К свойствам решений линейных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

К СВОЙСТВАМ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В рамках символического подхода предложен способ получения формул средних

значений для некоторых классов уравнений в частных производных.

Ключевые слова: линейные уравнения в частных производных, формула среднего значения, теорема о среднем.

1. Введение

В настоящей работе рассмотрены формулы среднего значения для решений линейных уравнений в частных производных. В разных разделах и прикладных задачах под понятиями “формула среднего” , “теорема о среднем” часто подразумевают несколько разнородные факты. Многообразные результаты для различных типов уравнений объединяет то, что в них участвует среднее (возможно, с весом) достаточно гладкой функции по некоторому множеству, чаще всего по сфере.

Теоремы о среднем для эллиптических уравнений наиболее широко известны. Базовым для использования в приложениях является следующий классический результат (теорема о среднем для гармонической функции), восходящий к Гауссу (см., например, [1]): для того, чтобы непрерывная в области П С К™ функция и(х) была гармонической в П, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х Е П и всякого значения г > 0 такого, что замыкание шара В(х,г) = {£ € К™ : |£ — х\ < г} вложено в П, ее значение в точке х равня-

лось среднему по границе шара (по шару). Этот факт обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [2-7] устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральным разложением по собственным функциям эллиптических операторов. Кроме того, теорема о среднем указанного типа переносится и на римановы многообразия [8; 9]. Среди теорем о среднем для гиперболических уравнений прежде всего следует указать на классический принцип Асгейрсона [8; 10] для ультрагиперболического уравнения и теорему А. В. Бицадзе и А. М. Наху-шева о среднем значении для волнового уравнения [11]. Ниже будет предложен некоторый подход, позволяющий с общей точки зрения относиться ко многим утверждениям такого типа и получать некоторые новые теоремы о среднем.

2. Основные определения и обозначения

Следуя [12], будем через К обозначать пространство финитных основных функций переменных х = (х\,. . . ,хп) Е К™, через Б — пространство Шварца, быстро убывающих основных функций, через К',8' — соответствующие двойственные пространства распределений.

Через / будем обозначать преобразование Фурье распределения / Є Б. Этим же символом / (ш) мы будем пользоваться и для обозначения преобразования Фурье-Лапласа распределения / с компактным носителем, представляющего собой в этом случае целую аналитическую функцию комплексной переменной ш Є Сп [13]. Далее, пусть

Всюду далее в этой работе предполагается, что мультииндекс а имеет неотрицательные целые координаты. Через Б^(х0) мы обозначаем сферу в Кп, через ип — площадь поверхности единичной сферы в Мп. Через 5(х — х0) обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке хо, через ¿^д(х0) (х) — мера Дирака, сосредоточенная на сфере Бд(х0).

3. О связи теорем о среднем значении

для дифференциального уравнения с теорией распределений

Предлагаемый в настоящей статье подход к теоремам о среднем значении можно выразить следующим образом. Тот или иной факт, затрагивающий средние значения решения линейного однородного дифференциального уравнения, мы связываем с существованием некоторого специально подобранного распределения, действие которого на решения уравнения равно нулю. Приведем более точное определение.

Пусть Р(ш) — многочлен порядка т. Рассмотрим уравнение

Определение 1. Распределение Ф c компактным носителем назовем сопровождающим (сопровождением) уравнение(я) (оператор(а)) Р(О) (1); если для любого решения и(х) Е С™(К™) имеет место равенство

Для любого многочлена P(Д) существуют тривиальные сопровождающие распределения вида Q(D)P(Д)8(х — х0), где Q(D) — произвольный многочлен. Между тем теорема о среднем для бесконечно дифференцируемых решений эквивалентна существованию некоторого нетривиального сопровождающего распределения.

Пример 1. Для уравнения колебаний струны

Р (Д)и = 0.

(1)

(Ф,и) = 0.

