CC BY
3
3. Cybaneva V.A. Formirovanie fonetiko-fonologicheskoj kompetencii studentov v ramkah modul'nogo obucheniya. Izvestiya VGPU. 2008; № 9. Available at: https://cyberleninka.ru/ article/n/formirovanie-fonetiko-fonologicheskoy-kompetentsii-studentov-v-ramkah-modulnogo-obucheniya
4. Homutova A.A. Foneticheskaya kompetenciya: struktura, soderzhanie. Vestnik YuUrGU. Seriya: Lingvistika. 2013; № 2. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/ foneticheskaya-kompetentsiya-struktura-soderzhanie
5. Kokkota V.A. Lingvodidakticheskoe testirovanie. Moskva: Vysshaya shkola, 1989.
6. Ahmanova O.S. Slovar' lingvisticheskih terminov. Moskva: URSS, 2004.
7. Goncharova N.L., Lomteva T.N. Principy formirovaniya inoyazychnoj fonetiko-fonologicheskoj kompetencii kak strukturnogo komponenta professional'noj gotovnosti lingvista. Vestnik Severo-Kavkazskogo federal'nogo universiteta. 2018; № 2 (65).
8. Mal'chenko A.A. Psihologo-pedagogicheskij komponent professional'noj kompetentnosti uchitelya inostrannogo yazyka. Vestnik VGU. Seriya: Lingvistika i mezhkul'turnaya kommunikaciya. 2006; № 2. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/psihologo-pedagogicheskiy-komponent-professionalnoy-kompetentnosti-uchitelya-inostrannogo-yazyka
9. Rasskazov S.A. Vliyanie urovnya sformirovannosti fonologicheskoj kompetencii na razvitie navykov i umenij audirovaniya i govoreniya studentov neyazykovyh special'nostej pri realizacii integrativnoj metodiki obucheniya. Izvestiya VGPU. 2021; № 5 (158). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/vliyanie-urovnya-sformirovannosti-fonologicheskoy-kompetentsii-na-razvitie-navykov-i-umeniy-audirovaniya-i-govoreniya-studentov
10. Mazhuolene Z.K. Kontrol' kak sredstvo intensifikacii obucheniya izuchayuschemu chteniyu nauchnoj literatury. Avtoreferat dissertacii ... kandidata pedagogicheskih nauk. Vil'nyusskij gosudarstvennyj universitet im. V. Kapsukasa. Moskva, 1988.
11. Nosenko 'E.L., Karpov O.N., Chuhraj A.A. 'Elektronnye rechevye analizatory i vozmozhnosti ih prakticheskogo primeneniya. Psihologicheskij zhurnal. 1981; T. 2, № 6.
12. Artemov V.A. Psihologicheskie predposylki aktivizacii naucheniya inostrannomu yazyku. Inostrannye yazyki v shkole. 1971; № 1: 66-73.
13. Maruzo Zh. Slovar' lingvisticheskih terminov. Moskva: Izdatel'stvo inostrannoj literatury, 1960.
14. Kodzasov S.V., Krivnova O.F. Aktual'nye voprosy fonetiki russkogo yazyka. Fonetika i nefonetika. K 70-letiyu S.V. Kodzasova. Social'nye i gumanitarnye nauki. Otechestvennaya izarubezhnaya literatura. Seriya 6: Yazykoznanie Moskva: Yazyki slavyanskih kul'tur. 2009; № 3. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/2009-03-019-aktualnye-voprosy-fonetiki-russkogo-yazyka-fonetika-i-nefonetika-k-70-letiyu-s-v-kodzasova-m-yazyki-slavyanskih-kultur-2008-848-s
15. Gez N.I. Metodika obucheniya inostrannym yazykam v srednejshkole. Moskva, 1982.
16. Rogova G.V. Metodika obucheniya inostrannym yazykam v srednej shkole. Moskva: Prosveschenie, 1991.
Статья поступила в редакцию 27.01.24
УДК 511.33
Rustanov A.R., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior teacher, Department of Higher Education, Moscow State University of Civil Engineering
(Moscow, Russia), E-mail: aligadzhi@yandex.ru
Shikhshinatova M.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior teacher, Department of Higher Education, Moscow State University of Civil Engineering
(Moscow, Russia), E-mail: shichmum_2006@mail.ru
SOME METHODOLOGICAL ASPECTS OF FINDING AN INDEFINITE INTEGRAL. The article shows how various integration methods can be used to solve problems of finding a primitive function. The main task is to consider the methodological aspects related to the integration of various functions. The paper demonstrates different approaches to solving problems of one of the most difficult sections of mathematics - integral calculus of functions. Numerous examples are used to examine frequently occurring errors and the most difficult moments associated with the study of the topic "Indefinite integral." Various techniques for calculating integrals of the same functions are shown. They allow to compare different methods and choose the most optimal approach to solving problems. The article can be useful not only for students, but also for young teachers when preparing for classes.
