CC BY
13
анализе и последующей обработке данных и непосредственно в учебном процессе.
1. Law N. A Global Framework of Reference on Digital Literacy Skills for Indicator. Montreal : UNESCO Institute for Statistics, 2018. 146 с.
2. О проекте // Современная цифровая образовательная среда в РФ. 2020. URL: http://neorusedu.ru/about (дата обращения: 19.04.2020).
3. Навстречу переменам: семь задач цифровизации российского образования // РБК Тренды. URL: https://www.rbc. ru/trends/education/5d9ccba49a7947d5591e93ee (дата обращения: 10.04.2020).
4. Булгакова Н. Меняйся или уходи. Цифровое образование бросает вызов преподавателям вуза // Электронная газета «Поиск». 2018. № 1-2. URL: https://poisknews.ru/ magazine/31969 (дата обращения: 19.04.2020).
5. Martin A. DigEuLit: Concepts and Tools for Digital Literacy Development // Innovation in Teaching and Learning in Information and Computer Sciences. 2006. № 5 (4). С. 249267.
6. Media and information literacy: curriculum for teachers / C. Wilson [et al.]. Paris : UNESCO, 2011. 192 c.
7. Ершов А. П. Информатизация: от компьютерной грамотности учащихся к информационной культуре общества // Коммунист. 1988. № 2. С. 82-92.
8. Ottestad G., Kelentric M., Guómundsdóttir G. B. Professional Digital Competence in Teacher Education // Nordic Journal of Digital Literacy. 2014. № 9 (4). С. 243-249.
9. Bridging The Digital Divide: Measuring Digital Literacy / K. Chetty [et al.] // Economics E-Journal. 2017. № 69. С. 1-17.
10. Аймалетдинов Т. А. Цифровая грамотность российских педагогов. Готовность к использованию цифровых технологий в учебном процессе // Аналитический центр НАФИ. М. : Издательство НАФИ, 2019. 84 с.
11. RUDN University Developed Digital Literacy Course for Teachers of Russian Schools Abroad // Russkiy Mir Portal. 2019. URL: https://russkiymir.ru/en/news/263385/ (дата обращения: 19.04.2020).
© Конкин А. А., 2020
УДК 37.02 Науч. спец. 13.00.01
DOI: 10.36809/2309-9380-2020-28-122-126
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОГНИТИВНОЙ СЛОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
Статья посвящена разработке метода оценки когнитивной сложности математических понятий путем суммирования сложностей терминов, входящих в их определения. Мерой сложности понятия стало количество слов, которое необходимо произнести, чтобы дать определение понятию, используя термины, входящие в тезаурус пятиклассника. За условную единицу информации принято количество информации, содержащейся в обычном слове. Для оцениваемых понятий составлялись уравнения сложности. В результате анализа определений оценена сложность математических понятий и установлено, что она изменяется от 1-3 (сложить, умножить) до 100-200 (градиент, дивергенция, ротор). Полученная база сравнения может быть использована для оценки сложности других математических терминов.
Ключевые слова: информативность, математика, понятия, свертывание информации, сложность, термины, текст.
P. B. Mauep R. V. Mayer
SOME ASPECTS OF EVALUATING
COGNITIVE COMPLEXITY OF MATHEMATICAL CONCEPTS
The article is devoted to the development of a method for assessing the cognitive complexity of mathematical concepts by summing the complexities of the terms included in their definitions. A measure of the concept complexity is the number of words that need to be pronounced to define a concept using terms included in a fifth-grader's thesaurus. The amount of information contained in an ordinary word is taken as a conventional unit of information. Difficulty equations were compiled for the evaluated concepts. As a result of the analysis of definitions, the complexity of mathematical concepts was estimated and it was found that it varies from 1-3 (add, multiply) to 100-200 (gradient, divergence, rotor). The resulting comparison base can be used to assess the complexity of other mathematical terms.
Keywords: informativeness, mathematics, concepts, information folding, complexity, terms, text.
