Нечеткие модели принятия оптимальных решений в управлении аграрным производством Текст научной статьи по специальности «Математика»

оо

о сч

о сч

<

со О

Нечеткие модели принятия оптимальных решений в управлении аграрным производством

В. Е. Парфенова,

д. э. н., профессор, Санкт-Петербургский государственный аграрный университет

w.parfenova@mail.ru

В современных условиях достичь существенных результатов в аграрной отрасли невозможно без выхода ее на инновационный путь развития. Говоря об инновационном развитии в этой сфере, обычно рассматривают производственно-технологическое направление. Однако инновации этим не ограничиваются. Нужны также новые подходы и к методам принятия хозяйственных решений, представляющих собой элемент экономико-организационного направления.

Главная особенность сельскохозяйственного производства заключается в том, что оно зависит от производственно-экономических, социальных и от природно-биологических факторов. Совместное их влияние приводит к тому, что показатели сельскохозяйственного производства не являются детерминированными величинами. Они колеблются как во времени, так и в пространстве. Поэтому проблема принятия управленческих решений в условиях неопределенности в сфере сельскохозяйственного производства является чрезвычайно важной и актуальной.

В аграрной науке важную роль играет оптимизационный подход. Однако разработанные к настоящему времени методы принятия оптимальных решений дают возможность выбирать наилучшие альтернативы либо в условиях полной определенности (детерминированные модели), либо в условиях конкретного вида неопределенности, носящего вероятностный характер (стохастические модели). Подобные модели не дают адекватного решения задачи в условиях других неопределенностей, не носящих вероятностного характера, наличие которых наиболее характерно для современных экономических задач. С единых позиций рассмотреть различные виды неопределенности позволяет теория нечетких множеств. Ее использование будет способствовать дальнейшему развитию оптимизационного подхода в аграрной науке.

Настоящая статья посвящена применению методов нечеткого математического программирования к решению задач аграрного производства.

Ключевые слова: инновационное развитие, аграрное производство, управление, нечеткая модель, оптимизация.

Одним из ключевых факторов развития сельскохозяйственного производства в современных рыночных условиях является инновационная составляющая. Мировой опыт показывает, что сегодня достижение существенных результатов в аграрном секторе экономики возможно лишь на путях его перехода к инновационной модели хозяйствования. Говоря об инновационном развитии в этой сфере, обычно рассматривают производственно-технологическое направление. Однако инновации не ограничиваются производственно-технологической составляющей. Они представляют собой единство технических, технологических, экономических, организационных и социальных нововведений. В изменившихся условиях необходимы и новые подходы к методам принятия хозяйственных решений, представляющих собой элемент экономико-организационного направления. Для управления аграрной сферой особого внимания заслуживает проблема принятия решений в условиях неопределенности.

Главная особенность сельскохозяйственного производства заключается в том, что оно зависит не только от производственно-экономических и социальных,

но в немалой степени и от природно-биологических факторов. Совместное влияние всех этих факторов приводит к тому, что показатели сельскохозяйственного производства, в частности, такие как урожайность сельскохозяйственных культур, цены реализации, спрос, валовой выпуск и др. не являются детерминированными величинами. Они колеблются, причем их колебание происходит как во времени, так и в пространстве. Поэтому проблема неопределенности при принятии решений по управлению развитием сельскохозяйственного производства является чрезвычайно важной и актуальной.

В аграрной науке при решении проблем управления сельскохозяйственным производством важную роль играет оптимизационный подход. Однако разработанные к настоящему времени количественные методы принятия оптимальных решений дают возможность выбирать наилучшие из множества возможных решений либо в условиях полной определенности (детерминированные модели), либо в условиях конкретного вида неопределенности, носящего вероятностный характер, т. е. в условиях риска (стохастические модели) [2]. Подобные модели не дают

адекватного решения задачи в условиях других неопределенностей, не носящих вероятностного характера, наличие которых наиболее характерно для современных экономических задач.

Наличие различных видов неопределенностей приводит к необходимости дальнейшего развития оптимизационного подхода в аграрной науке с применением математических методов, позволяющих формализовать и одновременно обрабатывать различные виды неопределенности. Одним из наиболее эффективных математических инструментариев, направленных на формализацию и обработку неопределенной информации является теория нечетких множеств. Данная теория позволяет с единых позиций рассмотреть различные виды неопределенности.

