О стационарных нулях решений линейных эллиптических уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О СТАЦИОНАРНЫХ НУЛЯХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

И.П. Половинкин

Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия,

Воронежский институт инновационных систем, ул. Березовая Роща, 54, Воронеж, 394043, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассмотрен вопрос о топологической структуре множества нулей решения линейного однородного эллиптического уравнения, кратность которых не ниже порядка уравнения. В случае двух независимых переменных показано, что такое множество может состоять лишь из изолированных точек.

Ключевые слова: нули функции, кратность нулей решений, размерность множества стационарных нулей.

Рассмотрим область П € Кп, п > 2. Пусть Р = Р(х,Б) - эллиптический оператор, определенный равенством

Р(х, Б)п = рО(х)Бап ,

|а|<5

где х = (х1,..., хп) € П, а = (а\,..., ап) € (М и {0})п - мультииндекс,

д|а| и

| а:| = а'1 + • • • + ап , Паи = ^а1-дхап ’ Ра(х) ^ С'°°(П), |а:| < в, в > 2.

Рассмотрим далее в П линейное однородное эллиптическое уравнение

Р(х, Б)п = 0 . (1)

Известно (см. [1]), что всякое обобщенное решение уравнения (1) в области П принадлежит классу Сте(П), что будет использовано нами ниже. Далее будем использовать также традиционное обозначение ха = ха1 ... хО".

Определение 1. Будем говорить, что точка х° = (х0,. .. ,хП) € П является нулем порядка (кратности) т > 1 функции п(х), если для всех мультииндексов а, удовлетворяющих условию | а | < т — 1, выполняются равенства

Бап(х0) = 0, (2)

но при этом найдется хотя бы один мультииндекс а, для которого | а| = т и Бап(х0) =

0. Если же равенство (2) выполняется для всех без исключения мультииндексов а, то

точку х0 будем называть нулем бесконечного порядка функции п(х). Если т = 1, то точку х0 называют простым нулем. Если же т > 1 или х0 - нуль бесконечного порядка, то говорят, что точка х0 является кратным нулем функции п(х).

Согласно теореме Ароншайна-Кордеса (см., напр., [3]) при в = 2 ненулевое решение п(х) уравнения (1) в области П не может иметь нулей бесконечного порядка. Поэтому если х0 € П является нулем решения п(х) уравнения (1), то в некоторой окрестности точки х0 при некотором т > 1 имеет место представление

п(х) = ^т(х — х0) + Ят+1(х) , (3)

где

^т(ж - Ж°)= ^ 6«(ж - Ж0)“

|а|=т

- главная часть в представлении Тейлора, которая является однородным многочленом

(формой) порядка т, а функция (ж) , будучи остаточным членом в представлении

Тейлора, удовлетворяет условиям

Лт+і(ж) = 0(|ж - Ж°Г+1), Ж ^ ж0, ДаДт+1 = 0(|ж - ж°Г+1-|а|) , 1 < |а| < т - 1. (4)

При в > 3 мы будем предполагать, что в < т < +то, то есть ограничимся рассмотрением нулей, кратность которых конечна и не ниже порядка уравнения (1).

Теорема 1. Если точка ж° Є П является нулем конечного порядка не ниже в решения и (ж) уравнения (1), то форма ^т(ж - ж°) в представлении (3) удовлетворяет условию

Р°(ж°; Д)^то(ж - ж°) = 0 ,

где

Р°(ж°; Д)= ^ Р«(ж°)£“

|а|=8

- главная часть оператора с постоянными коэффициентами Р(ж°, Д).

□ В некоторой окрестности точки ж° действие оператора Р(ж, Д) можно представить в виде

Р(ж; Д)и = Р(ж°; Д)и + аа(ж)Д“и, (5)

|а|<8

где аа(ж) суть бесконечно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

а«(ж) = 0(|ж - ж°|) , |а| < в. (6)

В свою очередь оператор Р(ж°,Д) является эллиптическим оператором порядка в с постоянными коэффициентами, который определен равенством

Р(ж°; Д)и = ^ Ра(ж°)Даи = ^] Ра(ж°)Даи + Ра(ж°)Даи =

|а|<8 |а|=8 |а|<8-1

= Р°(ж°; Д)и + ^ Р«(ж°)Даи. (7)

|а|<8-1

При действии оператора Р(ж, Д) на функцию, представленную в виде (3), с учетом представлений (5), (7) и условия (6), будем иметь:

Р°(ж°; Д)^т(ж - ж°) + Р°(ж°; Р)Дт+1рг) + ра(ж°)Д“^т(ж - ж°) +

|а|< 8— 1

+ 5^ ра(ж°)Д“Дт+1(ж) + ^ аа(ж)Д“^т(ж - ж°)+£ аа(ж)Д“Дт+1(ж). (8)

|а|< 8—1 |а|< 8 |а|< 8

В тождестве (8) для главного члена имеем:

Р°(ж°; Д)дт(ж - ж°) = 0(|ж - Ж°|т—8).