Разработка методов оценивания дидактической сложности (ДС) учебных текстов — важная проблема дидактики. Чем выше сложность элемента учебного материала (ЭУМ), тем больше усилий должен затратить ученик на его изучение. Ее решение позволит расположить тексты в порядке возрастания сложности и тем самым оптимизировать учебный процесс, обеспечив соответствие ДС учебного материа-
ла уровню подготовки обучаемых. Многие тексты содержат математические высказывания, поэтому оценка их ДС остается актуальной.
Цель статьи: 1) выработать общий подход к оценке дидактической сложности математических понятий и высказываний, основанный на анализе их определений; 2) оценить сложность наиболее часто встречающихся
понятий и создать базу сравнения для оценки других математических понятий. Она перекликается с проблемами определения когнитивной сложности различных объектов, использования математических методов в гуманитарных исследованиях, измерения информативности и сложности учебных текстов, и является развитием идей, рассмотренных автором в монографиях Р. В. Майера [1; 2]. Методологической основой исследования стали работы таких ученых, как Б. М. Величковский [3], С. А. Кудж и В. Я. Цветков [4] (когнитивная сложность); Т. В. Батура [5], О. В. Зер-каль (автоматическая обработка текстов); Д. П. Клейно-сов [6], Е. А. Мамчур, Н. Ф. Овчинников и А. И. Уемов [7] (сложность систем); А. П. Карпенко и Н. К. Соколов [8], Б. Давис и Д. Сумара [9] (сложность дидактических систем), А. И. Субетто [10] (квалиметрия).
В настоящее время отсутствует единый подход к оценке дидактической сложности учебных текстов (УТ), зависящей от средней длины слова, средней длины предложения, а также когнитивной сложности составляющих текст понятий, формул, рисунков и т. д. Эта проблема связана с определением когнитивной сложности дидактических объектов, которая пропорциональна длине его максимально краткого и в то же время полного описания [1]. Дидактическая сложность (ДС) понятия — его объективная характеристика, от которой зависит трудность его усвоения и использования школьником или студентом. Семантический подход предполагает выделение в тексте или объяснении учителя элементарных смысловых единиц (слов, простых утверждений) и вычисление суммы их сложностей [2]. Когнитивная сложность математических высказываний зависит от сложности, количества и разнообразия составляющих его понятий и связей между ними, поэтому для ее оценки необходимо оценить сложность математических понятий.
А. И. Субетто в своей монографии, посвященной методам квалиметрии, предложил унифицированную модель оценивания качества, включающую «субъект оценки (оценивания), объект оценки (оценивания), логику (оператор, алгоритм) оценки, базу оценки» [10]. В нашем случае cубъ-ект оценивания — эксперт, объект — тексты, высказывания и понятия, база оценки — основание, по которому производится оценка, например система значений показателей оцениваемого качества у прототипов-аналогов, принятых за базу сравнения.
Любой текст, предложение, математическое высказывание представимы в виде семантической сети. В статье А. П. Карпенко и Н. К. Соколова [8] рассматриваются различные меры когнитивной сложности семантических сетей: 1) сложность, по А. Н. Колмогорову, характеризуемая размером соответствующего файла, сжатого с помощью современных алгоритмов; 2) сложность, пропорциональная «высоте» понятия: рассматриваемая предметная область представляется с помощью орграфа без контуров, имеющего ярусно-параллельную форму, так как усвоение понятия П требует усвоения более простых понятий на низких уровнях; номер яруса, на котором находится понятие П, характеризует его сложность; 3) сложность характеризуется количеством понятий, информационно связанных с понятием П.
Когнитивная сложность дидактического объекта показывает трудность его усвоения учеником, сложность его
отражения в сознании человека. Понимание текста сильно зависит от понимания составляющих его научных терминов и обычных слов. В монографии Р. В. Майера [2] показано, что дидактическая сложность УТ определяется: 1) структурной сложностью, зависящей от средних длин слов и предложений, наличия рисунков и т. д.; 2) терминологической сложностью текста, зависящей от разнообразия и абстрактности используемых научных понятий и показывающей сложность качественных описаний и объяснений; 3) математической сложностью, зависящей от сложности используемых формул, абстракций и разнообразия математических моделей.