Настоящая статья посвящена применению методов нечеткого математического программирования в решении задач аграрного сектора экономики. Следует заметить, что теория и методы решения задач нечеткого математического программирования на сегодняшний день достаточно разработаны [1, 5, 7]. Но в литературе практически нет примеров, иллюстрирующих данные методы для решения задач аграрной отрасли.

В тех случаях, когда задача математического программирования формируется на основе неполной, нечеткой или качественной информации, мы имеем нечеткую задачу оптимизации или задачу нечеткого математического программирования. В общем случае нечеткость может проявляться в форме нечеткого описания функции цели, ограничений и параметров, от которых они зависят, а также самого множества альтернатив. Различие форм нечеткого описания исходной информации ведет и к различиям в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования. В аграрной науке наибольшее применение нашли линейные модели оптимизации. Нечеткий вариант стандартной задачи линейного программирования был нами рассмотрен в работе [4].

В данной статье рассматриваются линейные задачи оптимизации, в которых источником нечеткости являются параметры целевой функции или (и) параметры ограничений.

Начнем рассмотрение с задачи линейного программирования с нечеткой целевой функцией. Такая задача формулируется следующим образом:

^неч 2 снечг Х1 ~*тах>

при четких ограничениях:

Лх<Ь, х>0,

(1)

(2)

может указать для каждого коэффициента с{ только интервалы о,^[о,1, о Я], где Ь и Я означают левую и правую границы интервалов. При этом только 1 элемент из пространства [о^, с^]Х...Х[опЬ, опЯ] является истинным вектором коэффициентов целевой функции задачи (1), (2).

В этом случае мы сталкиваемся с проблемой наличия бесконечного множества целевых функций вида (1), которые должны быть максимизированы одновременно. Определение оптимального решения здесь сопряжено с большими вычислительными затратами. Поэтому стараются определить так называемое «компромиссное» решение. Для его получения рассматривают различные функции предпочтения, преобразующие бесконечное множество целевых функций в единственную компромиссную функцию. Рассмотрим их.

Самый простой способ — это выбрать единственного представителя о® для каждого интервала [о,Ь, о Я], и перейти к решению обычной однокритериальной задачи линейного программирования. Для выбора о® в научной литературе предлагаются разные способы

[3].

Если ЛПР не имеет достаточной информации, то ему следует выбирать середину интервалов [о о Я], (7=1...п), получая целевую функцию в виде:

р(х)= 1/2 [Р11П (х) + р (х)]

(3)

где Рт1п и Ртах являются решениями задачи (1), (2) с коэффициентами целевой функции равными соответственно нижней и верхней границам интервалов

[о/, оЯ], ]=1...п.

В функции (3) минимальное и максимальное решения считаются равноправными. В более общем случае предлагается взвешивать Рт1п и Ртах, применяя для построения компромиссной целевой функции, правило Гурвица. Целевая функция в этом случае принимает вид: Рг=(1-Х)Рт1п+ХРтах, где X — параметр оптимизма (0 <А> 1).

Если ЛПР не может непосредственно выбрать единственного представителя о® из интервала [о,Ь, о Я], 7=1...п, то предлагается использовать другой способ построения компромиссной целевой функции. Он заключается в том, что фиксируется множество состояний природы г,, 7=1...5 (множество возможных значений) как состояний неопределенности. Выбор состояний природы должен осуществляться так, чтобы ЛПР мог указать вероятности наступления состояний р •,

1.

7=1

Пусть множество состояний определено как

где х=(х1 х2,•••, Хп)Т Ъ^Ь^Ьт)7, ^{аф^ i=1...m,

]=1...п, онеч=(онеч 1, °неч 2, ..., онеч п) — нечеткие коэффициенты целевой функции.