(2)

д2и д2и

^-^ = 0

дх2 ду2

(3)

имеет место следующее утверждение (теорема о среднем): для того чтобы функция и(х,у) Е С2(К2) являлась решением уравнения (3), необходимо и достаточно,

чтобы для каждого прямоугольника, образованного прямыми x ± y = const, выполнялось равенство

u(Mi) + и(Мз) - u(M2) - u(M4) = 0, (4)

где Mk = (xk, Ук) (к = 1, 2, 3, 4) суть последовательно пронумерованные вершины этого прямоугольника.

Подвергнув решение уравнения (3) более жесткому требованию u(x) Е (R2), нетрудно заметить, что необходимость равенства (4) эквивалентна утверждению о том, что распределение

к=1

(-1)к-Ч(М - Мк), (5)

где М = (х, у) Е К2, является сопровождающим для уравнения (3).

Пример 2. Теорема о среднем для уравнения Лапласа имеет следующий вид:

для того чтобы функция и Е С (К™) являлась решением уравнения Лапласа

" д2и

Аи = 5] дхх2 = 0, х Е Rп, (6)

к=1 к

необходимо и достаточно, чтобы для любого Я > 0 и для любой точки хо Е К™ имело место равенство

и(хо) = —I и(х) ¿Бх, (7)

^™Я ]

Эя (хо)

где ¿Бх — элемент площади поверхности сферы Би(х0) с центром в точке х0 и радиусом Я. Отсюда непосредственно вытекает, что распределение

8(х - хо) - 5эя(хо)(х) (8)

является сопровождающим для оператора Лапласа А.

4. Критерий сопровождающего распределения в терминах преобразования Фурье—Лапласа

Теорема 1. Для того чтобы распределение Ф с компактным носителем являлось сопровождающим уравнение (1); необходимо и достаточно, чтобы функция

, ш Е С™ (9)

ш)

была целой аналитической.

Доказательство. Необходимость вытекает из того, что по определению сопровождающего распределения для всех решений уравнения (1) выполняется равенство (2), в том числе и для экспоненциальных решений вида и(х) = 0(х)ег(х{ш'),

где w Е Cn, G(x) — многочлен. Отсюда по лемме 7.3.7 [13] и следует, что функция (9) является целой аналитической.

Замечание. Это утверждение о необходимости без труда распространяется на сверточные уравнения вида а * и = 0, где а Е E'(Rn). Доказательство проводится по той же схеме.

Достаточность. Здесь мы воспользуемся схемой Хермандера [13]. Пусть П = supp Ф. Через ch П обозначается замкнутая выпуклая оболочка множества П, то есть пересечение всех выпуклых замкнутых множеств, содержащих П. Пусть Ип(0 = sup(x,£) = sup (x,£), £ Е Cn — опорная функция множества П. По

жЕП жЕсЬП

теореме Пэли-Винера-Шварца [13, теорема 7.3.1] для некоторого N имеет место неравенство

\Ф(w)\ < C(1 + M)wвНп(1тш), и =(u1,...,un) Е Cn (10)

По условию мы можем представить преобразование Фурье-Лапласа распределения Ф в виде

Ф(w) = P (w)t/j (w),

где ф (w) — целая аналитическая функция. Выберем координаты таким образом, чтобы коэффициент а при и^1 был отличен от нуля. Тогда многочлен p*(z) = P(и1 + z, и2,... ,un) одной переменной z имеет старший коэффициент а. Положим q(z) = zmp*( 1), где p*(z) — многочлен, полученный из р* переходом к комплексно сопряженным коэффициентам. Тогда q(0) = а. По принципу максимума модуля аналитической функции для любой аналитической функции h(z) мы будем иметь

\ah(0)\ = \q(0)h(0)\ < max\q(z)h(z)\ = max \p*(z)h(z)\.

\z\ = l \z\ = l

Отсюда, полагая h(z) = ф(и1 + z, u2,... , un)), получим

\а\\ф(u)\ < max\P(ui + z,u2,... ,ип)ф(ui + z,u2,... ,Un))\ =

\z\=1

= max\Фи + z, u2,..., un)\.

