нас нет никакого способа "зафиксировать" полученное описанным выше образом многообразие Х: при замене первоначальных узлов /0,/1 на изотопные им мы получаем другое Х, лишь диффеоморфное первоначальному. Таким образом, описанная конструкция позволяет, по
заданным оснащенным узлам (или классам диффео-морфных узлов) /0,/1, получить новый класс диф-феоморфных узлов, который мы и будем называть их соединением и обозначать через /0 V /1.
Лемма 2. Для любых оснащенных узлов /0,/1 имеет место равенство
/0#/1 = /0 V /1
(6)
(которое следует понимать как равенство соответствующих классов, т. е. как диффеоморфизм узлов).
Доказательство. Для сокращения формул мы обозначим М(/) через Х', Х0#Х1 через Х и /0#/1 через /. Прежде всего нам нужно получить многообразие Х, для чего следует приклеить к многообразию Х ручку индекса к + 1, используя узел / в качестве приклеивающего отображения. В данном случае в качестве ручки (которая топологически есть просто (те+1)-мерный шар) мы возьмем цилиндр I х Бк х Бп-к — в точности такой же, как и изображенный на рис. 1. Край этого цилиндра содержит оснащенный узел
((0 х Бк) и (I х 5к-1) и (1 х Бк)) х Б
пк
составленный из таких же трех частей, как и узел / (см. формулу (3)), и мы возьмем естественное отождествление в качестве приклеивающего отображения. Тогда мы можем написать
Х
х Бк х Бп-к) \ (I х Бк х Ш Бп-к)
к
I
и взять в качестве / сферу
0 х 0 х Яп-к-1 с I х Бк х Яп-к-1
с ее стандартным (постоянным) оснащением.
Теперь, не меняя конечного результата, изменим последовательность действий: вместо того, чтобы сначала приклеивать к несвязному объединению Х0 и Х1 первый цилиндр (так, как это было описано выше в подразделе о связной сумме), а затем приклеивать к результату второй цилиндр, мы сначала склеим эти два цилиндра друг с другом, отождествив их "боковые поверхности" I х Як-1 х Бп-к и получив
п- к
а затем
в результате цилиндр вида I х Як х Б приклеим этот последний к многообразию Х0 и Х1 по отображениям /0 и /ь соответственно на "нижнем основании" 0 х Як х Бп-к и "верхнем основании" 1 х Як х Бп-к. Здесь / обозначает "перевернутое /1" — отображение
/1 о (Я х ¡а) : Як х Бп-к з Х1,
где Я : Як з Як — какое-нибудь линейное отображение степени -1 (напомним, что, согласно определению связной суммы, отображения, заданные на основаниях цилиндра, должны вести себя противоположным образом по отношению к ориентациям). Наконец, заменим еще раз последовательность действий — вместо того, чтобы сначала приклеивать к много-
образию Х0 и Х1 цилиндр I х Як х Б
пк
лять I х Як х Ш Б жим
п- к
и затем уда-
мы поступим наоборот: поло-
Х' = Х' \ /'(Як х Ш Бп-к), г = 0,1
и напишем
XX = (х0 и х1) у (I х Sk х sn-k-1).
fo,fi
В качестве узла f возьмем теперь сферу
0 х a х sn-k-1 С I х Sk х sn-k-1
(где a £ Sk — произвольная точка) с ее стандартным (постоянным) оснащением. Остается лишь заметить, что каждое X' можно записать в "дуальном" виде
X \ fi(Sn-k-1 х int Dk+1),
а приклеивание цилиндра к краям многообразий X0 и х1 можно заменить отождествлением этих краев друг с другом по отображению
Id х R : Sn-k-1 х Sk ^ Sn-k-1 х Sk.
Но это как раз операция соединения, описанная выше.
6. Сферические узлы и группы Хефлигера
Узлы f : Sk ^ Sn мы называем сферическими. Как уже отмечалось в начале этой работы, для сферических узлов понятия диффеоморфизма и изотопии совпадают. Обозначения Ek(Sn) и Ekr(Sn) будем
3. Вектор ^ совпадает с v1 при i
dt
0 и с —v1 при
сокращать до Ek,n и Е^ рация связной суммы
Введенная нами выше опе-
Е
(fr) х E(fr)
->■ Е
(fr)
будет в этой ситуации называться просто суммой и обозначаться вместо fo#f1 через f0 + f1. Нетрудно показать, что эта операция совпадает с введенной Хефлигером [2, п. 1.4]. Мы дадим, в предположении n > к + 3, еще одно определение этой операции, во многих случаях более для нас удобное, чем "жесткая" конструкция Хефлигера в [2] или наше предыдущее определение. Пусть имеются узлы f0,f1 : Sk ^ Sn. Рассматривая эти узлы с точностью до изотопии, мы можем считать, что они содержатся в непересекающихся шарах Drn,Dn с Sn; изотопический класс вложения f0 и f1 : Sk и Sk ^ Sn определен тогда однозначно. Соединим сферы f0(Sk),f1(Sk) "трубкой": выберем вложение g : I х Dk ^ Sn так, чтобы выполнялись условия:
1. fi(Sk) n д(1 х Dk) = g(i х Dk), i = 0,1.