Key words: primitive function, indefinite integral, integrand function, integration methods, integration by parts, variable replacement in indefinite integral
А.Р. Рустанов, канд. физ.-мат. наук, ст. преп., НИУ МГСУ (Московский государственный строительный университет, г. Москва, E-mail: aligadzhi@yandex.ru
М.М. Шихшинатова, канд. физ.-мат. наук, ст. преп., НИУ МГСУ (Московский государственный строительный университет), г. Москва,
E-mail: shichmum_2006@mail.ru
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Целью статьи является показать, как можно использовать различные методы интегрирования для решения задач на нахождение первообразной функции. Основная задача заключается в рассмотрении методических аспектов, связанных с интегрированием различных функций. В данной работе демонстрируются различные подходы к решению задач одного из наиболее сложных разделов математики - «Интегральное исчисление функций». На многочисленных примерах рассмотрены часто встречающиеся ошибки, наиболее сложные моменты, связанные с изучением темы «Неопределенный интеграл». Показаны различные приемы для вычисления интегралов одних и тех же функций, что позволяет сравнить разные методы и выбрать наиболее оптимальный подход к решению задач. Статья может быть полезной не только для студентов, но и для молодых преподавателей при подготовке к занятиям.
Ключевые слова: первообразная функция, неопределенный интеграл, подынтегральная функция, методы интегрирования, интегрирование по частям, замена переменной в неопределенном интеграле
Тема «Интегральное исчисление функций» является одной из важных в области математического анализа. Актуальность данной темы продиктована применением интегралов не только во многих разделах математики, но и в иных областях науки. Определенные и неопределенные интегралы широко используются при решении различных задач из многих областей науки: геометрии, теоретической физики, механики, химии, прикладной математики, теорий вероятности и приближений. С помощью определенного интеграла можно найти длину дуги, площадь фигуры, объем тела, количества теплоты, электричества за определенный промежуток времени, массу стержня, приращение капитала, если заданы инвестиции, функцию распределения при заданной плотности распределения и много других задач.
Изучение этой темы зачастую представляет для студентов значительные трудности. Если при решении задач дифференцирования для нахождения производной функции было достаточно знание таблицы производной, правила нахождения производной и умение их применять в определенном порядке, то для нахождения первообразной функции необходимы знания таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла, поэтому не всегда имеется возможность легко решить любую задачу.
Объектом исследования выступают некоторые основные методы нахождения неопределенного интеграла.
Предметом исследования является выбор и использование оптимальных методов нахождения неопределенного интеграла.
Теоретическая значимость исследования: в данной статье рассмотрены различные приемы нахождения первообразной функции в зависимости от подынтегральной функции.
Практическая значимость результатов исследования заключается в возможности их применения в процессе преподавания и обучения студентов дисциплинам математического цикла, в частности при изучении одного из важных разделов математического анализа «Интегральное исчисление функций».
Цель статьи - научить студента технике интегрирования и умению решать различные задачи нахождения неопределенных интегралов. Разработать рекомендации, дающие возможность студенту правильно выбрать соответствующий метод нахождения интеграла и уметь применять различные приемы интегрирования.
Задачи:
1) рассмотреть различные методы интегрирования;
2) научить студентов выбирать метод, позволяющий преобразовать интеграл к более простому виду или табличному интегралу.
Гипотеза исследования: умение находить первообразную различных функций, знание неопределенного интеграла дает возможность студенту в дальней-
шем решать более серьезные задачи приложения определенного интеграла, которые встречаются в различных областях науки.
Научная новизна состоит в разработке рекомендаций для студентов, которые позволят лучшим образом изучить и усвоить тему «Интегральное исчисление функций» и сделать корректный выбор наиболее приемлемого метода интегрирования, что является очень важным и необходимым моментом при решении различных задач теоретической физики, механики, теории вероятностей, экономики и других областей науки.
