Накрывающие слоения комплексных дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 4, 2004 Электронный журнал, рег. N П2375 от 07.03.97 ISSN 1817-2172

http://www. neva. ru/journal http://www. math. spbu. ru/diffjournal/ e-mail: jodiffWmail.ru

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

НАКРЫВАЮЩИЕ СЛОЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

В.Ю. Тыщенко

Гродненский государственный аграрный университет 230005, Гродно, ул. Терешковой, 28 e-mail: [email protected]

Введение

Истоки теории слоений восходят к работам Анри Пуанкаре [1]. Став самостоятельной научной дисциплиной, теория слоений в настоящее время является одним из эффективных аппаратов топологического исследования (см., например, [2 - 4]), развитие которого идет в тесной связи с приложениями.

Теория слоений дает один из методов качественного (топологического) исследования дифференциальных уравнений. На основании этих методов свойства дифференциальных уравнений изучались, например, И. Г. Петровским и Е. М. Ландисом [5], Ю. С. Ильяшенко [6], Н. Н. Ладисом [7], С. Camacho и Р. Sad [8] и др. В данной работе будем рассматривать глобальные качественные характеристики некоторых классов систем дифференциальных уравнений (в основном комплексных) на основании топологических свойств частного вида слоений, а, именно, накрывающих.

Вопросы глобальной топологической классификации дифференциальных систем (т.е. определяемых ими слоений) впервые были рассмотрены в работе

[9]. В ней, в частности, был получен критерий глобальной топологической эквивалентности для вещественных автономных линейных обыкновенных дифференциальных систем общего положения. В дальнейшем данная проблема рассматривалась в [10] и окончательно была решена в [11]. Аналогичные задачи для вещественных вполне разрешимых автономных линейных дифференциальных систем в случае двух независимых переменных изучались в [12], а в случае, когда число независимых переменных на 1 меньше числа зависимых - в [13] и [14].

В комплексном случае глобальная топологическая классификация автономных линейных обыкновенных дифференциальных систем общего положения была проведена в [15 - 19], а в [20] данная задача была решена в случае вполне разрешимых автономных линейных дифференциальных систем. Кроме того, в работах [6, 7, 21] этот вопрос изучался для комплексных автономных полиномиальных обыкновенных дифференциальных систем второго порядка.

Для неавтономных дифференциальных систем задача глобальной топологической классификации рассматривалась лишь для скалярного комплексного линейного обыкновенного дифференциального уравнения [22, 23].

Следует отметить, что все полученные в вышеперечисленных работах критерии глобальной топологической эквивалентности соответствующих дифференциальных систем были получены исключительно для интегрируемых в квадратурах случаях (что существенно облегчило получение этих критериев).

В первой главе данной работы изучаются задачи глобальных топологической, гладкой, К-голоморфной [24] и голоморфной классификаций накрывающих слоений.

Во второй и третьей главах проводятся, соответственно, вышеуказанные классификации для накрывающих слоений, определяемых комплексными неавтономными линейными дифференциальными системами и проективными матричными уравнениями Риккати [25].

В четвертой главе рассматриваются вопросы глобальных топологической и фазовой устойчивостей неавтономных линейных дифференциальных систем и проективных матричных уравнений Риккати, как комплексных, так и вещественных.

Для ссылок на формулы (теоремы, леммы, следствия и определения) будем использовать обозначения вида (к, /) и (к, I, ш), где к есть номер фор-

мулы (теоремы, леммы, следствия и определения), l - номер параграфа, m -номер главы.

Глава 1. Классификации накрывающих слоений.

§ 1. Накрывающие слоения.

Определение 1.1. Пусть A и B есть линейно связные гладкие многообразия размерностей dim A = пи dim B = m. Гладкое слое ние F размерности m на многообразии A х B, трансверсальное к A х {b} для всex b £ B, будем, называть накрывающим слоением, если проекция, p : A х B ^ B

B.

AB

- базой накрывающего слоения, F-

Определение 2.1. Пусть Fc есть слой накрывающего слоения F, содержащий точку c £ A х B. Фазовой группой Ph(F,b0), b0 £ B, накрывающего слоения F будем называть группу диффеоморфизмов Dif f (A,n1(B, b0)) действий на фазовом слое A фундаментальной группы n1(B,b0) с отмеченной точкой b0, определяемых по формуламФ7 (а) = q о r о s(1), Va £ A, Vy £ n1(B,b0), где r есть поднятие одного из пут,ей s(t) С B, Vt £ [0,1], соответствующих элементу y группы n1(B,b0), на елой F(a,s(0)) накрывающего слоения, F в точку (а, s(0)), проекция q : A х B ^ A.

Нетрудно видеть, что в силу линейной связности и гладкости многообразия B фазовые группы Ph(F,b1) и Ph(F,b2) гладко сопряжены для любых двух точек bi и b2 базы B. Поэтому в дальнейшем, как правило, будем просто говорить о фазовой группе Ph(F) накрывающего слоения F, не связывая

B

ектами, ассоциированными с фазовой группой.

Определение 3.1. Фазовую группу накрывающего слоения будем, называть тривиальной, если все диффеоморфизмы этой группы являются тождественными отображениями, и нетривиальной в прот,и,вном, случае.

Определение 4.1. Накрывающее слоение будем, называть тривиальным, если его фазовая группа тривиальна, и нетривиальным в противном случае.

Определение 5.1. Орбитой точки фазового слоя накрывающего слоения будем называть орбиту этой точки, определяемую фазовой группой слоения.

Определение 6.1. Точку фазового слоя будем называть неподвижной для накрывающего слоения, если ее орбита совпадает с самой точкой.

Определение 7.1. Слой накрывающего слоения, являющийся, и листным накрытием базы (и Е М); будем, называтъ глистным; а являющийся бесконечнолист/нмм, накрытием базы бесконечнолистным.

Теорема 1.1. Каждой изолированной неподвижной тючке накрывающего слоения, биективно соответствует некоторый однолистный слой этого слоения.

Доказательство данной теоремы непосредственно вытекает из конструкции построения фазовой группы накрывающего слоения (см. определение 2.1).

Определение 8.1. Накрывающее слоение будем, называть слабо эрго-дическим. если оно не имеет неподвижных точек.

Определение 9.1. Слабо эргодическое накрывающее слоение будем, называть эргодическим. если замыкание орбиты каждой точки фазового слоя совпадает с самим фазовым слоем.

Определение 10.1. Эргодическое накрывающее слоение будем, называть сильно эргодическим (ала транзитивным,), если орбита каждой точки фазового слоя совпадает с самим фазовым слоем.

Определение 11.1. Пусть накрывающее слоение не является слабо эргодическим. Если оно имеет конечное число неподвижных точек, то его будем, называть невырожденным, и вырожденным в прот,и,вном, случае.

Определение 12.1. Накрывающее слоение с абелевой фазовой группой будем, называть абелевым. в прот,и,вном, случае - неабелевым.

Далее нам понадобятся следующие частные случаи фазовых групп и соответствующих им накрывающих слоений.

Определение 13.1. Фазовую группу РН($) накрывающего слоения, $ будем, называть линейной и обозначать Ь(п), если А = Кп, Ф7(а) = Г'а, V а = (а\,..., аП) Е Кп, Г' Е СЬ(п, К), V 7 Е пг(Б), где К = К V С. При, этом абелеву линейную группу Ь(п) будем обозначать СЬ(п).

Определение 14.1. Накрывающее слоение с линейной фазовой группой Ь(п) будем, называть линейным и обозначать £(п). Абелево линейное накрывающее слоение будем обозначать С£(п).

Определение 15.1. Фазовую группу РН($) накрывающего слоения

3 будем называть дробно-линейной и обозначать РЬ(и), если А = КРп, Ф7(а) = К1 а, У а = (аг,... ,ап+г) £ КРп, В? £ ОЬ(и + I, К), У7 £ пг(Б). Абелеву дробно-линейную группу РЬ(и) будем обозначать СРЬ(и).

Определение 16.1. Накрывающее слоение с дробно-линейной фазовой группой РЬ(и) будем, называть дробно-линейным и обозначать р£(и). Абелево дробно-линейное накрывающее слоение будем обозначать Ср£(и).

В дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с топологическими (гладкими, К-голоморфными, голоморфными) классификациями накрывающих слоений, будем полагать, что их фазовые слои гомеоморфны (диф-феоморфны, К-голоморфно эквивалентны, голоморфно эквивалентны) друг другу. Кроме того, под К-голоморфизмом (голоморфизмом) будем понимать биективное К-голоморфное (голоморфное) отображение, имеющее К-голоморфным (голоморфным) и себе обратное.

Определение 1.2. Будем говорить, что накрывающее слоение 31 на многообразии Аг х Бг топологически (гладко, ^голоморфно, голоморфно) эквивалентно накрывающему слоению 32 на многообразии А2 х Б2, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм, Ш-голоморфизм, го-лом,орфизм,) Н : Аг х Бг ^ А2 хБ2, такой, чтод2о Н(Аг х Бг) = А2, Н =

Определение 2.2. Будем говорить, что риманова метрика ( на многообразии, А х Б индуцирует римановы метрики (г и (2 на многообразиях А и Б, соответственно, если имеют место неравенства о сг,д о с2) ^ ((01,02), (2(р о сг,р о С2) < ((сг,С2), ((сг, с2) < (г^ о сг^ о С2) + (2(р ◦ сг,р о

с2), Усг £ А х Б, Ус2 £ А х Б.

Определение 3.2. Будем говорить, что накрывающее слоение на многообразии А х Б сильно топологически (гладко, ^голоморфно, голоморфно) эквивалентно накрывающему слоению 32 на, многообразии А х Б

морфизма (диффеоморфизма, К-голоморфизма, голоморфизма) Н : А х Б ^ А х Б и при этом ((с,Н(с)) < £, Ус £ А х Б, где ( есть риманова метрика на многообразии А х Б, индуцирующая римановы метрики (г и (2 на АБ

Теорема 1.2 [26]. Для топологической (гладкой, Ж-голоморфной, голоморфной) эквивалентности накрывающих слоений и 32 необходи-

2. Эквивалентности накрывающих слоений.

$ъ(с'), Усг £ Аг х Бг, где проекция д2 : А2 х Б2 ^ А2.

Н(с1)

мо и достаточно существования из ом,орфизм,а, ц фундаментальных групп п1(Б1) и п1(Б2), порожденного гомеоморфизмом (диффеоморфизмом, К-голоморфизмом, голоморфизмом) дИ : Б\ ^ Б2 баз, и гомеоморфизма (диффеоморфизма, К-голоморфизма, голоморфизма) / : А\ ^ А2 фазовых слоев, таких, что

/ о Ф?1 = Ф%™ о ¡, Е пг(Бг), (1.2)

где Ф^ Е РК^, 7е Е ), С = 1,2.

Доказательство. Сначала заметим, что для гладких (М-голоморфных, голоморфных) многообразий, являющихся базами накрывающих слоений, определения фундаментальных групп и их действий па гладких (М-голоморфных, голоморфных) фазовых слоях с помощью непрерывных и с помощью гладких (К-голоморфных, голоморфных) путей эквивалентны.

Необходимость. Пусть отображение К : А\ х Б\ ^ А2 х Б2 определяет топологическую (гладкую, К-голоморфную, голоморфную) эквивалентность накрывающих слоений и Возьмем фиксированную точку а1 на многообразии А\ и отмеченную точку Ъ\ на многообразии Б\. Для произвольной точки а\ многообразия А\ обозначим через в(т), Vт Е [0,1], такой путь в А\ х {Ъ®} С А\ х Б\, соединяющий точки (а®,Щ) ж (а^Ъ0), что в(0) = (а1,Ъ(0), в(1) = (а00, Ъ0). Теперь положим в\(т) = р2 о К о в(т), а2 = ((2 о К(а1, Ъ0), /(а®) = ((2 о т1(1), где р2 есть проекция на второй сомножитель, Г1(т) - поднятие пуТИ 8®(т), Vт Е [0,1^, на слой накрывающего слоения $2 в точку (а2,3^0)). Справедливость соотношений (1.2) проверяется непосредственно.

Достаточность. Пусть для действий фазовых групп РН($1) и РК($2) выполняются соотношения (1.2). Для пути в2 : [0,1] ^ Б17 такого, что з2(0) = Ъ®, ^2(1) = Ъ1, положим

К(а1,Ъ1) = (д^з-1 о / о в3(а1), д^Ь)), Val Е А®, VЪl Е Б1, (2.2)

где з3(а®) = о г 2(1), (1 - проекция на первый сомп ожитель, г2 (т) - поднятие пути в2 на слой слоения $ в точку (а®, Ъ®), д^в--1(а2) = (2 од^г3-1(1), д^т3-1(т) есть результат поднятия пути дм о в-1 па слой слоения $2 в соответствующую точку, в-1 - путь, обратный пути в2. Теперь непосредственным образом приходим к выводу, что отображение (2.2) задает топологическую (гладкую, К-голоморфную, голоморфную) эквивалентность накрывающих слоений $ и

Теорема 2.2. Для сильной топологической (гладкой, Ж-голоморфной, голоморфной) эквивалентности накрывающих слоений и $2 необ-

ходимо и достаточно существования автоморфизма ц фундаментальной группы п1(Б), порожденной гомеоморфизмом (диффеоморфизмом, R-голоморфизмом, голоморфизмом) дИ : Б ^ Б базы, и гомеоморфизма (диффеоморфизма, R-голоморфизма, голоморфизма) f : A ^ A фазового слоя, таких, что выполняются соотн ошения f о = ф^ о f, У y £ п1(Б), Ф^ £

, Y £ п1(Б), £ = 1,2, и неравенсmea d1(a,f (a)) < s1, Уа £ A, d2(b,g,(b)) <s2, УЬ £ Б.

Доказательство данного утверждения проводится аналогично доказательству теоремы 2.2 и использует определение 2.2.

§ 3. Вложимости накрывающих слоений.

Определение 1.3. Будем говорить, что накрывающее слоение F1 на, многообразии A1 х Б1 вложимо (гладко вложимо, ^голоморфно вло-

жимо, голоморфно вложимо) в накрывающее слоение F2 на многообразии A2 х Б2, если существует такое вложение (гладкое вложение, R-голоморфное вложение, голоморфное вложение) h : A1 х Б1 ^ A2 х Б2, что q2 о h(A1 х Б1) = A2 и hfa) ^ F2h(ci), УС1 £ A1 х Бь

Теорема 1.3. Для вложимости (гладкой вложимости, R-голоморфной вложимости, голоморфной вложимости) накрывающего слоения F1 в накрывающее слоение F2 необходимо и достаточно существования гомоморфизма ц фундаментальной группы, п1(Б1) в фундаментальную группу п1(Б2), порожденного вложением (гладким, вложением, R-голоморфым вложением, голоморфым вложением) дм : Б1 ^ Б2 баз, и гомеоморфизма (диффеоморфизма, R-голоморфизма, голоморфизма) f : A1 ^ A2 фазовых слоев, таких, что выполняются соотношения (1.2).

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству теоремы 1.2.

Определение 2.3. Будем говорить, что накрывающее слоение F1 на многообразии A1 х Б1 слабо топологически (гладко, ^голоморфно,

голоморфно) эквивалентно накрывающему слоению F2 на многообразии A2 х Б2, если они вложим,ы, (гладко вложимы, R-голоморфно вложимы, голоморфно вложимы) друг в друга.

Теперь на основании теоремы 1.3 непосредственным образом получаем критерии слабой топологической (гладкой, R-голоморфной, голоморфной эквивалентности накрывающих слоений.

