ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Аннотация

В статье продемонстрированы практические приемы построения графиков различного уровня сложности. На примере тригонометрических функций разобраны основные линейные преобразования, позволяющие свободно оперировать графиками. Заметим, что линейные преобразования можно применить и для других классов функций, а не только для тригонометрических. Цель работы заключается в том, чтобы показать, как максимально быстро и просто можно построить график сложной функции с помощью основных линейных преобразований. Содержание статьи будет полезно студентам, а также преподавателям первого курса.

Ключевые слова

тригонометрические функции, графики функций, линейные преобразования

АВТОРЫ

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва dobrich2@mail.ru

Головина Анастасия Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nastya_gm@mail.ru

Введение

В инженерной практике с построением графиков функций приходится встречаться очень часто. При изучении таких предметов, как сопротивление материалов, теория упругости, гидравлика, электротехника, радиотехника, к построению графиков функций приходится прибегать буквально на каждом шагу.

Поэтому студентам, особенно технических специальностей, будет полезен материал этой статьи.

Итак, продолжим цикл статей, посвященных методам построения графиков различных однозначных и многозначных функций.

Ранее в работах [1 -7] были изложены принципы построения графиков линейных и квадратичных функций, содержащих знак модуля. В них были рассмотрены общие схемы построения, а также методы разбиения функции на отдельные уравнения и разбиения координатной плоскости на несколько областей.

В [8] был предложен совершенно иной подход применительно к построению графиков функций. А именно, на примерах задач были показаны два способа решения поставленных задач: аналитический и графический, с применением среды MathCAD.

Было продемонстрированно, как привлечение программных средств повышает скорость решения задач. В работе была отмечена целесообразность обучения различным способам решения задач.

В [9,10] были рассмотрены методы построения графиков однозначных и многозначных дробно-линейных функций, содержащих знак модуля в правой части своего аналитического задания.

В данной статье перейдем к рассмотрению другого типа функций, а именно тригонометрических, а также разберем вопрос линейных преобразований применительно к этому классу функций.

Тригонометрические функции и их графики

К основным тригонометрическим функциям относят следующие: y = sin х , y = cosх, y = tgx, y = ctgx. Рассмотрим подробно каждую их этих функций. Начнем с функции y = sin х . Областью определения данной функции является вся числовая ось. Область значений - отрезок [-1,1]. Графиком данной функции является синусоида.

Y

■1 .On -О.Зтт -О.бтт -О.Фт -0.2тт 0 0.2тт 0.4и О.бтт О.Втт 1 .Он

Рис. 1. График функции y = sin х

Напомним, что функция y = sin х является периодической с периодом T = 2ж

а также нечетной, следовательно ее график симметричен относительно начала координат.

Функция y = cos х обладает аналогичными свойствами:

1) D( y) := (-«>,+«>);

2) E( y) := [-1;1];

3) y = cosх периодическая с периодом T = 2ж;

4) y = cos х четная, т.е. график функции симметричен относительно оси ординат.

Графиком функции y = cos х является косинусоида.

Рис. 2. График функции y = cos x

Перейдем теперь к построению графика функций y = tgx, y = ctgx. По определе-

sin x

нию y = tgx =-, следовательно, областью определения тангенса является вся чис-

cos x

ловая ось, за исключением точек, в которых функция y = cos x обращается в нуль. С учет°м пеpиода, получаeм, что ОД = * \ {§ Ц , п е Z . Таким о6pазом, прямые

Ж

x = — + жп, n е Z . являются вертикальными асимптотами. Областью значений функции y = tgx является вся числовая ось.

Напомним еще несколько свойств функции y = tgx:

1) периодическая с периодом T = ж (это видно из графика);

2) нечетная, т.е. график функции симметричен относительно начала координат. График функции y = tgx имеет вид:

Рис. 3. График функции y = tgx

Аналогичными свойствами обладает и функция y = ctgx . По определению

y = ctgx =

cos x

sin x

, следовательно, областью определения функции y = ctgx является вся

числовая прямая, за исключением точек, в которых функция y = sin x будет обращаться в нуль. Итак, D(y) = R\{rn], n е Z . Таким образом, прямые x = т , n е Z являются вертикальными асимптотами. Областью значений функции y = ctgx является вся числовая ось.

Напомним еще несколько свойств функции y = ctgx:

1) периодическая с периодом T = п (это видно из графика);

2) нечетная, т.е. график функции симметричен относительно начала координат.

График функции y = ctgx имеет вид:

Рис. 4. График функции у = ^х

Построение графиков тригонометрических функций с помощью линейных преобразований

В этом разделе рассмотрим графики функций, которые получаются из приведенных выше с помощью основных линейных (геометрических) преобразований:

1) масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль какой-либо из осей (абсцисс, ординат);

2) симметричное (зеркальное) отражение относительно какой-либо из координатных осей;

3) параллельный перенос (сдвиг) вдоль какой-либо из координатных осей.