Первое знакомство с интегралами начинается еще со школьного курса математики, где встречаются несложные задачи нахождения первообразной элементарных функций, вычисления определенного интеграла, а также задачи нахождения площадей и объемов тел вращения.
Для решения различных прикладных задач, связанных с применением интеграла, первоначально необходимо научиться находить первообразную функцию.
Операция нахождения первообразной F(x) по заданной производной ^х) называется интегрированием. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию [1].
Найти неопределенный интеграл - это значит найти первообразную функцию, но не для всех подынтегральных функций можно ее угадать или легко найти. Для удобства нахождения первообразных элементарных функций составлены таблицы интегралов [2]. Следует отметить, что для многих функций задача нахождения первообразной достаточно трудная, поэтому в работе нами будут рассмотрены различные приемы и методы интегрирования.
Рассмотрим примеры, для решения которых мы используем различные приемы интегрирования.
1) 10-8х)Чх, 2) ¡е6х^х, 3)
Данные примеры сводятся к следующим интегралам {¡Чг, \ егЛ, пользуясь методом замены переменной.
То есть для нахождения первого интеграла сделаем замену 3 — 8ж = с, тогда * = Лх =—г-Л1,1 получим
¡-3 - 8x)7dx = Г t7dt = •- + с = + с.
^ ' 8 J 8 8 8 8
Аналогйчно, долая замену пе^мечиои! во втором и третьем интеграле 6х + 1 = с и 9х - 5 = с соотеетстееннo, получим
\ е6х+Чх = - е6х*1 + с, ¡— = -1п19х - 51 + с.
С 6 '' 9Х-5 9 ' 1
Сопоставляя массмотренные PмйOlлмнl, приходим к следу,ющеме еыеоду: если в вышеперечисленных поодынтегеальн^м функциях вмхото переменной с стоит линейная рэункция кх + b, то такие интегралы удобно находить смазе, пользуясь формелами
1 (кз+Ь)"
1(kx + b)ndx =
i 1 ' ' 1 cos(kx + b)dx = kSin(kx + b) +c,...
Например:
1 (11x + l
■ + c,1 elk3+"dx =1екЗ+Ь + c,1 — = 1lnlkx + bl +
к кЗ Ь к
4) | V11x + 8dx = | (11x + Sfidx =
11
- + c = —J(Ux + i
6) 1 dx = 1 ar et g3xd(ar et g x) = 1arctg4x + c.
7) 1 9) 1
: = 1 (1ПХ)
з^ПЗ
зАз 1 1 й(з2)
t =4
= 1(lnx) 2d(lnx) = 2 = r^arctg 3
(1П3)2
+ с = 24Шх + c.
10) ¡^^¡Ёр11 = -1п1х* + 21+с.
' 1 х*+2 41 х* + 2 4 1 1
Если е дифференциальных исчислениях для нахождения производной произведения или частного можно пользоваться имеющимися правилами дифференцирования, а для нахождения производных логарифмических или обратных тригонометрических функций готовыми таблицами производных, то что касается интегрирования, здесь приходится пользоваться иными методами. В таких случаях часто применяется формула интегрирования по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения двух функций [3]:
-иу)' = и'у + иу' где и-х) и у-х) - некоторые функции от . В дифференциальной форме: d-uv) = Му + vdu Проинтегрировав, получаем: ¡ й-т) = Му + vdu, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: иу = ¡ udv + ¡ vdu или
¡ udv = иу - ¡ vdu (1)
Получили формулу интегрирования по частям. Применение этого метода позволяет преобразовать подынтегральную функцию к более простой с помощью операций дифференцирования и интегрирования [3].
Формулу интегрирования по частям применяют в случае, если подынтегральное выражение представляет собой произведение многочлена на тригонометрическую функцию, многочлена на показательную функцию, под знаком интеграла стоит обратная тригонометрическая функция или логарифмическая функция. Например:
¡ Тп-х)$т-кх + b)dx, ¡ Тп-х)со 5-кх + Ь) йх, ¡ Tn-x)el"+ьdx, ¡ Tn-x)ak':*bdx, ¡ 1п-Ь + Ь)<1х, ¡ агссоъ-кх + Ь)йх, ¡ агсзш-Ь + Ь)<1х, ¡ агМд-кх + Ь)<1х, ¡ агсад-кх + Ь)<1х, где Тп-х) -многочлен степени п. Покажем применение формулы (1) на примерах
11) ¡-2х + 1УЧх,
Пусть и-х) = -2х + 1), тогда dv-x) = e'^хdx, du-x) = d-2x + 1) = 2dx,
у-х) = ¡ е4Чх = -¡ е'Ч-4х) = Vх + с. Предположим, что с = 0, тогда
(-2х + 1)e4*dx = -2х + 1)-^е4* - = 1-2х + 1)е4* - ^ + с.
