О геометризации процессов недропользования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕОМЕТРИЯ И КВАЛИМЕТРИЯ НЕДР

^ В.А. Букринский, 2000

УДК 622.001.57

В.А. Букринский О ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ НЕДРОПОЛЬЗОВАНИЯ

Объектами геометризации недр, как известно, являются форма, условия залегания, свойства залежей и процессы, такие как изменения форм и свойств во времени и пространстве. Геометризация первых двух объектов разработана достаточно подробно. Геометризация процессов - наиболее сложная область как теоретической, так и прикладной части геометрии недр - требует дальнейшей разработки и совершенствования.

Любые, физические, химические, геологические и другие показатели недр которые, могут быть в том или ином месте (точке) непосредственно или косвенно замерены и выражены числом, могут быть геометризованы.

В недрах каждый показатель (признак) размещается в поле. гравитации в виде полей морфоструктурных показателей тел полезных ископаемых (отметки почвы, кровли залежи, напластований, трещин смещения, мощности, трещиноватости, пористости и т.п.) химических свойств (содержание компонентов, минералов и т.п.), физических, технологических и геомеханических свойств полезных ископаемых и вмещающих пород (плотность, крепость, обогати-мость электропроводность, радиоактивность, магнитная восприимчивость и т.п.), гидрогеологических (водопроницаемость, коэффициент фильтрации и т.п.) и других свойств.

Поля могут быть общие, охватывающие всё месторождение, и частные - в пределах границ залежи или её части.

Гравитационное поле, или поле тяготения - особое поле.

скалярных величин существуют векторные величины, которые характеризуются числом ІрІ (модулем) в определенных единицах меры, и направлением в пространстве - вектором Iр 1 длиной пропорциональной модулю. Например, направление и скорость течения подземных вод, направление изменений максимального значения показателя, направление борозд скольжения на дезъюнктивах, направление перемещения рабочих реперов наблюдательной станции при

................. сдвижении массива горных пород и

................. земной поверхности под влиянием горных выработок и др.

Поля размещения показателей разделяют на стационарные, когда скалярная величина показателя Р существенно не зависит от времени ґ, и нестационарные или динамические, когда скалярная величина показателя Р заметно изменяется во времени ґ.

Деление полей на стационарные и динамические условно и зависит от принятого промежутка времени, но оно необходимо, так как определяет методику их изучения.

Стационарные поля могут изучаться организованной системой наблюдений длительное время по частям объекта исследования, данные затем могут быть увязаны между собой в единое целое без каких-либо преобразований.

Для изучения динамических полей необходимо создавать сеть автоматизированных станций, одновременно фиксирующих наблюдения за характером изменения показателей в пространстве и во времени. Без этого невозможны увязки результатов измерений и исследований, выполненных на отдельных участках в разные по времени сроки.

Стационарные и динамические поля геометрически могут быть представлены скалярными и векторными полями.

Скалярным полем называют область пространства, каждой точке М, которой отнесено значение некоторой скалярной величины Р. Таким образом задание скалярного поля сводится фактически к заданию скалярной функции Р = F (х, у, z), где Р - численное значение показателя в точке с координатам х, у, z.

Применительно к недрам очевидно, что все процессы, проходившие и проходящее, в настоящее время в результате антропогенной жизни Земли, находятся под влиянием гравитационного поля Земли. Это необходимо учитывать при изучении и геометризации процессов.

Размещение любого показателя Р недр в пространстве есть функция точки и времени Р = f / х, у, z, Г).

Структура поля размещения каждого показателя, как и структура любого физического поля, - слоисто-струйчатая. Слои с соответствующими числовыми значениями, как бы они не были смяты, не пересекаются. В то же время поля различных показателей могут пронизывать друг друга. Струи выражают изменения значений показателя по нормальным к слоям направлениям.

В недрах ряд показателей характеризуется лишь числом, например отметки поверхности почвы, кровли, глубины залегания залежи, мощности залежи, плотности полезного ископаемого и т.п. Такие величины называют скалярными или скалярами, а число - модулем. Кроме

Рис.1: Плоские сечения стационарного поля размещения показателей

Если значение скалярной величины зависит лишь от двух координат, например х,у, то поле называют плоским: Р = f (х,у).