§ 4. Накрытия накрывающих слоений.

Определение 1.4. Будем говорить, что накрывающее слоение $ на многообразии А® х Б® накрывает (гладко накрывает, ^голоморфно накрывает, голоморфно накрывает) накрывающее слоение $2 на мно-А2 х Б2

Ш-голоморфное накрытие, голоморфное накрыти,е) К : А® х Б® ^ А2 х Б2, что (2 о К(А1 х Б1) = А2 и К^) ^ $2{с1), Vcl Е А1 х Бь

Аналогично теореме 1.2 получаем следующий критерий накрытия (гладкого накрытия, К-голоморфного накрытия, голоморфного накрытия) накрывающих слоений.

Теорема 1.4. Для того, чтобы накрывающее слоение накрывало (гладко накрывало, К-голоморфно накрывало, голоморфно накрывало) накрывающее слоение необходимо и достаточно существования мономорфизма цфундаментальной группы п1(Б1) в фундаментальную группу п® (Б2), порожденного накрытием (гладким, накрытием, К-голоморфым накрытием, голоморфым накрытием) дИ : Б® ^ Б2 баз, и гомеоморфизма (диффеоморфизма, К-голожор^шжа, голоморфизма) / : А® ^ А2 фазовых слоев, таких, что выполняются соотношения (1.2).

§ 5. Структурная устойчивость накрывающих слоений.

Определение 1.5. Рассмотрим гладкое семейство накрывающих слоений такое, что $(А0) = где А = (А®,... , А/). Накрывающее слоение $ будем, называть структурно (сильно структурно) устойчивым, если при, всех достаточно малых 5 ему топологически (сильно топологически) эквивалентно любое накрывающее слоение $ (А), удовлетворяющее условию ||А — А0|| < 5 , где ЦАЦ есть евклидова норма вектора А.

Теорема 1.5. Комплексные неабелевы невырожденные накрывающие слоения, структурно неустойчивы.

Доказательство проводится на основании теоремы 1.2 с использованием следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 1.5. Пусть при, А = Сп, п > 1, неабелевы фазовые группы с

0 Е Сп

но, образующими голоморфизмами Ргт + рг (т), Vw = (/ш1,... , тп) Е Сп, и Qrw+'фr(т), Vт Е Сп, рг(т) = о(||—||), фг(-) = о(||—||), т ^ 0, Vr Е I, где I есть некоторое множество индексов, и, кроме того, топологически сопряжены. Тогда соответствующие им неабелевы линейные фазовые группы

Ь1(п) и Ь2(п) общего положения сопряжены посредством невырожденного К-линейного [27, с. 13] преобразования.

Доказательство данного утверждения проводится непосредственными вычислениями и использует ход доказательства леммы 2.2.2 (ее мы докажем позднее).

Следствие 1.5. Если комплексное невырожденное накрывающее слоение структурно устойчиво, то оно абелево.

Предположим теперь, что комплексное абелево невырожденное накрывающее слоение является структурно устойчивым. Тогда аналогично теореме 1.5 на основании теорем 1.1.2 и 2.1.2 получаем такое утверждение.

Теорема 2.5. Если комплексное абелево невырожденное накрывающее слоение структурно устойчиво, то фундаментальная группа его базы имеет одну независимую образующую.

Глава 2. Классификации комплексных линейных накрывающих

слоений.

Теоремы 1.2.1, 2.2.1, 1.3.1 и 1.4.1 сводят задачи топологической, гладкой, К-голоморфной и голоморфной классификаций накрывающих слоений к задачам аналогичных классификаций фазовых групп слоений при соответствующих этим классификациям морфизмах (изоморфизмах, автоморфизмах, гомоморфизмах и мономорфизмах). Поэтому рассматриваемые в данной главе вопросы будем исследовать на основании топологической, гладкой, Щ^голоморфной и голоморфной классификаций линейных фазовых групп Ь(п)7 что соответствует задачам о нахождении необходимых и достаточных условий существования такого гомеоморфизма (диффеоморфизма, К-голоморфизма, голоморфизма) / : Сп ^ Сп, что имеют место тождества

/(Рг-) = Qr!(—), Vw Е Сп, Vr Е I, (1.0)

где /(т) = (/!(—),...,/п(—)), квадратные матрицы Рг Е СЬ(п, С), Qr Е ОЬ(п, С), Уг Е I, I есть некоторое множество индексов. При этом линейную фазовую группу, определяемую линейными действиями Рг — , V— Е Сп, Vг Е I, будем обозначать Ь1(п)^ а терез Ь2(п) будем обозначать аналогичную фазовую группу, определяемую линейными действиями Qr V— Е Сп, Vг Е I.

Определение 1.0. Набор {А®,..., Ап} ненулевых комплексных чисел будем называть простым, если Ак/А[ = в±}, Е М, I = к, к = 1,п, I = 1, п.

Определение 2.0. Квадратную матрицу размера n > 1 будем называть простой, если она имеет простую структуру и простой набор собственных значений.

n > 1

вать нерезонансной7 если она имеет простую структуру и никакие два собственные значения этой матрицы не отличаются на натуральное число. В противном случае данную матрицу будем, называть резонансной.

§ 1. Топологическая сопряженность абелевых линейных фазовых

групп.

В этом случае заметим, что если все матрицы Pr (все матрицы Qr) имеют простую структуру, Уг G I, то они приводятся к диагональному виду общим преобразованием подобия [28, с. 194].

Теорема 1.1 [22, 23]. Для топологической сопряженности (1.0) линейных фазовых групп L1(1) и L2(1) необходимо и достаточно, чтобы либо

qir = Pif \pir Г, Re а > -1, У r G I, (1.1)

либо

qir = pir\pir\a, Re а> -1, У r G I, (2.1)

где Pr = pir, Qr = qir, У r G I.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что сопрягающий гомеоморфизм f сохраняет ориентацию (случай, когда гомеоморфизм f меняет ориентацию, рассматривается аналогично).

Так как вращения комплексной плоскости вокруг начала координат на углы p и ф, где —п < p ^ п, —п < ф ^ п, топологически сопряжены, если и только если p = ф, то для всех r G I с условием, что \pir\ = 1, имеем qir = Pir а

Если \piri \ = 1 и \pir2 \ = 1 для некоторых ri w r2 из I, то

sgn ln \piri\ = sgn In \pir2\. (3.1)

Нетрудно видеть, что существуют такие последовательности {ls} a {ms} целых чисел, что

lim p^p^rl = 1, (4.1)

и при этом lim \ls\ = lim \ms\ =

Из тождеств (1.0) вытекает, что/(p{ripЩw) = q{r qЩ?f (w), Vw G C, Vs G N. Отсюда с учетом (4.1) имеем, что

lim 4{пq?ri = 1. (5.1)

s^+то 1 2

Поэтому из (4.1) и (5.1) для некоторых значений логарифмов получаем соотношения

ln \piri\/ln \pir21 = - Um (ms/ls) (6.1)

И

lsln piri + nsln pi r2 = lsln qiri + nsln qir2. (7.1)

Разделим левую и правую части равенства (7.1) на ls и перейдем к пределу при s ^ Тогда с учетом (6.1) получим, что

(ln qiri - ln p 1 ri)/ln \piri \ = (ln qir-2 - ln pir2)/ln \pir2 \. (8.1)

Теперь, полагая, что ari = (ln qiri — ln piri)/ln \piri \, получаем равенство (1.1), где а = ari. Кроме того, из (8.1) следует, что ari = ar2 = а для всех ri и Г2 из I с учетом того, что \piri \ = 1 и \qiri \ = 1. И, наконец, неравенство Re а > — 1 вытекает из равенств Re а = Re ari = ln \qiri \/ln \piri \ — 1 и (3.1).

Достаточность доказывается путем построения сопрягающих гомеоморфизмов f(w) = Yw\w\a, Vw G C, при выполнении соотношений (1.1); и f (w) = Yw\w\a, Vw G C, при выполнении соотношений (2.1).

n > 1

Pr = S diag{pir, ...,pnr} S-i, Qr = T diag{qir,...,qnr} T-i, а матрицы ln Pr и ln Qr являются простыми, V r G I. Тогда, для топологической сопряженности (1.0) линейных фазовых групп CLi(n) и CL2(n) необходимо и достаточно существования таких перестановки g : (1,... ,n) ^ (1,... ,n) и комплексных чисел а^ с Re а^ > —1, k = 1,n, что либо

qe(k)r = pkr\pkr\ak, V r g I, (9.1)

либо

qe(k)r = pkr\pkr\ak, V r G I, (10.1)

k = 1,n.

Доказательство. С помощью замены ^(w) = T-if (Sw), Vw G Cn, от тождеств (1.0) переходим к тождествам

£ (diag{pir ,...,pnr }w) = diag{qir ,...,qnr}£ (w), Vw G Cn, V r G I. (11.1)

Поэтому топологическая сопряженность линейных групп CL1(n) и CL2(n) равносильна выполнению тождеств (11.1).

Необходимость. Пусть выполняются тождества (11.1). Голоморфизм ur (w) = Prw, V w E Cn (голоморфизм vr (w) = Qrw, Vw E Cn), определяет па пространстве Cn инвариантное голоморфноe слоение U (инвариантное голоморфное слоение Vr) комплексной размерности 1, определяемое базисом абсолютных инвариантов [29, с. 23] w—ln Pnrwl™ Pkr, k = 1,n — 1 (базисом абсолютных инвариантов w—ln qnrwl qkr, k = 1,n — 1), V r E I. Обозначим через Ck координатную комплексную плоскость wi = 0, l = k, l = 1,n,

o

а через Ck _ координатную комплексную плоскость Ck с выколотым началом координат, k = 1,n. Так как матрицы ln Pr (матрицы ln Qr) являются простыми, V r E I, то при: 1) ln pkr/ln pnr E R (ln qkr/ln qnr E R)? 3a~ мыкание каждой из гиперповерхностей w—ln Pnr wjn Pkr = Ck (гиперповерхностей w—ln qnrwnln qkr = Ck) при Ck = 0 содержит гиперплоскость wk = 0;

2) ln pkr/ln pnr E R/Q (ln qkr/ln qnr E R/Q), замыкание каждой из гиперповерхностей w—ln Pnrw^1 Pkr = Ck (гиперповерхностей w—ln qnrwJn qkr = Ck)

Ck = 0

3) ln Pkr/ln Pnr E Q, ln Pkr/ln Pnr = s^1, Skr E N (ln qkr/ln qnr E Q, ln qkr/ln qnr = s^/l, skr E N), замыкание каждой из гиперповерхностей w— n Pnr wjn Pkr = Ck (гиперповерхно стей w— n qnr wj:n qkr = Ck) пр и Ck = 0 не содержит неподвижную точку 0 E Cn голоморфизмов vr(w), Vw E Cn, и vr(w), Vw E Cn, k = 1,n — 1, V r E I. Поэтому сопрягающий гомеомор-

oo

физм £ : Cn ^ Cn ^^^^^одит слой uk =Ck слоения Ur в стой vp(k) =Cp(k) слоения Vr, k = 1,n, V r E I. Кроме того, из тождеств (11.1) следу-

Cn

гомеоморфизма Тогда у этого гомеоморфизма проекции £k : Cn ^ C

таковы, что их сужения £k : Ck ^ Cp(k) являются гомеоморфизмами и

£p(k)(Pkr vJk) = qp(k)r Cp(k)(wk), V vjk = (0,..., 0,wk, 0,..., 0), k = 1,n, V r E I. Отсюда на основании теоремы 1.1 приходим к выводу, что существуют такие комплексные числа ak с Re ak > —1-, что выполняется одно из соотношений (9.1) или (10.1), k = 1,n.

Достаточность доказывается путем построения сопрягающего гомеоморфизма £ : Cn ^ Cn, такого, что его проекции £p(k)(w) = Ykwk\wk\ak, Vw E Cn если имеют место соотношения (9.1); и £p(k)(w) = Ykwk\wk\ak, Vw E Cn, если имеют место соотношения (10.1); k = 1,n.

§ 2. Топологическая сопряженность неабелевых линейных

фазовых групп.

В этом параграфе будем рассмотрпвать пеабелевые линейные фазовые группы Li(n) и L2 (n).

Теорема 1.2 [30]. Из топологической сопряженности неабелевых линейных фазовых групп Li(n) и L2(n) общего положения следует их R-голоморфная сопряженность.

Доказательство теоремы 1.2 непосредственно вытекает из следующих двух вспомогательных утверждений (лемм 1.2 и 2.2).

Лемма 1.2. Пусть при I = {1,2} линейные фазовые группы Li(1) и L2(1) топологически сопряжены, а подгруппа группы C* ненулевых комплексных чисел по умножению, образованая числами pii и pi2, плотна в

Cf дается либо формулой f (w) = yw\w\a, Vw G C, либо формулой f (w) = Yw\w\a, Vw G C, где Re а > —1.

f

ентацию (случай, когда он меняет ориентацию, рассматривается аналогично). В силу теоремы 1.1 имеют место соотношения qir = pir \pir \a, r = 1, 2, Re а > —1. На основании тождеств (1.0) приходим к выводу о справедливости равенств f (pliiprm2) = f (1)pliipr\22\pliiprm2\a, Vl G Z, Vm G Z. В силу плотности нашей подгруппы группы C* в множестве C комплексных чисел имеем, что

w G C

сти {ls(w)} и {ms(w)} целых чисел, что lim pl{iWp™^^ = w, lim \ls(w)\ =

s—s—

lim \ms(w)\ = Отсюда получаем первое представление утверждения

s—

леммы, где y = f (1)-

Лемма 2.2. Пусть матрицы Pr = Sr diag{pir,...,pnr} S—i, Qr = Tr diag{qir, ... ,qnr} T—i, а матрицы ln Pr и ln Qr являются простыми, V r G I

зовых групп Li(n) и L2(n) общего положения еле дует ихШ-линейная сопряженность (т.е. гомеоморфизм f : Cn — Cn в тождествах (1.0) является невырожденным R-линейным отображением).

Доказательство. Пусть имеют место тождества (1.0). С помощью замены £(w) = T—if (Siw), Vw G Cn, от них переходим к тождествам

£(diag{pii,... ,pni}w) = diag{qn,... ,qni}£(w), Vw G Cn. (1.2)

Теперь аналогичным образом, как и при доказательстве теоремы 1.1,

приходим к выводу, что начало координат пространства Сп является неподвижной точкой гомеоморфизма а его проекции £к ■ Сп ^ С таковы, что имеют место соотношения £р(к)(0,..., 0,рк\Юк, 0,..., 0) = Яр(к)1^р(к){01..., 0,тк, 0^.., 0), £ (0,..., 0,Юк, 0,..., 0) = 0, Уюк е С, I = р(к), I = 1,п, к = 1,п; где р ■ (1,...,п) ^ (1,...,п) есть некоторая перестановка. Отсюда в случае общего положения на основании соотношений (1.0), теоремы 2.1 и леммы 1.2 приходим к выводу о справедливости тождеств £р(к)(0,..., 0,и)к, 0,..., 0) = 7к <ш*к\<шк\ак, Уюк е С, Ясак > -1, к = 1,п, где и)к = Юк V Юк, к = 1, п. От этих тождеств далее приходим к соотношениям

£р(к)Ы = 7кЮ*к\юк\ак(1 + <Рр(к)(™)), Ую е Сп, Ясак > -1, Рр(к)(0,..., 0,Юк, 0,..., 0) = 0, (2.2)

Уюк е С/{0}, к = 1/п.

