Принятие слабоструктурированных решений на основе нечеткого интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИНЯТИЕ СЛАБОСТРУКТУРИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО ИНТЕГРАЛА

Т. Ф. Бекмуратов, Д. Т. Мухамедиева, Х.А. Примова

Ташкентский университет информационных технологий, 100125, Ташкент, Узбекистан

УДК 519.05

Задача селекции, т. е. оценка качества альтернатив анализируемых объектов (информационно-коммуникационных систем, технико-технологических объектов, сортов сельскохозяйственных культур и т.д.) и выбор наилучшей альтернативы, во многих случаях решается в условиях информационных, процедурно-функциональных, параметрических и критериальных неопределенностей различного типа. В статье рассматривается нечетко-множественный подход к построению моделей описания и оценки альтернатив, а также решению задач принятия слабоструктурированных решений на основе нечетких мер и нечеткого интеграла.

Ключевые слова: принятие слабоструктурированных решений, селекция, нечеткие множества, альтернатива, оценочный функционал, модель, критерий эффективности, нечеткая мера, нечеткий интеграл.

The task selection, i. e. quality assessment of alternatives analyzed objects (information communication systems, technical-technological objects, varieties of agricultural crops, etc.) and a selection of the best alternative in many cases solved in conditions of information, procedural and functional, parametric and criteria uncertainties of various types. The article considers the fuzzv-set approach to the construction of models of description and evaluation of alternatives, as well as problem solving semi-structured decision making based on fuzzy measures and fuzzy integral.

Key words: semi-structured decisions making, selection, fuzzy set, alternative, evaluative functional, efficiency criterion, fuzzy measure, fuzzy integral.

Введение. Большой класс сложных систем и процессов характеризуется интегриро-ванностью, многоуровневостью, распределенностью и многообразием показателей эффективности. Из-за возрастающей сложности решаемых задач в слабоструктурированных системах усложняются также и сами задачи управления и принятия решения. Следует отметить, что современные системы управления и принятия решения являются человеко-машинными системами, а с возрастающей сложностью объектов управления при оценке состояний объекта управления возникает так называемый „человеческий фактор". Это обусловливает необходимость учета субъективных факторов при решении сложных задач управления. Известные классические методы не обеспечивают решения задач принятия решения и управления слабоструктурированными системами в таких условиях с требуемой эффективностью.

Решение задач указанного типа осуществляется в условиях информационных, процедурно-функциональных, параметрических и критериальных неопределенностей различного типа [1]. В частности, к таким неопределенностям относится нечеткая (расплывчатая) неопределенность, характеризующаяся неполнотой, неточностью и лингвистической

расплывчатостью (нечеткостью), присутствующей в исходной информации, критериях и оценках заказчиков и разработчиков, а также в используемых моделях и процедурах описания и оценки альтернатив анализируемых вариантов объектов и их состояний.

Необходимость учета в процессе выбора оптимальных вариантов нескольких критериев, в том числе предпочтений лиц, принимающих решения (ЛПР), также характеризует одно из условий неопределенности. Этим обусловлена целесообразность разработки и использования моделей и методов описания и оценки вариантов (альтернатив) анализируемых объектов, а также принятия слабоструктурированных решений (ПССР) по выбору наилучшего варианта в условиях нечеткой неопределенности, которые представляют собой специальный класс задач принятия решений [2, 3], В таких задачах альтернативы принимаемых решений оцениваются на основе анализа мягких оценок эффективности их реализации (исходов) и значений рисков потерь, соответствующих тем или иным исходам. Теоретико-методологическим аппаратом решения таких задач являются средства интеллектуальной информационной технологии „Soft Computing" („мягких вычислений") [4-8], Предложенные в [2] нечеткие аналоги классических критериев Байеса, Вальда, Гурии на и дисперсии позволяют эффективно решать определенный класс задач ПССР статического и динамического типов, В [3] рассмотрены задачи ПССР в задачах селекции — оценки и выбора наилучшей альтернативы по совокупности всех заданных признаков в нечеткой среде в условиях многокритериальное™ и нечеткой недоминируемоети альтернатив и критериев [8].