2. Отображение fi о g : i х Dk ^ Sk сохраняет ориентацию при i = 0 и обращает ее при i = 1.
Множество
(fo(Sk) и f1(Sk) и g(I х Dk)) \ g(I х int Dk)
отождествляется с k-мерной сферой, и мы таким образом получаем узел f0 + f1 £ Ek n (условие n > к + 3 гарантирует независимость результата от расположения "трубки"). Сказанное иллюстрируется рис. 5.
Чтобы распространить приведенное определение на оснащенные узлы, требуется задать некоторый "достаточно канонический" способ продолжения заданных оснащений сфер f0(Sk) и f1(Sk) на трубку g(I х Dk). Для этого мы, во-первых, наложим на отображение g : I х Dk ^ Sn еще одно условие:
г = 1, где ь — параметр на отрезке I и у1 — первый вектор заданного оснащения (соответственно, сферы /о(Як) или /1(Як)).
Рис. 5. Сумма сферических узлов.
Далее, продолжим векторное поле у1 со сфер /0(Як) и /1(Як) на край трубки согласно рис.6 (вне окрестности концов трубки поле у1 — касательное к радиусам шаров д(ь х Вп-к).
Рис. 6. Продолжение поля у\.
Теперь продолжим на нашу трубку остальные векторные поля у2,... ,уп-к, составляющие оснащения сфер 30(Як) и /1 (Як); возможность такого продолжения следует из того, что на концах трубки реперы у2,...,уп-к ориентированы одинаково (положительно) по отношению к стандартной ориентации трубки (это, в свою очередь, немедленно следует из наложенных выше условий 2 и 3). Наконец, мы можем считать (взяв трубку "достаточно тонкой"), что поля у2,...,уп-к, будучи продолженными на трубку, зависят лишь от переменной ь £ I .В этом случае замена оснащения трубки — это отображение I — 8Оп-к-1. При этом граничных условий нет, так как любая замена репера {у2,...,уп-к} в фиксированной точке сферы 3г(Як) очевидным образом продолжается на всю сферу. Таким образом, пространство всех оснащений отождествляется со связным пространством отображений I — ЯОп-к-1, откуда и следует изотопическая инвариантность нашего определения.
Тот факт, что мы таким образом получаем структуру коммутативной полугруппы на множествах Ек п и е£гп, при нашем определении достаточно очевиден; доказательство того, что при п > к + 3 это в действительности группа, содержится в работе [2] (основа этого доказательства — принцип "конкор-дантность влечет изотопию", вытекающий из теоремы об Д-кобордизме).
k
7. Действие групп Хефлигера на множествах
4М(Х) и пк1г)(Х)
Это действие, как и операцию сложения сферических узлов, можно считать просто частным случаем связной суммы (с этого момента мы всегда предполагаем, что выполнены условия п1(Х) = {1} и п > к + 3). С другой стороны, можно дать определение действия, почти не отличающееся от данного выше определения суммы сферических узлов, опять-таки для нас более удобное.
Пусть даны произвольный узел / £ £(к1г)(Х)
и сферический узел д £ £. Выберем вложенный
шар Бп с Х, не пересекающийся с узлом /(Як) (ясно, что такой шар существует, и что множество таких шаров связно). Узел д мы можем, очевидно, представлять себе как находящийся в шаре Бп и, тем самым, как вложенный в Х. Как и выше, соединим узлы / и д трубкой и, в случае оснащенных узлов, продолжим оснащения на трубку. Сказанное иллюстрирует рис. 7.
Рис. 7. Действие группы Хефлигера.
Результат этой операции будем, как и в том случае, когда оба узла сферические, обозначать через / + д. Мы получаем, таким образом, действие
£кГ)(Х) х з £к1г)(Х).