Геометрически скалярное поле представляется семейством поверхностей (слоев) равного уровня со средними значениями с, с+Ь, с+2Ь, ..., с+пЬ). Уравнение поверхности равного уровня скалярного поля: ф(Р)=const или ф(х,у^)=С.

В любом плоском сечении скалярного поля поверхности равного уровня образуют изолинии, система которых на этом сечении представляется поверхностью топографического вида, т.е. функцией Р=Ах,у), обладающей свойствами конечности, однозначности, непрерывности и плавности. Система плоских сечений выражает размещение изучаемого показателя в пространстве (рис. 1).

Следует заметить, что не всякое сечение поля является характерным для размещения показателя. Особенно, если поле анизотропно.

В зависимости от показателя поверхности топографического вида представляются поверхностями: реальными (земная, почвы, кровли, трещин смещения и т.п.), производными от реальных (изомощности, изоглубины залегания и т.п.), вид которых определяется результатами измерений в точках, и условными (изосодержания, изосвойства и т.п.), вид которых определяется измерениями, относимыми к центрам элементарных объемов изучаемого показателя.

Любое скалярное поле может быть преобразовано в векторное, если изучать не исходные величины, а их производные, например, интенсивность изменения значений показателя стационарного поля по тому или иному направлению, или скорость изменения динамического поля.

Векторным полем называют область пространства, каждой точке М которого поставлено в соответствие значение некоторой векторной

величины Р . Векторное поле представляется направленными отрезками Р , приложенными в точках евклидова пространства длиной, пропорциональной в выбранном масштабе модулю и направленных по нормали к изоповерхности поля или по нормали к изолиниям показателя в данном сечении поля (рис. 2).

Векторное поле, как и скалярное, может быть стационарным, когда вектор Р не зависит от времени t , нестационарным или динамическим, если Р меняется с течением

времени, плоским, если вектор Р зависит лишь от двух координат точки М: Р =£[х, у).

Основными понятиями при анализе динамических полей являются: градиент, дивергенция, вихрь, поток.

Градиент скалярного поля. Это понятие тесно связано с понятием дифференциала функции — является одним из основных понятий векторного анализа.

Если на топоповерхности взять некоторую точку М и построить в ней вектор, направленный по нормали к изолинии в сторону возрастания П0 поля, то производная поля по направлению этого вектора будет наибольшей из всех производных поля в данной точке и в данном сечении поля.

С помощью этой производной введено понятие вектора-градиента поля, являющегося важнейшей характеристикой скалярного поля:

нормали к изолинии поверхности в сторону возрастания поля. По этому направлению наибольшая интенсивность изменения поля. Азимутальный градиент по любому направлению численно равен проекции главного градиента на это направление.

Свойства градиента поля:

Если фь фг - два скалярных поля, имеющих градиенты, а F - дифференцируемая функция одной или нескольких скалярных переменных в некоторой области, то:

Grad (ф! + фг ) = Gradфl + Gradф2;

Grad (ф! + фг) = ф 2Gradф1 + ф1Gradф2;

Grad (ф! + фг ) = (ф2Gradф1 + ф1Gradф2 ) ^ ф2;

GradF (ф) = dFGradф dф

Если а+ Р = 90°, то Grad= g2 + g2^ , т.е. квадрат

главного градиента равен сумме квадратов градиентов по произвольным, но взаимно перпендикулярным направлениям.

Поток векторного поля - динамическая система с непрерывным временем. Геометрически поток оперирует величинами трёх видов - постоянными, переменными и изменяющимися. Поток векторного поля F через поверхность S выражается поверхностным интегралом.

В поле вектора F (M) дана некоторая поверхность S. Разделив эту поверхность на большое число малых площадок ASi и выбрав в каждой из них с одной и той же стороны поверхности произвольную точку М строят в ней нормальный единичный вектор Т], . Отнеся каждой точке М векторы AS, = ASin, и F (M),. составляют интегральную сумму:

П =£ (—(М,Ж )=£— (M,)ASi cosy,

i=1 i=1

где ф! - угол между векторами F (M) и ASi.

Предел интегральной суммы Пк, когда каждая площадка ASi стягивается в точку, называется потоком П поля вектора

Grad—{M) = д—і +

дх

(1)

где і, у, г, k - единичные векторы, направленные по осям координат Ох,

Оу, О2 соответственно.