Основной целью настоящей работы является рассмотрение еще одного нечетко-множественного подхода к решению указанной задачи, основанного на использовании нечетких мер и нечеткого интеграла,

1. Вычисление нечеткой меры. Известно, что мера в классическом математическом понимании обладает фундаментальным свойством аддитивности, характеризующимся тем, что число, которое служит мерой нескольких объединенных характеристик, должно равняться сумме чисел, являющихся мерами соответствующих характеристик. Однако очевидно, что использование лингвистических переменных непосредственно в нечетко-множественных математических моделях исследуемых объектов нарушает предположение об аддитивности нечетких мер, что приводит к возникновению необходимости исследования и формирования нечетких мер, свободных от требований свойства аддитивности. Меры такого типа могут быть использованы при построении нечетких моделей с использованием нечетких интегралов.

Введем определения основных элементов рассматриваемой задачи, нечеткой меры и нечеткого интеграла.

Пусть Г = [x\,x2, ...,xn} — множество элементов x\,x2,...,xn. Конструкция множества Г зависит от конкретной задачи. Например, в рассматриваемой задаче элементы этого множества могут отображать тип сорта хлопчатника или их урожайность при различных условиях сева. На множестве Г построим все возможные подмножества в (Г). Например, для множества Г = (xi, x2,x3} элементами в (Г) являются: Л1 = |xi}; Л2 = {x2}; A3 =

{x3}; Л4 = {xbx2}; Л5 = (xi,x3}; Ae = {x2,x4}; Л7 = Г = {xbx2,x4}; Ag = {0}.

Основное свойство множества в(Г) состоит в том, что оно замкнуто относительно операций объединения, дополнения и пересечения: Aj U Aj е в (Г), Aj е в(Г), Aj Р| Aj е в (Г). Например, Л1 U Л2 = Л4 = {25; 30} е в (Г). в(Г)

Определение 1, Нечеткой мерой называется функция множества д, заданная на множестве в (Г) и удовлетворяющая следующим условиям [9]:

1, Ограниченность: д(0) = 0 д(Г) = 1 Г = {ж1,ж2,... ,хп}.

2, Монотонность: если А, В е в(Г), А С В, то д(А) ^ д(В),

3, Непрерывность: если последовательность {А^} е в (Г), 1 ^ г ^ то, тогда если А^ Э Аг Э ... Ап Э ...^оЛ П АЛ = £гтд(Аг).

\г=1 /

Тройка (Г в (Г) д) называется пространством с нечеткой мерой,

В [9, 10] нечеткую меру объединения д(АуВ) предлагается строить следующим образом:

д(А У В) = д(А) + д(В) + Ад(А)д(В).

Здесь параметр А принимает значения в интервале —1 < А < то, при этом АР|В = 0, Приведенное выражение называется А-правилом, а нечеткая мера дл — А-мерой Би§епо соответственно,

Г

множество Г = {х1, х2, ...,хп}. Нечеткая мера дл в этом случае будет строиться с использованием А-меры нечеткой плотности, обозначаемой как д(х) = дл({ж^}),г = 1, 2,..., п. Далее для нечеткой плотности будем использовать обозначение д^ = д(хг).

При условии, что заданы нечеткие плотности 0 ^ д^ ^ 1, мер а дл будет строиться согласно А-правилу: дл({ж1,ж^-}) = д^ + д3- + Ад^, Обобщая, можно записать, что:

к-1 к

\к-1,

дл({х1... хк}) = Е д^ + АЕ Е д^ д^2 + ••• + Ак 1д1д2 ... дк. Или в эквивалентной форме: 3 ¿1 = 1 ¿2=11 + 1

дл({х1 ,....,хк })

А(Д(1 + АдО — 1) , А = 0,

к

Ед^ А = 0.