Отсюда следует, что функция ф (w) удовлетворяет оценке вида (10), только с другой постоянной. Поэтому, по теореме Пэли-Винера-Шварца, она является преобразованием Фурье-Лапласа некоторого распределения ф с компактным носителем, совпадающим с носителем распределения Ф. Тогда

Ф = P (В)ф,

и для любого решения и Е C^(Mn) в силу однородности оператора P(D) мы будем иметь

{ф, 0) =0 ^ {ф, P(D)u) = 0 ^ {P^)ф, и) = 0 ^ (Ф,и) = 0, что и требовалось доказать. □

5. Свойства средних для операторов, раскладывающихся на множители. Сопровождающие распределения

Пусть Р(Б) = Р1(Б)Р2(Б), где Р1 и Р2 суть однородные многочлены. Пусть Ф| — распределение с компактным носителем, сопровождающее оператор Рг(Б), I =1, 2.

Теорема 2. Распределение Ф = Ф1 * Ф2 является сопровождающим оператор

р (б) = Р^БРО).

Доказательство. В силу теоремы 1 имеем

Ф¡(т) = Рг(т)'фг(т), I = 1, 2,

где фг('ш) (I = 1, 2) — целая аналитическая функция. Поэтому после применения преобразования Фурье-Лапласа к распределению Ф = Ф1 * Ф2 получим

Ф(т) = Ф\ * Ф2(т) = Ф 1(т)Ф2(т) = Р1(т)Р2(т)ф1(т)ф2(т) = Р(т)ф(т),

где ф(т) = ф 1 (/ш)ф2(/ш) — целая аналитическая функция. Отсюда в силу теоремы 1 функция Ф = Ф1 * Ф2 является сопровождающей оператор Р(Б), что и требовалось доказать. □

Теорема 2 позволяет находить сопровождающие распределения линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными, поскольку такие операторы раскладываются на множители, сопровождающие распределения которых известны. Перейдем к подробному изложению этого факта.

Рассмотрим линейный однородный дифференциальный оператор

Р (дд ^ = V (ддх“

\дx, ду) |^ а \дх, ду/

с постоянными коэффициентами аа, а = (а-\^, а2). Хорошо известно, что такой оператор раскладывается на простейшие множители:

д д\ ( д , <9\11 ( д Л д\1

~тг,^~ ) = I а1д—+ Ь1^ ) х • • • х ( а3——+ ьв^ I х

ох ду) \ дх ду) \ дх ду)

( д2 д2 д2 \91

^^эхх2 + 2В2дхду + с'ду?) х"'х

( д2 д2 д2 \ 9г

х(Аг дх2 +2Вгдхду + Сгду2) , (11)

Вк — А-кСк < 0, к = 1... г, 11 + ... 13 + 2(о_1 + ... ц_г) = т.

В разложении (11) имеется два типа множителей: первого порядка

адх+ьдд,,;); (12)

и эллиптические вида

д2 д2 д2 \

A~ñ 2 + 2В~Я^ + C ~й 2 1 , В2 - AC < 0' (13)

дх2 дхду ду2)

Рассмотрим теперь по отдельности вопрос о сопрововождающих распределениях каждого из множителей вида (12) и (13).

Легко видеть, что для оператора (12) можно указать следующее сопровождающее распределение:

8(Ы - M1) - S(M - M2), (14)

где M = (х,у), Mk = (xk,yk), к = 1, 2 суть произвольные точки плоскости,

связанные соотношением

Ьхг - ауг = bx2 - ay2' (15)

Это непосредственно вытекает из того, что решение однородного уравнения, соответствующего оператору (12), представляет собой плоскую волну.

Для оператора (13) соответствующее однородное эллиптическое уравнение заменой

£ = VAC - В2х, п = Ay - Bx (16)

приводится к уравнению Лапласа

д2п д2п

её + = ' ( )

С учетом примера 2, замены (16), вида (8) сопровождающего распределения для оператора Лапласа, мы получим, что для оператора (13) распределение

S(M - Mo) - Ssr(Mo)(M), (18)

где ^^_____________________________________

M = (VAC - B2х, Ay - Вх), M0 = (VAC - В2х0, Ay0 - Вх0),

является сопровождающим.