Теперь па основании тождеств (1.2) имеем, что рк((1гад{рц, ... ,рп\}и)) = рк(ю), Ую е Сп, к = 1,п. Учитывая соотношения (2.2) и базис абсолютных инвариантов слоения и из доказательства теоремы 2.1, получаем представления

СР(к)(ю) = 1кюк\юк\ак(1 + Фр{к)(юЮ1пр11/1прк1..,

юк-1ю-1прк-1'1/1прк1, юк+1ю~к1прк+1'1/1прк1(3.2)

1ЮпЮ-1прп1/1прк 1)), ую есп, к = мп,

где функции фр(к) непрерывны по стоим аргументам, к = 1, п. Принимая во внимание некоммутативность линейных групп и тождества (1.2), на основании соотношений (2.2) и (3.2) с учетом простоты наборов чисел из условия леммы приходим к ее утверждению.

§ 3. Сильная топологическая сопряженность линейных фазовых

групп.

Рассмотрим сильную топологическую сопряженность линейных фазовых групп Ь1(п) и Ь2(п).

Теорема 1.3. Отличные друг от друга линейные фазовые группы Ь1(п) и Ь2(п) не могут быть сильно топологически сопряжены.

Доказательство данного утверждения будем проводить методом "от противного". В самом деле, пусть отличные друг от друга линейные фазовые группы Ь1(п) и Ь2(п) сильно топологически сопряжены посредством гомеоморфизма + р(ю), Ую е Сп, где I есть единичная матрица. Так как линейные фазовые группы Ь1(п) и Ь2(п) отличны друг от друга, то существуют

такие различные между собой матрицы Р € ОЬ(и, С) и Q € ОЬ(и, С), что имеют место соотношения (Р — Q)w = Qp(w) — р(Ри), ||^>(и)|| < £, Уи € Сп. Вычисляя евклидову норму от обеих частей последнего равенства, при ЦиЦ ^ приходим к противоречию.

§ 4. Гладкая, ^голоморфная и голоморфная сопряженности

линейных фазовых групп.

Рассмотрим случаи гладкой, М-голоморфной и голоморфной сопряжен-ностей линейных фазовых групп Ь1(и) и Ь2(и).

Теорема 1.4 [30]. Линейные фазовые группы Ь1(и) и Ь2(и) гладко (М-голоморфно) сопряжены тогда и только тогда, когда ониМ-линейно сопряжены.

Доказательство. Необходимость. Пусть линейные фазовые группы Ь1(и) и Ь2(и) гладко (М-голоморфно) сопряжены. Тогда имеют место тождества (1.0) при диффеоморфизме (М-голоморфизме) /. Вычисляя в них полный дифференциал в точке и = 0, имеем, что Вш/(0)РГ¿и + Б^/(0)РГ(Ш = Qr / (0)йи + Qr (0)(и, У г € /.Поэтому М-линейное отображение

/ (0)и + / (0)и, У и € Сп, определяет сопряженность (1.0). Так как отображение / есть диффеоморфизм (М-голоморфизм), то оно невырождено.

Достаточность проверяется непосредственными вычислениями.

Теорема 2.4. Линейные фазовые группы Ь1(и) и Ь2(и) голоморфно сопряжены тогда и только тогда, когда они линейно сопряжены.

Доказательство. Необходимость. Пусть линейные фазовые группы Ь1(и) и Ь2(и) голоморфно сопряжены. Тогда имеют место тождества (1.0) при голоморфизме /. Вычисляя в них комплексный дифференциал в точке и = 0, имеем, что /(0)РГ(и) = Qr/(0)(и, У г € I. Поэтому линейное отображение Вш/(0)и, Уи € Сп, определяет сопряженность (1.0). Так как отображение / есть голоморфизм, то оно невырождено.

Достаточность проверяется непосредственными вычислениями.

§ 5. Эквивалентности линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим линейные накрывающие слоения £1(и) и £2(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1 (и) и Ь2(и), определяемыми линейными действиями Р11 и, У и € Сп, Р11 € ОЬ(и, С), У^1 € п1(В1), и

QY2w, Vw E Cn, QY2 E GL(n, C), V^2 E n1(B2), соответственно. На основании теорем 1.2.1, 1.1, 2.1, 1.4, 2.4, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии

R

линейных накрывающих слоений.

Теорема 1.5. Для топологической эквивалентности линейных накрывающих слоений L1(1) и L2(1) необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного гомеоморфизмом

: B1 ^ B2, что либо q1^) = P1ъ \P1yi |а, Re a > —1, V Y1 E П1(В{), либо q1P(ll) = P1Ъ \P1li \а, Re a > —1, V Y1 E п (B1), где Pli = p, Vj1 E П1(B1), QY2 = q1Y2, VY2 e n1 (B2) ■

n>1

цы PYl = S diag{P1ll, ...,PnYl} S—1, QY2 = T diag{q1l2,...,qni2} T—1, а матрицы ln PYl и ln QY2 являются прост ими, V^1 E n1(B1), Vy2 E n1 (B2). Тогда для топологической эквивалентности абелевых линейных накрывающих слоений CL1(n) и CL2(n) необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного гомеоморфизмом gp : B1 ^ B2, перестановки д : (1,... ,n) ^ (1,... ,n) и комплексных чисел ak с Re ak > —1, k = 1,n, что либо qß(k)^(11) = Phyi \Pkji \a k, V Y1 E n1(B{), либо qg(k)^i) = Pkji\PkY1 \a k, V Y1 E n1(B1); k = 1,n.

n > 1

рицы P11 = S11 diag {P111,... ,Pn7l} S—Ql2 = Tl2 diag {q1l2,..., qnl2} T—1, а матрицы ln PYl и ln QY2 являются прост ими, V^1 E n1(B1), Vy2 E n1 (B2). Тогда из топологической эквивалентности неабелевых линейных накрывающих слоений L1(n) и L2(n) с соответствующими им неабелевыми линейными фазовыми группами L1(n) и L2(n) общего положения следует R-ли-нейная сопряженность данных фазовых групп при некотором изоморфизме ß : n1(B1) ^ n1 (B2), порожденном гомеоморфизмом gp : B1 ^ B2.

Следствие 1.5. Из топологической эквивалентности неабелевых линейных накрывающих слоений L1 (n) и L2(n) общего положения следует их R

Теорема 4.5. Линейные накрывающие слоения L1(n) и L2(n) с соответствующими им линейными фазовыми группами L1 (n) и L2(n) гладко (R-голоморфно) эквивалентны тогда и только тогда, когда их фазовые группы R-линейно сопряжены при некотором изоморфизме ß : n1(B1) ^ n1 (B2); порожденном диффеоморфизмом (R-голоморфизмом) gp : B1 ^ B2.

Теорема 5.5. Линейные накрывающие слоения L1(n) и L2(n) с соответ-

ствующими им линейными фазовыми группами Ь1 (и) и Ь2(и) голоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их фазовые группы линейно сопряжены при, некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфизмом дИ : В1 ^ В2.

И, наконец, на основании теорем 2.2.1 и 1.3 приходим к следующему утверждению.

Теорема 6.5. Пусть линейные накрывающие слоения 21(и) и 22(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1 (и) и Ь2 (и) таковы, что линейные действия данных фазовых групп, взятые в совокупности, различны при, любом автоморфизме ц : п1(В) ^ п1(В); порожденном гомеоморфизмом дИ : В ^ В. Тогда, данные линейные накрывающие слоения, не могут быть сильно топологически эквивалентными

Данная теорема показывает, что топологическая эквивалентность различных линейных накрывающих слоений не может осуществляться гомеоморфизмом, достаточно близким к тождественному.

§ 6. Вложимости линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим линейные накрывающие слоения 21(и) и 22(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1(и) и Ь2(и). На основании теорем 1.3.1, 1.1, 2.1, 1.4, 2.4, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии вложимостей линейных накрывающих слоений.

Теорема 1.6. Для вложимости линейного накрывающего слоения 21 (1) в линейное накрывающее слоение 22(1) необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного вложением дИ : В1 ^ В2, что либо = р1^1\р1^1 \а, Яв а > —1, У 11 € п1(В1), либо

ЯЫъ) = Р1ц 1Р1ъ 1", Ява> —1, У € П1(Вг).

Теорема 2.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.Ъ. Тогда для вложимости абелевого линейного накрывающего слоения С21(и) в абелево линейное накрывающее слоение С22(и) необходима и достаточно существования таких гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного вложением дИ : В1 ^ В2, перестано вки д : (1,... ,и) ^ (1,... ,и) и комплексных чисел ак с Яв ак > —1, к = 1, и, что либо Яв(к)^(11) = Рк11\Рк11 \ак, У 11 € П1(В{), либо Яв(к)^(ъ) = Рк1х\Рк^\ 1ак, У 11 € П1(В1); к = 1,и.

Теорема 3.6. Пусть выполняются условия теоремы 3.5. Тогда из вложимости неабелевого линейного накрывающего слоения 2} (и) в неабелевое линейное накрывающее слоение 22(и) с соответствующими им неабелевы-

ми линейными фазовыми группами Ь1 (и) и Ь2(и) общего положения еледу-

М

м ом орфизм е ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном влож ением дИ : В1 ^ В2.

Следствие 1.6. Из вложимости неабелевого линейного накрывающего слоения общего положения 21 (и) в неабелевое линейное накрывающее слоение 22(и) общего положения следует ихМ-голоморфная вложимость.

Теорема 4.6. Линейное накрывающее слоение 21 (и) гладко (М-голоморфно) вложимо в линейное накрывающее слоение 22(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1 (и) и Ь2(и) тогда и толь-

М

мом,орфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном гладким (М-голоморфным) вложением дИ : В1 ^ В2.

Теорема 5.6. Линейное накрывающее слоение 21(и) голоморфно вложимо в линейное накрывающее слоение 22(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1(и) и Ь2(и) тогда и только тогда, когда их фазовые группы линейно сопряжены при некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п1 (В2), порожденном голоморфным вложением д^ : В1 ^ В2.

Теперь на основании теорем 1.6 - 5.6 получаем критерии слабой топологи-

М

накрывающих слоений.

§ 7. Накрытия линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим линейные накрывающие слоения 21(и) и 22(и) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1(и) и Ь2(и). На основании теорем 1.4.1, 1.1, 2.1, 1.4, 2.4, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии накрытий линейных накрывающих слоений.

Теорема 1.7. Для накрытия линейного накрывающего слоения 22(1) линейным накрывающим слоением 21 (1) необходимо и достаточно существования такого мономорфизмац : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного накрытием дИ : В1 ^ В2, что либо = р1^1 \р1^1 |а, Яв а > —1, У 71 € п1(В1), л,ибо

ЯЫъ) = Р1ц\P1yI\а, Ява> —1, У 11 € П1(Вг).

Теорема 2.7. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Тогда для накрытия абелевого линейного накрывающего слоения С22(и) абелевым линейным накрывающим слоением С21(и) необходимо и достаточно существования таких мономорфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного накрытием дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,... ,и) ^ (1,... ,и) и комплексных чисел

ак С Яе ак > -1, к = 1,п, что либо Яд(к)р(ъ) = Рк11 \рк11 \ак, У Ъ е п\(В{), либо Яв(к)р(11) = Ркъ \Ркл\ак, У Ъ е П1(Вг); к = 1,п.

Теорема 3.7. Пусть выполняются условия теоремы 3.5. Тогда из накрытия неабелевого линейного накрывающего слоения 22(п) неабелевым линейным накрывающим слоением 2} (п) с соответствующими им неабелевы-ми линейными фазовыми группами Ь2(п) и Ь1(п) общего положения следует Ж-линейная сопряженность данных фазовых групп при, некотором мономорфизме ц ■ п\(В\) ^ п\(В2), порожденном накрытием дИ ■ В\ ^ В2.

Следствие 1.7. Накрытие неабелевого линейного накрывающего слоения общего положения 22(п) неабелевым линейным накрывающим слоением 21(п) общего положения, является Ж-голоморфным.

Теорема 4.7. Линейное накрывающее слоение 21(п) гладко (Ж-голоморфно) накрывает линейное накрывающее слоение 22(п) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1(п) и Ь2(п) тогда и только тогда, когда их фазовые группы, Ж-линейно сопряжены при, некотором, мономорфизме ц ■ п\(В\) ^ п\(В2), порожденном гладким (Ж-голоморфным) накрытием дИ ■ В\ ^ В2.

Теорема 5.7. Линейное накрывающее слоение 21(п) голоморфно накрывает линейное накрывающее слоение 22(п) с соответствующими им линейными фазовыми группами Ь1(п) и Ь2(п) тогда и только тогда, когда их фазовые группы, линейно сопряжены при, некотором мономорфизме ц ■ п\(В\) ^ п\(В2), порожденном голоморфным накрытиемд^ ■ В\ ^ В2.

§ 8. Структурная устойчивость линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим линейное накрывающее слоение 21(п) с соответствующей ему линейной фазовой группой Ь1(п).

Теорема 1.8. Неабелевы линейные накрывающие слоения структурно неустойчивы.

Доказательство данного утверждения проводится на основании теоремы 3.5.

Следствие 1.8. Если, линейное накрывающее слоение структурно устойчиво, то оно абелево.

Предположим, что абелево линейное накрывающее слоение является структурно устойчивым. Аналогично теореме 1.8 на основании теорем 1.5 и 2.5 имеем утверждения.

Теорема 2.8. Если абслсво линейное накрывающее слоение структурно устойчиво, то фундаментальная группа его базы имеет одну независимую образующую.

Теорема 3.8. Для того, чтобы линейное накрывающее слоение L1(1) было структурно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы группа n1(B1) имела одну независимую образующую y1 и при этом, \piYl \ = 1-

Теорема 4.8. Для того, чтобы при, n > 1 линейное накрывающее слоение L1(n) было структурно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы группа n1(B1) имела одну независимую образующую y1 и при этом для матрицы PYl выполнялись условия теоремы 2.5.

И, наконец, на основании теоремы 6.5 приходим к такому выводу.

Теорема 5.8. Линейные накрывающие слоения не могут быть сильно структурно устойчивыми.

§ 9. Эквивалентности неавтономных линейных дифференциальных систем.

Рассмотрим линейные дифференциальные системы

m

dw = ^^ Aj(zi,..., zm)w dzj (1.9)

j=i

и

m

dw = ^^ Bj(zi,..., zm)w dzj, (2.9)

j=i

обыкновенные при m = 1 и вполне разрешимые [31] при m > 1, где квадратные матрицы Aj(zi,..., zm) = \\üikj(zi,..., zm)\\ и Bj(zi,..., zm) = \\bikj(zi,... , zm)\ \ размерa n состоят из голоморфных функций aikj : Bi ^ C и bikj : B2 ^ C, i = 1,n, k = 1,n, j = 1,m, линейно связные голоморфные многообразия Bi и B2 голоморфно эквивалентны друг другу. Общие решения линейных дифференциальных систем (1.9) и (2.9) определяют линейные накрывающие слоения Li(n) и L2(n), соответственно, на многообразиях Cn х Bi и Cn х B2.

Определение 1.9. Будем говорить, что линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) топологически (гладко, ^голоморфно, голоморфно, сильно топологически) эквивалентны, если топологически (гладко, R-голоморфно, голоморфно, сильно топологически) эквивалентны соответствующие им линейные накрывающие слоенияL1 (n) и L2(и).

Определение 2.9. Линейную фазовую группу Ь1(и) (Ь2(и)) линейного накрывающего слоения 21 (и) (22(и)), определяемого линейной дифференциальной системой (1.9) ((2.9)), будем, называть группой монодромии этой системы.

