МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ "ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ" В КУРСЕ "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ» В КУРСЕ «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

Аннотация

В статье рассмотрены основные правила интегрирования функций, рационально зависящих от тригонометрических функций sinх, cosх . Все они проиллюстрированы примерами. В работе приведены задачи, при решении которых использованы различные приемы, что позволяет провести сравнение этих методов и вспомнить некоторые теоретические моменты. В качестве итога предложен алгоритм интегрирования тригонометрических функций.

Ключевые слова

первообразная, интеграл, универсальная подстановка, простейшие дроб

АВТОРЫ

Ефремова Светлана Николаевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва Efremova.sn@gmail.com

Косова Анна Владимировна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва Anna.v.kosova@mail.ru

Ласковая Татьяна Алексеевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва talaskovy@mail.ru

Введение

Интегрирование, т.е. восстановление функции по ее производной, - важнейшая операция, без которой невозможно изучение высшей математики. Научиться интегрировать непросто. И хотя не вызывает сомнения тот факт, что овладеть интегрированием можно, только решив большое количество примеров, важность роли преподавателя в процессе обучения он не уменьшает. Ведь в отличие от обратной задачи, дифференцирования, в интегрировании нет полного набора четко сформулированных правил, следование которым обеспечивает решение любого примера. Это усложняет работу преподавателя, который должен не только познакомить учащихся с основными рекомендациями, но и помочь выбрать правильное направление для их действий.

В предложенной работе демонстрируются различные подходы к решению примеров одного из наиболее сложных разделов интегрирования - интегралов от тригонометрических функций. Подобные примеры позволяют сравнивать методы, отмечая слабые и сильные стороны, и анализировать полученные результаты.

Статья будет полезна не только преподавателям, которые смогут использовать ее при подготовке и проведении занятий, но и студентам, расширяя их кругозор и возможности в изучении сложной темы.

Методология и результаты исследований

Одним из главных инструментов при интегрировании рациональных функций от sin х, cos х: ^(sin x,cos x) , является универсальная тригонометрическая подстановка:

t = tgx [1]. Ее универсальность заключается в том, что она заменяет исходный интеграл от тригонометрической функции на равный ему интеграл от рациональной дроби, для которого известен алгоритм решения - разложение подинтегральной функции на простейшие дроби и применение свойств неопределенного интеграла.

Имеем: sin х-

2t

-, cosх ■■

1 -11

dt

2dt

1+г2' 1+г2' 1+г2' Применение этой подстановки часто приводит к громоздким вычислениям, но она неизменно является успешной для интегралов вида

г с1х с с1х с1х

; J

cos2i+1 х' sm2i+1 х

,к<= □

a sin х + b cos х + c

Рассмотрим несколько примеров ее применения.

Пример 1. Вычислить J— dx

J1

Решение:

+ cos х — 5 sin x

dx

1 + cos х - 5 sin х

х

•=g ^

sin х =

2t

cos х = ■

1 +12 1 -12

1 +12

dx =

2dt

1 +12

2dt

r dt _ 1 (• a ( J1 - 5t " 5J 1

_ W d(1 - 5t)

(1 +t2) + (1 -t2) - 10t J1 - 5t 5J 1 - 5t

-1 ln |1 - 5t| + C = -1 ln

1 - 5<g 2

dx

+C

-.

sin3 x

JA-=J

•> cm v •>

2dt

1+7

sin x

2t

1+?

1 .(1 +12 )2 dt

: 4J ?

1 P1 + 2t2 +14

1 M + 2t

4J 7

dt = - f| — + - +1 Idt

4 J 113 t J

f

1

*2\

--7 + 2ln t + —

2t 1 1

+ C = -

+ 1ln

J

8tg

x 2

x tg 2

1 2 x ^ + - tg2- + C 82

3

1

4

Очень полезно для сравнения применить универсальную подстановку и для решения следующего примера.

Пример 3. Вычислить J

dx

cos3 x

^ Г dx Г -fl +12 dt . (l +12 dt

Решение: J= J 1 +t = 2ü-L— = 2J ( , L-,

J cos3 x Vi_t^13 J fl_t2)3 J(1 -1)3 (1 +1)3

11 +12 у

Далее потребуется разложить подинтегральную правильную рациональную дробь на простейшие дроби, которых будет шесть. Т.о. универсальная тригонометрическая подстановка в этом примере приводит к более трудоемкому решению, т.к. для вычисления неопределенных коэффициентов потребуется решить СЛАУ из шести уравнений с шестью неизвестными.

Естественным образом возникает стремление найти в качестве альтернативы более легкие пути интегрирования. Основные практические итоги поисков можно сформулировать в виде следующих правил [2].

Правило 1. Если подинтегральная функция нечетная относительно sinx : R(_ sin x, cos x) = _R(sin x,cos x), то применяют подстановку t = cos x.

Правило 2. Если подинтегральная функция нечетная относительно cosx : R(sin x, _ cos x) = _R(sin x,cos x), то применяют подстановку t = sin x.

