Некоторые элементы кратномасштабного вейвлет-анализа. Часть 2. Анализ и синтез Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

вестник 812012

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 624.04

П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева

ФГБОУВПО «МГСУ»

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КРАТНОМАСШТАБНОГО ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА. Часть 2. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ1

Представлена часть 2 краткого обзора некоторых основополагающих элементов кратно-масштабного вейвлет-анализа. Основной задачей авторов, как и прежде, является доступное изложение основ современной теории вейвлет-анализа с ориентацией на последующее ее приложение для решения практических задач строительной механики. Рассмотрены фундаментальные алгоритмы анализа и синтеза (прямое и обратное вейвлет-преобразования), демонстрируемые на примере дискретного базиса Хаара.

Ключевые слова: кратномасштабный вейвлет-анализ, прямое вейвлет-преобразова-ние, обратное вейвлет-преобразование, базис Хаара.

1. Кратномасштабный анализ: анализ и синтез. Подпространство У^ может быть представлено как прямая сумма двух взаимно ортогональных подпространств 1Д = у©^ (подпространство быстроизменяющихся функций является суммой подпространств медленноизменяющихся функций). Подпространства у и Wj строятся как линейные оболочки соответственно векторов (х) = 2-л 2 Ф(2- jx - к); ¥ к Пусть Р} и Qj — ортогональные проекторы на V и Wj. Тогда

, (1.2) где Е — тождественный оператор.

Рассмотрим произвольную функцию /(х) еК0 с известными коэффициентами разложения с^, кеХ по базису Ф0(х), ке Ъ, т.е.

дх)=£с; ф^(Х).

к

Очевидно, что функция /(х) представима в виде

дх)=^дх)+е1/(х),гДе ад*)=Хккд а3)

к к На основании свойства ортогональности имеем:

4 = (Р/, Фк ) = (/, Ф1 ) = 1с°° (Ф0, Фк ) = 2-1/2 Ее0 (Ф( х - Д Ф( х/2 - к));

4 = (й/, ) = (/, ) = £С° (Ф0, *к) = 2-1/2 Ес0(Ф( X - Д ¥( х/2 - к)).

.) }

Для вычисления скалярного произведения введем новую переменную / = х - 2к, откуда х = / + 2к , йх = &. Следовательно,

(Ф(х-Д Ф(х/ 2 -£) = (Ф(^ - 0 - 2к)),Ф((12)) = |ф(г / 2)Ф(( - 0 - 2к))А;

Ф{(х) = 2-л2 Ф(2-]х - к); ¥ j (х) = 2-j|2 ¥(2-- к). (1.1)

1 Часть 1 опубликована в 7-м номере журнала 2012 г.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

mx-j),nxl2-k) = m-(j-2k)),4>(tl2)) = ]4>(tl2)<S>(t-(j-2 k))dt. Принимая во внимание тот факт, что

hk= 2~1'2J<I>(x/2)<I>(x-&)dx; gt= 21'2 J^x/2)Ф(х-&)dx, (1.4)

окончательно имеем

с\ = hj-j d1 = . (1.5)

J J

Действуя аналогично, можем представить Pxf (х) в виде

PJ{x) = Р2/(х) + QJ(X) и так далее. В общем случае, очевидно, можем записать

R_if(x) = Pjf(x) + Qjf{x), где Rf(x) = £ (х) ; б/(х) = ]Гd^i(х). (1.6)

(1.7)

На основании (1.3) и (1.6) получаем

Дх) = QJ(x) + = ß/(x) + £Дх) + i^/M =... =

= Ö/M + а/М +... + QJW + PJ(x).