¿+1

п

Если —1 < А < 0, то имеет мест о Е д^ > 1, а в случае 0 < А < то всегда имеет место

¿+1

п

Ед* < 1

¿=1

Кроме того, если значение какой-нибудь одной из нечетких плотностей равно единице, то значения остальных нечетких плотностей всегда равны нулю, т, е, если существует такое Х, что д3- = 1, то для каждого х = х обязательно д^ = 0,

С учетом вышеизложенного, опишем алгоритм построения нечеткой меры:

1п

Шаг 1, Из условия нормировки — I П(1 + АдО — 1 I = 1 вычисляем пара метр А;

А \г11 )

Шаг 2. Меру любого множества А е в(Г) определяем го соотношения дл(А) = 1 ( П (1 + Ад») — 1 ), которое удовлетворяет А-правилу 8и§епо,

А \xiGA )

Определение 2, С использованием понятий и алгоритма построения нечеткой меры дадим определение нечеткого интеграла Я|щопо.

Нечеткий интеграл Би§епо от функции к на множестве и то нечеткой мере д определяется по выражению [9]

/К о д = вир(а Л д(Еа)), = {х € и : К(х) ^ а}, а € (0,1]. и а

О

Отметим, что если интегрирование производится на множестве А С и, тогда нечеткий интеграл определяется по выражению

1а

К(Е) о д = 8ир(а Л д(А р| Е«)), а € (0,1].

Введем определение нечеткого интеграла для случая и = { х1; Х2,... хп}, Если К(х1) ^ .. ^ К(хп), тогда нечеткий интеграл определяется по выражению

п

/ (Е) о д = У(К(х) Л д(Ег)), Е^ = {х^,...,Жп}, Уйг = ШвХ^} .

г=1 г=1 г

Если К(х1) ^ ... ^ К(хп), тогда нечеткий интеграл определяется по выражению

„ п

/ (Е) о д = У К(жг) Л д(Ег), Е = {жь...,жг}.

г=1

Таким образом, нечеткий интеграл от функции К то нечеткой мере д представляет собой общую оценку в виде нелинейной свертки частных оценок информационных элементов, и при этом не исключается возможность взаимосвязи информационных элементов [10].

2. Вычисление нечеткого интеграла. Вычисление нечеткого интеграла состоит из двух частей: определения параметра Л и вычисления собственно самого интеграла по заданной нечеткой плотности,

ЛЛ

(—1, го). Равенство Л = 0 означает, что выполняется условие аддитивности — вероятностной меры д(ф) = 1,

В случае, когда арифметическая сумма нечетких плотностей д(ф) € (0,1), либо > 1, то Л = 0.

Л

1 Л

1, т = 2м.

П(1 + Л ■ Ы) -1

_г=1

2, Вычисление самого интеграла по заданной нечеткой плотности

/ (Е) О д = и(К(жг) Л д(Ег)), Ег = {жг,Жг+1,...,Жп},Е1 э Е2 э ....Еп, Е1 = и.

^ г=1

3. Вычислительный эксперимент. Рассмотрим предложенный подход на примере ПССР в задачах выбора селекционных сортов хлопчатника с наилучшими биологическими и технологическими показателями в нечетко заданных исходных условиях: условиях сева и выращивания (агротехнологических режимов, компонентов дозы внесения удобрений, полива, пограничных условий для данных сортов и типов почвы).

Задача ПССР формулуруетея следующим образом. Заданы:

— множество альтернатив Г = |xi,x2,...,xn} — селекционных сортов хлопчатника;

— наборы признаков: биологические и технологические характеристики, по которым производится выбор приемлемого сорта H = {h1,h2,...,hk};

— важность каждого признака в альтернативе £ G Г;

— исходные условия: типы почв, режимы полива и внесения удобрений, погодные условия (солнечная активность: ясность, пасмурность).