Легко видеть, что это действие инвариантно относительно группы БШ + (Х), так что после соответствующей факторизации получаем и действие
П1г)(Х) х £к^ з П1г)(Х). 8. Группы Хефлигера £3,6 и £
1г 3,6
Как было показано Хефлигером в [2] (см. также [3]), имеют место изоморфизмы
£3,6 « 2
£
1г
3,6
-.2 ф 2.
(7)
(8)
Образующие этих групп были указаны Хефлигером в явном виде. Одна из образующих группы £3Г6 — это стандартно вложенная сфера (тривиальный узел) с оснащением, полученным из стандартного (вектор у1 направлен по радиусу, остальные два постоянны) посредством его "подкручивания" на стандартную образующую группы п3(Я03) = 2. Мы будем эту образующую группы £3Г6 обозначать через а. Другая образующая получается следующим образом ( [3, с. 463]).
Рассмотрим в евклидовом пространстве К6 = С3 с координатами х,у,г £ С три 3-мерных эллипсоида Я1,Я2,Я3, заданных уравнениями:
Я1 : х = 0,
Я2 : У = 0,
52 :
0,
^ + М2 ^ ^ + 1 ^ Й2 + 1 * 2
1
(можно назвать эту тройку сфер "3-мерным зацеплением Борромео"; обычное зацепление Борромео получается при х,у,г £ К). Снабдим каждую из сфер тривиальным оснащением, а затем соединим 51 с 52 и 52 с 53 "трубками" и продолжим оснащения на эти трубки — в точности так, как это было описано выше при построении суммы узлов (заметим, что то, что получается здесь — это не сумма узлов). Полученный оснащенный узел и есть вторая образующая в группы £3Г6; образующая в0 группы £3,6 — это образ в при естественной проекции £3Г6 з £3,6 (забывание
оснащения).
9. Замкнутые 2-связные 6-мерные многообразия
Имеется старый результат Смейла [4] о том, что (с точностью до диффеоморфизма) всякое замкнутое односвязное 6-мерное многообразие Х имеет стандартный вид связной суммы
Х = 53 х 53 # 53 х 53 # ... # 53 х 53,
что мы будем записывать короче как Х = т(53 х 53), где т = 1 гапкН3(Х) (Х = 53 х 53 при т =1 и Х = 56 при т = 0). В этом случае имеем
Л^ НФ(Х) = Л^ Н3(Х) = ОЬ(2т, 2),
а образ гомоморфизма (2) — это, как нетрудно показать, группа БР(2т, 2) (автоморфизмов, сохраняющих стандартную форму пересечений на Н3(Х)), так что мы имеем точную последовательность
1 з Т(Х) Л М(Х) Л вР(2т,2) з 1 (отметим опять аналогию со случаем поверхностей).
10. Гомологические инварианты 3-мерных узлов
в 2-связных 6-мерных многообразиях
Пусть опять Х = т(53 х 53) — замкнутое од-носвязное 6-мерное многообразие. Для каждого узла / : 53 з Х определен его класс гомологий Н(/) = /*[£3] £ Н3(Х). Этот класс инвариантен относительно действия группы БМ0(Х) (но, конечно, не относительно группы БШ+(Х), если только Н(/) — не нуль). Таким образом, мы имеем отображение
Н :£з(Х) з Нз(Х) и 22г, (9)
порождающее разбиение
£з(Х)= У £з(Х; х), (10)
хеи3 (X)
где через £3(Х; х) обозначено множество всех узлов / £ £3(Х) с Н(/) = х (нетрудно убедиться, что все £3(Х; х) непусты).
Для узлов / : 53
Х, рассматриваемых с
точностью до диффеоморфизма (иначе, элементов
1
1
2
и
множества П3(Х)), мы рассмотрим другой инвариант — число ¿(3), являющееся наибольшим натуральным делителем класса Д(/). Мы будем в таком же смысле использовать выражение ¿(х) для произвольного х е Н3(Х). Наконец, примем, что ¿(0) = 0. Будем говорить, что узел / : Я3 — X (или соответствующий ему элемент множества П3(Х)) имеет индекс ¿(3). Множество всех / е П3(Х)), имеющих индекс ¿, будем обозначать через П3(Х; ¿). В результате получаем разбиение, аналогичное разбиению (10):
Пз(Х)=иПз(Х; ¿)- (11)
d>0
Переходя к оснащенным узлам, мы определяем инварианты Д(/) и ¿(3) и множества еЗг (Х; х) и Пдг (Х; ¿) точно так же. Очевидно, что в "оснащенном" случае имеют место соответствующие варианты разбиений (10) и (11).
Следующие две леммы не требуют доказательства, будучи очевидными или следуя непосредственно из определений.