Можно показать, что для коэффициентов cJk, £eZ и dJk, £eZ имеются следующие рекуррентные формулы:

cJ =HcJ~l-,dJ =GcJ—1, (1.8)

где cJ={ck}™=-о и dJ={dJk}™ — соответствующие векторы, составленные из коэффициентов cJk, keZ и dJk, £eZ ; H и G — операторы, действующие по правилам

[Ha]p = £hk_2ak ■ [Ga]p = ^g^a, , (1.9)

k =—m k=—m

где a = {ak}"°=m — произвольный вектор, составленный из элементов ak, k eZ. Обратный процесс основывается на формулах (1.6):

5>Г ФГ (X) = (х) + £ ^ (х).

k k k Скалярно умножим обе части последнего равенства слева на некоторую функцию Ф/_1(х). Следовательно,

¿,—1= £с1(ф1—(х),фк(х)) +£di(<$>k—(x)^i(X)) . k k Вычисляем скалярные произведения, стоящие в правой части, пользуясь (1.1), и, переходим к переменной s = 2"■7+1 х, откуда ds = 2~J+1 dx , dx = 2'—1 ds и соответственно

(Ф/—Ч* ),Ф k(x )) = 2~у~1/2 (Ф(2~у+1 х - i ),Ф( 2Ч х- к)) =

= |ф(5 -г)Ф(/2 -k)ds = 2—1 2 |ф(5 -г)Ф(/2 -k)ds;

(Ф'—1 (х ), Ч" (х)) = 2"2 (Ф ( 1 X - ¿), 4(2-' х- к)) =

= Т^'1!^ |ф(5 - i)4>(s/2 -k)ds = 2"1'2|ф(5 - /2 -k)ds.

Выполняем повторную замену t = s-2к. Следовательно, x = s + 2k , ds = dt и на основании предыдущих выкладок, а также (1.4) получим:

(Ф'Дх),фi(*)) = 2-1'2 |ф(г72)Ф(? -(i- 2к))dt = h_2t; (Of1 (* ),Ч>/ (х)) = 2-1'2 jV( t/2)0(t -(i- 2k))dt = gJ_2i.

k

k

Таким образом,

сГ=Х'-2*(1.10)

к к

Последнюю формулу можно переписать в виде

р-1 = Нгс' , (1.11)

где Нт и От — операторы, действующие по следующим правилам:

{нТ°\ = ^ [[а\ = ^акИР-2к. (1.12)

Подставляя (1.11) в (1.8), соответственно получим:

С' = И ((с' + Gтdj) = ННтС1 + HGTdj;

ё' = G (Нтс] + Gтdj) = GHTcj + GGTdj. (1.13)

На основании (1.9), (1.12) и условия ортогональности очевидно имеем:

[ ННТа ] р = X К - 2 рЬк, = X К - 2 р X К - 2 к2 = X X К - 2 Р^к, -2 кг = X к,, р = ар ,

«2 =

где Ър =[НТа\р = X«Л-2* .

Таким образом (ниже Е — тождественный оператор),

ННТ = Е, (1.14)

и далее на основании (1.14) и (1.13) находим (ниже 0 — нулевая матрица)

Нвт = вНт =0 ; ООТ = Е. (1.15)

Итак, Н — правый обратный к оператору И, а От — правый обратный к оператору G. Очевидно, что матрицу оператора G можно получить заменой элементов !гк, к е Ъ на соответствующие gk, к е Ъ .

Подставляя в (1.11) выражения (1.8), получим:

с1-х = НТШ1- + С'СС1- = (Н ТН + СтО)С'-х, откуда

нтн + ата = Е. (1.16)

Легко видеть, что

Р = НтН;() = ОтО (1.17)

являются проекторами. В самом деле, на основании (1.14) получаем

Р1 = НТННТН = НТН ; б = СтООтС = СТС.

Рассмотрим векторы Ф0 ={фк ; Ф1 ={Фк и ¥' ={¥к.

Введем скалярное произведение (ниже и и V — соответствующие векторы)

(й,у) = ЕмЛ . к

В таком случае равенства

Дх) = ; РЛх) = Х^х); дЛх) = ^^(х) (1.18)

к к к могут быть переписаны в виде

/(х) = (с0,Ф°), где РЛх) = (с1,®1); Й/М = У1*?). (1.19)

В силу того что

с1 =Нс° ; Ф1 =НФ° , (1.20) можем представить Р1/(х) как

р/(х) = (С1, Ф1 ) = (НС0, НФ0) = ((НС0, Ф0) = (РС0, Ф0). (1.21)

Аналогично имеем

Q1 / (х) = (41, ¥') = (с0, аФ°) = (ос0, Ф0) = (с0, Ф0). (1.22)

62

1997-0935. Vestnik МвЭи. 2012. № 8

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

сО

с1

с11

с2

d2

Таким образом, на основании вышеприведенных соотношений получаем, что матрица Р представляет оператор Р1 и Q представляет Q1 в базисе Ф0. Аналогично Р представляет Р2 и Q представляет Q2 в базисе Ф1 и т.д. Алгоритм вычислений показан на рисунке.