Требуется:

— выбрать наиболее приемлемую альтернативу — сорт, обеспечивающий для заданных исходных условий сева и выращивания (агротехнологических режимов, компонентов дозы внесения удобрений, полива, пограничных условий для данных сортов и типов почвы) получение максимального урожая с наилучшими агротехнологическими характеристиками,

Г=

{x1,x2,..., ж4}) хлопчатника: С-4727 (я^, Ташкент 1 (я2), 159-Ф (ж3), 108-Ф (я4) лучшего по заданным характеристикам H = {h1,h2,..., h4}: урожайности (Л4), длине волокна (h2) прочности волокна (h3), масличности семян (h4) [2, 3],

Значения важности каждого признака задаются экспертами и выражаются через нечеткие плотности

gi = 0,66, g2 = 0,89, g3 = 0,96, g4 = 0,93;

hi = 0,19, h2 = 0,21, h3 = 0,22, ^4 = 0,24.

При условии, что заданы нечеткие плотности в интервале 0 ^ gj ^ 1, мер a gA строится согласно А-правилу:

A(nk=i(1 + Agi) - 1), А = 0 E?+i g^ A = 0

gA(xi,X2,X3 ,£4) = 1.

Из условия нормировки A ОТш(1 + Agi) — 1) = 1 вычисляем параметр А

gig2g3g4A3 + (gig2g3 + gig2 g4 + gig3g4 + g2g3g4)A2 + (gig2 + gig3 + gi g4 + g2g3 + g2g4 + g3g4)A + gi + g2 + g3 + g4 = 1

0,524A3 + 2,49A2 + 4,409A + 2,44 = 0. A3 + 4,75A2 + 8,41A + 4,66 = 0. A = —0,96.

A

подмножеств в (Г), и этим завершается построение меры Sugeno:

gA(Xi,£2,£3) = gig2g3 A2 + (gig2 + gi g3 + g2g3)A + gi + g2 + g3 =

—0,962 x 0,66 x 0,89 x 0,96 — (0,66 x 0,89 + 0,66 x 0,96 + 0,89 x 0,96) x 0,96 +0,66 + 0,89 + 0,96 = 1,03

gA({xi ,....,£k})

дл(Х1, Х2, Х4) = ^дадА2 + (#102 + + )А + #1 + #2 + #4 = —0,962 х 0,66 х 0,89 х 0,93 - (0,66 х 0,89 + 0,66 х 0,93 + 0,89 х 0,93) х 0,96 +0,66 + 0,89 + 0,93 = 1,04

дл(х1, хз, Х4) = д1дз#4А2 + (^з + + дз#4 )А + #1 + дз + #4 = —0,962 х 0,66 х 0,96 х 0,93 — (0,66 х 0,96 + 0,66 х 0,93 + 0,96 х 0,93) х 0,96 +0,66 + 0,96 + 0,93 = 1,05

#л(х2, Хз, Х4) = ^з^А2 + (#2#з + #2#4 + #з#4)А + #2 + #з + #4 =

—0,962 х 0,89 х 0,96 х 0,93 — (0,89 х 0,96 + 0,89 х 0,93 + 0,96 х 0,93) х 0,96 +0,89 + 0,96 + 0,93 = 1,042

#л(х1 ,Х2) = А + #1 + #2 = —0,96 х 0,66 х 0,89 + 0,66 + 0,89 = 0,99,

#л(х1 ,Хз) = А + #1 + #з = —0,96 х 0,66 х 0,96 + 0,66 + 0,96 = 1,02,

#л(Х1 ,Х4) = А + + #4 = —0,96 х 0,66 х 0,93 + 0,66 + 0,93 = 1,01,

#л(х2 ,Хз) = #2#зА + #2 + #з = —0,96 х 0,89 х 0,96 + 0,89 + 0,96 = 1,03,

#л(Х2 ,Х4) = #2#4А + #2 + #4 = —0,96 х 0,89 х 0,93 + 0,89 + 0,93 = 1,02,

#л(Хз ,Х4) = #з#4А + #з + #4 = —0,96 х 0,96 х 0,93 + 0,96 + 0,93 = 1,05,

Используя вычисленные значения А-мер Би§епо, получим интегральную оценку стра-

тегии выбора наилучшего сорта с помощью нечеткого интеграла ]н Здесь:

й = 0,19, й2= 0,21, йз = 0,22, й4 = 0,24;

1=1: ^(х1) Л #(х1,х2,хз,х4) = 0,19 Л 1,0 = 0,19; 1=2: й(х2) Л #(ж2,жз,ж4) = 0,21 Л 1,042 = 0,21; 1=3: й(хз) Л #(жз,ж4) = 0,22 Л 1,05 = 0,22; 1=4: й(^) Л #(х4) = 0,24 Л 0,93 = 0,24;

I й о # = и(й(ж,) Л #(£,)) = max(0,19; 0,21; 0,22; 0,24) = 0,24;

^ г=1

Х4 = 0,24.

Результаты ранжирования всех селекционных сортов показали, что сорт х4 — 108-Ф является наилучшим среди предложенных селекционных сортов хлопчатника, поскольку результирующее значение степени принадлежности этого сорта нечеткому множеству

0,24

Заключение. Рассмотрен алгоритм решения задачи селекции с использованием нечеткой меры и нечеткого интеграла на примере выбора наилучшего сорта хлопчатника, обеспечивающего оптимальные значения агротехнологических параметров в различных условиях: посева, выращивания, вегетации и уборки. Предложенный алгоритм является дополнением к рассмотренным в [2, 3] нечетко-множественным алгоритмам ПССР в нечеткой среде.

Перспективным направлением исследований по рассматриваемой проблематике является разработка методов решения задач ПССР с использованием комбинации средств

„Soft Computing''-технологии: нечетких множеств, нейронных сетей, генетических алгоритмов, эволюционного моделирования и программирования.

Список литературы

1. Бекмуратов Т. Ф. Систематизация задач интеллектуальных систем поддержки принятия решений // Проблемы информатики и энергетики. 2003. № 4. С. 24-35.

2. Бекмуратов Т. Ф., Дадаваева Р. А., Мухамедиева Д. Т. Принятие решений в нечеткой среде // Проблемы информатики. 2010. № 1. С. 52-61.

3. Бекмуратов Т. Ф., Дадаваева P.A., Мухамедиева Д. Т. Принятие слабоструктурированных решений в задачах селекции в нечеткой среде // Проблемы информатики. 2015. № 1.

4. Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание, 1974. С. 5-49.

5. Белл мал Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 172-215.

6. Yager R. R., Zadeh L.A. (Eds.) Fuzzy sets, neural networks and Soft Computing. VAN Nostrand Reinhold. New York. 1994. P. 440.

7. Алиев P.A., Алиев P.A. Теория интеллектуальных систем и ее применение. Баку: Ча-шыоглы, 2001.

8. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М: Наука. 1981.

9. sljgeno М. Fuzzy measures and fuzzy integrals: a survey // Fuzzy automata and decision processes / Ed. M.M. Gupta, G.N. Saridis. Amsterdam, North-Holland Publishning Company, 1977. P. 89-102.

10. Takagi Т., sljgeno M. Fuzzy identification of systems and application to modeling and control / IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics. 1985. V. 15, N 1. P.116-132.

Бекмуратов Тулкун Файзиевич — д-р mexn. паук, проф., акад. АН РУз, гл. паун. сотр. Центра разработки программных продуктов и аппаратно-программных комплексов при Ташкентском университете информационных технологий;

тел. (+99871) 262-71-53; e-mail: bek.tulkun@yandex.ru

Мухамедиева Дилноз Тулкуновна — д-р техн. наук, вед. науч. сотр. Центра, разработки программных продуктов и а,ппа,ра,тмо-програ,м,м,н,ы,х комплексов при Ташкентском

университете информационных технологий; тел. (+99871) 262-71-55; e-mail: dilnozl34-Qrambler.ru

Примова Холида, Анарбаевна — канд. техн. наук, старш. науч. сотр. Центра, разработки программных продуктов и аппаратно-програ,мм,ны,х комплексов при Ташкентском

университете информационных технологий; тел. (+99871) 262-71-55; e-mail: xolida_primova@mail.ru

Дат,а, поступления — 28.01.2015