12) ¡ xarctg2xdx.
Здесь через и-х) следует обозначить обратную тригонометрическую функцию и-х) = агйд2х, <1у-х) = xdx, <1и-х) = d-arctg2x) =
у-х) = ¡ xdx =^х2 + с, предполагая, что С=0, и пользуясь формулой (1),
xarctg2xdx = ^х'
5) ¡ соь (2х +~7^х = 2 ьм (2х + ^ + с.
Следующий прием нахождения таких интегралов это преобразование диф-феменцйава. Следует заменить dx на -d-kx + Ь) и воспользоваться формулами из таблицы интегралов
I undu = — + с, Г eudu = еи + с, Г сояийи = яти + с,...
1 пт-1 ' '
Од н ако метод подста новки н езаме ним для решен ия таких задач как, н апри-мем, найти следующий интеграл ¡^¿х.
Для нахождения данного интеграла еoсрoльзеемся подстановкой 4х =
х = t2, ^х = 2tdt,тoгда
¡±4х = 2Г-^-с11 = 2 ¡t-±-■dt = 2¡(l----)dt = 2¡dt-2¡-^- =
* х+1 * -2 + 1 * -2 + 1 * V -г\11 * * -2 + 1
2<: - агс1д1 = 14х - агЛд-Л + е
Пмеoб|:)азoеанйе дйр:феменцйала это один из удо(5ных пр1иемов Pмйееде-фия -одынтегмoльнoй cревкоий ктабличным йнтегуалам, внесение под знiaкдйр)-ф^:нeнцйува подыитегр^льной фенкции или ее част^ позволяет намного упростить рoдынт^гмoль-oе выр^жение.
Исхидя из определения дйрнcO)еменцйала df-x) = ¡'-х)<1х, легко проверить сPмаеедлйеoсть следующих равенств
xdx = -dx2, x2dx = -dx3, cosxdx = dsinxl eхdx = deх, — = сИпх,
2 3 х
х^ = <1-агс1дх),-л== = d-аrcsinx), = -d-arccosx),—— = <1-1дх). [йассо1M"гplио1 примеры нохожд^ния инн■|-гplавloьl пользеяси внесением под знак дифр:е:ненциала некоторой части подынтегральной функции
= 2X^arctg2x -
= 2X2arctg2x - -
= ~; I dx - 77 4J 16
dx =
dx =
хг + 4
, =-x---2arctq-;- + с =-x—arctq2x + c.
1 4 16 1 48
13) 1 xlnxdx.
Пусть u(x) = Inx, dv(x) = xdx ^ du(x) = dlnx = —, v(x) = '■
-. Тогда
xlnxdx = — Inx -2
X 2 dx X 2 1 [ X2 1 2
---- —I пх — I х<1х = —I пх —х2 + с.
2x2 2) 2 4 Как мы поняли из рассмотренных примеров, в случае, когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую функцию или на показательную функцию, то через и-х) следует обозначить многочлен, если же под знаком интеграла находится обратная тригонометрическая или логарифмическая функция, то в случае применения формулы интегрирования по частям в
качестве и-х) рассматривают указанные функции, оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначают через dv-x).
Не во всех задачах, содержащих под зна ком интеграла обратную тригонометрическую или логарифмическую функции применяется метод интегрирова-
Например, в следующих интегралах ¡агЛд^хх^,
ния по частям.
Чг
+ с.
Г у-агатх +1)2^=, Г подынтегральное выражение содержит вместе с функцией и ее дифференциал. Такие интегралы, как было сказано выше, приводятся к табличным интегралам, с помощью занесения части подынтегрального
выражения под знак дифференциала.