Самый верхний уровень функций представляется формулой из (1.17), где базис Ф0 = {Ф0}Г=-» состоит из самых «быстрых» функций. На каждом последующем шаге процесса происходит переход от с0 к с1 и С1, от с1 к с2 и С2 и т.д., каждый раз используются более «медленные» базисные функции [1—6]. Остановка может произойти в любой момент или же можно продолжать процесс итераций до тех пор, пока не будет достигнут самый низкий уровень. Подчеркнем, что представление какого-либо уровня посредством двух базисов более низкого уровня является точным и не имеет никакого отношения к какой бы то ни было процедуре аппроксимации, т.е. если начальные коэффициенты с0 являются точными, возникновение ошибок исключено. Однако по практическим соображениям может потребоваться уменьшение точности в угоду другим важным факторам. Так, например, в [3] указывается, что можно пренебречь значениями коэффициентов Ср , если | сСр |< е, где значение е, характеризующее точность вычислений, определяется некоторыми разумными предпосылками. Если действовать таким образом, количество коэффициентов значительно уменьшится, а получаемый процесс станет процессом сжатия.

2. Пример использования базисаХаара. Вообще, в случае с базисом Хаара все вычисления достаточно тривиальны. Рассмотрим анализ и синтез. Сначала необходимо заполнить самый верхний уровень (уровень 0) таблицы коэффициентов ср . Введем параметр Тт = 2т — число интервалов разбиения начального интервала [хх,хж], на котором определена исходная функция /(х). Затем составим следующий цикл:

сЗ

d3

Алгоритм вычислений

С1 = Д*Л Xl=XL+:

k+2

к = 0,...,Т-1.

(2.1)

Далее, определив т как низший уровень (т может быть равным т, ... 3, 2, 1), формируем матрицы С,Р):

гр _ ът—p

Tm—p = 2

к = О,

T — 1

т—p

Р = 1,

(2.2)

ср =(сй + с 2к+1 )/2, ёР ={с?к - ср2к+1 )/

После получения С, Б можем использовать некоторые правила для уменьшения числа коэффициентов. Например, в [3] для всех р,к полагается, что

если |<е » ср = 0; еели \Ср |<е » сСр = 0. (2.3)

Далее можем восстановить функцию /(х). Полученная функция будет некоторым приближением исходной /(х). Определяющие формулы имеют вид

Tm—> 1 т 'ж-р 1

лх)= £<Фт М+LL ^ w,

k=0 p=1 к=0

где ФЦх) = 2^/2Ф(2~'х-к); X¥}t{x) = 2чпЧ>(2~'х-к); T = 2

(2.4)

(2.5)

На практике, как правило, будем задавать да = т, откуда

т тт-р-1

/(х) = .~0^ ££// ¥>> (х), (2.6)

р=1 к=0

где 7; = с0" ; // = , к = 0,1,..., -1; ^ = 1,2,т. (2.7)

Укажем преимущества разложения (2.6) по сравнению с рядом Фурье. Во-первых, ряд Хаара является хорошо локализованным. Если представляет интерес поведение функции /(х) на подинтервале [а,Ь], то в разложении по Хаару требуется учитывать лишь слагаемые с индексами у, р, у которых вир рЧ? = [ xL + к2-г, xL + {к + 1 )2"-' ].

пересекается с [а,Ь], а в разложении Фурье учитываются все коэффициенты.

