CC BY
49
гМочалов И.А., 2Аканву Э.
ХМГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия
2Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
НЕЧЕТКАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Введение
В настоящее время теория и практика поисковых систем автоматической оптимизации САО является одним из классических разделов современной теории автоматического управления. Важное место в теории САО занимают алгоритмы импульсных (шаговых) помехозащищенных быстродействующих систем для управления инерционными объектами (энергетическими и химическими установками, ракетными двигателями и т.п.), математическая модель которых может быть представлена в виде последовательного соединения статической экстремальной зависимости с априори неизвестным её видом и инерционной части, описываемой обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с неизвестными нестационарными коэффициентами. Основная проблема при реализации таких алгоритмов в реальном времени заключается в обеспечении устойчивости вычислений решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающей при идентификации показателей конечной суммы экспонент в случае использования метода R.de Prony.
Предлагается решать СЛАУ и усреднять результаты вычислений на основе нечеткого метода наименьших квадратов ТНМНК. Эффективность предложенного алгоритма оптимизации исследуется методом статистических испытаний.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим модель объекта, которая состоит из последовательно соединенных экстремального звена (нелинейная часть) с априори неизвестной характеристикой f (x) , звена чистого запаздывания с известной величиной запаздывания t и линейной части, описываемой дифференциальным уравнением т-го порядка с соответствующими начальными условиями и коэффициентами, зависящими от времени:
m
Xbi(t)u(rM\t) + uk(t) = f (x(t —1));
І=1
m m m
bm(t)=XT(t); bm-i(t)=XT(t)■ Tj(t);•••;bi(t) =П(t),
i=1 i=1 І=1
i * j
где Tt (t) - постоянные времени объекта.
Предполагается, что канал измерения выхода объекта находится под воздействием помехи X(t) , которая является центрированным случайным процессом.
За начало отсчета для САО примем момент времени появления на выходе j-ro отклика u(tj) при подаче на вход объекта в момент времени t = tj —Т3 ступенчатого управляющего воздействия Dxj = Xj — Xj—1 (|AXj| = const) .
В случае, если величина Tt (t) изменяется незначительно на промежутке t Є [tj—1, tj ] , можно положить Ti(t)=Ti=const, при этом выход объекта после решения дифференциального уравнения примет вид
u(tj ) = Uh (tj ) + X(tj ) = )Aj + X(tj ) (1)
где tj = tj — tj—1 , AT =( Qj0, aj1,K, ajm) - вектор неизвестных параметров, = f (Xj) - значение стати-
ческой характеристики объекта при j-м ступенчатом управляющем воздействии, ft (tj)=(1,exp(—ty—1),..., exp(—уф)) - вектор базисных функций с неизвестными динамическими параметра-
ми Tj, i = 1,..., m , "T" - символ транспонирования. Соотношение (10.1) нелинейно относительно неизвестных параметров aj0, с^,..., ajm, Tj^, Tj^,---, Tjm и для нахождения используется метод R.de Prony, позволяющий находить оценки cij0, aj1,...,a^, T'1,T'2,-•-Tm без использования начальных приближений по измерениям выхода u(tj =0)=Uj(0), u(tj = t) = Uj(t),..., u(tj = (N — 1)t) = Uj((N — 1)t) , N > m +1 , N - число измерений .
Алгоритм САО ускоренного поиска экстремума статической характеристики инерционного объекта, в котором используется прогнозирование установившегося значения переходного процесса (10.1) по измерениям Uj(ir) , i = 0,K,N — 1 , его начального участка имеет вид
AXj+1 = в sign(Uj+1AXj) , (2)
где q= const > 0 - величина шага при поиске максимума статической характеристики,
Vj+1 = aj+10 — С'0 = f (Xj+1) — f (Xj ) - оценка приращения статической характеристики, найденная по методу
R.de Prony.
При практической реализации алгоритма (10.2) на средствах микропроцессорной техники в случаях, которые характеризуются значительным уровнем возмущений X(tj) , близостью между собой постоянных времени объекта, небольшой величиной шага t по времени и т. д., возникают трудности, обусловленные неустойчивостью (некорректностью) вычисления Vj+1 . Как следствие неустойчивости появляются
ложные срабатывания САО, реализующей алгоритм (10.2), что иногда значительно затягивает процедуру автоматической оптимизации и уменьшает быстродействие системы.
Цель настоящего исследования состоит в модификации на основе использования нечеткой логики алгоритма (10.2), который обеспечивал бы робастность поиска при значительных осцилляциях оценок и анализе его эффективности методом статистических испытаний.
Синтез алгоритма. Пусть в соответствии с методом R.de Prony получены оценки j, i = 1,...,m для j-го поискового шага из решения соответствующего разностного уравнения. Тогда, используя вектор
FT(tj) = (1, expcyy1exp{-TjTjm))
для линейной модели
u(Tj)=FT (tj) Aj + X(tj)
находятся оценки / (xj) и /(Xj +1) с помощью нечеткого МНК (п. 8.1) .