Различают главный G и азимутальные g градиенты.

Главный градиент направлен по

F (М) через поверхность S.

,С^_Т к _ _____

^= IF м Ж

К ' г =1

Здесь знаком Б(А5г) обозначен диаметр площадки & -расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками площадки А5, которые стягиваются в одну точку. _ _

Если F (М) есть скорость течения массы, то F (М) -определяет объем, протекающий через площадку за единицу времени, а поток поля П - через всю поверхность S.

К особенностям геометрии поля-потока относят следующее:

Рис. 2: Изображение стационарного поля размещения показателя в скалярном и векторное виде

1. Любой поток представляет собой сочетание двух основных его форм - потока поступательного (потенциального), состоящего из стоков (-) и источников (+), и вращательного (вихревого), состоящего из правых и левых вихрей.

Каждая форма возникает и изменяется (рис. 3а).

2. Любой поток слоистоструйчатый и может быть отражен линиями тока для струй и изоповерхностями для слоев.

3. В любом мгновенном сечении изменяющийся поступательный поток представляется поверхностью топографического вида в изолиниях с ее максимумами (горами, источниками) и минимумами (низинами, стоками). Тут же поверхность геометрически можно, отобразить и в виде векторов длиной, пропорциональной градиенту в точках начала векторов. Переход от изолиний к векторам осуществляется дифференцированием поверхности, а обратный переход - интегрированием по векторам, именуемым в математическом анализе полными производными. В геометрии недр этот аппарат разработан достаточно подробно.

Источник геометрически отображается совокупностью векторов, расходящихся во внешнюю сторону по нормали от замкнутой изолинии. Сток отображается векторами по нормали к замкнутой изолинии, направленными внутрь ограниченной области (рис. Зб).

Вихрь или ротор (rot F) векторного поля F - векторная составляющая плотности циркуляции поля в данной точке М по всем направлениям. Вихрь поля в декартовой системе координат вычисляют по формуле:

(

rotF =

дFz

ду сZ

i +

дFx дFz V

дz дх

Г дF^

J +

у

дFx

дх ду

K

В более компактном виде формулу пишут с помощью символического определителя:

rotF =

i j K

д д д

дх ду д.

Fx Fy Fz

(2)

Плотность циркуляции поля вектора F в любой точке по направлению вектора rotF(М) будет наибольшая по сравнению с плотностями циркуляции по другим направлениям. По ним она равна проекции вихря поля на соответствующее направление.

Линия в пространстве, в каждой точке которой в данный момент времени вихрь лежит на касательной прямой, называется вихревой линией. Всякая поверхность, на которой расположено семейство вихревых линий, зависящее от одного параметра, называется вихревой поверхностью. Вихревые поверхности называют также вихревыми слоями, считая слой как бы состоящим из геометрической поверхности с нанесенной на ней обкладкой из вихревых линий.

Различают вихрь левый, который геометрически отображается совокупностью векторов, касательных к замкнутым изолиниям и направленных против часовой стрелки, и вихрь правый, если касательные вдоль изолиний направлены по часовой стрелке (рис.За).

В общем случае поток является комплексным и представляет единство потока потенциального и вихревого. Геометрически он отображается системой двух топопо-верхностей - потенциальной (действительной). На рис 3а она изображена изолиниями без стрелок. И вихревой (мнимой), которая на этом же рисунке изображена изолиниями со стрелками. Мнимая топоповерхность столь же реальна, как и действительная. Отличаются они тем, что в первом случае имеем дело с линиями потенциала, во втором — с линиями тока (рис.Зв).

Если поток не устойчивый, изолинии потенциальной то-поповерхности не совпадают с линиями тока вихревой то-поповерхности, то их изображают в векторной форме с последующим сложением полученных градиентов.

Дивергенция - в математическом анализе рассматривается как мера интенсивности стока или источника или вообще, любого, изменения.

Возникает вопрос: как отобразить числом изменение какой-либо фигуры? Ответ может быть иллюстрирован на примере отрезка, увеличившего свою длину АВ(5) на весьма малый отрезок ВС(dS) за малое время dt. Это приращение может произойти двумя способами:

Как след перемещения точки из В в С. Темп такого приращения dS/dt не зависит от исходной длины АВ.