Правило 3. Если функция четная по совокупности: R(_ sin x, _ cos x) = R(sin x, cos x) , то применяют подстановку t = tgx или t = ctgx .Выбирают ту, которая удобна в каждом конкретном случае.

Правило 4. Если функция четная по совокупности функций: R(_sinx,_cosx) = R(sinx,cosx) и степени sinx, cosx , как правило, неотрицательные, то применяют формулы понижения степени:

2 1 + cos2x 2 1_ cos2x 1 . „ cos x =-, sin x =-, sin x cos x = — sin2x .

2 2 2

Рассмотренный ранее пример 3 можно решить, используя правило 2:

г dx г cos xdx г d (sin x),., г dt 1 г f 1 1 1 1 ^

I-= I-2-= I--= t = sin x = I---— = — II -+-7 +-+- ,

J cos3 x J cos4 x J (1 _sin2 x)2 1 J (1 _t)2(1 +1)2 4 _t (1 _t)2 1 +1 (1 +1)2

C

dt

1 f , h i , h i 1 1 1 ^ 1 = -I _ln 1 _t + ln|1 +t +-+- + C = -

4V 1 1 1 1 1 _ t 1 + ti 4

f ln 1 _ sin x 1 1

1 + sin x + 1 _ sin x

V

1

Вычисляя интеграл, используя правило 2, мы смогли несколько упростить решение данной задачи.

Кроме того, интегрируя тригонометрические функции, не следует забывать основное тригонометрическое тождество. Так, рассмотренный выше пример 3, для которого универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким вычислениям, довольно просто решается с помощью основного тригонометрического тождества и интегрирования по частям:

j_*_=J

J ГЧЛС У j

cos x

• 2 2 sm x + cos x

3

cos x

dx = J sm x dx + J

3

dx

3

cos3 x

cos x

u = sm x

du = cos xdx

, sin xdx dv =-r—

v =

cos x -d (cos x)

sin x 1 dx dx

-2---I -+1 - 2

2cos x 2J cosx J cosx 2cos x 2

sin x 1

- + - ln

tg (2+П

cos3x 2 cos2x

+ C

Сравним применение разных способов еще на одном примере.

Пример 4. Найти J—

Clt

dx

sin x cos x

Подинтегральная функция нечетная относительно sin х , нечетная относительно cos х, четная по совокупности этих функций. 1) Применим универсальную подстановку:

2dt

J а =J ^, =¡4+4^=¡,1 =Jr1 +.!_ ——]=

J sinхcosх ¡ 2t 1 -12 ¡ t(1 -12) J t(1 -1)(1 +1) JV t 1 -1 1 +1J

1 +12 1 +12

= ln t - ln|1 - t - ln|1 +1 + C = ln

1 -12

+ C = ln

tg

x 2

1 - tg:

x

+C

2) Согласно правила 1 замена t = cos x:

J

dx

J

sin xdx

sin x cos x * sin x cos x

t = cos x dt = - sin xdx

Г dt _ г J (1 -12)t "J

2

r 1

7 к 2^/2 1

t-1 t +1 t

v J

dt =

= 1ln |t -1 + ^n |t +1 - ln |t| + C = 1ln

t2 -1

+ C == 1ln 2

cos x -1

cos2 x

1

+ C = -ln 2

sin2 x

cos2 x

1

+ C = - ln tg x + C 2

t

2

t

3) Согласно правила 2 замена t = sin x:

Г dx г

J cm vpnс v J ci

sinxcosx

cosxdx sin x • cos2 x

t = sin x dt = cos x^

Г dt _ r

J нл _ ^ = J

ln Itl -1 ln 1 -1\-1 ln 1 +1\ + C =1 ln

1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 -12

t (1 -12)

+ C =1 ln 2

^ 1/ V ^

1 I /2 /2

t 1 -1 1 +1

v J

dt =

sin2 x

1 - sin x

1

+ C = -ln tg2x + C 2

4) Согласно правила 3 замена t = tgx :

dx t cos x dx

г dx _ г cc ¡ sin xcos x J ci

,2

или t = ctgx : J—

J ci

sin x cos x dx

J ^tg^ = ln , ■ + C = 1ln tg 2 x + C J tgx 7

sin x cos x

J -

J CI

sin x dx

2

sin x cos x

-J

2

d (ctgx)

1

= - ln\ctgx\ + C = — ln tg2x + C ctgx 2

5) В данном примере можно понизить степень в знаменателе, используя удвоенный аргумент (правило 4). Тогда получим:

Í-

J CI

dx

sin x cos x

sin x cos x = — sin 2 x 2

Г_2Л_ г Оф) = 1п , , + с = 1]п 2 х + с . J sin2x г sin2х 2

В зависимости от выбора пути решения получаем различные формы записи ответа - через разные тригонометрические функции. По свойству первообразной известно, что две первообразные одной функции отличаются друг от друга на константу. Убедимся в этом, преобразовав ответ 1 этого примера:

ln

1" g2

= ln

1

2tg

2—-g ■§

.1.1 I i — — i 2

= ln — + ln\tgx\ = ln — + — ln tg x . 2 16 1 2 2

Следует обратить внимание студентов на возможность разных форм записи одного и того же ответа. Если полученный обучающимся результат не совпадает с ответом в задачнике, это не обязательно говорит об ошибке. Возможно, это означает, что ответ в задачнике получен другим методом. Это относится не только к нахождению первообразных тригонометрических функций, но и к интегрированию в целом.

