Некоторые модели управления запасами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

ОЛЬГА ВЯЧЕСЛАВОВНА ПОДЧИЩАЕВА,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Компьютерные информационные системы финансовых расчетов» Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского —

Национальный исследовательский университет E-mail: meml967@mail.ru; НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА НИКУЛИНА, кандидат экономических наук, доцент кафедры «Финансы и кредит» Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского — Национальный исследовательский университет

E-mail: nnniculina@yandex.ru

Citation-индекс в электронной библиотеке НИИОН

Аннотация. Предлагается несколько моделей управления запасами, позволяющих предприятию минимизировать расходы в указанной сфере. Приводятся: основная модель управления запасами, модель производственных запасов, модель запасов, включающая штрафы. Рассмотрены примеры экономических задач, решающихся с использованием вышеупомянутых моделей.

Ключевые слова: запасы, расходы, поставки, издержки, штрафы, партия товара.

Annotation. Some models of inventory management are offered, which allow the company to minimize costs. Main model of inventory management, model of productive reserves and inventory model including fines are formulated. Examples of economic problems are presented and solved using the above models.

Keywords: stocks, consumption, supply, costs, fines, consignment.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предприятия и фирмы имеют различные запасы. сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.

Запасы создаются по различным причинам. Одна из них состоит в том, что если в некоторый момент производства потребуется какой-то вид деталей, ко-

торыш поставляется другим предприятием и он отсутствует на складе, то процесс производства может остановиться. Поэтому на складе всегда должно быть нужное количество деталей данного вида. Однако, если запасы увеличить, то возрастет стоимость их хранения. Задача управления запасами состоит в выборе для предприятия целесообразного решения.

Рассмотрим математические модели управления запасами. На рис. 1 представлены возможные графики изменения запаса Q, имеющегося на складе во времени t, для которого рассматривается этот запас.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Таблица 1

Величина Обозначение Единица измерения Предложения

Интенсивность спроса ё Ед. товара/год Спрос постоянен, весь спрос удовлетворяется

Организационные издержки Ь Руб./год Издержки постоянны

Стоимость товара Руб./год Цена товара постоянна, рассматривается один вид

Издержки содержания запасов И Руб. за ед. товара/год Стоимость хранения единицы товара в течение года постоянна

Размер партии д Ед. товара в партии Размер партии постоянен, товар поступает мгновенно, как только запас равен нулю

Под Q будем понимать изделия и материалы (товары) только одного вида. Если на изделие поступает заявка, то оно отпускается и значение Q падает. Предположим, что величина спроса непрерывна во времени. Если Q = 0, то имеет место дефицит.

Любая математическая модель, которая применяется для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать факторы, связанные с издержками.

Различают организационные издержки — расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров и издержки содержания запасов — затраты, связанные с хранением. Они возникают из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать и т.д.) Существуют издержки, связанные с дефицитом: если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно (например, ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей). Количество товара, поставляемое на склад, называется размером партии.

2. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Введем обозначения необходимых для составления модели величин (табл. 1).

График изменения запасов представлен на рис. 2. Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос ^при размере поставки -д_-, необходимо обеспечить поставок или партий за год.

Уравнение издержек будет иметь вид:

с= С1+ С2 + Са = Ь- + sg+ -¡0 , (1)

где С1 — общие организационные издержки, С2— стоимость товара и С— общие издержки содержания запасов.

За исключением д, все величины в правой части

уравнения постоянны и известны, т.е. С - ^д). Для

нахождения минимума Снайдем производную дС и

дд

приравняем ее к нулю:

дС = Ь_ ^ = 0 дд = - д2 + 2 " 0

(2)

д/2

к Средний уровень запасов

\

Продолжительность цикла t

д

- -Я. -

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

откуда: qопт = Л2^ — оптимальный размер партии. (3)

В практике работы менеджеров встречаются ситуации, когда заказытают размер партии товаров, не соответствующий оптимальному размеру. Это приводит к увеличению издержек на содержание и организацию поставок. Предположим, что вместо оптимального размера была заказана партия товара, равная 0,5qопт. Из основного уравнения издержек найдем:

С - С2 = С - sg

= Ьд<±-д+ к! 4 = <2Ъдк. (4)

С

В случае заказа получим:

• - С2=Ъ^Цд+ктЦ, =!2Ъдк + Щр =

= ! 2 Ъд к = 5 С1 - С2

5-

4 4 (5)

Таким образом, заказ партии товаров размером

0,5qопт (вместо qопт) приводит к увеличению общих издержек на содержание запасов и организацию поставок на 25%. Аналогичная картина наблюдается в случае заказа поставок больше чем qопт.

Изобразим графически изменение отдельных составляющих величины С (рис. 3).

Из рис. 3 следует, что увеличение q ведет к резкому снижению С1 при этом Са увеличивается пропорционально При малых значениях q величина С падает до значения Стп в точке qопт^ При увеличении q величина издержек С приближается к С2 +Са.

3. МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАПАСОВ

В основной модели мы предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим ситуацию, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии непрерывно. Модель задачи в этом случае назытают моделью производственных поставок. Обозначим через р скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за год. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами.

- -я.¿¿¿Ь'-

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Определим оптимальный размер партии, минимизирующий общие затраты. График изменения производственных запасов представлен на рис. 4.

Общие издержки в течение года, как и для основной модели, составляют:

С — С1+ С2 + Са Ьд

д

С1- ь_

С2 —

где: R — (р - д)Т — максимальный уровень запасов, д = рТ — количество товара в одной поставке.