Во-вторых, частичная сумма ряда Хаара при т =т является приближением исходной функции с точностью до масштаба 2-т. Два основных свойства: локализован-ность и масштабируемость — характерны для всех вейвлет-преобразований. Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1) грант 2.3.8 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011—2012 гг.;

2) грант 2.3.18 Российской академии архитектуры и строительных наук для молодых ученых специалистов «Разработка и верификация коррективных численных и численно-аналитических методов исследования локального напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций на основе многоуровневого вейвлет-анализа» на 2012 г.

Библиографический список

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. № 11. С. 1145—1170.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

3. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : МГСУ, 2011. 368 с.

4. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 4. С. 999—1028.

5. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6(324). С. 53—128.

6. Чуи К. Введение в вейвлеты. М. : Мир, 2001. 412 с.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Акимов Павел Алексеевич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-59-94, [email protected];

Мозгалева Марина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-59-94, [email protected].

Для цитирования: Акимов П. А., Мозгалева М.Л. Некоторые элементы кратномасштабного вейвлет-анализа. Часть 2. Анализ и синтез // Вестник МГСУ 2012. № 8. С. 60—65.

64

БКИ 1997-0935. Vestnik Мвви. 2012. № 8

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva

SEVERAL ELEMENTS OF THE MULTI-RESOLUTION WAVELET ANALYSIS. PART 2: DIRECT AND INVERSE DISCRETE TRANSFORMATIONS

The paper is a brief introduction into the multi-resolution wavelet analysis. The main objective of the authors is to present the foundations of the contemporary wavelet theory in the simplest way with a focus on its subsequent application to practical problems of structural mechanics and mathematical physics.

This paper covers fundamental algorithms of analysis and synthesis (or direct and inverse wavelet transformations), exemplified by the discrete Haar basis. Properties of the process at various points within the range can be analyzed by using the shear technique. Due to the completeness property of the system recovery (reconstruction or synthesis), the process can be performed through the employment of the inverse wavelet transformation. It is noteworthy that the analysis and synthesis algorithms are the essential parts of all wavelet-based methods of solving of the problems of structural analysis. Moreover, the effectiveness of these algorithms determines the global efficiency of the respective method. Resolution of the boundary problem within the multilevel wavelet-based method covers local and global components. Therefore, a researcher can estimate the influence of various factors. The researcher can both develop high-quality design models and introduce reasonable design-related changes.

Key words: multi-resolution wavelet analysis, wavelet transformations, the Haar basis.

References

1. Astaf'eva N.M. Veyvlet-analiz: osnovy teorii i primery primeneniya [Wavelet-analysis: Fundamentals of Its Theory and Applications]. Uspekhi fizicheskikh nauk [Successes of Physical Sciences]. 1998, vol. 166, no. 11, pp. 1145—1170.

2. Dobeshi I. Desyat' lektsiy po veyvletam [Ten Lectures on Wavelets]. "Regular and Chaotic Dynamics" Academic Research Centre, Izhevsk, 2001, 464 p.

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretnye i diskretno-kontinual'nye realizatsii metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Discrete and Discrete-continual Versions of the Boundary Integral Equation Method]. Moscow, MSUCE, 2011, 368 p.

4. Novikov I.Ya., Stechkin S.B. Osnovnye konstruktsii vspleskov [Basic Structures of Wavelets]. Fundamental'naya iprikladnaya matematika [Fundamental and Applied Mathematics]. 1997, vol. 3, no. 4, pp. 999—1028.

5. Novikov I.Ya., Stechkin S.B. Osnovy teorii vspleskov [Basics of the Wavelet Theory]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1998, vol. 53, no. 6(324), pp. 53—128.

6. Chui C.K. Vvedenie v veyvlety [Introduction into Wavelets]. Moscow, Mir Publ., 2001, 412 p.

About the authors: Mozgaleva Marina Leonidovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; marina. [email protected]; +7 (499) 183-59-94;

Akimov Pavel Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Associate Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Science, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-59-94.

For citatio n: Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Nekotorye elementy kratnomasshtabnogo veyvlet-analiza. Chast' 2. Analiz i sintez [Several Elements of the Multi-Resolution Wavelet Analysis. Part 2: Direct and Inverse Discrete Transformations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 60—65.