Остальные члены имеют более высокий порядок малости. Поэтому мы из тождества (8) с необходимостью приходим к равенству

Р°(ж°; Д)^то(ж - ж°) = 0 . ■

Теорема 2. Пусть х0 € П является изолированной точкой множества нулей порядка не ниже в многочлена ^т(х — х0) из представления (3). Тогда х0 является является изолированной точкой множества нулей порядка не ниже в решения п(х) уравнения (1).

□ Пусть точка х0 € П является нулем кратности не менее в решения п(х) уравнения (1) и при этом изолированным нулем кратности не менее в функции ^т(х — х0). Тогда в некоторой проколотой окрестности точки х0 с некоторой постоянной С > 0 имеет место неравенство

у- \РаЯт(х - Ж°)| > с

|а|< 8-1

Тогда для точек этой окрестности будем иметь

у~\ \Паи(х)\ _ ул \Оа(С}т(х — Х°) + Лт+10*0)1 ^

|а|< 8-1 1 1 |а|< 8-1 1 1

>

І-Ь' Чт\Л — )\ І-Ь' Лт+1^Л ^ ^ '^Г''

|а|< 8—1 |а|< 8—1 |а|< 8—

Из равенства (4) следуют равенства

^ -О і?т+і(ж) п оп о

/ 1------т----ГГ = Р ~ Ж ), Х^Х

^ |ж - Ж°|т—|а| 4 и

|а|< 8— 1

Поэтому в достаточно малой проколотой окрестности точки х0 мы будем иметь

|-0°Дт+1(ж)| ^ С ^ Ь - ж°|т-1"1 ~~ 2 '

|а|< 8—1

Отсюда для всех точек х = х0 из этой окрестности

^ \Р°и{х)\ > С и

^ Ь - ж°|т-1"1 ~~ 2 '

|а|< 8—1

Теорема 2 позволяет отвлечься от изучения структуры множества кратных нулей функции и(х) и заняться изучением структуры множества кратных нулей многочлена ^т(х — х0) при некоторой фиксированной точке х0 € П.

Обозначим через О множество всех нулей кратности не менее в многочлена ^т(х — х0) в области П. Для всех точек множества О выполняются соотношения

Ро(х0; ^)^т(х — х0) = 0 , (9)

^т(х — х0) = 0 , (10)

£адт(х — х0) = 0 , 1 < |а| < в — 1. (11)

Соотношения (10)-(11) вытекают из определения кратных нулей, а равенство (9) - из теоремы 1. В силу равенства (10) множество О является алгебраическим в Кга. Поэтому оно может быть представлено в виде

Г

о = у мк, к=0

где Мк (к = 0,1,...,г) - вещественно аналитическое многообразие размерности к.

Пусть открытый шар В(х0) с центром в точке х0 € П лежит целиком вместе со своим

замыканием в области П. Без ограничения общности его радиус можно считать равным

1. Обозначим через Б(х0) границу этого шара, через Г - пересечение множества О со сферой Б(х0), а через Гк - пересечение со сферой Б(х0) множества Мк (к = 0,1,..., г).

Тогда Г = Гк.

к=0

Лемма 1. Если >х (^С ^,..., >х П) € Г, то для всех точек х € П вида х = х0 + А(х1 —

х0), А > 0 выполняются равенства (10)-(11) .

□ Доказательство этой леммы непосредственно вытекает из однородности степени т > 2 функции ^т(х — х0). ■

Лемма 2. Размерность любого многообразия Гк не превышает п — 2 .

□ Предположим противное: &шГк = п — 1. Равенства (9)-(11) могут рассматриваться как задача Коши для уравнения (9) с данными на заведомо нехарактеристическом

вещественно аналитическом многообразии Гк. Согласно теореме Коши-Ковалевской решение ^т(х —х0) этой задачи тождественно равно нулю в некоторой окрестности многообразия Гк, а следовательно, тождественно равно нулю, так как ^т(х — х0) - многочлен. Противоречие доказывает лемму. ■

Лемма 2 может быть усилена. Однако для этого далее придется разделить исследования при п = 2 и при п > 3.

Лемма 3. Если п > 3, то размерность любого многообразия Гк не превосходит п — 3.

□ Предположим противное. Тогда в силу леммы 2 ^шГк = п — 2. Но тогда, согласно лемме 1, с каждой точкой х1 = (х1,..., х^) € Гк и множество точек вида х = х0 + А(х1 — х0), А > 0, состоит из кратных нулей формы ^т(х — х0). Но множество всех таких точек образует вещественно аналитическое многообразие размерности п — 1 . Тогда снова по теореме Коши-Ковалевской ^т(х — х0) = 0, х € П. Противоречие доказывает лемму. ■

Непосредственно из леммы 3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3. При п > 3 размерность любого многообразия Мк (к = 0,1,..., г) не превосходит п — 2, то есть г < п — 2.