Оказывается, существуют функции, для которых первообразную невозможно представить в виде элементарных функций или их комбинаций, такие интегралы называются «неберещимися» интегралами. К ним относятся следующие
интегралы:
¡e~х2dx, ¡—, Г sinx2dx, Г cosx2dx, ¡—<1х, ¡—dx, ¡ — dx.
Такие интегралы используются в физике, в теории чисел, в теории вероятностей.
Имея некоторые базовые навыки нахождения первообразных для простейших функций, перейдем к следующей группе интегралов, которые содержат под интегралом рациональные дроби. Рассмотрим методы их решения на примерах.
г х2 , г х2-10 + 10 , г Л 10 \ , г , я Л г ах
14) [-—dI = [—-dI = I (1 +-—)йх = !йх + 10 I-2 =
' 1 х2-10 1 х2-10 1 V х2-10/ ^ 1 х2-^102
^ п 1 , |х-710|
=х + 10 • —=1п I—У + с.
2V10 |х+^10|
Небольшое, казалось бы, изменение подынтегральной функции приводит
уже к другому результату: ¡-^„dx=-J
1 , d(-2-10)
= -1п\х2-Ю\+с.
ную дробь. Выделим целую часть.
i3 f / 10i
—-dx = I \х + —-1 dx =
х2 -10
xdx +10
dx =
2 -1 2 -1 х2 1íd(x2- 10 ) x2
= —+ 1 0 ~ I -Ч—7^ = —+51п\х2 -10 \ + c.
2 2] ;с2-10 2 Рассмотрим некоторые приемы нахождения первообразной, когда знаменатель дроби представляет собой квадратный трехчлен. В таких случаях в знаменателе дроби выделяют полный квадрат.
15) 1-^ = 1—*—=1^=1.22!>- = 1Шд(х + 4 ) + С.
' ^ у2+8х+17 х2 + 8х + 1б + 1 (Х + 4)2+1 J и 4 '
16) f
-2+8-+17
xdx
(-+4)2+1
(-+4)2 + 1
I;
E е 2;+8-8 , e r
= - I ^-ía = - |
2J ;2 + 8;+E7 2 J
(2;+8)d; 1 р 2J ;2+8;+E7 2 1 ;
-dx =
' ;2+8;+E7 E i d(;2+8;+E7) ^ i d(-V4)
2 1 ;2 + 8; + E 7 1 (;V4)2VE
Разберем более сложные примеры интегрирования рациональных дробей.
= -1п\х2 И И 17| - 4arct$(x И4) И с,
17) I;
-di.
I;
-di = í Ti -Я -
; 6 V ;
) di = I di И I 1« _ 62-ф di.
1 8) I (
-di.
E0 StV4
о = — arct:g — И С =
I —=1-
J í-lívinv J &
; = Í8
= E f d(T"í) = E _-) И p
В следующем примере: f --^di под знаком интеграла имеем неправиль-
4V4sitt- 1 4V4-
Здесь использовано следующее тригонометрическое тождество cosí = 1 _
2 s í п2-.
2
Рассмотрим теперь, какие существуют методы вычисления интегралов от иррациональных выражений. Можно ли такие интегралы приводить к интегралам от рациональных функций, если да, то какие приемы являются наиболее оптимальными для решения? Ответы на эти вопросы мы получим в ходе разбирательства некоторых примеров.
20)
' j -ve--2
Сделаем следующую подстановку - = t, i = -, 1 _i 2 = 1 - ^^г выражаем дифференциал di = -■rdt.
I -vE—-2 = I rfe = _ IVP-E = _ и I И с =
tJ t2
=_¡n 21) I
" И I--1 - -2
V-2V2V-VE
И с == _tal-И (-_ 1 I И с.
-(evV-)
di.
' -2+8-+17'
Так kciK d(i2 + 8i + 1 7) = 2i -i 8, то требуется преоб разовать числитель к следующем у вvдк
Здесь нужно подобрать такую замену с = Уё, чтобы избавиться от всех разных корней в числителе и в знаменателе, то есть выяснить каким должно быть число п. С этой целью перепишем подынтегральное выражение следующим об-
У--+2У-+1 -з+2-2+1
разом
- Очевидно, что в качестве п следует подобрать
' -3-5-2+6-
Учитывая, что под знаком интеграла неправил-ная рациональная дробь, представим подынтегральное выражение в виде; суп/пиы целой и правилвиой дроби.