Решение задачи (1), (2) зависит от того, какая дополнительная информация известна лицу принимающему решению (ЛПР). Во многих случаях решение задач с нечеткими параметрами сводится к задачам интервального программирования [3]. Например, предположим, что лицо, принимающее решение

Тогда в качестве функции компромисса должна быть выбрана ожидаемая величина

оо о

о

<

СО О

Таблица 1

Показатели сельскохозяйственных культур

№ Показатель/культура Рожь Пшеница Картофель

1 Урожайность, ц/га (U) [30, 37] [39, 46], [250, 282].

2 Трудозатраты, чел.-ч/га (T) 16 20 80

3 Денежные затраты, руб./га (W) 180 226 782

Таблица 2

Ограничения задачи

1 По суммарной площади, га 1000 Не более

2 По трудозатратам, чел.-ч 30000 Не более

3 По денежным затратам 320000 Не более

3 По зерновым, ц 32000 Не менее

4 По картофелю, ц 40000 Не менее

5 Все площади положительны, га

оо о

(N

О CN

J <

CQ О

X i+ W 2

х 2 +

Рассмотрим пример оптимизации посевных площадей, используя предложенный подход. Требуется определить оптимальные площади под посев сельскохозяйственных культур: рожь, пшеница и картофель, которые позволят получить максимальный общий объем продукции в центнерах.

Исходные данные задачи приведены в таблицах: показатели культур (табл. 1), ограничения (табл. 2).

Математическая модель

Обозначения: ^ — площадь под посев ржи; ^2 — площадь под посев пшеницы; Х3 — площадь под посев картофеля.

Ограничения:

• по площади: ^1+^2+Хз< 1000;

• по трудозатратам: Т1 х1+Т2 х2+Т3 х3< 30000;

• по денежным затратам: W + W3 х3< 320000;

• по количеству зерновых: и1 х1+и2 х2>32000;

• по количеству картофеля: Щ х3> 40000;

• по значению: х1 > 0, х2 > 0, х3 > 0.

Критерий: объем продукции в центнерах — Q = = и1 х1+и2 х2+и3 х3^шах и и1Е[30, 37], и2Е[38, 46], и3Е[250, 282].

Пусть в зависимости от погоды урожайность культур может принимать три значения (три состояния природы) с вероятностями ^=0,3; р2=0,5; р3=0,2, а соответствующие параметры урожайности по культурам следующие. Рожь: Щц=30; и12=33; и13=37. Пшеница: и21=39; и22=42; и23=46; Картофель: и31=250; и32= 265; и33=282. Расчет проведем, предполагая параметр оптимизма А=0,7.

Алгоритм решения включает следующую последовательность шагов.

1. Определяем два крайних варианта компромиссных целевых функций, которые получаются при максимальных и минимальных значениях коэффициентов урожайности и:

Таблица 3

Нижние и верхние границы интервалов урожайности культур

Qmin U1 min X1 + U2 min X2 + U3 min X3

30 Xi + 39 X2 + 250 X3;

Qmax= U1 max X1 + U2 max X2 + U3 max X3=

=37 X1 + 46 X2 + 282 X3.

2. Определяем Qmin

и Qmax, решая задачу линейного программирования с исходными ограничениями. Имеем: 0^=74380, Qmax=89806.

3. Находим компромиссную целевую функцию при А=0,7:

0к = 0,3 0min+ 0,7 0max =

=0,3 (30 х1+39 x2+250 X3) + 0,7 (37 x1+46 X2+282 X3)=

= 34,9 х1 + 43,9 х2 + 272,4 х3 - max.

Решаем задачу линейного программирования QK — max с исходными ограничениями. Получаем QKK=84435,6 при х*=(0, 732, 192).

4. Найдем ожидаемое значение целевой функции компромисса 0ож, зная параметры исходов урожай-ностей и вероятности этих исходов:

Выполнив вычисления, получаем

0ож = 32,9 х1 + 41,9 х2 + 263,9 х3.

Оптимальное значение

Ц*ож= 80569,2 при х*=(0, 764, 184).