На основании теорем 1.5 - 6.5 получаем следующие утверждения.

Теорема 1.9. Для топологической эквивалентности при и = 1 линейных дифференциальных систем (1.9) и (2.9) необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, что либо = р1^1 \р1^1 \а, Яв а > —1, У 71 € П1(В{), либо Я1^(11) = Р1Ъ\Р1л\а, Яв а > —1, У 71 € П1(В{).

Теорема 2.9. Пусть выполняются условия теоремы 2.Ъ. Тогда для топологической эквивалентности линейных дифференциальных систем (1.9) и (2.9) с абелевыми группами монодромии необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,...,и) ^ (1,...,и) и комплексных чисел ак с Яв ак > —1, к = 1,и, что либо Яв(к)^(^1) = Рк1х \Рк1х \ак, Уъ € П1(В{), либо Чв(к)^1) = Рк11 \Ркц \ак, У И € П1(В1); к = 1,и.

Теорема 3.9. Пусть выполняются условия теоремы 3.5. Тогда из топологической эквивалентности линейных дифференциальных систем (1.9)

М

ц:

п1(В1) ^ п1(В2), порожденном гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2.

Следствие 1.9. Из топологической эквивалентности линейных дифференциальны, х систем (1.9) и (2.9) с неабелевыми группами монодромии

М

Теорема 4.9. Линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) гладко

М

нодромии М-линейно сопряжены при, некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном диффеоморфизмом (М-голожоэдбшжом) дИ : В1 ^ В2.

Теорема 5.9. Линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) голоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их группы монодромии линейно сопряжены при, некотором изом орфизм е ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфизмом дИ : В1 ^ В2.

Теорема 6.9. Пусть линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) с соответствующими им группами монодромии таковы, что линейные действия данных групп, взятые в совокупности, различны при любом ав-

томорфизме ц : П1(Б\) ^ п\(Б\), порожденном гомеоморфизмом др : Бх ^ В\. Тогда данные линейные дифференциальные системы не могут быть сильно топологически эквивалентными

На основании данного утверждения приходим к выводу, что топологическая эквивалентность различных линейных дифференциальных систем не может осуществляться гомеоморфизмом, достаточно близким к тождественному.

§ 10. Вложимости неавтономных линейных дифференциальных

систем.

Рассмотрим линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) с соответствующими им линейными накрывающими слоениями (п) и £2(п) и группами монодромии Ь1(п) и Ь2(п).

Определение 1.10. Будем говорить, что линейная дифференциальная система (1.9) вложима (гладко вложима, ^голоморфно вложима, голоморфно вложима) в линейную дифференциальную систему (2.9), если линейное накрывающее слоение (п) вложимо (гладко еложимо, К-голоморфно вложимо, голоморфно вложимо) в линейное накрывающее слоение £2(п).

Определение 2.10. Будем говорите, что линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) слабо топологически (гладко, ^голоморфно, голоморфно) эквивалентны, если слабо топологически (гладко, К-голоморфно, голоморфно) эквивалентны линейные накрывающие слоения £}(п) и £2(п).

На основании теорем 1.6 - 5.6 получаем следующие утверждения.

Теорема 1.10. Для вложимости прип = 1 линейной дифференциальной системы (1.9) в линейную дифференциальную систему (2.9) необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : П1(Б\) ^ п\(В2), порожденного вложением дИ : Бх ^ В2, что либо = \а, Яе а > -1, V е П1(Бх), либо = \р\1х|а, Яе а > -1, V е п1(Б1).

Теорема 2.10. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Тогда для вложимости линейной дифференциальной системы (1.9) с абелевой группой монодромии в линейную дифференциальную систему (2.9) с абелевой группой монодромии необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ц : П1(Б\) ^ п\(Б2), порожденного вложением дИ : Бх ^ Б2, перестано вки д : (1,...,п) ^ (1,..., п) и комплексных чисел ас

Re > -1, к = l,n, что либо qQ{k)^{lí) = ркъ| ркъI ак, V y е ni(Bi), либо Яд(к)^(ъ) = Ркц IРкл Iак, V Y1 е ni(Bi); к = l,n.

Теорема 3.10. Пусть выполняются условия теоремы 3.5. Тогда из вложимости линейной дифференциальной системы (1.9) с неабелевой группой монодромии общего положения в линейную дифференциальную систему (2.9) с неабелевой группой монодромии общего положения, следует R-линейная сопряженность данных групп при, некотором гомоморфизме ц : nl(Bl) ^ nl(B2), порожденном вложением, дИ : B1 ^ B2.

Следствие 1.10. Из вложимости линейной дифференциальной системы (1.9) с неабелевой группой монодромии общего положения, в линейную дифференциальную систему (2.9) с неабелевой группой монодромии общего положения, следует их R-голоморфная вложимость.

Теорема 4.10. Линейная дифференциальная система (1.9) гладко (R-голоморфно) вложима в линейную дифференциальную систему (2.9) тогда и только тогда, когда их группы монодромии R-линейно сопряжены при, некотором гомоморфизме ц : nl(Bl) ^ nl(B2), порожденном гладким (R-голоморфным) вложением дИ : B1 ^ B2.

Теорема 5.10. Линейная дифференциальная система (1.9) голоморфно вложима в линейную дифференциальную систему (2.9) тогда и только тогда, когда их группы монодромии линейно сопряжены при некотором гомоморфизме ц : nl(Bl) ^ nl(B2), порожденном голоморфным вложением дИ : Bi ^ B'2.

Кроме того, на основании теорем 1.10-5.10 получаем критерии слабой топологической (гладкой, R-голоморфной, голоморфной) эквивалентности линейных дифференциальных систем.

§ 11. Накрытия неавтономных линейных дифференциальных

систем.

Рассмотрим линейные дифференциальные системы (1.9) и (2.9) с соответствующими им линейными накрывающими слоениями L1 (n) и L2(n) и группами монодромии Ll(n) и L2(n).

Определение 1.11. Будем говорить, что линейная дифференциальная система (1.9) накрывает (гладко накрывает, ^голоморфно накрывает, голоморфно накрывает) линейную дифференциальную систему (2.9), если линейное накрывающее слоение Ll(n) накрывает (гладко накрывает, R-голоморфно накрывает, голоморфно накрывает) линейное на-

крывающее слоение L2(n).

На основании теорем 1.7 - 5.7 получаем следующие критерии накрытий линейных дифференциальных систем.

Теорема 1.11. Для накрытия при, n = 1 линейной дифференциальной системы (2.9) линейной дифференциальной системой (1.9) необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ß : n1(B1) ^ ni(B2), порожденного накрытием : B1 ^ B2, что либо qip(Yl) = PiYl \piYl\а, Re а > -1, V Yi G ni(Bi), либо qip(Yi) = Pi11 \PiYi\a, Re а > -1, V Yi G ni(Bi).

Теорема 2.11. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Тогда, для накрытия линейной дифференциальной системы (2.9) с абелевой группой монодромии линейной дифференциальной системой (1.9) с абелевой группой монодромии необходимо и достаточно существования таких мономорфизма ß : n1(B1) ^ ni(B2), порожденного накрытием gp : B1 ^ B2, перестано вки д : (1,...,n) ^ (1,..., n) и комплексных чисел ak с Re ak > -1, k = 1,n, что либо qQ{k)p(11) = Pk^x\PkYi\a", V Yi G ni(Bi), либо qß(k)p(Yi) = Pklx \PkYi \a", V Yi G ni(Bi); k = 1,n.

Теорема 3.11. Пусть выполняются условия теоремы 3.5. Тогда, из накрытия линейной дифференциальной системы(2.9) с неабелевой группой монодромии общего положения линейной дифференциальной системой (1.9) с с неабелевой группой монодромии общего положения, следует R-линейная сопряженность данных групп при, некотором мономорфизме ß : п1 (Bi) ^ ni(B2), порожденном накрытием gp : Bi ^ B2.

Следствие 1.11. Накрытие линейной дифференциальной системы (2.9) с неабелевой группой монодромии общего положения линейной дифференциальной системой (1.9) с неабелевой группой монодромии общего положения является R-голоморфным.

Теорема 4.11. Линейная дифференциальная система (1.9) гладко (R-голоморфно) накрывает линейную дифференциальную систему (2.9) тогда и только тогда, когда их группы, монодромии R-линейно сопряжены при, некотором мономорфизме ß : ni(Bi) ^ ni(B2), порожденном гладким (R-голоморфным) накрытием gp : Bi ^ B2.

Теорема 5.11. Линейная дифференциальная система (1.9) голоморфно накрывает линейную дифференциальную систему (2.9) тогда и только тогда, когда их группы, монодромии линейно сопряжены при, некотором мономорфизме ß : ni(Bi) ^ ni(B2), порожденном голоморфным накрытием gp : Bi ^ B'2.

§ 12. Структурная устойчивость неавтономных линейных дифференциальных систем.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему (1.9) с соответствующими ей линейным накрывающим слоением 21(и) и группой монодромии

Определение 1.12. Будем говорить, что линейная дифференциальная система (1.9) структурно (сильно структурно) устойчива, если структурно (сильно структурно) устойчиво линейное накрывающее слоение 21(и).

В силу теорем 1.8 - 5.8 имеем такие утверждения.

Теорема 1.12. Линейные дифференциальные системы вида (1.9) с неа-белевыми группами монодромии структурно неустойчивы.

Следствие 1.12. Если линейная дифференциальная система вида (1.9) структурно устойчива, то её группа монодромии абелева.

Теорема 2.12. Если линейная дифференциальная система вида (1.9) с абелевой группой монодромии структурно устойчива, то группа п1(В1) имеет одну независимую образующую.

Теорема 3.12. Для того, чтобы при и = 1 линейная, дифференциальная система вида (1.9) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы группа п1(В1) имела одну независимую образующую и при, этом \P1Y1 \ = 1

и > 1

система вида (1.9) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы группа п1(В1) имела одну независимую образующую и при, этом для матрицы Р1г выполнялись условия теоремы 2.Ъ.

Теорема 5.12. Линейные дифференциальные системы вида (1.9) не могут быть сильно структурно устойчивыми

дифференциальных систем с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим линейные обыкновенные дифференциальные системы

13. Эквивалентности линейных обыкновенных

и

(1.13)

(2.13)

где квадратные матрицы А(г) = \\а^ (г)\ \ и В (г) = \ \Ь{к (г )\\ размер а и состоят из 1-периодических голоморфных функций а^ : С ^ С и bik : С ^ С, г = 1,и, к = 1, и. Общие решения линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) определяют линейные накрывающие слоения на многообразии Сп х где ^ есть цилиндр 81 х М, 81 - единичная окружность. Так как группа ) абелева, то па основании определений 2.1.1 и 2.9 имеем, что группы монодромии линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) также абелевы.

Рассмотрим сначала случай и = 1 (т.е. случай скалярных уравнений

(1.13) и (2.13)). Непосредственными вычислениями получаем, что р111 = 1 1 вхр / а11(£= вхр/ Ь11(£)й^ где 71 есть образующая группы п1(Е).

о о

Поэтому на основании теорем 1.9, 4.9, 5.9 и 3.12 получаем такие утверждения.

Теорема 1.13. Для топологической эквивалентности при, и = 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно, чтобы либо д1ъ = р1ъ \р1ъ \а, Яв а = —1, либо д171 = Р111 \Р1ц\а, Яв а = —1.

М

и = 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно, чтобы либо д171 = р±1, либо д171 = р±1.

Теорема 3.13. Для голоморфной эквивалентности при, и = 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно, чтобы д171 = р±±1.

Теорема 4.13. Для того, чтобы при и = 1 линейная, обыкновенная, дифференциальная, система (1.13) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы \р11х \ = 1.

и > 1

имеем утверждения.

и > 1

матрицы Ръ = 8 ё,гад{р111,... ,рП11} £—1, QY1 = Т ^ад{д1ъ,..., дП11} Т—1, а матрицы 1и Р1г и 1и QY1 являются простыми. Тогда, для топологической эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования таких перестановки д : (1,... ,и) ^ (1,..., и) и комплексных чисел ак с Яв ак = —1, к = 1,и, что либо Яв(к)11 = Рк11 \Рк11 \ак, либо Яв(к)11 = Рк1х \Рк11 \ак; к = 1,и.

М

п > 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно, чтобы линейные отображения Р1хи, Уи € Сп, и QYl и, У и € Сп, был и Ж-линейно сопряжены.

п > 1

обыкновенных дифференциальных систем (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно, чтобы линейные отображения Р11 и, Уи € Сп, и QYlи, Уи € Сп, были линейно сопряжены.

п > 1

ференциальная система (1.13) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы Р1г выполнялись условия теоремыЬ.13.

§ 14. Эквивалентности линейных вполне разрешимых дифференциальных систем с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим линейные вполне разрешимые дифференциальные системы

т

(и = ^^ Аз(г1,... ,гт)и (1.14)

з=1

и

т

(и = Вз(г\,... ,хт)и йхз, (2.14)

з=1

где т > 1, квадратные матрицы Аз(г1,...,гт) = | | а,^(г1,..., гт)| | и Вз (г1,..., гт) = 11 Ъ,кз (г1,..., гт) 11 раз мера п состоят из 1-периодических по своим аргументам голоморфных функций ац~з : Ст ^ С и Ъц~з : Ст ^ С, г = 1,п, к = 1,п, ] = 1, т. Общие решения линейных вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) определяют линейные накрывающие слоения на многообразии Сп х Zт, где Zт есть декартово произведение т цилиндров. Так как группа т) абелева, то па основании определений 2.1.1 и 2.9 имеем, что группы монодромии линейных вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) также являются абелевыми.

Рассмотрим сначала случай п = 1 (т.е. случай скалярных уравнений

(1.14) и (2.14)). Непосредственными вычислениями получаем, что р111 = 1 1 ехр / а11(0,..., 0,^1, 0,..., 0)(&,д17/ = ехр/ Ъ11(0,..., , 0,..., 0)(&, I = _о __о

1,т, где , I = 1,т есть образующие группы п1 ^т). Отсюда па основании теорем 1.9, 4.9, 5.9 и [32, с. 225] получаем такие утверждения.

Теорема 1.14. Для топологической эквивалентности прии = 1 линейных вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы (целочисленной матрицы с определителем, по модулю равным 1) и = \ \щ|| размера

т

т и комплексного числа а с Яв а = —1, что либо П = Р\11 \р\11 \а, I =

3=1 3

__т _

1,т, либо П (Т3 = \Р\ц \а, I = 1,т.

3=1 3

Теорема 2.14. Для гладкой (^-голоморфной) эквивалентности прии =

1

необходимо и достаточно существования такой унимодулярной матрицы

т __т

и = \ \ Щ \ \ раз мера т, что либо П = р\11, I = 1,т, либо П = __3=1 3 3=1 3

рЪп, I = 1,т.

Теорема 3.14. Для голоморфной эквивалентности прии = 1 линейных вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) необходимо и достаточно существования такой унимодулярной матрицы и = \ \ 413 \ \

т _

размера т, что П = р\11, I = 1,т. 3=1 3

В случае и > 1 на основании теорем 2.9, 4.9 и 5.9 имеем утверждения.