' -3-5-2+6- 6 + -3-5--+6-/ -3-5-2+6-
Для нахождения интеграла во втором слагаемом, необходимо представить рациональную дробь в в иде суммы эле ментарн ых д роб ей, а для нахождения неизвестны х воспользоваться методом неопределенных коэффициентов
5---6-+ 1 = 5-2-6-+1 = Л + В + С -3-5-2+6- -(--2)(--3) - --2 —-3
512 м 61 + 1 = /1(1 м 2)(1 м 3) к 61(1 м 3) + С1(1 м 2) или 512 - 61 + 1 = =4 + В + С)12 м (54 + 36 + 2С)1 + 64 Рбш ая систему ураавнений а А к- В + С = 5, ¡54К-Зе + 2С = 6, Ш = 1,
1 п 9 28
находим А =-, В = м-, С = —.
2 2 3
3 1 1 с ——-—(¡1 =- [ йх + г—м + г—& =
; -3-5--+6-' Л - - - --2 ; --3
=-1 + 3¡ф| м ^¡1!|1 - 2| + +8гп|1: - 3| + С.
--+3--2
-(1+У7) -(1+-3)
чаимень.ший общий знаlьенатель всех дробей степеней I, в нешем случае это п = 6.
После замены с = УГ, I = с6, dt = палучим
г ьшигу-н н (4+2(3+1 л I , ^ а^ = I ——=г—аС = /.
J -(1+3/-) J ((1+(2)
Мето^! решения таких интегралов н^ми быти раусмотрены выше. № ^ 2)й(; м | а ^^ +2р | £ =а ми + 2С м 6П|Ц + ¡п|н2 1|+
+2агсСдС + С = 1--Н 2( + гшг^С -I-
Переходя к исходной переменной
, ^ -di = — И 2 ^ -I- ín--- И 2 arcto Vi И С.
-(EVV-) 2 V-
(--1)(-2+-+1)2 -2+3--2 _ Л В-иС
(--1)(-2+-+1)2 --1 -2+- + 1 (-2И-+1)2 '
I2 31 - 2 = 4о6 +1 + 1 )2 + (61 (и)(1 - 1 )(12 .^д: +-1) + (ОI + ще -
1).
С^чедедие, что оолурчизть отсюда ьнстьму уравнений для нахо!^)дения не-изу^неlx /к, В, с, о, £, (э.^с:крр 1ы11ги1 еиял l;к0-60^, иак п<6к^;íан(и ^ прь!дt>lд\2Щ(í^- примере, будет очеои т|nс-^o<ьмкo. зд(ьс1г мбжно пoл^чктlи систему алг^о)|б^ических ^р!n^6-(г-ний, задавая неизвестной х разныю зиепепом
Нгкождение! первообразной веlрoжений, рациoналькo зoвисещих от триго-нoм^трически)г с6)^нкций, является одним из сложны« разделов интегрирования, эта сложность связана с мьугoебразием подходив решения таких задач, среди которых пужно подобрать наиболее оптимальный метод, позволяющий упростить еп решение.
На при мерах попроб уем выявить алгоритм их решения.
19)И-в-л-.
Пременим здеимь хорошо известную ониверсальную вoдстанoвку, o-йкзна-
и - ^ . е | тр- . 2-
чим — = С, I = 2агсСоС, а^ = —ям = —-.
"2 " 1+-^ 1 + -2
Подставляя обзозначения и пoлучпннеlе функции в пoдеlнтегрaеьнoе выражение, перейдем п нахождению интеграла от рациональных функций, метод решения которого нами уже рассмотрено.
Очень часто вртречаются такие интегралы от иррациональных функций, которые мо2ут быть записаны в следующем виде 1т(41" + Ь)р. Это выражение носит названин биномиального дифференциала. При решении таких интегралов рассматривают три вида чадсиановок в зависммосои от чисил т, «и р.
22) По=т= (¡И6 х (1 + 2dI = ^
I 3,—б л /
Выпишем степени т = 1,п= - и р = -1.
- 3 -2 2 2
Здепь р не является целым ч ислом, поэтому первый случай подстановок Чебышева не применяем. Рассмотрим второй случай, проверим — = 3 -целое число. Используем вторую подстановку, то -сть проведем замену ¿1" + Ь = с где ц -зезме нательз дроби р .