Теперь перейдем к рассмотрению более общего случая, а именно рассмотрим линейные модели

Таблица 4

Нижние и верхние границы интервалов денежных затрат

а U1* U2L U3l U* U2R U3R а T1L TL T 2 tl t3 T R t1 t2r T R t3

0,2 30,6 39,6 253 36,2 45,2 278,6 0,2 172 221,2 776,4 196 229,2 799,4

0,4 31,2 40,2 256 35,4 44,4 275,8 0,4 174 222,4 777,8 192 228,4 786,8

0,6 31,8 40,8 259 34,6 43,6 271,8 0,6 176 223,6 779,2 188 227,6 785,2

0,8 32,4 41,4 262 33,8 42,8 268,4 0,8 178 224,8 780,6 184 226,8 783,6

1,0 33 42 265 33 42 265 1,0 180 226 782 180 276 782

ПРАВО • МЕНЕДЖМЕНТ • МАРКЕТИНГ

принятия оптимальных решений, в которых целевая функция и ограничения содержат нечеткие параметры. В этом случае задача формулируется следующим образом:

при ограничениях

Коэффициенты целевой функции (4)

Рнеч ¿Е [Рг1, Ря] и коэффициенты ограничений (5)

^неч г, е ¿Ук]

представляют собой нечеткие числа, индексы Ь и Я означают левую и правую границы носителя нечеткого числа. Знак «>-» в ограничениях (5) читается как «не хуже». Отношение

«2 ^нечг/ xi не хУже

L

определяется как

«2 d-шчу xi содержится в 1п{».

г

как

неч г] —

где

3. Ограничения (5) записываются в виде системы интервальных ограничений на каждом «¿.-уровне:

Таблица 5

Нижние и верхние интервалы правых частей нечетких ограничений

а TL tr h1L h1R h2L h2R

0,2 263300 289700 29600 34400 33400 39000

0,4 266600 286400 30200 33800 33800 38000

0,6 269900 283100 30800 33200 34200 37000

0,8 273200 279800 31400 32600 34600 36000

1,0 276000 276000 32000 32000 35000 35000

Записываем неравенства отдельно по левому и правому краям с учетом знаков неравенства (при этом размерность увеличивается):

(7)

5.

6. 7.

Иначе говоря, ограничение (5) можно записать

Для решения данной задачи применим подход, предложенный в [5].

Применение данного алгоритма позволяет решение исходной нечеткой задачи свести к решению ряда задач линейного программирования. Это делается следующим образом.

1. Вводим дискретные «¿-уровни, (kEK — число уровней).

2. Критерий (4) записывается в виде четкой функции цели вида:

/<Х)=2 [// х)] ак ^>тах, (6)

Получаем задачу ЛП с четкими коэффициентами.

Решаем полученную задачу симплекс-методом. В результате исходная нечеткая задача представляется в виде совокупности обычных задач линейного программирования. При этом, если альтернатива х0 есть решение задачи max (c, x) на множестве уровня а, то число а есть степень принадлежности альтернативы хо нечеткому множеству решений исходной задачи.

Чтобы получить четкое решение, можно применить один из известных методов дефаззификации, например, взвешивание по методу «центра тяжести». Пусть x* k — оптимальное решение задачи на уровне а. Тогда четкое решение задачи x={x^, i=1...n по методу дефаззификации определяется как:

(8)

Рассмотрим применение предложенного подхода на нашем примере оптимизации посевных площадей. В качестве нечетких параметров в данной задаче будут выступать данные по урожайности культур и денежным затратам. Имеющаяся земельная площадь и данные по трудоемкости заданы четко. При таких предположениях нечеткая модель задачи имеет следующий вид:

^еч 1 х1 + ^еч 2 х2 + ^еч 3 х3 ^ тах, x1 + x2 + x3 < 1000,

16 x1 + 20 x2 + 80 x3 < 30000,

Тнеч 1 x1 + Тнеч 2 x2 + Тнеч 3 x3 — Тнеч,

^еч 1 x1 + ^еч 1 x2 — Кеч 1,

Таблица 6

Варианты оптимальных решений по а-уровням

оо о

(N

О CN

J <

CQ О

а 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

х* (0, 761, 140) (0, 761, 138) 0, 761, 136) (0,762, 134) (0, 762, 133)

4

8

оо о

CN

о t CN

инеч 1 Х3 — кнеч 2, X1, ^2, Х3 ^^ 0.