Средний уровень запасов равен:

р - _)а

2р

В итоге:

Ьд

др - _)

С— д- + + 2р

дС

(6)

(7)

Решая уравнение - 0, найдем оптимальный

размер партии производственных поставок:

д = у 2рЬд

4. МОДЕЛЬ ЗАПАСОВ, ВКЛЮЧАЮЩАЯ ШТРАФЫ

(8)

за единицу времени поставляется д единиц товара:

д= ь_.

Предположим, что в начале каждого периода Ь предприятие делает запас, равный к. Это означает, что в течение периода будет наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставки не будут осуществляться. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины д - к и будут удовлетворены, как только поступит партия товара в количестве д.

За то, что поставки происходят позже необходимого срока, на предприятие налагается штраф, зависящий от того, насколько была задержана поставка. Такая модель целесообразна, поскольку иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хранение запасов, превышающих величину к.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение к, которое ведет к минимизации всех затрат, включая затраты на хранение и штрафы. График изменения запасов в данной модели представлен на рис. 5.

Для определения оптимального значения к обозначим:

Ь — издержки хранения единицы товара за единицу времени;

р — затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.

Найдем издержки одного цикла:

Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Если предприятие должно поставить д единиц товара в течение каждого промежутка времени Ь, то

С — С1+ С2,

где С1 — общие издержки содержания запасов, С2— общие затраты на штраф.

Так как товары находятся на складе в течение периода ОА (рис. 5), средний уровень запасов за

-íí.^'fc--

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

к

этот период равен,_ 2 . Если продолжительность периода ОА равна~д~, то: д

c= h— *— = f

2 g 2g

(9)

Так как штраф выплачивается в течение периода AB — q— , общее число «товародней», на которые налагается штраф, равно площади треугольника ABC. Площадь составляет q-— * q—,

г _ p(q- к) g 2

откуда C2 — ( y 2g ' .

Окончательно:

h— p(q-— C — 2.( +

(10)

дС

Решив уравнение, j) = 0, получим оптимальное

значение:

копт —

_ pq

h + p

(11)

Взяв в качестве уровня запасов в начале каждого цикла при условии, что невышолненные заявки будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму:

Cmin —

q2hp

2g (h + p)

(12)

5. РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Пример 1. Решим задачу с применением основной модели управления запасами.

Фирма собирает телевизоры. Интенсивность равномерного спроса составляет 2 тыс. телевизоров в

год. Организационные издержки для одной партии составляют 20 тыс. долл. Цена единицы товара равна 1 тыс. долл., а издержки содержания телевизоров составляют 0,1 тыс. долл. за один телевизор в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок и продолжительность цикла.

Решение. По условию задачи д = 2000, Ь = 20, s = 1, к = 0,1.

Общие издержки в течение года:

С — С1+ С2 + Са

40 000

g

+2000 +

g 20

дС _ 40000 1 dq =- g + 20 '

qопт — V800 000 - 894 ед, 2000

Попт — '

tопт —

q^m 365

- 2,24, 163 дня.

Ответ: Оптимальный размер партии составляет 894 телевизора, число поставок — 2,24 в год, продолжительность цикла — 163 дня.

Пример 2. Рассмотрим задачу с применением модели производственных поставок.

Фирма собирает ультрабуки. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 шт. в год. Организационные издержки для одной партии составляют 20 тыс. долл. Цена единицы товара равна 1 тыс. долл., а издержки хранения 0,1 тыс. долл. в расчете на один ультрабук в год. Запасы на складе пополняются со скоростью 4000 ультрабуков в год. Производственная линия начинает действовать как только уровень запасов на складе равняется нулю и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено q единиц товара.

Q А

n

опт

0

t

T

- -J* . -

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение. Данная модель задачи является моделью производственных поставок с параметрами: д = 2000, Ь = 20, s = 1, h = 0,1, р = 4000. График изменения запасов представлен на рис. 6. Число партий в течение года:

д 2000

п — д =

Продолжительность поставки:

T= __ = q

1 p 4000

Продолжительность цикла:

т = __=__ = q

т n g 2000

Найдем оптимальные значения поставок, продолжительность поставки, продолжительность цикла.

Попт —

2000 1265

1,6 поставки,

„ 365 * 1265 „

—-4000-~ 115 днеи,

Ьопт — -3г5 ~ 230 дней 1,6

Ответ: За каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 ультрабуков, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки 115 дней, продолжительность цикла 230 дней.

Мы показали, что такие параметры, как размеры партии и частота пополнения производственных запасов при различных условиях функционирования предприятия — с допущением дефицита или без дефицита комплектующих — должны обязательно оптимизироваться с целью существенного уменьшения его издержек.

Максимальный уровень запасов:

R— (P-q)T —

_ 2000 * q _ q

4000

'2

Средний уровень запасов: R = _q_

2=4

Литература

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М., 2010.

2. ПервозванскийА.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М., 2006.

3. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М., 2012.

Уравнение издержек:

С — Ci + С2 + Са — bn+ sg + 4 дС

Решив уравнение — 0, получим:

qопт — V

1 2 * 4000 * 20 * 2000

2000 * 0,1

— 1265ультрабуков

References

1. Akulich I.L. Mathematical programming in examples and problems. M., 2010.

2. PervozvanskyA.A., Pervozvanskaya T.N. Financial market: the calculation of risk. M., 2006.

3. Chetyrkin E.M. Methods of financial and commercial settlements. M., 2012.