Рассмотрим функцию вида: у = а[(Ьх + с) + й. Разберем на примерах, как указанные преобразования можно применить к тригонометрическим функциям и выясним, какой из коэффициентов а, Ь , с , й за какое именно преобразование отвечает.

Пример 1. Построить график функции y = -3sin

3

1 3

1

x — I- 2 . Здесь a = -3, b = 2 2) 2

c =--, d = -2 .

2

9 Modern European Researches No 3 (Т.1) / 2021 Цепочка преобразований графика функции y = sin x следующая:

1

y = sin x ^ y = 3sin x ^ y = 3sin— x ^ y = -3sin — (x - 3) I ^ y = -3sin — (x - 3) I-2

2

1

2

1

2

Графическая иллюстрация этапов построения:

1 шаг. y = sin х . Период T = 2ж, точка максимума — + 2жк,1 I, точка минимума

ж

ж

--+ 2жк,-1 I, где к е Z .

2 У

2

ж

2 шаг. y = 3sin х. Период T = 2ж, точка максимума — + 2жк,3 I, точка минимума

V2 )

ж Л

— + 2жк,-3 I. То есть амплитуда колебаний функции y = sin х возрастает в три раза.

V 2 )

1 2ж

3 шаг. y = 3sin-х . Период T = — = 4ж, точка максимума (ж + 2жк,3), точка ми-

2

нимума (-ж + 2жк,-3), к е Z .

Рис. 5. Графики функций y = sin x , y = 3sin x, y = 3 sin 1 x

Таким образом коэффициент b отвечает за растяжение графика функции y = sin х вдоль оси Ох . Если b > 1, то график сжимается, если 0 < b < 1, то график растягивается. Наименьший положительный период функций y = a sin Ьх вычисляется по

формуле T = —, где в числителе стоит основной период функции y = sin х , а в зна-

b

менателе коэффициент, стоящий перед аргументом х .

4 шаг. у = -Збш 1 х . Для того, чтобы построить этот график, необходимо график

функции у = х, построчный на тр^м шаге, отразить «мметричнс относительно оси абсцисс (т.е. поменять местами положительные и отрицательные значения функции у). Период при этом остается таким же Т = 4ж. А точки максимума и минимума меняются местами: точка максимума (-ж + 4жк,3) , к е 2 ; точка минимума

(ж + 2жк,-3) , к е 2 .

5 шаг. у = —3бгп 1 (х -з). Для того, чтобы построить указанный график нужно

сдвинуть предыдущий график у = -^1х на три единиЦь, вправо. Наименьший п°-

ложительный период при этом сохраняется, т.е. Т = 4ж, а точки максимума и минимума переходят в следующие: максимум - (-ж + 3 + 4жк,3) , к е 2 ; минимум -

(ж + 3 + 4жк,-3) , к е 2 .

6 шаг. у = —збш! (х — з)—2 . Для того, чтобы построить данный график нужно

предыдущий график функции у = -38т1 (х - з) сместить на две единицы вниз.

Наименьший положительный период при этом не меняется: Т = 4ж , а точки максимума и минимума переходят в следующие точки: максимум - (-ж + 3 + 4жк,1), к е 2 ; минимум - (ж + 3 + 4жк,-5) , к е 2 .

Рис. 6. Графики функций у = -38мп1 х , у = -3вт1 (х-3), у = —збш! (х — з) — 2

Итак, подведем итог: получается, что коэффициент а отвечает за амплитуду колебаний синуса, коэффициент Ь за сжатие/растяжение графика, коэффициент с за сдвиг по оси абсцисс, а коэффициент й за сдвиг по оси ординат.

Рассмотрим теперь аналогичные примеры для других тригонометрических функций.

3

Пример 2: Построить графики функций а) y = — cos(2 - 2x) -1; 1

б) y = -- tg

f

в) y = 2ctg

r ж 2 л ж

---x | + —;

v 3 3 J 3

Ж о Л Ж

— + 3x |--.

2 J 4

3 3

Построим сначала график функции а) y = — cos(2 - 2 x) -1. Здесь a = — , b = -2,

c = 2 , d = 1

Цепочка преобразований графика функции y = cos x следующая:

3 3 3 3 3

y = cos x ^ y = — cos x ^ y = — cos 2 x ^ y = — cos(-2 x) ^ y = — cos(2 - 2 x) ^ y = — cos(2 - 2 x) +1

1 шаг: y = cosx, T = 2ж, максимум - (2жп,1), n е Z ; минимум - (ж + 2жп,-1), п е Z

2 шаг: y = 3cos x. Расширяем амплитуду колебаний косинуса. T = 2ж, максимум

3

l 3 Л Г . -,

2жп,— J , п е Z ; минимум - + 2^n,~J , п е Z

3 3

3 шаг: y = — cos2x . Сжимаем график функции y = — cosx относительно оси Ox

г 2ж

T = — = ж , максимум -

3 Л

тг,— |, п е Z ; минимум

Г 3 Л

тп,— |, п е Z .