Отсюда вытекает, что для произвольного однородного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными можно указать сопровождающее распределение, представляющее собой свертку сопровождающих распределений сомножителей в разложении (11), то есть свертку распределений вида (14) и (18).

Пример 3. Рассмотрим уравнение

гГ і _ д3п д3п t д3п t д3п п ПпЛ

[п] = дх3 + дхду + охву2 + ду3 = ' ()

Оператор L в левой части этого уравнения очевидным образом раскладывается

на множители

l=і д+д\ (£ + 02

дх ду J \ дх2 ду

Из теоремы 2, примеров 1 и 2 вытекает, что рассматриваемый в этом примере оператор Ь имеет сопровождение вида

YJ(-1)k-i (S(M - Mk) - SSaiMk)(M))

k=l

где Mk = (xk,yk) (k = 1, 2) суть произвольные точки произвольной прямой, заданной уравнением x — y = const. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что решение уравнения (19) удовлетворяет следующей формуле среднего значения:

2 ( \ Y.(-l)k-1 u(Mk) - j u(0 dSs

k=1 \ Sn(Mk) /

0.

6. О получении формул средних для уравнений вида Р(0)щ + Аг«о = 0

Пусть известно некоторое сопровождение Ф(х) оператора Р(О) с однородным символом. Пусть и0(х) Є Сте(Мга) — решение в М™ уравнения

Р (О)и0 + Аи0 = 0. (20)

Тогда в силу теоремы 1 образ сопровождения Ф(х) делится нацело на символ оператора Р(О). Это означает, что оператор Р(О) может быть представлен в виде

Ф(х) = Р (О)ф(х), (21)

где ф(х) — прообраз Фурье целой функции . Отсюда мы имеем

(Ф,ио) = {Р(О)ф,щ) = (-1)т {ф,Р(О)иа) = (-1)т+1А {ф,щ).

Таким образом, распределение

Ф0 = Ф + (-1)тАф

является сопровождением оператора Р(О) + А. Это означает, что для уравнения (20) справедлива формула среднего значения

{Ф + (-1)тАф,щ) = 0. (22)

Автор выражает сердечную благодарность профессору В. З. Мешкову за

постоянный интерес к проблеме и ряд ценных советов.

Список литературы

1. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, П. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 с.

2. Ильин, В. А. О рядах Фурье по фундаментальным системам функций оператора Бельтрами / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 11. — С. 1940-1978.

3. Ильин, В. А. Некоторые свойства регулярного решения уравнения Гельмгольца в плоской области / В. А. Ильин // Мат. заметки. — 1974. — Т. 15, № 6. — С. 885-890.

4. Ильин, В. А. Об одном обобщении формулы среднего значения для регулярного решения уравнения Шредингера / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ИПМ АН СССР, 1977. — С. 157-166.

5. Ильин, В. А. Формула среднего значения для присоединенных функций оператора Лапласа / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17, № 10. — С. 1908-1910.

6. Моисеев, Е. И. Формула среднего для собственных функций эллиптического самосопряженного оператора второго порядка / Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 197, № 3. — С. 524-525.

7. Моисеев, Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № 5. — С. 827-844.

8. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. — М. : Мир, 1964. - 534 с.

9. Иванов, Л. А. О некоторых свойствах оператора Бельтрами в римановой метрике / Л. А. Иванов, И. П. Половинкин // Докл. РАН. — 1999. — Т. 365, № 3. — С. 306-309.

10. Йон, Ф. Плоские волны и сферические средние / Ф. Йон. — М. : Иностр. лит., 1958. — 158 с.

11. Бицадзе, А. В. К теории уравнений смешанного типа в многомерных областях / А. В. Бицадзе, А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 12. — С. 2184-2191.

12. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматлит, 1958. — 440 с.

13. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1 / Л. Хермандер. — М. : Мир, 1986. — 464 с.

14. Мешков, В. З. К свойствам решений линейных уравнений в частных производных / В. З. Мешков, И. П. Половинкин // Черноземный альманах научных исследований. — Сер. Фундамент. математика. — 2007. — Вып. 1(5). — С. 3-11.