Как результат возрастания длины между каждой из множества точек, образующих отрезок АВ, пока длина его не станет равной АС. Темп такого приращения, зависимый от исходной длины АВ называют дивергенцией divS=dS/Sdt.

Таким образом дивергенция — это линейный коэффициент расширения, отнесенный к единице времени расши-

Рис. 3 Изображение динамического поля-потока, его действительной (потенциальной, без стрелок) и мнимой (вихре-вой, со стрелками) частей в изолиниях (а) и векторах - потенциальной (б) и вихревой (в)

рения. Аналогично определяют дивергенцию площади, объема, массы и т.п.

Дивергенция - величина скалярная, имеет размерность сек-1, может быть числом положительным или отрицательным, действительным или мнимым и может быть функцией любого вида от координат и времени. Считают дивергенцию положительной, если рассматриваемая величина возрастает (увеличивается).

Пусть вектор F п выражает скорость по нормали п к

элементарной площадке dS, т.е. Fn = dnd^t, тогда:

— dn dn • dS

Е п • аэ — — аэ —----------

dt dt

Но dn■dS=dv - весьма малый объем потока, протекающего за время dt сквозь элементарную площадку dS, а интеграл по всей замкнутой поверхности S таких элементарных объемов есть весьма тонкий поверхностный слой dv поэтому:

дFx/ аРу / дF

то дивергенция поля существует и

*

— г dn • dS dv

• dS = і--------------------= —

dt vt

Формула дивергенции вектора F принимает вид дивергенции объема:

divF = Ііт — • — = div(v)

V^0 dt V

Таким образом дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке М называют предел отношения потока П поля через некоторую замкнутую бесконечно малую поверхность S, внутри которой лежит точка М, к объему, ограниченному поверхностью S, когда S стягивается в точку М:

divF М ) = Ііт

)^0 V

Дивергенция рассматривается как мера интенсивности не только стоков и источников, но и левых и правых вихрей.

Если проекции вектора Е(М)= Ехг + Еу] + Егк непрерывны вместе со своими частными производными

/дх’ /ду’ /дг

справедлива формула:

м (М )=Р<МІ +дІУ<МІ+дРг(МІ

дх ду дг

Свойства дивергенции: если Р1 и - векторные поля,

div(F і + F 2 ) = divFl + divF2

Если ф(М) - скалярная функция, то: divф(F) = ф • divF + Fgradф

Основные величины поля-потока - вектор grad—, характеризующий скорость изменения скалярного поля, скаляр divF и вектор rotF, характеризующие соответственно плотность источников и вращательную способность векторного поля вычисляют с помощью дифференциальных операций. Эти величины кратко записывают с помощью символического вектора Набла (или оператора Гамильтона):

— т д - д - д

V — і----+ у---+ к—

дх ду дг

Если вектор V умножить на скалярную функцию ф, то получится вектор gradф.

Произведение векторов V F приводит к вектору-вихрю поля (2). Если вектор V умножить скалярно на вектор F , то получают скалярную величину divF (3).

Приведенные формулы позволяют аналитически определять основные величины поля-потока. Геометризация поля-потока с отображением топоповерхностей в изолиниях и векторах с применением математических действий с топоповерхно-стями и, в частности, геометрическое дифференцирование и интегрирование позволит более полно выявлять и управлять процессами при недропользовании широко применяя компьютерную технологию для расчетов и изображений изучаемых процессов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алапашвили Г.Д. Основы векторного анализа и элементы теории поля. Изд. Высшая школа, М. І962 г.

2. Вилесов Г.И. Геометризация процессов на Урале. Маркшейдерское дело в социалистических странах, т. 5, ЧССР, 1972 г.

3. Корольков ПА. Введение в геометрию потока (геометрию процессов), Научные труды МГИ, М., 1969 г.

4. Мягков В.Ф. Геохимический метод парагенетического анализа руд. М., Недра 1984 г.

5. Соболевский П.К. К вопросу об автоматической регистрации деформаций по-

верхностей искажения под действием подземных горных работ. Труды Совещания по управлению горным давлением, М., изд. АН СССР, 1938 г.

6. Букринский В.А. Разработка математической модели поля-потока. Отчет о госбюджетной НИР, М., 1988 г.

Букринский Виктор Александрович — профессор, доктор технических наук, Московский государственный горный университет.