При решении примера 4 (пункт 5) мы воспользовались формулой синуса двойного аргумента. Однако, следует отметить, что формулы понижения степени крайне редко применяются в знаменателе. Как правило, они применяются при вычислении интегралов вида J*sinxcos" xdx, где т = 0,1,...;и = 0,1,...;т + и = 2£Дей . Рассмотрим пример.

Пример 5. Найти J sin2 x cos4 xdx.

Применим различные способы решения этой задачи:

-<ч г • 2 4 , г — - cos2x f 1 + cos2x Y . 1 г,л „ ч/, „ „ 2„

1) J sin x cos xdx = J---1---I dx = gJ(1- cos2x)(1 + 2cos2x + cos 2x )dx =

= 1 J(1 + cos 2x - cos2 2x - cos3 2 x) dx = 1 ^ x +1 sin 2 x -J1 + cos 4 x dx - J(1 - sin2 2x ) cos 2 xdx j =

1 1 о 1 1 • „ 1 о 1 • з^ - 1 1 • „ 1 • 3 -

= — x +--sin2x--x--sin4x--sin2x +--sin 2x + C =— x--sin4x +--sin 2x + C

8 16 16 64 16 48 16 64 48

2) J sin2 x cos4 xdx = — J(2 sin x cos x)2 cos2 xdx = - J sin2 2x (1 + cos2x) dx =

1 n 1 - cos 4 x . 2 „ i, 1 1 • „ 1 • 3 ^

+ sin 2xcos2x dx = — x--sin4x +--sin 2x + C

16 64

:J

8J ^ 2 J 16 64 48

Как видно, второй вариант решения оказался более коротким. И, в заключение, еще одно правило.

Правило 5. Если под знаком интеграла - произведение тригонометрических функций разных аргументов, то необходимо преобразовать произведение в сумму, используя формулы:

sin nx cos mx = 1 (sin(n - m) x + sin(n + m) x) sin nx sin mx = 1 ( cos(n - m)x - cos(n + m)x)

cos nx cos mx = 1 ( cos(n - m)x + cos(n + m)x)

Пример 6. Найти Jsin3xcos5xdx. Выбираем нужную формулу и получаем:

J sin 3x cos 5xdx = 1 ( j* sin(-2x) + sin 8x) = 1 cos 2x - -1 cos 8x + C .

Интегрирование тригонометрических функций - одна из наиболее сложных тем курса. Попробуем сформулировать алгоритм, который сможет помочь при решении задач этого раздела.

1. Проверить, применимо ли для данного интеграла правило 5. Если нет, то перейти к следующему пункту.

2. Проверить, является ли данный интеграл интегралом вида J sinm х cos" xdx, где

т = 0,1,...;й = 0,1,...;ш + й = 2^Де0 . Если да - применить формулы понижения степени. Если нет - перейти к пункту 3.

3. Проверить, применимы ли к вычислению интеграла правила 1-4. Если да - выбрать подходящее и следовать ему.

4. Если ни одно из правил не подходит - применить универсальную тригонометрическую подстановку.

Заключение

Интегрирование тригонометрических функций - тема очень многообразная. Поэтому, в рамках одной статьи, невозможно разобрать все связанные с ней трудности, и ответить на все вопросы, которые могут возникнуть при вычислении интегралов. Предметом рассмотрения были основные правила, которые используются при нахождении первообразных тригонометрических функций. В статье были продемонстрированы различные подходы к одним и тем же примерам, что позволяет сравнить их и выбрать более рациональный способ решения задачи. В итоге, был предложен алгоритм интегрирования функций, рационально зависящих от sin х, cosх .

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т., т. 1 - М.: Юрайт, 2014.

2. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учебник для студентов вузов/ Под ред.В.С.Зарубина, А.П.Крищенко. - М.: Изд-во МГТУим. Н.Э.Баумана, 1999.

Svetlana Efremova

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow Efremova.sn@gmail. com Anna Kosova

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow anna. v. kosova@mail. ru Tatyana Laskovaya

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow talaskovy@mail. ru

Methodological aspects of the presentation of the topic "Integration of trigonometric functions" in the course "Indefinite integral"

Abstract. The article considers the basic rules for the integration of functions rationally depended on trigonometric functions. They are all illustrated by examples. The paper presents problems for the solution of which various techniques were used, that allows to compare these methods and recall some theoretical points. As a result, an algorithm for integrating trigonometric functions is proposed. Keywords: antiderivative, integral, universal substitution, simple fractions.