12 = t2, i = (t2 _l)2,di = м(|-2
чреобразуется к следующему вид^
1 И12 = t2, i = ( t2 _ 1 )2,di = м(с2 _ 1 )22 tdt. Тогда имкомый и нтеграл
I =
V(t2 -1)3 • зtvр2"-т
dt = 3 | (t2 _ :L)2 dt = 3 I (t4 _ 2 t2 + l)dt =е
= -у ^2 t3 ИЗ сю с.
Перейдем к исходной переме=ной i, подс■)аврlяя t = VI И v^i2, получим
^_^ S _ 3 ^_
-2 ^Jl И ИЗ J^^+C.
Vi И^ 23) | Vi3 И i 4 di.
Перепишем и нтеграл! в станд артном вид е
VT+3
di = I i" (1 И i 3) -di = /.
í = г i+t2 = 2 г dt =2 е_
1 SV4sin- 1 SV^ 1 St2V8tVS S1 Jty_) у^_) „ „
_eo . Sta|v+ =—arct^ —^ И С.
Для cрl(!дующ(гго примера не^т ^еоf-;<одимoc■ти в универсальной подста-
Мь^п^ни m = 0,l¡ = Зиp = --. Здесь — + р -целое число. В таком
случае делаем замену Ь" + Ь = с'1", то есть 1 +13 = с3!3, с3!3 -13 = 1, 1 -1 --I3 = —,1 = (С3 - 1) 3, ¿Я =--4Й.
- -1 (-3-1)3
Подставляя все полученные выражения под знак интеграла, имеем
1 м - 1 г "- 1 = гт- 1 1 . й- 1 = 2 (-+1 ,
1 = - П-т— dt = -- п —+ -П-2—с = — П ——л -
; -3- 1 3 ; --1 V -2+-+1 3 ; --1 6 * -2+-+1
1 П -- = 1 ¿ц |-2+-+1| 1 ____^ 2-+1
2 ^ ^ '
2J t2VtVE 6 (t-е)2 V-3VE
где t =-.
Таким образом, пользуясь подстановками Чебышева, иррациональную функцию под интегралом можно преобразовать в рациональную и дальше найти первообразную, пользуясь уже рассмотренными нами методами нахождения интеграла от рациональной дроби.
Умение находить неопределенный интеграл - одна из сложных задач математического анализа. Сложность заключается в том, что в интегральном исчислении нет общего приема нахождения первообразной или вычисления
Библиографический список
неопределенного интеграла, здесь необходимо выбрать верный способ решения. Подобрать правильный метод решения в зависимости от подынтегральной функции (сделать удачную замену переменной, воспользоваться методом интегрирования по частям или разбить функцию на простые дроби), чтобы привести интеграл к табличному виду и найти первообразную функцию непосредственным интегрированием помогут различные примеры и их решения, рассмотренные в данной статье.
1. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчисление функций одной переменной, учебное пособие. Томск: Издательство Томского ЦНТИ, 2017; Ч. III. 3.
2. Шкуро А.С. Конспект лекций по математике-2: для студентов Химического института: учебное пособие. Казань: Казанский Приволжский федеральный университет, 2012.
3. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной: учебное пособие. Санкт-Петербург: Лань, 2008.
4. Ефремова О.Н., Столярова ГП., Нагорнова А.И. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование функции одной переменной. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл: учебное пособие. Томск: Издательство ТПУ 2008.
5. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. Санкт-Петербург: Лань, 2009.
References
1. Zadorozhnyj V.N., Zal'mezh V.F., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Vysshaya matematika dlya tehnicheskih universitetov. Integral'noe ischislenie funkcij odnoj peremennoj: uchebnoe posobie. Tomsk: Izdatel'stvo Tomskogo CNTI, 2017; Ch. III. 3.
2. Shkuro A.S. Konspekt lekcijpo matematike-2: dlya studentov Himicheskogo instituta: uchebnoe posobie. Kazan': Kazanskij Privolzhskij federal'nyj universitet, 2012.
3. Maron I.A. Differencial'noe i integral'noe ischislenie v primerah i zadachah. Funkcii odnoj peremennoj: uchebnoe posobie. Sankt-Peterburg: Lan', 2008.
4. Efremova O.N., Stolyarova G.P., Nagornova A.I. Vysshaya matematika. Differencial'noe i integral'noe ischislenie funkcii odnoj peremennoj. Differencirovanie funkcii odnoj peremennoj. Neopredelennyj integral. Opredelennyj integral: uchebnoe posobie. Tomsk: Izdatel'stvo TPU 2008.