Теорема 4. При п = 2 решение и(х) уравнения (1) может иметь лишь изолированные нули кратности не менее в.

□ Пусть х0 € П - нуль кратности не менее в функции и(х). Предположим противное утверждению теоремы, то есть что х0 - предельная точка множества нулей кратности не менее в функции и(х). Тогда по теореме 2 в сколь угодно малой окрестности точки х0 найдутся точки, в которых будут выполняться равенства (9)-(11). Зададимся произвольно малым 6 > 0 и зафиксируем какую-нибудь точку х1 = (х1,... , х^) € П из проколотой 6-окрестности точки х0, в которой выполняются равенства (9)-(11). В силу леммы 1 эти равенства будут выполняться и во всех точках вида х = х0 + А(х1 — х0), А € [0; 1], то есть на отрезке, соединяющем точки х0 и х1. Отсюда, по теореме Коши-Ковалевской, ^т(х — х0) = 0, х € П. Противоречие доказывает теорему. ■

Рассмотрим приложение теоремы 4 к исследованию линейной непрерывной модели Пу распределения дохода при условии межрегиональной торговли. В монографии Пу [3] рассмотрена макроэкономическая модель, описывающая колебания валового дохода в заданном регионе. Модель строилась из следующих предположений:

дУ

Ж = 1-У. (12)

д/ дУ г

т ~ у~т ~ ’ ^

где У = У(х, у, £) - отклонение дохода от стационарного состояния, / = /(х, у,£) -

уровень инвестиций, (х, у) - географические координаты точки, £ - время, V - темп ин-

вестиций, в - темп сбережений. При предположениях (12)-(13) уравнение, описывающее изменение дохода в точке (х,у), имеет вид

д2 У дУ

—+„.- + Л- = 0, (14)

где ^ = в + 1 — V.

В уравнение (14) географические координаты входят как простые параметры, так что (14) является обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же к предположениям (12)-(13) добавить предположение о межрегиональной торговле, то в первом приближении активное торговое сальдо определяется выражением

( д2У д2У \

тАу=1,Ы+ф)' (15)

где в - коэффициент пропорциональности, характеризующий склонность к импортированию. Без ограничения общности можно положить в =1. При этих предположениях уравнение (14) заменится уравнением

д2 У дУ

Ж + '‘аГ + *к = ДУ- (16)

Рассмотрим стационарное распределение дохода в некоторой области П, полагая, что функция У зависит только от географических координат х,у и не зависит от времени £. Тогда уравнение (16) примет вид

ДУ — вУ = 0 . (17)

Назовем точку (х0,у0) точкой безнадежности модели Пу, если

У (х0,у0) = УУ (х0,у0) = 0.

Другими словами, точка безнадежности - это стационарный нуль решения уравнения (17). Такой термин оправдан тем, что в точке безнадежности доход находится на невозмущенном уровне, а кроме того, отсутствует тенденция к локальному его изменению.

Множество всех точек безнадежности назовем множеством безнадежности модели Пу. В этих терминах теорема 4 может быть переформулирована следующим образом.

Теорема 4. Множество безнадежности модели Пу состоит из изолированных точек безнадежности.

Результаты, изложенные в настоящей работе, анонсированы в [4] и [5].

Автор выражает сердечную благодарность профессору В.З.Мешкову, который обратил внимание на изложенную проблему и проявлял постоянный интерес к её решению.

Литература

1. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1 / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1986. - 464 с.

2. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.3 / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1987. - 696 с.

3. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика / Т. Пу. - Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет 2000. - 200 с.

4. Половинкин И.П. О множестве безнадежности в линейной непрерывной модели Пу распределения дохода // Системы управления и информационные технологии. -2008. - 1.2(31). - С.253-256.

5. Половинкин И.П. О размерности множества кратных нулей решения эллиптического уравнения // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2-7 июля 2010. Тезисы докладов. - М., 2010. - С.149 -150.

ON STATIONARY ZEROS OF SOLUTIONS OF THE LINEAR ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

I.P. Polovinkin

Voronezh State University,

Universitetskaya Pl., 1, Voronezh, 394006, Russia,

Voronezh Institute of Innovation Systems,

Berezovaya Roscha St., 54, Voronezh, 394043, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The topological structure of the zero set of solutions of linear homogeneous elliptic equations is studied. Zeroes which have multiplicities not lower then the equation order is under consideration. In the case of two independent variables it is shown that such a set can consist only of isolated points.

Key words: zeros of the functions, multiplicity of solution zeros, dimension of the stationary zeros set.