Теорема 4.14. Пусть при и > 1

матрицы Р11 = Б Мад{р\ 11,... ,рп11} Б—1, Q11 = Т ¿гад{ц\ 11,..., цп11} Т—1, а матрицы 1и Р11 и 1и Q^ являются простыми, I = 1,т. Тогда, для топологической эквивалентности линейных вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы и = \ \пц \ \ размера т, перестановки д : (1,... ,и) ^ (1,..., и) и комплексных чисел ак с Яв ак = —1, к = 1,и,

т т _

что либо П (21)Ъ = Ркц \Ркъ \ак, либо П (21)Ъ = Ркъ \Ркц \ак; к = 1,и-3=1 3=1

Теорема 5.14. Для гладкой (М-голоморфной) эквивалентности при,

и > 1

(2.14) необходимо и достаточно существования такой унимодулярной матрицы и = \ \П13 \ \ размера т, что совокупности линейных отображений

_ т _

Р^и), У'ш Е Сп, I = 1,т, и П 0и1о3и), У'ш Е Сп, I = 1,т, были М-линейно

3=1

сопряжены.

и > 1

вполне разрешимых дифференциальных систем (1.14) и (2.14) необходимо и достаточно существования такой унимодулярной матрицы и = ||и/3-|| размера ш, что совокупности линейных отображений Р7ги, Уи € Сп, I =

_ т _

1,ш, и П и, Уи € Сп, I = 1,ш, были линейно сопряжены.

3=1

И, наконец, на основании теоремы 2.12 получаем следующее утверждение.

Теорема 7.14. Линейная вполне разрешимая дифференциальная система (1.14) структурно неустойчива.

§ 15. Эквивалентности фуксовых линейных обыкновенных

дифференциальных систем.

Рассмотрим фуксовы [33] линейные обыкновенные дифференциальные системы

и

где А3, ] = 1,ш, и В3, ] = 1, ш, есть квадратные матрицы размера п (дифференциальные подстановки), ] = 1,ш, и, кроме того, выполняются соот-

тт

пошепия Аз = В3 = О, О пулевая матрица. Общее решение ли-3=1 3=1

нейной обыкновенной дифференциальной системы (1.15) ((2.15)) определяет линейное накрывающее слоение на многообразии Сп х Гт (Сп х Гт), где Гт (Гт) есть открытая комплексная плоскость С с ш выколотыми точками аз, ] = 1,ш (Ьз, ] = 1,ш).

В случае п = 1 непосредственными вычислениями получаем, что р17г = ехр(2таи), д17г = ехр(2пгЬ11), I = 1,ш, где А/ = а1/, В/ = Ь1/5 а 7/, I = 1,ш есть образующие группы п1(Гт)- Отсюда па основании теорем 1.9, 4.9, 5.9 и 3.12 получаем такие утверждения.

Теорема 1.15. Для топологической эквивалентности прип = 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) необходимо и достаточно существования таких перестановки V : (1,... ,ш) ^ (1,... ,ш) и комплексного числа а с Яе а = —1, что либо д1>(г) = р17г |р17г |а, I = 1,ш, либо = р1 |рн |а, I = 1,ш.

¿и ^ А3 ¿г г — а3

3=1

¿и ^ В- ,

¿ь = Е и <2-15)

3=1

Теорема 2.15. Для гладкой (^-голоморфной) эквиваленты ости прип =

1

димо и достаточно существования такой перестановки V : (1,...,ш) ^

(1,... ,ш), что л,ибо = р\ , I = 1,ш, £2 = 1, либо д11и{1) = р^, I =

1,ш, £2 = 1.

Теорема 3.15. Для голоморфной эквивалентности прип = 1 линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) необходимо и достаточно существования такой перестановки V : (1,... ,ш) ^ (1,... ,ш), что д1М1) = р\ъ, I = 1, ш, £2 = 1.

Теорема 4.15. Для того, чтобы прип = 1 линейная, обыкновенная, дифференциальная, система (1.15) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы ш = 2 и |р1711 = 1.

Пусть теперь п> 1. При исследовании вопроса о топологической эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) рассмотрим сначала коммутативный случай, т.е. когда А3А/ = А1А3, В3В/ = В/В3, ] = 1,ш, I = 1,ш. Непосредственными вычислениями получаем, что Р11 = ехр(2п1А/), = ехр(2пг1В/), I = 1,ш. Поэтому в силу теоремы 2.9 имеем такое утверждение.

Теорема 5.15. Пусть выполняются условия теоремы 3.14. Тогда, для топологической эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) с абелевыми дифференциальными подстановками необходимо и достаточно существования таких перестановок V : (1,...,ш) ^ (1,...,ш), д : (1,...,п) ^ (1,...,п) и комплексных чисел ак с Яе ак = —1, к = 1,п, что либо = рк-ц |рк^ 1ак, I = 1,ш, либо

%(кУН1) = ркл ^кл|ак, I = Т^т; к = Т,п.

Рассмотрим теперь случай, когда совокупность дифференциальных подстановок А3, ] = 1,ш (В3, ] = 1,ш)7 линейной обыкновенной дифференциальной системы (1.15) ((2.15)) неабелева. Тогда представления для нерезо-

нансных матриц PYl и QYl, l = 1,m, имеем на основании теоремы III [34, с. 147] и [28, с. 449 - 450]. И в силу теоремы 3.5 получаем утверждение.

Теорема 6.15. Пусть при n > 1

матрицы PYl = SYl diag{plYl,... ,pnYl} S-1, QYl = TYl diag{qlYl,..., qnil} T-1, а матрицы In PYl и In Q Yl являются прост ими, l = 1,m. Тогда, из топологической эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) с неабелевыми группами монодромии общего положения следует R-линейная сопряженность данных групп при, некоторой,

перестановке V : (1,...,т) ^ (1,... ,т) образующих 71, I = 1,т, группы

пх(тт)-

Следствие 1.15. Из топологической эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных систем (1.15) и (2.15) с неабелевыми группами монодромии общего положения следует ихМ-голоморфная эквивалентность.

И, наконец, на основании теорем 4.9, 5.9 и 4.12 имеем такие утверждения.

Теорема 7.15. Линейные обыкновенные дифференциальные системы (1.15) и (2.15) при, и > 1 гладко (М-голоморфно) эквивалентны тогда и только тогда, когда их группы монодромииМ-линейно сопряжены при, некоторой перестановке V : (1,...,т) ^ (1,... ,т) образующ их , I = 1,т, группы П1(Гт)-

Теорема 8.15. Линейные обыкновенные дифференциальные системы и > 1

когда их группы монодромии линейно сопряжены при некоторой перестановке V : (1,... ,т) ^ (1,... ,т) образующ их 71, I = 1,т, группы п\(Гт)-

и > 1

ференциальная система (1.15) была структурно устойчива, необходимо и достаточно, чтобы т = 2 и при, этом для матрицы Р1х выполнялись условия теоремы 4.14.

Глава 3. Классификации комплексных дробно^линейных

накрывающих слоений.

Аналогично предыдущей, данная глава будет базироваться на основаМ

ций дробно-линейных фазовых групп РЬ(и). Это соответствует задачам о нахождении необходимых и достаточных условий существования такого гомеоморфизма (диффеоморфизма, М-голоморфизма, голоморфизма) ] : СРп ^ СРп, что имеют место тождества

/(Ргу) = Qrf (V), Уу е СРп, Уг Е I, (1.0)

где V = (ю\,. . . , уп+{) есть однородные координаты, f (у) = (^(и),... , fп+\(у)), квадратные матрицы Рг Е СЬ(и + 1, С), Qr Е СЬ(и + 1, С), Уг Е I. При этом дробно-линейную фазовую группу, определяемую дробно-линейными действиями Рг V, Уу Е СРп, У г Е I, будем обозначать РЬ1(и) а через РЬ2(и) будем обозначать аналогичную фазовую группу, определяемую дробно-линейными действиями Qr V, Уу Е СРп, У г Е I.

§ 1. Топологическая сопряженность абелевых дробно^линейных

фазовых групп.

Лемма 1.1. Пусть дробно-линейные фазовые группы РЬ1(1) и РЬ2(1) топологически сопряжены. Тогда нормальные жордановы формы матриц Рг и Qr, определяющих нетождественные дробно-линейные преобразования, имеют одинаковое число блоков Жордана, Уг Е I.

Доказательство данного утверждения проводится на основании того факта, что количество неподвижных точек дробно-линейных преобразований совпадает с числом собственных векторов матриц, определяющих эти преобразования.

На основании леммы 1.1 непосредственными вычислениями приходим к такому утверждению.

Лемма 2.1 [35]. Для топологической сопряженности абелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1(1) и РЬ2(1) необходимо, чтобы нормальные жордановы формы всех матриц Рг и Qr, определяющих нетождественные дробно-линейные преобразования, Уг Е I, имели одинаковое число блоков Жордана.

Теорема 1.1 [36]. Пусть матрицы Рг = Б ¿гад{р\7, ,р2г} Б—1, Qr = Т ¿гад^г-, (2г } Т—1, Уг Е I. Тогда для топологической сопряженности дробно-линейных фазовых групп РЬ1(1) и РЬ2(1) необходимо и достаточно, чтобы либо

(1г/(2г = (Р1г /Р2г ) \ Р1г /Р2г \а, Яв а = —1, Уг Е I, (1.1)

либо

(1г / (2г = (Р1г/Р2г ) \ Р1г/Р2г \а, Ява = —1, Уг Е I. (2.1)

Доказательство. С помощью замены £ (у ) = Т—lf (Бу), Уу Е СРот тождеств (1.0) при и = 1 переходим к тождествам

£(¿гад{Р\г,р2г}у) = ¿гад{(\г,(2г}£(V), Уу Е СР\ У г Е I. (3.1)

Поэтому топологическая сопряженность абелевых фазовых дробно-линейных групп РЬ1(1) и РЬ2(1) равносильна выполнению тождеств (3.1).

Необходимость. Пусть выполняются тождества (3.1).

Если все р\г/р2г = 1, У г Е I, то из (3.1) имеем, что и (\г/(2г = 1, У г Е I. Поэтому в этом случае выполняются соотношения (1.1) при любом а с Яв а = —1

Пусть теперь р1г/р2г = 1, г € I. На основании тождеств (3.1) получаем, что либо £(О1) = О^ либо £(О1) = О2, где От (начала координат аффинных карт Мт = {V, ут = 0} атлас а М многообразия СР т = 1, 2, есть общие неподвижные точки дробно-линейных преобразований (гад{р1г ,р2г^, Уv € СР1, и ¿гад{д1г,д2г}v, Уv € СР1, У г € I.

Если £(О\) = О1, то па основании теоремы 1.1.2 делаем вывод, что при Яе а > — 1

Если же £(О\) = О2, то с помощью замены ((V) = (£2(V), £1^)), Уv € СР1

(1.1) при Яе а < — 1, либо равенства (2.1) при Яе а < —1.

Достаточность доказывается путем построения сопрягающего гомеоморфизма £(V) = ), Уv € СР\ в случае выполнения соотношений (1.1), и сопрягающего гомеоморфизма £(V) =

Уv € СРв случае выполнения соотношений (2.1).

Теорема 2.1 [30]. Пусть при п > 1 матрицы Рг = Б (гад {р1г, ... ,рп+1,г} Б—1, Яг = Т (гад{д1г,... ,дп+1,г} Т—1, наборы чисел {1п (р1г/рп+1,г), ..., 1п (рпг/рп+1,г{1п (д1г/Яп+1,т),..., 1п (Япг/Яп+1,г)} являются простыми, У г € I. Тогда, для топологической сопряженности абелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п) необходимо и достаточно существования таких перестановки д : (1,... ,п + 1) ^ (1,... ,п + 1) и комплексного числа а с Яе а > —1, что либо

дв(к)т/дв(п+1)г = (ркг/рп+1,г)1ркг/рп+1,г|а, У Г € I, к = 1,п. (5.1)

Доказательство. С помощью замены £(V) = Т—х](Sv), Уv € СРп, от тождеств (1.0) переходим к тождествам

Стало быть, топологическая сопряженность абелевых фазовых дробно-линейных групп РЬ1(п) и РЬ2(п) эквивалентна выполнению тождеств (6.1). При этом, не умаляя общности, будем считать, что сопрягающий гомеомор-

£ От

аффинных карт Мт = {V, vт = 0} атласа М многообразия СРп), т = 1,п + 1, невырожденных дробно-линейных преобразований

Яв(к)т/Яв(п+1)т = (ркг /рп+1,г )1ркг /рп+1,г |а, У Г € I, к =1,п, (4.1)

либо

£ ((гад{р1г,... ,рп+1,г ^) = (гад^,..., дп+\г }£ (V), Уv € СРп, У г € I.

(6.1)

(гад{р1г,... ,рп+1,г}v, Уv € СРп, У г € I,

(7.1)

и

(Иад{(\т,..., (п+1Г}у, Уу е СРп, У г Е I, (8.1)

(чего всегда можно добиться путем невырожденного дробно-линейного преобразования) .

Необходимость. Пусть выполняются тождества (6.1). Невырожденные

дробно-линейные преобразования (7.1) (дробно-линейные преобразова-

СРп

ные слоения Сг (инвариантные голоморфные слоения :Эг) комплекс-

1

ук (Рпг/Рп+1,Г (Рп+1,г/Ркг )у1п+1кт/Рпг \ к = 1, и — 1 (базисами абсолютных инвариантов ¿к? (Чпг/Чп+1г ]ип (Чп+1,г/Чкг \п+1кг/Чпг \ к = 1, и — 1), У г Е I. Учитывая, что сопрягающий гомеоморфизм £ переводит слои слоений Сг в гомеоморф-ные им слои слоений &г , У г Е I, а также принимая во внимание простоту наборов чисел из условия теоремы, приходим к выводу, что гомеоморфизм £ переводит сферы Римана С/з : Vк = 0, к = I, к = б = I, к = 1, и + 1, в сферы Римана вида С^3-, ] = г, причем все гомеоморфизмы сфер Римана одновременно или сохраняют, или меняют ориентацию.

Пусть гомеоморфизмы сфер Римана сохраняют ориентацию (случай меняющих ориентацию гомеоморфизмов рассматривается аналогично). Тогда в силу хода доказательства теорем 2.1.2 и 1.1 приходим к выводу, что в аффинной карте Мп+1 = {V, Vп+1 = 0} выполняются соотношения (^ку/(д{п+1)г = (ркт/рп+1,т) \ркт/рп+1,т \ак, г = 1^, к = 1,и, и у комплексных чисел ак действительные части Яв ак > —1, к = 1,и. Принимая во внимание последние равенства, а также тот факт, что в тождествах (6.1) векторы {р1г ,... ,рп+1,т} и {(1г ,..., (п+1г } определены с точностью до скалярных множителей, У г Е I, и проводя аналогичные рассуждения в других аффинных картах Мт, т = 1, и, приходим к выводу, что ак = а, к = 1, и. В итоге приходим к соотношениям (4.1).

Достаточность доказывается путем построения сопрягающего гомеоморфизма £ : СРп ^ СРп, такого, что его проекции £д(к) (у) = 7кVк\Vк\а, Уу Е СРп, к = 1,и + 1, если имеют место соотношения (4.1); и его проекции £д(к)(у) = 1к^к\¿к\а, Уу Е СРп, к = 1,и + 1, если имеют место соотношения (5.1).

§ 2. Топологическая сопряженность неабелевых дробно^линейных

фазовых групп.

В этом параграфе будем рассмотрпвать пеабелевые дробно-линейные фазовые группы РЬ1(п) и РЬ2(п).

Теорема 1.2 [37]. Из топологической сопряженности неабелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1(1) и РЬ2(1) общего положения следует их Ж-голоморфная сопряженность, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным,, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным преобразованиями.