При этом можно выделить две принципиально различные ситуации:
1. Текст — мягкая система, состоящая из качественных рассуждений: для его понимания не обязательно хорошо разбираться в значении того или иного термина, достаточно иметь интуитивные представления о нем. Чтобы понять несложные качественные рассуждения о Вселенной (атоме, биологической клетке, металлах и т. д.), нет необходимости знать строгие определения обсуждаемых объектов, достаточно приблизительно представлять, что Вселенная — это весь окружающий мир, включающий в себя галактики, звезды, планеты и т. д. Ученик 3-го класса всё равно поймет утверждение «Ученые давно задумывались о строении Вселенной», являющееся мягкой системой. Эта ситуация аналогична случаю, показанному на рисунке 1, когда легко деформируемые шарики и столбики (понятия) упаковывают в некоторую форму (предложение или текст).
Рис. 1. Мягкие и жесткие рассуждения (метафора)
2. Текст — жесткая система, насыщенная логическими рассуждениями и математическими высказываниями, из которой нельзя выкинуть ни одного слова (символа) без искажения смысла. Для его понимания необходимо знать строгие определения терминов и формулировки законов, а также уметь осуществлять математические операции.
В рамках нашей метафоры понимание соответствующего
р
утверждения (например, р = Е = — ^тай^)подобно засовыванию жестких кубиков и столбиков в жесткую
форму. Степень жесткости можно охарактеризовать количеством логических связей между понятиями (ЭУМ), входящими в текст, приходящимся на 1000 слов.
результаты исследования
Когнитивная сложность УТ зависит от степени свернутости информации (концентрации знаний) в используемых терминах. Вообще, свертывание информации — это процесс ее аналитико-синтетической переработки, приводящий к уменьшению физического объема сообщения без потерь информативности. Семантическую сложность слова (термина) можно охарактеризовать коэффициентом свернутости информации (КСИ) относительно выбранного уровня знаний 20. Он показывает степень концентрации информации в соответствующем термине и равен количеству слов в объяснении понятия П, содержащем только слова из тезауруса 20. Для его нахождения необходимо дать определение О понятию П, а также понятиям П1, П2, ..., которые входят в О, используя при этом слова из тезауруса 20; а затем следует подсчитать общее число слов в получившемся тексте.
Будем считать, что УТ соответствует тезаурусу 20, если он состоит только из слов, входящих в тезаурус 20, и слов, объясненных в данном тексте. Информативность фрагмента УТ относительно тезауруса 20 равна объему текста минимальной длины, соответствующему тезаурусу 20 и содержащему ту же полезную информацию. За условную единицу информации (УЕИ) примем количество информации в простых словах (воздух, ходить, синий). Однокоренные слова в сознании человека не хранятся отдельно, а образуют единое психолингвистическое образование — концепт. Так как каждому концепту соответствует одно значение и целое множество различных терминов, применяемых в различных модификациях, то их КСИ примерно одинаковы. Мерой сложности понятия будем считать количество слов, которое необходимо произнести, чтобы дать определение понятию, используя термины, входящие в тезаурус 20 пятиклассника. Число связей в предложении пропорционально количеству значащих слов и учитывается автоматически. Сложность логической связи такая же, как у слов «значит» или «поэтому» ^(значит) или S(поэтому)) и считается равной трем, что существенно меньше S(логарифм) или S(интеграл). Если текст насыщен научными терминами, у которых КСИ достигает 30 и выше (до 150), то вклад подобных логических связей в дидактическую сложность текста мал.
Текст — система из N последовательно соединенных элементов, некоторые из которых идентичны; его сложность примерно равна сумме сложностей всех элементов и связей между ними. При таком подходе может быть сформулирован тезис: если текст Т1, содержащий термины из множества А, имеет сложность S(T1), а текст Т2, содержащий термины из множества В, имеет сложность S(T2), то объединение этих текстов при отсутствии логических связей между ними имеет сложность Э(Т1иТ2), которая меньше или равна Э(Т1) + Э(Т2). Знак равенства соответствует случаю, когда А и В не пересекаются (Апб=0); когда А и В имеют общие элементы (Апб^0), Э(Т1иТ2) может быть меньше Б(Т1) + Э(Т2). Например, оба текста содержат слово «интеграл», сложность которого обозначим так: 8(интеграл). При
вычислении S(T1) и S(T2) по отдельности, каждый из текстов T1 и T2 следует дополнить определением интеграла, и в сумму S(T1) + S(T2) оно войдет дважды. В общем тексте Т1иТ2 определение интеграла добавляется один раз, поэтому S(T1uT2) меньше S(T1) + S(T2).
