CC BY
79
10. Розов В.Н. Формирование инновационной модели начального профессионального образования в регионе: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.08; Ин-т развития проф. образования. - М., 2002. - 235 с.
11. Тазбиева З.М. Модернизация системы образования в России: взаимодействие традиций и инноваций (культурологический подход): дис. ... канд. филос. наук: 24.00.01; Чечен. гос. ун-т. -Грозный, 2009. - 192 с.
12. Трубников В.Е., Трубникова Н.И. Образовательный комплекс как один из путей модернизации начального и среднего профессионального образования // Науч. исследования в образовании. -2007. - № 2. - С. 187-192.
13. Тютрин В.И., Казанцева Е.В. Основные направления модернизации профессионального образования Республики Бурятия // Среднее профессиональное образование. - 2011. - №5. - С. 3-5.
Казанцева Елена Валентиновна, ведущий специалист-эксперт отдела начального и среднего профессионального образования, Министерство образования и науки Республики Бурятия. Тел. 8 (3012) 212918, 89149836944, e-mail: m97001 @,mail.m
Kazantseva Elena Valentinovna, leading specialist-expert, department of elementary and secondary vocational training, Ministry of Education and Science of RB.
УДК 371.8
© В.В. Кибирев
Научный и школьный курс геометрии в основной школе
В данной статье показаны основные условия, которым должно удовлетворять строго логическое построение математической дисциплины.
Ключевые слова: геометрия как наука, система аксиом, дедукция.
V. V. Kibirev
Scientific and school course of geometry at basic school
Logical construction of mathematical discipline at basic school should satisfy the main conditions presented in the article.
Keywords: geometry as a science, system of axioms, deductive method.
Преподавание геометрии в школе должно способствовать достижению тех целей, которые преследуют учителя математики в современной школе. Но геометрия как математическая дисциплина имеет свои особенности, определяющие некоторые специальные цели, достижению которых в процессе преподавания геометрии должно быть уделено особое внимание. Знание геометрии должно помочь разобраться в геометрическом содержании какой-либо конструкции, дает возможность быстро ориентироваться в чертежах, изображающих конкретные детали механизмов, проводить измерение для определения размеров этих деталей, изготовлять грамотный чертеж и т.д.
Правильно построенное преподавание должно воспитывать в учащихся умение творчески применять свои геометрические знания, что впоследствии может их привести к плодотворным поискам новых рационализаторских изменений в применяемых ими приборах и механизмах.
Цели, положенные в основу преподавания какого-либо предмета, определяют в значитель-
ной мере характер школьного курса и методику его преподавания.
Геометрия как наука прошла долгий путь развития - от первых, выведенных из опыта практических правил для вычисления площадей и объемов, относящихся к глубокой древности, до оформления науки в стройную, строго логическую систему. Первые попытки приведения геометрических знаний в систему, установление логических связей между отдельными предложениями были исторически осуществлены на много веков раньше, чем были поставлены подобные задачи для других математических дисциплин. Создание систематического курса геометрии Евклидом относится к III в. до н.э. В течение двух тысячелетий «Начала» Евклида считались безупречными в логическом отношении и служили образцом для построения учебников геометрии.
Только во второй половине XIX в., когда предпосылки, лежащие в основании геометрии, были подвергнуты глубокому анализу, что оказалось возможным главным образом благодаря
работам великого русского геометра Н.И. Лобачевского, были выявлены те требования, которым должно удовлетворять строго логическое построение математической дисциплины.
В настоящее время научный курс геометрии является строго дедуктивным. В его основу кладется некоторая система аксиом, т.е. предложений, принятых без доказательства, и некоторое число основных или первоначальных понятий. Содержание этих понятий раскрывается в аксиомах. Все дальнейшее развертывание курса осуществляется чисто логическим путем: каждому вновь вводимому понятию дается определение, каждое новое предложение доказывается, т.е. логически выводится на основании аксиом, ранее доказанных теорем и определений. В таком курсе нигде не обращаются к опыту или непосредственной очевидности.
Требование, чтобы каждое предложение, как бы оно ни было очевидным, было доказано, если оно может быть логически выведено, приводит к наличию очень отвлеченных, формальных доказательств фактов, не вызывающих сомнений. Например, доказывается теорема: «Для данного отрезка существует одна и только одна середина». С другой стороны, требование внесения в число аксиом всякого предложения, необходимого для доказательства каких-либо теорем, если оно само не может быть доказано, приводит к формулировкам аксиом, очень сложных по конструкции (например, аксиома непрерывности), или к предложениям, которые по своей очевидности для лиц, неискушенных в логических тонкостях, представляются бессодержательными; например, аксиома о расположении точек на прямой: «Если А предшествует В, то В не предшествует А».
Понимание такого строго логического курса требует высокоразвитого логического мышления, и поэтому ясно, что преподавание чисто дедуктивного или, как говорят, «аксиоматического», курса геометрии не может быть осуществлено в средней школе.
С точки зрения современной научной строгости курс геометрии Евклида уже не является безупречным, так как в нем не дается перечисления всех аксиом, необходимых для его обоснования, а в некоторых случаях используется очевидность. Не безупречны и некоторые определения, даваемые Евклидом, так как он не вводит основных понятий, считая, что всякое понятие должно быть определено. Все же построение геометрии и на этом уровне строгости дает стройную систему и может дать понятие о логи-
ческой зависимости одних геометрических фактов от других.