Будем считать, что коэффициенты целевой функции (нормативы урожайности трех культур) и коэффициенты ограничений (нормативы по урожайности и денежным затратам) заданы экспертно в виде нечетких треугольных чисел:

инеч 1=(30, 33, 37);; инеч 1=(39, 42, 46)

инеЧ 1=(250, 265, 282); Тшч 1=(170, 180, 200);

Тнеч 1=(220, 226, 230); Тнеч 1=(775, 782, 790);

Тнеч 1=(260000, 276500, 293000);

кнеч 1=(29000, 32000, 35000);

кнеч 1=(33000, 35000, 40000).

Для решения зададим следующие а-уровни: а1=0,2; а2=0,4; а3=0,6; а4=0,8, а5=1,0.

Для каждого а-уровня рассчитаем параметры, заданные нечеткими числами в виде интервалов [ЬД, Ь-к], где Ь=( и, Т, кр ^2) (приведены в табл. 3-5), и запишем задачу линейного программирования с критерием в виде соответствующего слагаемого функции (6) и ограничениями вида (7).

Применяя формулу (8) к данным табл. 6, находим четкое решение исходной задачи: х*=(0, 762, 135). Для целевой функции определяем четкий интервал, в котором она может принимать значение при четком решении, используя формулу (6), отдельно для определения нижней границы / (х*) и верхней границы /К (х*) интервала. Имеем /*(х*)£ [66523, 69141]. За четкое значение / (х*) можно взять середину интервала, т. е. /*(х*)=67829. Таким образом, было получено следующее решение. Под посев ржи следует выделить 0 га; под пшеницу — 762 га, под картофель — 135 га. При такой структуре посева общий объем продукции равен 76829 ц.

Список использованных источников

1. Ю. А. Зак. Принятие решений в условиях нечетких и размытых данных: £и22у-технологии. М.: Изд. Либрокон, 2013. 352 с.

2. Р. Г. Кравченко. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. М.: Колос, 2009. 424 с.

3. Е. М. Мелькумова. О решении некоторых задач нечеткого математического программирования//Вестник ВГУ. Серия: «Системный анализ и информационные технологии». 2009. № 2. С. 19-24.

4. В. Е. Парфенова. Нечеткая модель оптимизации структуры посевных площадей//Известия СПбГАУ. № 48. СПб., 2017. С. 176-183.

5. А. С. Птускин. Нечеткие модели и методы в менеджменте. М.: Изд. МГТУ им. Баумана. 2008. 216 с.

6. И. Ю. Стародубцев. Решение задачи линейного программирования с нечеткими параметрами//технические науки — от теории к практике: сб. статей по матер. междунар. науч-практ. конф. Новосибирск: СибАК, 2012. С. 127-132.

7. G. Klir, B. Yuan. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. N. Y: Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995. 574 p.

Fuzzy models of optimal decision making in management of agricultural production

V. E. Parfenova, doctor of economical sciences, professor, Saint-Petersburg state agrarian university.

In modern conditions to achieve significant results in the agricultural sector is impossible without entering it on the path of innovative development. Speaking about innovative development in this field typically deal with the production and technological direction. However, innovation does not stop there. Also needs new approaches and methods of economic decision making, which is an element of economic and organizational direction. The main feature of agricultural production is that it depends on the production-economic, social and natural-biological factors. Their combined effect lead to the fact that the indicators of agricultural production are not deterministic quantities. They fluctuate both in time and in space. Therefore, the problem of managerial decision-making under uncertainty in agricultural production is extremely important and relevant.

The agricultural science plays an important role optimization approach. However, developed to date, quantitative methods for optimal decision making given the opportunity to choose the best alternatives or in conditions of certainty (deterministic models) or in terms of specific kinds of uncertainty, wearing a probabilistic (stochastic model). Such models do not give an adequate solution of the problem in terms of the other uncertainty, non-probabilistic nature, the presence of which is most characteristic of modern economic challenges. With a unified voice to address various types of uncertainty allows the theory of fuzzy sets. Its use will contribute to the further development of the optimization approach in agricultural science.

This article is devoted to application of fuzzy mathematical programming to the solution of problems of agricultural production.

Keywords: innovative development, agricultural production, control, fuzzy model, optimization.

J <

CQ О