5. Natanson I.P. Kratkij kurs vysshej matematiki: uchebnoe posobie. Sankt-Peterburg: Lan', 2009.
Статья поступила в редакцию 29.01.24
УДК 374.73
Kuskova M.V., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, vice-rector, Tyumen State Institute of Regional Education Development (Tyumen, Russia),
E-mail: m.v.kuskova@togirro.ru
TUTOR SUPPORT FOR THE PROFESSIONAL DEVELOPMENT OF YOUNG TEACHERS IN THE CONTEXT OF A SYSTEM OF CONTINUING ADDITIONAL EDUCATION. The article considers organizational conditions and modern forms of work with novice teachers, which make it possible to implement an individual educational route and tutoring practices in the activities of the Center of Continuous Improvement of Professional Skills of Teachers (CNPPM). In the system of additional vocational education, attention to novice teachers is due to the need to solve the problems of adaptation and retain them in the profession. One of the mechanisms for solving these problems is the analysis of the experience of tutoring support for novice teachers presented in the article, the stages and main functions of tutors in the framework of the CNPPM in the Tyumen region. The most successful practices are described, such as consulting, tutoring seminars, games. Particular attention is paid to the organization of competitions for novice teachers and the practices of interaction between the tutor and the young teacher at the stage of preparation and participation in them. In conclusion, the results of the tutors' activities are presented and recommendations are proposed for use in the work on accompanying novice teachers.
Key words: tutor, young teacher, tutor support, principles and forms of work, center of continuous improvement of professional skills of teachers, competition
М.В. Кускова, канд. пед. наук, доц., проректор, Тюменский областной государственный институт развития регионального образования, г. Тюмень,
E-mail: m.v.kuskova@togirro.ru
ТЬЮТОРСКОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО СТАНОВЛЕНИЯ МОЛОДЫХ ПЕДАГОГОВ В УСЛОВИЯХ СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В данной статье рассмотрены организационные условия и современные формы работы с молодыми педагогами, позволяющие реализовать индивидуальный образовательный маршрут, практики тьюторского сопровождения в деятельности Центра непрерывного повышения профессионального мастерства педагогических работников (ЦНППМ). В системе дополнительного профессионального образования внимание к молодым педагогам обусловлено необходимостью решения проблем адаптации и сохранения их в профессии. Одним из механизмов решения данных проблем является представленный в статье анализ опыта тьюторского сопровождения молодых педагогов, этапы и основные функции тьюторов в рамках деятельности ЦНППМ в Тюменской области, описаны наиболее успешные практики: консультирование, тьюторские семинары, игры. Особое внимание уделено организации конкурсов для начинающих педагогов и практикам взаимодействия тьютора и начинающих педагогическую деятельность специалистов.
Ключевые слова: тьютор, молодой педагог, тьюторское сопровождение, принципы, формы работы, центр непрерывного повышения профессионального мастерства педагогических работников, конкурс
В условиях изменений, происходящих в системе образования, необходим детальный пересмотр организационных и содержательных компонентов в системе дополнительного профессионального образования, что обусловливает актуальность темы данной статьи. Весь спектр задач, связанных с данным вопросом, в определенной степени способны решать учреждения непрерывного профессионального образования. В их числе академии, институты и центры, в которых происходит повышение квалификации не только педагогов со стажем, но и тех, кто только начинает свою профессиональную карьеру.
Во многих учреждениях дополнительного профессионального образования Тюменской области созданы филиалы, действующие по принципу зонального распределения муниципалитетов региона между центрами. В штат Центров включены тьюторы, которые сопровождают как учителей, так и начинающих ру-
ководителей образовательных организаций. Такая практика распространяется на Тюмень, Ишим и Тобольск.
Цель данной публикации заключается в определении основных принципов, подходов, форм, обеспечивающих тьюторское сопровождение молодых педагогов. Для ее достижения необходимо решение следующих задач:
1) проанализировать имеющиеся в литературе определения понятий «тьютор», «тьюторское сопровождение»;
2) на основе анализа имеющегося опыта в работе тьюторов определить наиболее результативные и апробированные на базе Тюменского областного государственного института развития регионального образования формы повышения их квалификации;
3) предложить рекомендации, сформулированные на основе оценки результатов деятельности тьюторов.