Применим рассмотренный выше метод к оценке некоторых важных математических понятий. Будем считать, что для пятиклассника:
S(paccmoaHue) = S(сложить) = S(ebNecmb) = 1; S(4ucno) = S(переменная) = S(перпендикуляр) = 1,5; S(делить) = S(coomeem.) = S(eemop) = S(умножить) = = S(модуль) = S(cmpeMumcH) = S(приращение) = = S(KoopduHama) = 2,
S(ocb координат) = 3; S(cuHyc) = S(KocuHyc) = 5. Создадим компьютерную программу, в которой закодируем уравнения сложности оцениваемых понятий и последовательно вычислим их сложности S(n) (рис. 2). Речь идет о нахождении нижней границы S(n), поэтому при анализе определений сложность каждого термина учитывается не более одного раза. При повторной встрече с тем же термином он учитывается как обычное слово.
Получилось следующее (в фигурных скобках заключены слова, сложность которых учитывается): Аргумент — {независимая переменная}; S(apeyMeHm) = 2,5. Функция — зависимость переменной y от аргумента x, при котором каждому значению аргумента соответствует не более одного значения переменной y: S^yHK^) = 16. предел функции {при аргументе x, стремящемся к а, равен b, если при x стремящемся к а разность f(x) — b стремится к нулю}: S(npeden) = 32. производная функции — {предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю}: S(npou3eodHaH) = 65. частная производная функции по x — {производная по x, взятая в предположении, что все остальные переменные имеют фиксированные значения}: S(чaсmнaя прouзвoднaя) = 76. интеграл (первообразная) от f(x) — {функция F(x), производная которой равна функции f(x)}: S(uHmeapan) = 86.
проекция вектора — {разность координат конца и начала вектора}: S(прoeкцuя eeKmopa) = 7. Орт — {вектор единичной длины, направленный вдоль координатной оси}:
S(opm) = 10. скалярное произведение векторов: 1) опре-
р р
деление: (a,b) = abcosa — {произведение модуля первого вектора, модуля второго вектора и косинуса угла между ними}: S(cKa^pHoe прouзeeдeнue 1) = 17; 2) высказывание: (a,b) = axbx + ayby + azbz {Ф°екция первого вектора умножить на проекцию второго вектора плюс...}:
S(cKa^pHoe прouзeeдeнue 2) = 40. Векторное произведе-
р р р
ние: 1) определение: c = [a,b], c = absina {произведение модуля одного вектора, модуля другого вектора и синуса угла между ними; направление совпадает с движением правого винта (при повороте по часовой стрелке винт движется от нас) при его вращении от первого вектора ко второму по кратчайшему пути}: S(eeKmopHoe прouзeeдeнue 1) = 35; 2) высказывание: {орт умножить на скобку проекция
вектора умножить на проекцию вектора минус проекция вектора умножить на проекцию вектора скобка плюс...}:
р р
[a,b] =
К b b
- i (aA - azby ) + j(azbx - axbz ) + k(aA - aybx ).
Получается (рис. 2): S(векторное произведение 2) = 63. понятие «градиент в данной точке скалярного поля» или «градиент функции в точке». Скалярное поле — {совокупность точек пространства, каждой из которых соответствует значение функции ^х,у^), зависящее от координат}. Градиент скалярного поля в данной точке — {вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания функции; его модуль равен пределу отношения приращения функции Д/ к величине смещения Д1 в этом направлении, когда смещение стремится к нулю}. Получаем: S(градиент) = 75.
