CC BY
26
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К,,Я Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 245 УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ СРЕДНЕГО ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
И.П. Половинкин 18 )
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]
19)
Аннотация. Рассмотрены некоторые способы получения формул среднего для уравнений со спектральным параметром из известных формул среднего.
Ключевые слова: формула среднего, теорема о среднем.
Определение. Пусть Р(и) - многочлен порядка т. Финитное распределение (см. [1]) Ф назовем сопровождением уравнения
Р (О) и = 0
с дифференциальным оператором Р(О), если для любого решения и(х) Є Сте(Мга) имеет место равенство
(Ф,и) = 0,
называемое формулой среднего для этого уравнения.
Далее, А = ^п=1 92/дх‘1 - оператор Лапласа в Мп, е(р) = 1/(\Бп\(2 — п)рп-2), если п > 3, е(р) = 1пр/(2п), если п = 2, е(|х\) — фундаментальное решение оператора Лапласа, Зя(х0)
- сфера в Мп с центром в точке хо и радиусом К, Б^(х0) - шар с границей £д(хо), \Sn\ -площадь сферы £і(0). Через 5(х — х0) обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке х0, через 83в(Х0)(х) - мера Дирака, сосредоточенная на сфере £я(х0).
Теорема 1 [2]. Для того, чтобы финитное распределение Ф являлось сопровождением оператора Р(О), необходимо и достаточно, чтобы имело место представление Ф(-ш) = Р(-и)ф(и), и Є Сп, где 'ф(и) - целая аналитическая функция, Ф(и) - образ Фурье распределения Ф.
Далее Р(и) - сумма одночленов с одинаковой четностью.
Теорема 2 [2]. Пусть известно некоторое сопровождение Ф(х) оператора Р(О). Пусть и0(х) Є Сте(Мп) - решение в Мп уравнения Р(О)и0 + \и0 = 0. Тогда справедлива формула среднего (Ф + (—1)т\ф, и0) = 0, где ф(х) - прообраз Фурье функции 'ф(и).
Эти теоремы позволяют вывести формулу среднего для собственных функций оператора, зная формулу среднего для самого оператора. Ниже приводится пример, в котором предложенная схема реализуется.
Теорема 3. Решение уравнения Гельмгольца
Аи + \и = 0
18Половинкин И.П., канд.физ.-мат. наук, доцент Воронежского государственного университета.
19Старооскольский технологический институт (филиал «Московского института стали и сплавов»), мк р-он Макаренко, 42, г. Старый Оскол, Белгородская область, 309516, Россия
удовлетворяет формуле среднего значения
и(хо) - ! и(у) аБу + Х / 'Iх - ХоI) - '(Я)) и(у)(1у = 0 •
Зе(хо) Ве(хо)
□ Хорошо известна формула среднего для гармонической функции
и(хо) = JSn~RЯn—^ J и(х) ЛБх •
Зе(хо)
Из нее следует, что распределение
ф(х) = 6(х - х0) - | Б | 1Кп-15яп(хо)(х)
является сопровождающим оператор Лапласа А. Поэтому для оператора (А + Л) можно указать сопровождающее распределение вида Фо = Ф + Лф, где
/««Л V I « I 2
ф(х) = I I = IхI) * Ф(х)
Имеем
1
ф(х) = е(1 х 1) * (х - х0) - | ^ | Яп-1 дяяХо)^
I Бп I Яп
(1х - хо0 - |Б ^Кп-1 * 5яп(хо) (х) •
Вычислим второе слагаемое. Пусть
11 д(х)= б IЯп-1 е(х) * $яЕ(хо)(х)= б IЯп-1 ] е(х - У^ (1Бу •
Зе(хо)
Если I х - х01 > Я, то функция у(у) = е(Iх - уI) гармонична в окрестности шара (круга)
I у - х01 < Я. Поэтому по теореме о среднем гармонической функции д(х) = е(Iх - х01), а значит ф(х) = 0.
Пусть теперь I у - х01 < Я. Обозначим через х точку, симметричную точке х относительно сферы Бя(х0), то есть точку, лежащую на луче х0х, для которой
I х - х01 ■ I х - х01 = Я2 ,
Последнее равенство означает еще и подобие треугольников хх0 у и ух0 х, что позволяет переписать его в расширенном виде:
I х - х0 I Я I у - х I
Я х - х0 у - х
Отсюда
Iу - х}= |х - х0м у -х|,
а, следовательно,
™ = ш*-/ ) -V
$я(хо)
Функция е (|х — хо| • | у — х|/К), рассматриваемая как функция переменной у, является гармонической в окрестности шара (круга) | у—Хо | < К. Поэтому по теореме о среднем гармонической функции
д(х) = е ( = е(к).
Поэтому при ^ — х^ < К
ф(х) = е^х — х0|) — е(К).
Отсюда вытекает утверждение теоремы. ■
Еще один способ получения формул среднего значения основан на методе спуска Адамара. Приведем пример его использования. Рассмотрим уравнение
д2и д2и
дх2 дг2 +си 0 •
Пусть функция и(х, г) является регулярным решением этого уравнения. Тогда функция
и(х, г, г) = есги(х, г)
является регулярным решением двумерного волнового уравнения
д2у д2у д2 V
дх2 + дг2 дг2 ’
что проверяется непосредственной подстановкой. Из формулы Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения с двумя пространственными переменными вытекает равенство
х+г г+^Р-^-х)2
1 Г Г рс(п-г) йп
и(х,г) + и(х, —г) = - и(£, о) ^
П Л Л . /г2 — ( £ — х)2 — (п — г)2
х— г-^ г2-(^-х)2
ф2 — (£ — х)2 — (п — г)2
Внутренний интеграл в последней формуле вычисляется и с учетом этого мы получим формулу среднего для функции и(х, г)
и(х, г) + и(х, —г) =
х+г
= “У и(£' 0^ !о(с^г2 — (£ — х)2 ) — Ро(с^г2 — (£ — х)2 )^ ^ ,
х-г
где
“ (г/2)2т+и
т\Г(т + V + 1)
т=0 4 7
- модифицированная функция Бесселя первого рода порядка V,
ГО
ЬV(г) = ^
(г/2)2т+и+1
т=о Г(т + 3/2)Г(т + V + 3/2)
модифицированная функция Струве порядка v.
Литература
1. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1 / М.: Мир, 1986. - 464 с.
2. Мешков В.З., Половинкин И.П. О получении новых формул среднего значения для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. - 2011. - 47;12. - С.1724-1731.
SOME MEAN VALUE FORMULAS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SPECTRAL PARAMETER I.P. Polovinkin
Voronezh State University,
Universitetskaya pl., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected] 20)
Abstract. Some methods of mean value formulas obtaining based on known ones are proposed. It is done for equations with a spectral parameter.
Key words: mean value formulas, mean value theorems.
20Technological Institute (department of Moscow Institute of Steel and Alloys) at Stary Oskol, district Makarenko, 42, Stary Oskol, Belgorod region, 309 516, Russia.