Как мы уже сказали, школьный курс геометрии не может быть строго логическим, аксиоматическим курсом. В то же время нельзя удовлетвориться изучением учащимися свойств геометрических фигур и применением их к решению практических задач без установления логических зависимостей между этими свойствами; это значило бы отказаться от ознакомления учащихся с дедуктивным построением науки. В таком случае учащиеся средней школы, даже если бы они и приводили доказательства отдельных положений, не восприняли бы геометрию как систему знаний, т.е. именно того, что наиболее может воздействовать на развитие их логического мышления, поэтому в программу средней школы вводится систематический курс геометрии. В этом курсе материал располагается в таком порядке, что последующие предложения могут быть логически выведены из предыдущих. Большинство основных теорем доказывается, но некоторые положения, хотя они доказываются в научном курсе, принимаются без доказательства. В этом курсе нет перечисления всех аксиом, положенных в его основу, т.е. допускается в некоторой мере использование очевидности главным образом в расположении элементов геометрических фигур.
В дореволюционной школе учащиеся приступали к изучению систематического курса геометрии, не имея никакой предварительной подготовки по предмету. Один из выдающихся русских методистов-математиков С.И. Шохор-Троцкий так говорил на I съезде преподавателей математики в 1911 г.: «Вся беда в том, что то количество и качество пространственных восприятий и представлений, которое находится в распоряжении всякого приступающего к занятиям геометрией, считается достаточным для прохождения с ним курса Евклидовой геометрии. Между тем эти восприятия и представления недостаточны и в количественном, и в качественном отношениях для достижения цели. А та высота логического усилия, на которую учитель хочет сразу поднять учащихся, для них недоступна». Таким образом, еще в дореволюционное время некоторые передовые учителя математики указывали на необходимость «пропедевтического» курса геометрии, знакомящего учащихся с геометрическими фигурами, плоскими и пространственными, и их свойствами, т.е. расширяющего геометрический опыт, геометрические представления учащихся. Отдельные попытки осуществления такого курса проводились и в
дореволюционной школе. После Великой Октябрьской социалистической революции в школьные программы был введен пропедевтический курс геометрии. Необходимость его введения в настоящее время мотивируется двумя основными причинами: подготовкой учащихся к лучшему усвоению систематического курса геометрии; потребностью в геометрических знаниях для прохождения других школьных предметов и решения практических жизненных и производственных задач.
В советской школе отчетливо проводится связь научных знаний с жизнью и техникой, связь теории с практикой. Геометрия дает особенно много возможностей осуществить эту связь. Такие знания, как вычисление площадей и объемов, съемка планов, нужны каждому и в трудовой деятельности, и в быту. Эти знания необходимы и для усвоения других школьных предметов: физики, географии. Между тем в систематическом курсе геометрии вычисление площадей откладывается до VIII класса, измерение длины окружности и площади круга - до IX, и вычисление объемов дается только в X классе.
Это отставание геометрической теории диктует введение в младших классах некоторого курса геометрии, который дал бы требуемые знания без строгого их обоснования.
Содержание и объем пропедевтического курса геометрии весьма различны в разных руководствах. Иногда этот курс охватывает почти все темы обычного курса геометрии - как планиметрии, так и стереометрии. Некоторые авторы отводят много места преобразованию фигур, изучению симметрии, другие - преимущественно рассматривают вопросы измерения и практические приложения. Еще до Октябрьской революции над содержанием и методикой преподавания наглядной геометрии работали русские методисты-математики, продолжавшие эту работу и в советское время. Назовем из них А.М. Астряба, И.Н. Кавуна, А.Р. Кулишера, Н.Я. Виленкина, Ю.М. Колягина, О.А. Боковнева и др.
В настоящее время по учебному плану школы не отводится особых часов на пропедевтический курс геометрии, но геометрический материал включен в программу по арифметике III и IV классов начальной школы и V класса основной школы. Систематический курс геометрии начинается с VI класса. Однако вопрос о том, в каком классе начи-
нать основной систематический курс геометрии и в каком объеме проходить вводный или пропедевтический, курс, не является окончательно решенным. Многие учителя и методисты указывают на трудность усвоения учащимися VI класса систематического курса и предлагают перенести его начало на VII или даже на VIII класс, расширив вводный курс геометрии. Это предложение вызывает ряд возражений: 1) нежелательно сокращение времени изучения основного систематического курса, имеющего большое образовательное значение; 2) опыт работы лучших учителей нашей школы показывает, что, несмотря на трудности систематического курса, учащиеся VI класса могут его успешно усваивать; в то же время опыт работы в вечерних школах показывает, что и для взрослых учащихся усвоение первых разделов доказательного курса представляет те же трудности. Решающим моментом для преодоления этих трудностей является детальная разработка методики преподавания первых глав геометрии с использованием опыта лучших учителей. Более длительный срок обучения геометрии даст возможность осторожного, постепенного ознакомления учащихся с ее логической стороной.
Таким образом, одним из условий для лучшего усвоения систематического курса геометрии является хорошая постановка преподавания наглядной геометрии в младших классах. К сожалению, некоторые учителя не уделяют вопросам наглядной геометрии должного внимания, считая достаточным сообщение учащимся готовых правил для вычисления площадей и объемов и т.д.
Литература
1. Боковнев О.А. Преподавание алгебры и геометрии в школе. - М.: Просвещение, 2006.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь В.Л. Внеклассная работа по математике в VI-VIII классах. - М.: Просвещение, 1999.
3. Киселев А.П. Элементарная геометрия. -М.: Просвещение, 1986.
4. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики. - М.: Просвещение, 1995.
5. Факультативный курс. Избранные вопросы математики (7-8 кл.) / Н.Я. Виленкин и др. - М.: Просвещение, 1998.
6. Юнусов Ф.М. Некоторые аспекты совершенствования геометрии в основной школе. - М.: Просвещение, 1992.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор, Бурятский государственный университет. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, раб. тел. 219757, e-mail: dekanat [email protected]
Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a.