2

33

Рис. 7. Графики функции y = cosx, y = — cos x , y = — cos 2x

4 шаг: Пользуемся свойством четности функции y = cosx , получаем

3 3

y = — cos( -2x) = — cos2x. Следовательно, предыдущий график является также графи-

3

ком функции y = — cos(-2x). 3

5 шаг: y = — cos(2 - 2x). Вновь пользуясь свойством четности функции y = cosx,

3 3 3 3

получаем: y = — cos(2 - 2x) = — cos(-(2x - 2)) = — cos(2x - 2) = — cos2(x -1). Сдвигаем гра-

3

фик последней функции y = — cos(2x) на единицу вправо. T = ж , максимум -

^ о 3 1

1 + 2яп,— I, n е Z ; минимум

л 31 1 + жп + —,— I, п е Z .

2 2 J

3 3

6 шаг: у = — cos2(х — 1) +1 = — cos(2х — 2) +1. Для построения этого итогового графика сдвигаем график, построенный на пятом шаге на единицу вверх. Т = ж, макси-

(. 5 ^ '

мум

5 1 l л 1 .

1 + лп,— I , п е Z ; минимум - 1 + лп + —,— I, п е Z

1

22

3 3 3

Рис. 8. Графики функций y = — cos(-2x) , y = — cos(2 - 2x) , y = — cos(2x - 2) +1

На этом задача преобразования графика тригонометрической функции y = cos x заканчивается.

«ч 1, (ж 2 1 ж _ 1 А 2 ж ж

б) y = — tg---x I+— . Здесь a = — , b = — , c = — , d = — .

2 У 3 3 J 3 2 3 3 3

Цепочка преобразований графика функции у = г^х

1 12 12

у = г%х ^ у = -г%х ^ у = -^ у = --^ у = --^

1 ( 2 ^ 1 ( 2 ( п

—х 3

^ у = -2^

следующая

У\

V 3 V

х--

2

))

1 (

у = -^ ъ

п 2 ) п

---х | + —.

3 3 ) 3

п п |

1 шаг: у = гgx, Т = п, Ду) = — + лк,— + лк |, к е 2 .

V 2 2 )

2 шаг: у = 1 гgx . Так как коэффициент а = 1 < 1, то производим сжатие графика

функции у = гgx в два раза вдоль оси ординат. Период и область определения при

( п п

этом не меняются. Т = п, Б(у) = — + лк, — + лк |, к е 2 .

V 2 2 )

12 2

3 шаг: у = — г^ — х. Так как коэффициент Ь = -< 1, то производит растягивание

графика функции у = 1 гgx вдоль оси абсцисс в 1 раз, то есть в 3 раза. Период и

п 3

область определения при этом изменяются Т = = , Б(у) = п е 2 .

3п 3пп 3п 3пп

--+ -

4

2 4

2

1 1 2 Рис. 9. Графики функции у = гgx, у = — гgx , у = —

4 шаг: у = -1 гg2х . Симметрично отображаем последний график относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.

5 шаг: y = --tg

1 ( 2

3

х I. Для того чтобы построить график данной функции, нужно

отразить график, построенный на предыдущем шаге относительно оси ординат. Можно поступить и по-другому. Воспользуемся свойством нечетности функции тан-

1 ( 2 I 1 2

генса. В этом случае верно равенство: у =— tg — х ! = — . График функции

2

3

2 3

у = 1 tg 2 х был построен на третьем шаге. Таким образом, график функции

1

y = - 2tg

— 2 хI полностью совпадает с графиком функции у = 1 tg 2 х.

1

6 шаг: y = — tg

- ' 2

С 2f

v 3 v

x--

Y\

JJ

Сдвигаем график функции y = -1 tg

i

2 1 ж — x I на —

3 J 2

вправо. Наименьший положительный период и область определения функции при этом не меняются.

1 ( 2 ( 7 шаг: y = — tg

3

ж

x--

2

ж

JJ

+ —. Сдвигаем график, построенный на шестом шаге

ж

на — вверх. Период и область определения при этом не меняются.

1 ( 2 х \ 1 2 ( ж Рис. 10. Графи ки функции у =--tgl--I, у = — tgl —I х —

2 3 ) 2 31 2)

y=- 2tg

- 2 (x-Ж J1+f

V

На этом задача преобразования графика тригонометрической функции у = tgx заканчивается.