Лемма 3. Если d(/1) = ¿1 и ¿(/2) = ¿2, то тогда ¿(/1#/2) = №,¿2).
Здесь (¿1 ,й2) обозначает опять наибольший общий делитель чисел ¿1 и ¿2, при этом, чтобы формулировка осталась верной для всех случаев, мы примем, что (0,0) = 0.
Лемма 4. Множества еЗ^г)(Х; х) с х е Н3(Х) и Пд^г)(Х; ¿) с й = 0,1,2,... инвариантны относительно действия соответствующей группы еЗ^.
Таким образом, все указанные множества составлены из орбит. Впоследствии будет показано, что в действительности каждое из них представляет собой единственную орбиту (теорема 2).
11. О содержании работы [1]
В работе [1] содержится классификация, с точностью до диффеоморфизма, 3-мерных узлов в многообразиях вида Х = г(Я3 х Я3) (в частности, эта работа покрывает и случай г = 0, т. е. узлы Хефлигера). Подход, использованный в [1], основан на связи классификации узлов с классификацией 6-мерных многообразий определенного вида, решенной автором незадолго до этого [5]. Сама эта связь устроена очень просто: каждому оснащенному узлу / е пЗг (Х) отвечает, как было показано выше, "дуальный" узел / : Я2 х Б4 — М ^ В том случае, если Х = г(Я3 х Я3), мы имеем, как легко проверить:
Н2(М;) и Z, Нз(М ,-)
Z2r при а = 0,
2г —2
Н2(М и Zd, Нз(М^) и Zd ф ^^^ при ¿> 0,
где = ¿(3). При этом группа Н2(М^) имеет стандартную образующую Д(/) или ДНормальное расслоение сферы /(Я2) тривиально, так что (т2(М ^),Д= 0, т.е. многообразие М^ — спинорное. Обратно, всякой паре (М, Д), составленной из спинорного многообразия М с указанными выше гомологиями и образующей Д е Н2(М), отвечает посредством "обратной" перестройки (вдоль вложенной 2-мерной сферы, реализующей класс Д) 2-связное многообразие Х
и оснащенный узел / : Я3 х Б3 — Х индекса ^ (определенный, конечно, с точностью до диффеоморфизма).
Как показано в работе [5], пара (М, Д) указанного выше вида определяется с точностью до диффеоморфизма, кроме 3-мерного числа Бетти Ъ3(М), еще двумя инвариантами /л(М,Д) е Zd.(3Jd) и 7(М,Д) е Zd, где через (х,у) мы обозначаем наибольший общий делитель чисел х, у (инвариант 7 обозначался в работе [5] через р). Пусть ш е Н2(М; Zd) — класс когомологий, определенный условием (ш,Д) = 1 (примем, что Z0 = Z). Имеют место следующие соотношения, связывающие инварианты с известными объектами:
л = (Рз(ш), [М]), 47 = (р1 (М) • ш, [М]).
(12) (13)
Здесь Рз : Н к(М; Zd) — Н6к(М; Zd.(з,d)) — нестабильная когомологическая операция "куб Понтряги-на", при (3,^) = 1 или = 0 совпадающая с обычным возведением в куб (см. [6]), а р1(М) — класс Понтря-гина. Инварианты /л, 7 могут принимать любые значения, удовлетворяющие единственному соотношению
/ = 7 шос! 6,
(14)
откуда следует, путем элементарного подсчета, что число классов диффеоморфных оснащенных узлов индекса равно ё1 /(2,0) при > 0 (бесконечно при = 0, что согласуется с результатом Хефлигера). Чтобы получить отсюда число классов неоснащенных узлов, необходимо знать, как действует на инварианты /,7 замена оснащения. Можно показать (см. ниже Следствие 3), что при "подкручивании" оснащения на образующую группы п3(ЯО3) и Z инварианты изменяются согласно формуле
/ — / + 1, 7 — 7 + 1.
(15)
Используя этот факт, нетрудно подсчитать, что число классов неоснащенных узлов индекса ¿> 0 равно ¿/(6, ¿) (и бесконечно при = 0, опять в соответствии сХефлигером). Это и есть главные результаты работы [1].
В дальнейшем мы будем выражения /(МрД и у(М рДзаписывать просто как/(/) и 7(/).
Следует сказать, что данная в работе [1] классификация узлов является довольно "неконструктивной" — там нет никакого описания конкретных узлов, имеющих заданный индекс и заданные инварианты /,7. В настоящей работе мы придаем этой классификации более явный характер, исследовав действие групп Хефлигера Е3,6 и еЗг6 на множествах П3(Х) и пЗг(Х) (частично также и на множествах Е3(Х) и
еЗ г (Х)).