градиент функции (оператор набла V/) в декартовых координатах:
рд/ р/ рд/
дх ду дх
т. е. {частная производная по аргументу х умножить на
р
орт \ плюс частная производная по аргумента у умно-
жить на орт j плюс частная производная по аргументу z
р
умножить на орт k}: S(нaблa 1) = 109. Можно сказать короче: градиент — {частная производная функции по аргументу x умножить на соответствующий орт, плюс то же самое для аргумента у, плюс то же самое для аргумента z}. Тогда S(набла 2) = 102.
понятие «дивергенция в данной точке векторного
р
поля». Векторное поле a (x, у, z) — {совокупность точек пространства, каждой из которых соответствует вектор,
зависящий от координат}. Поток — {интеграл от произве-
р
дения модуля вектора a, площади элементарной площад-
р
ки и косинуса угла между вектором a и вектором нормали
к площадке}. Дивергенция в точке B — {предел отношения
р
потока вектора a через замкнутую поверхность, охватывающую точку B, к объему, если объем стремится к нулю}:
S(дивергенция 1) = 164. С другой стороны, дивергенция
р р р
вектора a: diva = (V, a) — скалярное произведение
р
оператора набла на вектор a: S(dueepeeHU,UR 2) = 144.
a
a
a
y
З(аргумент) = 3(переменная)+1=215;
функция) = 5(переменная)+3(аргумент)+3{соответ.)+10=16; 8(предел) = 3(аргумент)+3(стремится)+3(функция)+11 = 32^
${производная) = Э(предел) +3(делить)+3(функция)+3(соответ.)+3(приращение)+
+3(аргумент)+3(стремится)+3(число)+5=651
8(частная производная)= Э (произвол ная)+3(переменная)+10=76;
З(интеграл) = 3(функция)+3(производная)+5=86:
${проекция вектора) = 3(вектор)+3(координата)+3=7;
5(орт) = 3(вектор)+3(коорд. ось)+5=10:
Э^скалярн. произвед. 1) = 3(умножить)+3(модуль)+3(вектор)+3(косинус)+6=17:
Э^скалярн. произвед. 2) = 3(проекция)+3(умнож.)+31 =40;
5(векторн. произвед. 1) = 3(модуль)+3(вектор)+3(умнож.)+3{синус) +24=35;
5(векторн. произвед. 2) = 3(орт)+3(проекция)+3(умнож.)+44=63:
З(градиент) = 3(вектор)+3(функция)+3(модуль)+3(приращение)+3(соответ.)+
+3(координата)+3(предел)+3(отремитоя) +3(делить)+13=75:
8(набла 1) = 3(частн. производн.НЗ(координата)+3(орт)+3(умнож.)+11=109;
¿{набла 2) = 3{частн. производи.)+3{аргумент)+3(соответ.)+3{орт)+3(умнож.)+9=102
${дивергенция 1) = 3(вектор)+3(координата)+3(интеграл)+3(умнож.)+3(модуль)+
+3(косинус)+3(перпенд.)+3(предел)+3(делить)+3(стремится)+28=164;
Э^дивергенция 2) = 3(скалярн. произвед. )+3(набла)+3(вектор)=144;
8(ротор 1) = 3(вектор)+3(соответ.)+3(координата)+3(интеграл)+3(умнож.)+
+ё(м од уль)+3{косинус)+3(перпенд.)+3{пред ел )+Э (делить) +3(стремится)+37=175:
8(ротор 2)= 3(векторн. произвед.)+3(набла)+3(вектор)=1741
Рис. 2. Результаты оценки когнитивной сложности понятий
понятие «ротор в данной точке векторного поля».
р
Векторное поле a (x, y, z) — {совокупность точек пространства, каждой из которых соответствует вектор, зависящий
от координат}. Циркуляция — {интеграл произведения моду-
р
ля вектора a на элементарную длину и косинус угла между ними}. Ротор — {вектор, модуль которого равен максимальному значению предела отношения циркуляции вектора a вдоль замкнутого контура к площади, ограниченной контуром, когда площадь стремится к нулю; направление — перпендикулярно плоскости контура и связано с направлением обхода правилом правого винта}. Получаем: S(pomop вектора) = 175. В декартовых координатах ротор вектора р р
rota = [V, a ] — векторное произведение набла на вектор
р
a: S(pomop вектора) = 174.