Нечеткий алгоритм поисковой оптимизации (10.2) при этом будет иметь вид Dxj+1 = q sign(1/j+UHDxj ) , (3)
где vj+1,н = /и(xj+1) - /и(xj ) .
Моделирование алгоритма. При моделировании нечеткого алгоритма поисковой оптимизации (3) было взято m = 1 , что соответствует следующей модели объекта (3) на j-м поисковом шаге:
u(tj ) = aj0 + aj1 exP(-tjTji1) + x(tj) ,
где ajo = / (xj) - значение статической характеристики; a^ - коэффициент, зависящий от начального условия и управляющего воздействия.
Из текущих измерений составлялись первая, вторая и т.д. разности первого порядка:
Sj(ir) = Uj ((i + 1)r) — Uj(ir), i = 0,1,...,N - 2
и, в соответствии с методом R.de Prony, была получена оценка
Г N-2 N-2
Tji =-t6nі £ [Sj(it)]-1 X Sj(it)Sj((i + lt)
[ i=0 i=0
Вектор параметров Aj = (a^, a^) находили из условия
A] = arg min Xj Aj4j ,
где ATj = (Xj(0),K,Xj((N- 1)t) , а Lj - диагональная матрица весовых коэффициентов, неизвестные элементы которой находили из нечетких правил в соответствии с НМНК.
Для базисной функции exp(-tjTji) на j-м поисковом шаге вводились нечеткие множества Sjs, B-ь с
функциями принадлежности
"маленький ", ть
"большой", типа арктангенса, и для каждого те-
кущего момента времени tj = ir, i = 0,1,., N -1 определялись правила:
Rj1(t): если exp(-fj.jj11) = mjs, то gj1(t) = Ms <>■6
или
Rj2(it): если exp(-fj.jj11) = MjЬ, то gj2(t) = Mb(t)-
Полученные весовые коэффициенты gj1(it), gj2(it) нормировались:
, t gj1(t) , t gj 2(t)
jt) =------—Г------7— , 1 2(t) =------------------
gj1(t) + gj 2(t)
gj1(t) + gj 2(t)
В результате были
"1-1(0) 0
L j1= 0 yt)
0 0
"1-2(0) 0
L j 2 = 0 1'2 t)
0 0
0 0
j( N - 1t)
0 0
1 2(( N - 1t)
Для каждой матрицы L -, L - находили с помощью НМНК оценки переходных процессов U ^(t), U ^(t) и
j2
остаточные суммы квадратов Фj^ Фj2 :
N-1
Uj1(t) = j + <Я^;11) exp(-itjj11) ; Fj1 = X[u(t) - !ij1(it)] ;
i=0
N-1 2
Uj2 (it) = a(0) + a^j.2)exp(-irTj11) ; Фj2 = £[U(t) - Uj2 (it)] ,
i=0
и взвешенную сумму
/и (xj) = aj0 = ajj + (1 - a ^ ,
в которой aj находили из нечетких правил:
j - если Фj1 - "маленькая" и Ф-2 - "большая", то aj - "большое",
или
Vj2 - если Фу - "большая" и ФJ2 - "маленькая", то &j - "маленькое",
или
- если Фу - "маленькая" и Фу - "маленькая", то ttj - "среднее",
или
Vj4 - если Фji - "большая" и Фу - "большая", то &j - "среднее".
Четкие переменные Фji , Фj2 преобразовывались в нечеткие (процедура фаззификации) с помощью треугольных функций принадлежности. Для обработки нечетких логических связок "И", "ИЛИ" использо-
валось правило минимакса, а для преобразования нечеткой переменной &j с треугольными функциями
принадлежности в четкую (процедура дефаззификации) - метод центра тяжести [15].
Аналогичные вычисления проводили и при определении
aj+1,0 = /н(xj +!) .
При моделировании были выбраны следующие исходные данные:
f(x) = -x2 + 20х-10, x є [0,20] ;
начальные условия в дифференциальном уравнении:
x0 = 1,0; u0 = 5,0 ^ f (x0);
|Axj| = 1,0; t3 = 0,2;
X(t) ~ X(0, s2), s = 0,1 |uH(it) - uH((i - 1)t)|;
T1(t) = 8-10-4t2 - 5,5-10-21 + 6; t = 0,2; N = 6,7,...,13.
Эффективность алгоритма нечеткой САО сравнивалась с алгоритмом системы поисковой оптимизации, в которой для фильтрации X(t) использовался классический равноточный МНК (четкая САО). Результаты моделирования методом статистических испытаний приведены на рис. 10.1, на котором изображена зависимость среднего числа n поисковых шагов от числа N измерений выхода. На нем кривая 1 характеризует четкую САО, кривая 2 - нечеткую САО. Полученные зависимости показывают эффективность нечеткой САО.
Выше в нечеткой базе правил использовались нечеткие операции "И", "ИЛИ", описанные в [15], и
сравнение результатов моделирования при наличии выбросов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны. Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, серия «Приборостроение», 2(87), 2012, с.48-58.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Учеб.пособие. С.-Петербург, Лань, 2009,
с .608.
3. Friedman M. и др. Fuzzy linear systems, Fuzzy sets & systems, 96 (1998), p.p.201-209.