Доказательство теоремы 1.2 непосредственно вытекает из следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 1.2. Пусть при, I = {1, 2} неабелевые дробно-линейные фазовые группы, РЬ1(1) и РЬ2 (1) топологически сопряжены, а сопрягающий, гомеоморфизм / таков, что:

1) f (OT) = От, т =1, 2; (1.2)

2) либо

f (\vhv2) = (X\X\af1(v),f2(v)), Уу е CP\ Re а > -1; (2.2)

либо

f (Xvi,v2) = (Х\Х\аfi(v), f2(v)), Уу е CP1, Rea> -1; (3.2)

3) f (avx + bv2, cvi + dv2) = (Afi(v) + Bf2(v),Cfi(v) + Df2(v)), Уу е CP\ \b\ + \c\ > 0

^ ^ ( a b\ cJß 0 \ (AB

4) матрицы P = = о S^w Q =

y c d J \ 0 1 J y C D

T ( | T-1 таковы, что \ß\ = 1, \9\ = 1, S = ( * * | , T =

\0 1 J \ \ V c* d* J'

AB

a* b* , B*/D* = (b*/d*)l+ß, Re (ß - а) ln \b*/d*\ - Im (ß -C* D*

а) arg (b*/d*) = 0;

C*

образованная, числами X и b*/d*, плотна в множестве C комплексных чисел. Тогда, при, (2.2) этот гомеоморфизм имеет вид f (v) = (v\\v\\a, v2\v2\a), Уу е CP a при (3.2) - вид f (v) = (vi\vi\a, v22\v2\a ), Уу е CP \

Доказательство. В силу соотношений (1.2) - (3.2) приходим к выводу, что ln \ß\ ln \в\ > 0.

Пусть выполняется тождество (2.2) (случай, когда имеет место тождество (3.2), рассматривается аналогично). На основании (2.2) и условия 3 данной леммы имеем следующие соотношения в карте M2 атлас а M многообразия CP1 : ф{Хк(Pm)lv2) = Xk\X\ka(Qm)l^(vi)) Vv2 e M2, Vk e Z, Vl e Z, Vm e Z. Переходя в них к пределу при m ^ те ли \ ß \ > 1, и к пределу при

m ^ если \ ß\ < 1, получаем, что

iß(Xk(K/d*)1) = Xk\X\ka(B*/D*)1, Vk е Z, VI e Z. (4.2)

Из условия 5 леммы вытекает, что для всякого комплексного числа w е C существуют такие последовательности {ks(w)} и {ls(w)} целых чисел, что lim Xks(w\b*/d*)ls(w = w, lim \ ks(w)\ = lim \ ls(w)\ = Отсюда па

основании соотношений (4.2) имеем, что ^(v1) = v1 \v1 \a lim (b*/d*)(ß-a)ls(vi),

Vv2 e M2. Теперь го условия 5 данной леммы вытекает, что \ b*/d*\ = 1, а из условия 4 - что lim (b*/d*)(ß-a)ls(vi) = 1. В итоге получаем первое представление из условия леммы 1.2.

n > 1

левых дробно-линейных фазовых групп PL1(n) и PL2(n) общего положения следует, их R-голоморфная сопряженность.

Справедливость данной теоремы вытекает из следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 2.2. Пусть матрицы Pr = Sr diag{p1r,...,pn+1r}S-1 ,Qr = Tr diag{q1r,..., q„+1,r }T-1, наборы чи сел, {ln (p1r /pn+1,r), ...,ln (pnr /Pn+1,r)} и {ln (q1r/qn+1r),...,ln (qnr/qn+1r)} являются простыми, V r e I. Тогда, из топологической сопряженности неабелевых дробно-линейны,х фазовых групп PL1(n) и PL2(n) общего положения следует их сопряженность, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно линейным преобразованиями.

Доказательство. Пусть выполняются тождества (1.0). С помощью замены £(v) = T-1 f (Stv), Vv e CPn, от них переходим к тождествам

£ (diag{pn,... ,Pn+1,1}v) = diag{qn,..., qn+1,1 }£ (v), Vv e CPn. (5.2)

Аналогичным образом, как и при доказательстве теоремы 2.1, приходим к выводу, что сопрягающий гомеоморфизм £ оставляет па месте общие неподвижные точки OT, т = 1,n + 1, дробно-линейных преобразований (7.1) и (8.1) при r = 1.

Пусть гомеоморфизмы всех сфер РиманаС^, в = /, сохраняют ориентацию (случай изменения ориентации рассматривается аналогично). Тогда на основании теоремы 2.1.2, лемм 1.2.2, 2.2.2 и хода доказательства теоремы 2.1 приходим к утверждению леммы 2.2.

§ 3. Гладкая, ^голоморфная и голоморфная сопряженности дробно^линейных фазовых групп.

Сначала рассмотрим гладкую, Ж-голоморфную и голоморфную сопряженности абелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п).

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия теоремы 1.1. Тогда для гладкой (Ж-голоморфной) сопряженности дробно-линейных фазовых групп РЬ1 (1) и РЬ2(1) необходимо и достаточно, чтобы либо д1г/д2г = (р1г/р2гУ, У Г € I, либо д1г/д2г = (р1г/р2гу, У Г € I; £2 = 1.

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству теоремы 1.1 и основано на теореме 1.4.2.

Аналогично теореме 1.3 получаем следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть выполняются условия теоремы 1.1. Тогда для голоморфной сопряженности дробно-линейных фазовых групп РЬ1(1) и РЬ2(1) необходимо и достаточно, чтобы д1г/д2г = (р1г/р2г)£, У г € I, £2 = 1.

Теорема 3.3. Пусть выполняются условия теоремы 2.1. Тогда для гладкой (Ж-голоморфной) сопряженности дробно-линейных фазовых групп РЬ1 (п) и РЬ2(п) необходимо и достаточно существования такой перестановки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1), что либо дв(к)г/дв(п+1)г = ркг/рп+1,г, У г € I, к =1,п, либо дв(к)г/Яв(п+1)г = ркг/рп+1,г, У г € I, к =1,п.

Доказательство утверждения осуществляется с использованием хода доказательства теоремы 2.1 путем дифференцирования тождеств (6.1).

Теперь аналогично данной теореме доказываем следующую.

Теорема 4.3. Пусть выполняются условия теоремы 2.1. Тогда для голоморфной сопряженности дробно-линейных фазовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п) необходимо и достаточно существования такой перестановки д : (1,.. .,п+1) ^ (1,.. .,п+1),чтодв(к)г/Яв(п+1)г = ркг/рп+1,г, У г € I, к = 1,п.

И, наконец, рассмотрим гладкую и голоморфную сопряженности неабелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п).

Теорема 5.3 [37]. Пусть выполняются условия леммы 1.2. Тогда для гладкой (Ж-голоморфной) сопряженности неабелевых дробно-линейны х фа-

зовых групп РЬ1(1) и РЬ2(1) необходима и достаточна их сопряженность, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным,, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейны,м преобразованиями.

Доказательство теоремы 5.3 аналогично доказательству теоремы 1.2 и базируется на следующем вспомогательном утверждении.

Лемма 1.3. Пусть и I = {1} дробно-линейные группы РЬ1(1) и РЬ2(1) гладко сопряжены, а сопрягающий диффеоморфизм, / таков, что:

1) выполняются соотношения (1.2);

2) либо

!(р^у) = (рму),/2(у)), Уу Е СР1, Р1 = 0, Р1 = 1; (1.3)

либо

!(р^у) = (рМу),/2(у)), Уу Е СР1, Р1 = 0, Р1 = 1. (2.3)

Тогда при (1.3) этот гомеоморфизм имеет вид f(V) = (ау1,у2), Уу Е СР1;

a, при, (2.3) - вид f (у) = (а7У1,7У2), Уу Е СР^

Доказательство. Пусть выполняются соотношения (1.2). Дифференцируя в карте М2 атл ас а М многообразия СР1 тождество (1.1) при у1 = 0, получаем равенство р1ВЮ1'ф(0)(у1 +р1В^1 гф(0)(ю1 = (1(В,и1 'ф(0)(у1+В^1 г^(0)(/у1). В силу того, что ^ ^^^^ ^^^^^^^^^изм, имеем, что \ВУ1 ф(0)\ + \В^1 ф(0)\ > 0. Поэтому из последнего равенства приходим либо к соотношению (1 = р17 либо к соотношению (1 = р1.

В первом случае имеет место тождество (1.3), из которого получаем тождества ф(р11У1) = р11'ф(VУу2 Е М2, У Е Ъ, голоморфно дифференцируя которые по VI, приходим к тождествам ВУ1 ф(р[у1) = ВУ1 Ф(у1), Уу2 Е М2, У1 Е

b. В силу того, что преобразование г является диффеоморфизмом, получаем тождество ВУ1 ф(у1) = а, Уу2 Е М2. Отсюда с учетом соотношения (1.3) приходим к первому представлению из данной леммы.

Аналогичным образом во втором случае получаем второе представление из леммы 1.3.

Теперь аналогично теореме 5.3 получаем утверждение.

Теорема 6.3. Пусть выполняются условия леммы 1.2. Тогда для голоморфной сопряженности неабелевых дробно-линейны х фазовых групп РЬ1 (1) и РЬ2(1) необходима и достаточна, их сопряженность, осуществляемая невырожденным дробно-линейным преобразованием.

Теорема 7.3 [30]. Пусть выполняются условия леммы 2.2. Тогда для гладкой (Ш-голоморфной) сопряженности неабелевых дробно-линейны х фа-

зовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п) необходима и достаточна их сопряженность, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно линейным преобразованиями.

Доказательство. Необходимость. Как и при доказательстве леммы 2.2, от тождеств (1.0) переходим к тождествам (5.2). Далее в силу теоремы 2.1 приходим к выводу, что имеют место либо соотношения (4.1) при г = 1, либо соотношения (5.1) при г = 1.

Пусть выполняются соотношения (4.1) при г = 1 (случай выполнения

г=1

финную карту Мп+1 атл ас а М проективного простр анства СРп. В силу хода доказательства теоремы 2.1 и теоремы 1.4.2 гладкая (голоморфная) сопряженность сужений дробно-линейных фазовых групп РЬ1(п) и РЬ2(п) на

Ж

образованием. Непосредственными вычислениями на основании соотношений

г = 1 а = 0

образование является голоморфным, как сохраняющее собственные значения матриц. С помощью дробно-линейных функций перехода между аффинными М

преобразования получаем невырожденное дробно-линейное преобразование. Оно и будет искомым сопрягающим диффеоморфизмом (голоморфизмом).

Достаточность проверяется непосредственными вычислениями.

Аналогично теореме 7.3 имеем такое утверждение.

Теорема 8.3. Пусть выполняются условия леммы 2.2. Тогда для голоморфной сопряженности неабелевых дробно-линейных фазовых групп РЬ1 (п) и РЬ2(п) необходима и достаточна, их сопряженность, осуществляемая невырожденным дробно линейным преобразованием.

§ 4. Эквивалентности дробно^линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим дробно-линейные накрывающие слоения р£1(п) и р£2(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1(п) и РЬ2 (п), определяемыми дробно-линейными действиями Р^ 1V, Уv € СРп, Ръ € СЬ(п + 1, С), Уъ € П1(В1), и Я12V, Уv € СРп, Я12 € СЬ(п + 1, С), У^2 € п1(В2), соответственно. На основании теорем 1.2.1, 1.1, 2.1, 1.3 - 8.3, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии топологической, Ж

накрывающих слоений.

Теорема 1.4. Пусть матрицы Р^ 1 = Б (гад{р171 ,р271} Б—1, Я12 = Т (гад{д112,д212} Т—1, У^1 € п1(В1), У^2 € п1(В2). Тогда для топологической эквивалентности абелевых дробно-линейны,х накрывающих слоений, СфС1^) м СфС2(1) необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, что либо Я1р(11)/Я2р( 11) = (р171 /р2ц)\р171 /р2ъ|а, Яе а = —1, У € П1(В{), либо Л)/Я2р(71) = р171 /р211 \р171 /р211 \а, Яе а = —1, У € П1(В{).

п > 1

Р11 = Б (гад{р1, ...,р„+1,^} Б—1, Я72 = Т ¿гад{д172,...,дп+1,72} Т—1, наборы чисел, {1п (р^1 /рп+1,71),...,1п (рпл /рп+1,л )} и {1п (ц112/яп+1л2),...,1п (Цп12/яп+1,12)} являются простыми, У^1 € п1(В1), У^2 € п1(В2). Тогда, для топологической эквивалентности абе-левых дробно-линейных накрывающих слоений СфС1 (п) и СфС2 (п) необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,... ,п + 1) ^ (1,... ,п + 1) и комплексного числа а с Яе а > —1, что либо Яв(к)рЫ/Ув(п+1)рЫ = (рк71 /рп+1,71 )\рк11 /рп+1Л1 ьУ 11 € П1(В1),к = либо Яв(к)Иы/Ув(п+1)ИЫ = (ркц/рп+1,л)\рк11 /рп+1,л\а, Уъ € П1(В{), к = 1,п.

Теорема 3.4. Пусть при, п = 1 выполняются условия леммы 1.2, а при п > 1 матрицы Р1х = Б1х (гад{р171,... ,рп+1,71 }Б—1, Ял = Т12 (гад{д112,..., 0.п+1,12} Т—21, наборы чи сел, {1п (р1 ъ /рп+1,л),...,1п (р^п /рп+1,л)} и {1п (ц11х/дп+\,л),...,1п (дпъ/яп+1,л)} являются простыми, У^1 € п1(В1), У^2 € п1(В2). Тогда, из топологической эквивалентности неабелевых дробно-линейны,х накрывающих слоений фС1(п) и фС2(п) с соответствующими им неабелевыми дробно-линейными фазовыми группами РЬ1 (п) и РЬ2(п) общего положения следует Ж-голоморфная сопряженность данных фазовых групп при, некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном, гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейны,м, преобразованиями.

Следствие 1.4. Из топологической эквивалентности неабелевых дробно-линейных накрывающих слоений фС1 (п) и фС2(п) общего положе-Ж

Теорема 4.4. Пусть выполняются условия теоремы 1 Л. Тогда, для глад-Ж

ющих слоений СфС1(1) и СфС2 (1) необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного дифео-

морфизмом (М-голожоэдбшжом) дИ : В1 ^ Б2, что либо (1^{11)/(2^{11) =

(Р1^1 /Р2^1)У 11 Е П1(В1)^ ^бо (1^11)/(2^11) = (Р1^1 /Р2^1УЪ Е т(В1); е2 = 1.

Теорема 5.4. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для голоморфной эквивалентности абелевых дробно-линейны х накрывающих слоений Ср£1(1) и Сф£2(1) необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного голоморфизмом дм : В1 ^ Въчто (1^)/(2р,Ы = Ыи/Р^ъУ, У 11 Е П1(В{), е2 = 1.

Теорема 6.4. Пусть выполняются условия теоремы2А. Тогда для гладкой (Ш-голоморфной) эквивалентности абелевых дробно-линейных накрывающих слоений Ср£1(и) и Ср£2(и) необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2), порожденного дифеоморфиз-мом (Ш-голоморфизмом) дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,... ,и + 1) ^ (1,... ,и + 1), что ли бо (д{к)ц{1х)/(д{п+1)ц{1х) = Рк11 /Рп+1,Ъ , У 11 Е П1(В{), к = 1, и, либо (д(к)^(11)/(д(п+1)^(11) = Рк11 /Рп+1,71, УЪ Е П1(В1), к =1,П.