12. Формулы Уолла
Мы называем формулами Уолла выписанные в работе [7] (см. теорему 4 на с. 360) выражения для значений инвариантов /(/) и 7(/) для произвольного оснащенного узла / = ка + ¡в е еЗг6 (напомним, что здесь эти инварианты — целочисленные):
Г/(/) = к + 61,
| 7(/) = к
(в действительности Уолл выписывает соотношения не для инвариантов /(/) и 7(/), которых в его работе нет, а для правых частей соотношений (12) и (13), первая из которых в рассматриваемом целочисленном случае может быть записана как (ш3, [У])). Эти формулы можно представить как следующие три утверждения об отображениях : Е3Г6 ^ 2.
Утверждение 1. Отображения /л, 7 являются гомоморфизмами.
Утверждение 2. /(а) = у (а) = 1. Утверждение 3. /(в) = 6, у(в) = 0.
13. Стандартный узел индекса й
Стандартным узлом индекса й в многообразии Я3 х Я3 мы будем называть узел е е3/г)(Я3 х Я3) (оснащенный или неоснащенный в зависимости от контекста), получающийся следующим образом. Возьмем набор из й попарно различных точек а!,а2,... ,аа е Я3 и образуем соответствующий набор "горизонтальных" сфер Я3 х а!; Я3 х а2,... ,Я3 х аа с Я3 х Я3. Теперь соединим эти сферы й - 1 трубками попарно — 1-ю со 2-й, 2-ю с 3-й и т. д.,— точно так же, как выше при образовании связной суммы узлов. То, что мы при этом получим, весьма условно изображено на рис. 8.
Я3 х а!
Я3 х а2 I_
Я3 х а3 I _
Я3 х аа -Ц-
Рис. 8. Узел sd■
Так же мы будем называть и обозначать и образ узла ва в любом многообразии г(Я3 х Я3) с г > 1, получающийся при естественном отображении
4/г)(Я3 х Я3) ^ 4/г)(г(Я3 х Я3)),
а также его образы в множествах п3^г)(г(Я3 х Я3)).
14. Основные результаты работы
Теорема 1. Инварианты / и 7 принимают нулевые значения для любого стандартного узла ва.
Теорема 2. Действие группы Е^Гз на множествах
е[г (Я3 х Я3; х) и п3г (Я3 х Я3; й) транзитивно.
Следствие 1. Действие группы £3,6 на множествах
£3(S3 х S3; x) и n3(S3 х S3; d) транзитивно.
Теорема 3. Инварианты ß и y удовлетворяют следующему свойству аддитивности: для любых оснащенных узлов f1 и f2 выполнены равенства
ß(f1#h) = Pd(3,d)ß(f1) + Pd(3,d)ß(f2), (16)
Y(fi#/2)= PdY(fi )+ PdY (/2), (17)
где d — наибольший общий делитель чисел d(f1) и d(f2) и рт — приведение по модулю m (считаем, что
Ро = Id;.
Следствие 2. Действие элементов группы на стандартный узел sd е П3 (X ; d) описывается формулами
ß(sd + ka + lß) = Pd-(3,d) (k + 6l), (18) Y(sd + ka + lß) = pd(k) (19)
Замечание 1. Это утверждение можно рассматривать как обобщение формул Уолла.
Следствие 3. Замена оснащения узла индекса d (подкручивание оснащения на k-кратную образующую группы п3 SO (3) « Z; следующим образом действует на инварианты узла:
ß ^ ß + Pd (3,d)(k); y ^ y + pd(k)-
Следствие 4. Множество (X; d) обладает естественной структурой группы, и эта группа изоморфна группе Zd.{34) Ф Zd/(6,d).
Литература
1. Жубр A.B. Классификация трехмерных узлов в 2-связных шестимерных многообразиях // Записки науч. сем. ЛОМИ, 1976. С. 148-163.
2. Haefliger A. Differentiable embeddings of Sn in Sn+q for q> 2 // Ann. Math. (2), 1966. P. 402436.
3. Haefliger A. Knotted (4k — 1)-spheres in 6k-space // Ann. Math., 1962. P. 452-466.
4. Smale S. On the structure of 5-manifolds // Ann. Math., 1962. Vol.75. P. 38-46.
5. Жубр A.B. Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1975. С. 839-859.
6. Thomas E. A generalization of the Pontrjagin square cohomology operation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956. Vol.42. P. 266-269.
7. Wall C.T.C. On certain 6-manifolds // Inv. Math., 1966. Vol.1. P. 355-374.