V

п \ п

х + — |--

6) 4

п „ 1 п _ , п , п

в) у = 2cгg — + 3х | —. Здесь а = -2, Ь = 3 , с = —, а = —. V 2 ) 4 2 4

Цепочка преобразований графика функции у = ^х следующая:

( п\ (

у = сХ%х ^ у = 2^х ^ у = 2cгg3x ^ у = 2cгg3 х +— | ^ у = 2cгg3

V 6)

1 шаг: у = ^х , Т = п, Б(у) = (пк, п + лк), к е 2 .

2 шаг: у = 2сг§х • Сжимая график у = сг^х вдоль оси Ох так как а = 2 > 1. Период и область определения при этом не меняются.

3 шаг: у = 2сtg3x . Так как коэффициент Ь = 3 > 1, то производится растяжение

графика функции у = 2сtgx вдоль оси абсцисс в 1 раз, то есть в 1 раз. Период и обЬ 3

п

с

ласть определения при этом изменяются Т = —, Б(у) =

пп п т \

—, — + — |, п е 2 3 3 3 )

Рис. 11. Графики функций у = х , у = 2сtgx, у = 2сtg3x

п \ п

4 шаг: у = 2^3 х + —| . Сдвигаем график функции у = 2сtg3x на — влево. Пе-

V 6) 6

риод и область определения при этом не изменяются.

5 шаг: у = 2^3 х + т\ -т. Сдвигаем график, построенный на предыдущем шаге

V 6) 4

п

на — вниз. Период и область определения при этом не изменяются.

ж

Рис. 12. Графики функций у = 2сtg3 х + — I , у = 2сtg3

V 6)

ж I ж

х + — I--

6) 4

V

На этом задача преобразования графика тригонометрической функции у = ^х заканчивается.

Заключение

В статье были рассмотрены основные линейные преобразования, примененные к тригонометрическим функциям, такие как:

1) масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль какой-либо из осей (абсцисс, ординат);

2) симметричное (зеркальное) отражение относительно какой-либо из координатных осей;

3) параллельный перенос (сдвиг) вдоль какой-либо из координатных осей.

Однако, к линейным преобразованиям относят не только преобразования самой

функции и/или ее аргумента к виду у = а[(Ьх + с) + й, но и также преобразования, содержащие модуль аргумента и/или функции.

Таким образом, применение модуля тоже представляет собой линейное (геометрическое) преобразование графика. Поэтому к вопросу построения более сложных однозначных и многозначных тригонометрических функций, содержащих знак модуля, мы еще вернемся в следующих статьях.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Ахметова Ф.Х., Головина А.М. Методика построения графиков линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 5 (май). - С. 159-170. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170117.htm.

2. Ахметова Ф.Х., Головина А.М. Линейная комбинация функций, содержащих знак модуля и методика построения их графиков // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V6. - С. 4954. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170138.htm.

3. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - С. 76-81. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186090.htm.

4. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Построение графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V11. - С. 6-11. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186105.htm.

5. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения плоскости на несколько областей при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V12. - С. 1-6. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186118.htm.

6. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методы построения графиков квадратичных функций, содержащих знак модуля // Modern European Researches. - Salzburg, 2019. - T.1. № 2. - P. 4-10. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38973139

7. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методы построения графиков функций, заданных в виде произведения некоторых квадратичных функций, содержащих знак модуля // Modern European Researches. - Salzburg, 2019. - №5. - P. 4-11. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=41478905

8. Ахметова Ф. Х., Буякевич А. Е. Исследование некоторых вопросов поведения функций и построение графиков с привлечением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V9. - С. 77-87. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171024.htm.

9. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методы построения графиков дробно-линейных функций, содержащих знак модуля // Modern European Researches. - Salzburg, 2020. - Т. 1. № 2. - P. 5-14. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43596983

10. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методы построения графиков многозначных дробно-линейных функций, содержащих знак модуля в правой части своего аналитического задания // Modern European Researches. -Salzburg, 2021. - Т. 1. № 2. - P. 5-17. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=46114856.

Faniya Kh. Akhmetova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow dobrich2@mail.ru Anastasiya M. Golovina,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow nastya gm@mail.ru

Plotting trigonometric functions using linear converters

Abstract. The article demonstrates practical techniques for constructing graphs of various levels of complexity. Using the example of trigonometric functions the basic linear transformations are analyzed, which allow you to freely operate with graphs. Note that linear transformations can be applied to other classes of functions, not just trigonometric ones. The purpose of the work is to show how quickly and easily you can build a graph of a complex function using basic linear transformations. The content of the article will be useful for students as well as for first-year teachers.

Key words: trigonometric functions, graphs function, linear transformations.