Теорема 7.4. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для голоморфной эквивалентности абелевых дробно-линейны х накрывающих слоений Ср£1(и) и Ср£2(и) необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного голоморфизмом дИ : В1 ^ В2, перестано вки д : (1,...,и + 1) ^ (1,...,и + 1), что

(д(к)^(11)/(д(п+1)^(11) = Рк11 /Рп+1Л1, У 11 Е П1(B1), к =1,и.

Теорема 8.4. Пусть выполняются условия теоремы?»А. Тогда для гладкой (Ш-голоморфной) эквивалентности неабелевых дробно-линейных накрывающих слоений р£1(и) и р£2(и) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1(и) и РЬ2(и) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном дифеоморфизмом (Ш-голоморфизмом) дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным преобразованиями.

Теорема 9.4. Пусть выполняются условия теоремы?А. Тогда для голоморфной эквивалентности неабелевых дробно-линейных накрывающих слоений р£1(и) и р£2(и) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1(и) и РЬ2(и) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при, некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфизмом дИ : В1 ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно линейным преобразованием.

§ 5. Вложимости дробно^линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим дробно-линейные накрывающие слоения фС1(п) и фС2(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1(п) и РЬ2(п). На основании теорем 1.3.1, 1.1, 2.1, 1.3 - 8.3, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии вложимостей дробно-линейных накрывающих слоений.

Теорема 1.5. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для вложимости абелева дробно-линейного накрывающего слоения СфС1(1) в абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС2(1) необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2); порожденного вложением дИ : В1 ^ В2, что либо д1/л(^1)/д2и( 11) = (р111 /р211 )\ръп/р211 \а, Яе а = —1, У € П1(В{), либо Я1Р(11)/Я2р(11) = р1 л/р2л\р1 л/р2п 1 \а, Яе а = —1, У € П1(В{).

Теорема 2.5. Пусть выполняются условия теоремы 2Л. Тогда для вложимости абелева дробно линейного накрывающего слоения СфС1(п) в абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС2(п) необходимо и достаточно существования таких гомоморфизмац : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного вложением дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,..., п+1) ^ (1,... , п+1) и комплексного числа а с Яе а > —1, что ли бо Цв(к)^( -у1)/яв(п+1)р( 7:0 = (р^ 1 /рп+1,л)\рк-у 1 /рп+1,л\а,У 11 € П1(В1),к = 1,п, либо Яв(к)^1)/Ув(п+1)ИЫ = (ркч 1 /рп+1,л)\ркч 1 /рп+1,л\а, у 11 € П1(В1),к = 1,п.

Теорема 3.5. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда из вложимости неабелевого дробно-линейного накрывающего слоения фС1(п) в неабелевое дробно-линейное накрывающее слоение фС2(п) с соответствующими им неабелевыми дробно линейными фазовыми группами РЬ1 (п) и РЬ2(п) общего положения следует Ж-голоморфная сопряженность данных фазовых групп при, некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном вложением дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейны,м, преобразованиями.

Следствие 1.5. Из вложимости неабелевого дробно-линейного накрывающего слоения общего положения фС1(п) в неабелевое дробно-линейное накрывающее слоение фС2(п) общего положения еле дует их Ж-голоморфная вложимость.

Теорема 4.5. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда, для Ж

ющего слоения, СфС1(1) в абелево дробно-линейное накрывающее слоение

CPL2(1) необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного гладким (R-голоморфным) вложением gм : B1 ^ B2, что либо q1^ll)/q2^(1i) = (p/pilxУ, V Y1 e П1(В{), либо

q1^(1i)/q2^(1i) = (p1yi/p2yi У, V Y1 e n1(B1); £2 = 1

Теорема 5.5. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для голоморфной вложимости абелева дробно линейного накрывающего слоения CPL1^) в абелево дробно-линейное накрывающее слоение CPL2(1) необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного голоморфным вложением gp : B1 ^ B2, что q1p(Yi)/ q2p(Yi) = Ыц/p2yiУ^ V Y1 e П1(B1), z2 = 1

Теорема 6.5. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для гладкой (R-голоморфной) вложимости абелева дробно линейного накрывающего слоения CpL1(n) в абелево дробно-линейное накрывающее слоение CpL2(n) необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного гла дким R-голоморфным) вложением gp : B-i ^ B2, перестано вки g : (1,...,n + 1) ^ (1,...,n + 1), что либо qß(kM<Yi)/qß(n+1M<Yi) = pkm/pn+im, V Y1 e ^1(^1), k = 1,n, либо qß(kM'Yi)/qe(n+1M<Yi) = pkYi /pn+1,Yi, V Y1 e П1(B1), k =1,n-

Теорема 7.5. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для голоморфной вложимости абелева дробно-линейного накрывающего слоения C pL1(n) в абелево дробно-линейное накрываю щее слоение C pL2(n) необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденного голоморфным влoжeнueмgИ : B1 ^ B2, перестановки g : (1,.. .,n+1) ^ (1,...,n+1),4moqe(k)p{li)/qe{n+1)»{li) = pklx /pn+1,m, V Y1 e n1(B1), k = 1,n.

Теорема 8.5. Пусть выполняются условия теоремы?А. Тогда для гладкой (R-голоморфной) вложимости неабелевого дробно линейного накрывающего слоения, pL1(n) в неабелевое дробно-линейное накрывающее слоение PL2(n) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами PL1 (n) и PL2(n) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при, некотором гомоморфизме ß : n1(B1) ^ n1(B2), порожденном гладким, (R-голоморфным) вложением, gp : B1 ^ B2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным преобразованиями.

Теорема 9.5. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда для голоморфной вложимости неабелевого дробно-линейного накрывающего сло-

ения фС1(п) в неабелевое дробно-линейное накрывающее слоение фС2(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1 (п) и РЬ2 (п) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при, некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфным вложением дИ : В1 ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно-линейны,м, преобразованием.

Теперь на основании теорем 1.5 - 9.5 получаем критерии слабой тополо-Ж

..111 ценных накрывающих слоений.

§ 6. Накрытия дробно^линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим дробно-линейные накрывающие слоения фС1(п) и фС2(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ1(п) и РЬ2(п). На основании теорем 1.4.1, 1.1, 2.1, 1.3 - 8.3, лемм 1.2 и 2.2 получаем следующие критерии накрытий дробно-линейных накрывающих слоений.

Теорема 1.6. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда, для накрытия абелева дробно линейного накрывающего слоения, СфС2(1) абеле-вым дробно-линейны,м, накрывающим слоением СфС1(1) необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного накрытием дИ : В1 ^ В2, что ли бо д1/л( 11)/д2р[ 11) = (р1/р2 ъ) \р1 л/р271 \а, Яе а = —1, У € П1(В{), либо Я1^1)/Я2Иы =

р1 л/р2ъ\р1 л/р2п 1 \а, Яе а = —1, У € П1(В{).

Теорема 2.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда, для накрытия абелевого дробно-линейного накрывающего слоения СфС2(п) абе-левым дробно-линейным, накрывающим слоением СфС1(п) необходимо и достаточно существования таких мономорфизма ц : п1 (В1) ^ п1 (В2); порожденного накрытием дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,...,п +

1) ^ (1,...,п + 1) и комплексного числа а с Яе а > —1, что либо Яв(к)ИЫ/Ув(п+1М~/1) = (рк71 /рп+1, Л )\рк11 /рп+1, ц^ У 11 € П1(В1),к = либо дв(к)р(ъ)/Ув(п+1)рЫ = (!)к11 /рп+1Гц )\рк11 /рп+1ГцУ 11 € П1(B1),

Теорема 3.6. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда, из накрытия неабелевого дробно-линейного накрывающего слоения фС2(п) неа-белевым дробно линейным накрывающим слоением фС1(п) с соответствующим,и им неабелевыми дробно-линейными фазовыми группами РЬ2(п) и РЬ1 (п) общего положения следует Ж-голоморфная сопряженность данных фазовых групп при, некотором мономорфизме ц : п1(В1) ^ п1 (В2), по-

рожденном накрытием дм : В\ ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным, преобразованиями.

Следствие 1.6. Накрытие неабелевого дробно-линейного накрывающего слоения общего положения Р£2(и) неабелевым дробно-линейны,м, накрывающим слоением Р^1 (и) общего положения являетсяШ-голоморфным.

Теорема 4.6. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для гладкого (Ш-голоморфного) накрытия абелева дробно линейного накрывающего слоения Сф£2(1) абелевым дробно-линейным накрывающим слоением Сф£1(1) необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гла дким (Ш-голоморфным) накрытием дм : В1 ^ В2, что либо (\И(11)/(2И(11) = (Р\ц/Р211 У, У 11 Е п\(В\), либо (1^(11)/(2^(11) = (Р1ц/Р211 У 11 Е П1(В1); е2 = 1

Теорема 5.6. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для голоморфного накрытия абелева дробно-линейного накрывающего слоения, СР£2(1) абелевым дробно-линейным накрывающим слоением Сф£1(1) необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п\ (В1) ^ п1(В2), порожденного голоморфным накрытием дИ : В\ ^ В2, что (1^(11)/(2^(11) = (Р\Ц/Р211 У 11 Е П1(B1), е2 = 1

Теорема 6.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для гладкого (Ш-голоморфного) накрытия абелевого дробно линейного накрывающего слоения СР£2(и) абелевым дробно-линейным накрывающим слоением СР£\(и) необходимо и достаточно существования таких мономорфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного гла дким (Ш-голоморфным) накрытием дИ : В\ ^ В2, перестано вки д : (1,...,и + 1) ^ (1,...,и + 1), что либо (д(к)^(Ъ)/(д(п+1)^(Ъ) = Рк11 /Рп+1,71, У 11 Е п\(В\), к = 1, и, либо (д(к)ИЫ/(д(п+1)ИЫ = Ркц/Рп+1Л1, У 11 Е П1(B1), к = 1,и■

Теорема 7.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для голоморфного накрытия абелевого дробно-линейного накрывающего слоения С р£2 (и) абелевым дробно линейным накрывающ им слоением С Р£\(и)

ц:

п1(В1) ^ п\(В2), порожденного голоморфным накрытием дИ : В\ ^ В2, перестановки д : (1,...,и + 1) ^ (1,...,и + 1),что (д(к)^(11)/(д(п+1)^(11) = Ркл/Рп+\Л1, У 1\ Е п\(В\), к =1,и.

Теорема 8.6. Пусть выполняются условия теоремы?А. Тогда для глад-

Ш

щего слоения фС2(п) неабелевым дробно-линейным, накрывающим слоением фС1(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ2 (п) и РЬ1(п) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при, некотором мономорфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном гладким, (Ж-голоморфным) накрытием дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным преобразованиями.

Теорема 9.6. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда, для голоморфного накрытия неабелевого дробно-линейного накрывающего слоения фС2(п) неабелевым, дробно линейным накрывающим слоением фС1(п) с соответствующими им дробно-линейными фазовыми группами РЬ2(п) и РЬ1(п) необходима и достаточна сопряженность данных фазовых групп при, некотором мономорфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфным накрытием дИ : В1 ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно-линейным преобразованием.

§ 7. Структурная устойчивость дробно^линейных накрывающих

слоений.

Рассмотрим дробно-линейное накрывающее слоение фС1(п) с соответствующей ему дробно-линейной фазовой группой РЬ1(п).

Теорема 1.7. Неабелевы дробно-линейные накрывающие слоения структурно неустойчивы.

Доказательство данного утверждения проводится на основании теоремы 3.4.

Следствие 1.7. Если, дробно-линейное накрывающее слоение структурно устойчиво, то оно абелево.

Предположим, что абелево дробно-линейное накрывающее слоение является структурно устойчивым. Аналогично теореме 1.7 на основании теорем 1.4 и 2.4 получаем утверждения.

Теорема 2.7. Если абелево дробно-линейное накрывающее слоение структурно устойчиво, то фундаментальная группа его базы имеет одну независимую образующую.

Теорема 3.7. Для того, чтобы дробно-линейное накрывающее слоение фС1(п) было структурно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы, п = 1, групп а п1 (В]) имела одну независимую образующую ^ и при, этом \р1 л /р'211 \ = 1

§ 8. Эквивалентности неавтономных проективных матричных

уравнений Риккати.

Рассмотрим однородные проективные матричные уравнения Риккати

т

дю = ^^ Лз(г1,..., гт)у дгз (1.8)

з=1

и

т

ду = ^^ Вз(г1,..., гт)у дгз, (2.8)

з=1

обыкновенные при т = 1 и вполне разрешимые при т > 1, где квадратные матрицы Л3 (г1,...,гт) = \\а,кз (г1,..., гт)\\ и В3 (г1,...,гт) = \\bikj (^1,..., ^т)\\ размер а п + 1 состоят из голоморфных функций а,кз : В1 ^ С и Ь,кз : В2 ^ С, г = 1,п + 1, к = 1,п + 1, ] = 1,т, линей-

В1 В2

друг другу. Общие решения однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) определяют дробно-линейные накрывающие слоения ф£1(п) и р£2(п), соответственно, на многообразиях СРп х В1 и СРп х В2.

Определение 1.8. Будем говорить, что однородные проективные мат-

Ж

голоморфно, голоморфно) эквивалентны, если топологически (гладко, Ж

линейные накрывающие слоения Р&1 (п) и р£2(п).

Определение 2.8. Дробно-линейную фазовую группу РЬ1(п) (РЬ2(п)) дробно линейного накрывающего слоения, р£1(п) (р£2(п)), определяемого однородным проективным матричным уравнением Риккати( 1.8) ((2.8)), будем называть группой голономии этого уравнения.

На основании теорем 1.4 - 9.4 получаем следующие утверждения.

Теорема 1.8. Пусть выполняются условия теоремы 1 Л. Тогда, для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений, Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голономии необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В1 ^ В2, что либо д1/л( 1х)/ц_2^ 11) = (р1 л/р^п 1 )\р1 л/р2(ъ\а, Ее а = -1, V 11 е П1(В{), либо Я1И(ъ)/Я2Иы = (р1 -п/р^п 1 )\р1 л/р2л\а, Яе а = -1, V е П1(В1).

Теорема 2.8. Пусть выполняются условия теоремы 2Л. Тогда, для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных урав-

нений Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голономии необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного гомеоморфизмом дИ : В\ ^ В2, перестано вки д : (1,...,и + 1) ^ (1,...,и + 1) и комплексного числа а с Яв а > —1, что либо

(д(к)^1)/(д(п+1)^Ы = (Ркц /Рп+1,11 )\Рк11 /Рп+1,11 ^ У71 Е П1(B1), к = 1,и, либо (д(кМ<У1 )/(д(п+1М<У1) = (Рк^1 /Рп+1^1 )\Рк11 /Рп+1Л1 ^ У 11 Е П1(B1), к =

1,и.

Теорема 3.8. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда из топологической эквивалентности однородных проектиеных матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с неабелевыми группами голономии общего по-

Ш

тором и,зом,орфи,зм,е ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденном гомеоморфизмом дИ : В\ ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно линейным преобразованиями

Следствие 1.8. Из топологической эквивалентности однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с неабелевыми груп-

Ш

ность.

Теорема 4.8. Пусть выполняются условия теоремы!А. Тогда для глад-

Ш

ных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голономии необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п\ (В\) ^ п\(В2), порожденного диффеоморфизмом (Ш-голоморфизмом) дИ : В\ ^ В2, что либо (1р(л)/(2^л) = (Р\11 /Р211 У, У 11 Е п\(В\), либо (1^1)/(2^л) = Ыл/Р2лУ, У 1\ Е п\(В\); е2 = 1.