На рисунке 2 представлены результаты оценивания сложности важнейших математических понятий. То, что определения для скалярного и векторного произведений превышают соответствующие высказывания примерно в 2 раза, объясняется объективной сложностью формул, содержащих суммы произведений проекций векторов для трех координатных осей. Оценка сложности этих формул была необходима для определения сложности понятий «градиент», «дивергенция», «ротор» и соответствующих формул для декартовых координат. Результаты позволяют сравнивать понятия по сложности; из них, в частности, следует, что S(интеграл) примерно в 5,4 раза превышает Б(функция), а S(pomop) в 2,7 раза больше 8(производная). Это согласуется с закономерностью: чем ниже частотность использования термина, тем выше его информативность, а значит и когнитивная сложность. Полученные результаты фактически представляют собой базу сравнения, позволяющую оценить сложность других математических терминов. Это облегчает решение проблемы оценки сложности учебных текстов, содержащих математические высказывания. Выводы
В статье рассматривается проблема оценки когнитивной сложности понятий, высказываний и текстов, влияющей на их дидактическую сложность. Проанализирована метафора, согласно которой понимание математических высказываний аналогично заполнению некоторой формы жесткими элементами с замысловатыми выступами. Этим и объясняется сложность математических рассуждений. Предложен метод приближенного оценивания когнитивной
сложности математических понятий и высказываний, которая равна их информационной ёмкости. Мера сложности понятия заключается в количестве слов, которое необходимо произнести, чтобы дать определение понятию, используя термины, входящие в тезаурус пятиклассника. За условную единицу информации принято количество информации, содержащейся в обычном слове. Были составлены уравнения сложности, определены сложности простых понятий, а затем вычислены сложности понятий с высокой степенью абстрактности: производная, интеграл, дивергенция. Установлено, что информационная ёмкость математических терминов варьируется от 1-3 (сложить, умножить) до 100-200 (градиент, дивергенция, ротор). В результате была создана база сравнения для оценки сложности других математических терминов. Решение рассмотренной проблемы позволяет оценить ДС учебного текста, содержащего математические высказывания.
1. Майер Р. В. Контент-анализ школьных учебников по естественно-научным дисциплинам : моногр. Глазов : Глазов. гос. пед. ин-т, 2016. 137 с.
2. Майер Р. В. Дидактическая сложность учебных текстов и ее оценка : моногр. Глазов : Глазов. гос. пед. ин-т, 2020. 149 с.
3. Величковский Б. М. Когнитивная наука: основы психологии познания : в 2 т. М. : Смысл ; Академия, 2006. Т. 1. 448 с.
4. Кудж С. А., Цветков В. Я. Факторы когнитивной сложности // Информационные технологии в науке, образовании и управлении. 2018. № 6 (10). С. 34-41.
5. Батура Т. В. Математическая лингвистика и автоматическая обработка текстов на естественном языке : учеб. пособие. Новосибирск : РИЦ НГУ, 2016. 166 с.
6. Клейносов Д. П. Изменение структурной и содержательной сложности учебного материала с целью реализации дидактического принципа осознанности знаний : дис. ... канд. пед. наук. М., 2017. 150 с.
7. Мамчур Е. А., Овчинников Н. Ф., Уемов А. И. Принцип простоты и меры сложности. М. : Наука, 1989. 304 с.
8. Карпенко А. П., Соколов Н. К. Оценка сложности семантической сети в обучающей системе // Образовательные технологии. № 3. 2010. C. 49-70.
9. Davis В., Sumara D. Complexity and Education: Inquiries Into Learning, Teaching, and Research. Mahwah, New Jersey, London, 2006. 201 p.
10. Субетто А. И. Квалиметрия: малая энциклопедия. СПб. : ИПЦ СЗИУ - фил. РАНХиГС, 2015. Вып. 1. 244 с.
© Майер Р. В., 2020