Теорема 5.8. Пусть выполняются условия теоремы 1 А. Тогда для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голономии необходимо и достаточно существования такого изоморфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного голоморфизмом дИ : В\ ^ В2, что (1^(11)/(2^(11) = (р1^1 /р2-у1 У, У 1\ Е п\(В\), е2 = 1.

Теорема 6.8. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для

Ш

ричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голоно-

ц:

п1(В1) ^ п\(В2), порожденного диффеоморфизмом (Ш-голоморфизмом)

дИ : В1 ^ В2, перестановки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1), что либо дв(к)р( 11)/дв(п+1)р(ъ) = рк-у 1 /рп+1,ъ, ^Ъ е П1(В{), к = 1,п, либо

^в(к)р(11)/Чв(п+1)р(11) = ркЪ /рп+1, ъ , V 11 е П1(B1), к =1,п-

Теорема 7.8. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для голоморфной эквивалентности однородных проектиеных матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с абелевыми группами голономии необходимо и достаточно существования таких изоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного голоморфизмом дИ : В1 ^ В2, перестано вки д : (1,... ,п + 1) ^ (1,... ,п + 1) что Яв(к)р(ъ)/Яв(п+1)^(ъ) = ркц/рп+1,ъ, ^11 е п (В1), к = 1,п.

Теорема 8.8. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда для гладкой (М-голоморфной) эквивалентности однородных проектиеных матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с неабелевыми группами голономии необходима и достаточна сопряженность данных групп при некотором, изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном диффеоморфизмом ом) дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейны,м, преобразованиями.

Теорема 9.8. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда, для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.8) и (2.8) с неабелевыми группами голономии необходима и достаточна сопряженность данных групп при, некотором изоморфизме ц : п1(В1) ^ п1 (В2), порожденном голоморфизмом дИ : В1 ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно линейным преобразованием

§ 9. Вложимости неавтономных проективных матричных

уравнений Риккати.

Рассмотрим однородные проективные матричные уравнения Риккати (1.8) и (2.8) с соответствующим им дробно-линейными накрывающими слоениями р£1(п) и р£2(п) и группами голономии РЬ1(п) и РЬ2(п).

Определение 1.9. Будем говорите, что однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.8) вложимо (гладко вложимо, голоморфно вложимо, голоморфно вложимо) в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8)7 если дробно-линейное накрывающее слоение р£1(п) вложимо (гладко еложимо, М-голоморфно вложимо, голоморфно вложимо) в дробно-линейное накрывающее слоениеР£2(п).

Определение 2.9. Будем говорите, что однородные проективные матричные уравнения Риккати (1.8) и (2.8) слабо топологически (гладко,

Ш

Ш

вающие слоения фС1 (и) и РС2(и).

На основании теорем 1.5 - 9.5 получаем следующие утверждения.

Теорема 1.9. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2); порожденного вложением дИ : В\ ^ В2, что ли бо (1^{11)/(2^,{11) = (р\11 /Р211)\Р1Л/Р2(ц\а, Яв а = —1, У 11 Е п\(В\), либо (1^1)/(2цЫ = Ыл/Р21х)\Р1л/Р2Ъ\а, Яв а = —1, У 11 Е п\(В\).

Теорема 2.9. Пусть выполняются условия теоремы 2 А. Тогда для вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2); порожденного вложением дИ : В\ ^ В2, перестано вки д : (1,... ,и + 1) ^ (1,... ,и + 1) и комплексного числа а с Яв а > —1, что ли бо (д{к)^(Г11)/(д{п+1)^(Г11) = (Ркл /Рп+1,ъ ) \ Ркл /Рп+1,11 \а, У1\ Е П1(B1), к = 1,и,либ0 (д(кМЪ)/(д(п+1Мл) = (Ркл/Рп+1Л1)\Рк11 /Рп+1,Ъ\а, У11 Е п\(В\), к = 1,и.

Теорема 3.9. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда из вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии общего положения в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии обще-

Ш

некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденном вложением дИ : В\ ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно линейным преобразованиями

Следствие 1.9. Из вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии общего положения в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с неабелевой

Ш

мость.

Теорема 4.9. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для

Ш

ного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гладким (М-голоморфным) вложением др : В1 ^ В2, что либо Я1И(11)/Я2^1) = Ыл/р2Ъ)£, ^Ъ е П1(В{), либо = (ръп/р211)£, V 11 е П1(В1); е2 = 1

Теорема 5.9. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для голоморфной вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2); порожденного голоморфным вложением дИ : В1 ^ В2, что я1^( 1х)/я2^(ъ) = (р1 ъ /р271Т, ^11 е П1 (В1), е2 = 1.

Теорема 6.9. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для гладкой (М-голоморфной) вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гла дким (М-голоморфным) вложением дИ : В1 ^ В2, перестано вки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1), что либо Яв(к)^(ъ)/Яв(п+1)^(ц) = р^ 1 /рп+1,^, ^Ъ е ^(В^), к = 1,п, либо

Яв(к)ИЫ/Ув(п+1М~/1) = ркц /рп+1,41, V 11 е П1(B1), к =1,п-

Теорема 7.9. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда для голоморфной вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с абелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования таких гомоморфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2); порожденного голоморфным вложением дИ : В1 ^ В2, перестано вки д :

(1,...,п + (1,...,п + 1), что Яв(к)^1)/Ув(п+1)р(ъ) = ркъ/рп+1,11, V11 е

п1(В1), к = 1,п.

Теорема 8.9. Пусть выполняются условия теоремы?»А. Тогда для гладкой (М-голоморфной) вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии необходима и достаточна сопряженность данных групп при некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном гла дким (М-голоморфным) вложением дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-

линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным, преобразованиями.

Теорема 9.9. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда для голоморфной вложимости однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии в однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии необходима и достаточна сопряженность данных групп при некотором гомоморфизме ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденном голоморфным вложением дИ : В\ ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно линейным преобразованием.

Кроме того, на основании теорем 1.9 - 9.9 получаем критерии слабой то-

Ш

нородных проективных матричных уравнений Риккати.

§ 10. Накрытия неавтономных проективных матричных

уравнений Риккати.

Рассмотрим однородные проективные матричные уравнения Риккати (1.8) и (2.8) с соответствующим им дробно-линейными накрывающими слоениями Р£\(и) и рС2(и) и группами голономии РЬ1(и) и РЬ2(и).

Определение 1.10. Будем говорите, что однородное проективное мат-

Ш

голоморфно накрывает, голоморфно накрывает) однородное проективное матричное уравнение Риккати (2.8), если дробно-линейное накрывающее слоение рС1 (и) накрывает (гладко накрывает, Ш-голоморфно накрывает, голоморфно накрывает) дробно-линейное накрывающее слоение рС2(и).

На основании теорем 1.6 - 9.6 получаем следующие утверждения.

Теорема 1.10. Пусть выполняются условия теоремы!А. Тогда для накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением, Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п\ (В2), порожденного накрытием дИ : В\ ^ В2, что ли бо (1^{11)/(2^(Г11) = (р\11 /Р211)\Р1Л/Р2(ц\а, Яв а = —1, У 11 Е п\(В\), либо (1^1)/(2цЫ = (Р1л/Р2л)\Р1л/Р2Ъ\а, Яв а = —1, У 11 Е п\(В\).

Теорема 2.10. Пусть выполняются условия теоремы 2 А. Тогда для на-

крытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного накрытием дИ : В\ ^ В2, перестано вки д : (1,... ,и + 1) ^ (1,... ,и + 1) и комплексного числа а с Яв а > —1, что ли бо (д(к)^(^1)/(д(п+1)^(^1) = (Ркл /Рп+1Л1) \ Рк1х /Рп+1Л1 \а, Е П1(B1), к = 1,и,Либ0 (д(к)И(ъ)/(д(п+1Мл) = (Ркл/Рп+1,л)\Ркл/Рп+1,л \а, У 1\ Е п\(В\), к = 1,и.

Теорема 3.10. Пусть выполняются условия теоремы?А. Тогда из накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии общего положения однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии обще-

Ш

некотором мономорфизме ц : п1(В1) ^ п\ (В2); порожденном накрытием дИ : В\ ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно линейным преобразованиями

Следствие 1.10. Накрытие однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии общего положения однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с неабеле-

Ш

Теорема 4.10. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для

Ш

го уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного гла дким (Ш-голоморфным) накрытием дм : В\ ^ В2, что ли бо (1^(11)/(2^(11) = (Р\ц /Р211), У 1\ Е п\(В\), либо (ЫЪ)/(2И,(л) = (Р111 /Р211)£, У 11 Е П1(В1У; е2 = 1

Теорема 5.10. Пусть выполняются условия теоремы 1.4. Тогда для голоморфного накрытия однородного проект,ивного матричного уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п\(В2), порожденного голоморфным накрытием дИ : В\ ^ В2, что либо (\И(ъ)/(2И(л) = (Р1ц/Р21х)£, У 1\ Е п\(В\), либо (1^/(2^1) = (Р1л/Р2лУ, У 1\ Е п\(В\); е2 = 1.

Теорема 6.10. Пусть выполняются условия, теоремы, 2.4. Тогда для гладкого (М-голоморфного) накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденного гла дким (М-голоморфным) накрытием др : В1 ^ В2, перестано вки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1), что либо Яв(кМЪ)/Яв(п+1)И(ъ) = рк~11 /рп+1,, Уъ е П1(В{), к = 1,п, л,ибо

Яв(к)р(ъ)/Ув(п+1)рЫ = ркъ /рп+1, ^ , Чъ е П1(B1), к =1,п-

Теорема 7.10. Пусть выполняются условия теоремы 2.4. Тогда, для голоморфного накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с абелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с абелевой группой голономии необходимо и достаточно существования такого мономорфизма ц : п1(В1) ^ п1 (В2); порожденного голоморфным накрытием дИ : В1 ^ В2, перестано вки д :

(1,...,п + (1,...,п + 1), что Яв(к)р(11)/Чв(п+1)р{ъ) = ркъ/рп+1,11, V11 е

п1(В1), к = 1,п.

Теорема 8.10. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда, для гладкого (М-голоморфного) накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии необходима и достаточна, сопряженность данных групп при, некотором, мономорфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном гла дким (М-голоморфным) накрытием дИ : В1 ^ В2, осуществляемая либо невырожденным дробно-линейным, либо невырожденным антиголоморфным дробно-линейным преобразованиями.

Теорема 9.10. Пусть выполняются условия теоремы 3.4. Тогда, для голоморфного накрытия однородного проективного матричного уравнения Риккати (2.8) с неабелевой группой голономии однородным проективным матричным уравнением Риккати (1.8) с неабелевой группой голономии необходима и достаточна, сопряженность данных групп при, некотором мономорфизме ц : п1(В1) ^ п1(В2), порожденном голоморфным накрытием дИ : В1 ^ В2, осуществляемая невырожденным дробно линейным преобразованием.

11. Структурная устойчивость неавтономных проективных матричных уравнений Риккати.

Рассмотрим однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.8) с соответствующим ему дробно-линейным накрывающим слоением рС1 (и) и группой голономии РЬ1(и).

Определение 1.11. Будем говорить, что однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.8) структурно устойчиво, если структурно устойчиво дробно-линейное накрывающее слоениерС1 (и).

В силу теорем 1.7 - 3.7 имеем такие утверждения.

Теорема 1.11. Однородные проективные матричные уравнения Риккати вида (1.8) с неабелевыми группами голономии структурно неустойчивы.

Следствие 1.11. Если однородное проективное матричное уравнение Риккати вида (1.8) структурно устойчиво, то его группа голономии абеле-ва.

Теорема 2.11. Если однородное проективное матричное уравнение Риккати вида (1.8) структурно устойчиво, то группа п1(В1) имеет одну неза-висмую образующую.

Теорема 3.11. Для того, чтобы однородное проективное матричное уравнение Риккати вида (1.8) было структурно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы и = 1, групп а п1(В1) имела одну независимую образующую 7\ и при этом, \ р\1х /р2ъ \ = 1.

§ 12. Эквивалентности обыкновенных проективных матричных уравнений Риккати с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим обыкновенные однородные проективные матричные уравнения Риккати

где квадратные матрицы Л(г) = \ \ а,к (г) \ \ и В (г) = \ \ Ъ,к (г) \ \ раз мера и + 1 состоят из 1-периодических голоморфных функций а^ : С ^ С и Ъik : С ^ С, г = 1, и + 1, к = 1, и + 1. Общие решения однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.12) и (2.12) определяют дробно-линейные накрывающие слоения па многообразии СРп х Так как группа ) абелева,

и

(1.12)

(2.12)

то на основании определений 2.1.1 и 2.8 имеем, что группы голономии однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.12) и (2.12) также абелевы. Кроме того, обозначим через образующую группы п^).

В силу теорем 1.8, 2.8, 4.8 - 7.8 и 2.11 делаем такие выводы.

Теорема 1.12 [38]. Пусть матрицы Р1х = Б д;ад{р1,р2ъ ^-1, Яъ = Т д;ад{д1 ъ ,д2ъ }Т-1. Тогда для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно, чтобы, либо д^^/д21х = (р1-/1 /р2ц )\р1ц /р2ц \а, Яе а = -1, л,ибо Я1 ц/д2 ц = (р1 Ц /р211 )\р111 /р2 ц ^ Яеа = -1.

п > 1

Ръ = Бд;гад{р111 ,...,р„++1Л1} Б-1, = Т д;ад{д111,...,дп+1,ъ} Т-1, наборы чисел, {1п (р1 л /рп+1, ц),...,1п (рпЪ /рп+1, ц)} и {1п (д1 ъ/дп+1,ъ),...,1п (дп-У1 /дп+\Лх)} являются простыми. Тогда, для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений, Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно существования таких перестановки д : (1,... ,п + 1) ^ (1,... ,п + 1) и комплексного числа а с Яе а > -1, что либо дв(к)ц/дв(п+1)и = (ркц/рп+1,ц)\ркц/рп+1,ц\а, к = 1,п, либо дв(к)ц/Яв(п+1) 11 = (ркц/рп+1,ц)\рк11 /рп+1,ц\а, к = 1,п.

Теорема 3.12 [38]. Пусть выполняются условия теоремы 1.12. Тогда, для гладкой (М-голоморфной) эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно, чтобы либо д11А_/д2^ = (р1Ъ/р2ц)£, либо д11А_/д211 = (р^/р^^ )£; е2 = 1.

Теорема 4.12. Пусть выполняются условия теоремы 1.12. Тогда, для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений, Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно, чтобы, д111 /д211 =

(р1 ц /р211)£, е2 = 1.

Теорема 5.12. Пусть выполняются условия теоремы 2.12. Тогда, для гладкой (М-голоморфной) эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно существования такой перестановки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1)7 что либо дв(к)ц/Яв(п+1)ц = ркц /рп+1,ц, к = 1,п, либо дв(к)ц/Яв(п+1)ц =

рк11 /рп+1, ц, к = 1,п.

Теорема 6.12. Пусть выполняются условия теоремы 2.12. Тогда, для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений, Риккати (1.12) и (2.12) необходимо и достаточно существования такой перестановки д : (1,... ,п + 1) ^ (1,... ,п + 1), что дв(к)ъ/дв(п+1)ъ =

Рк11/Ри+1,11, к = 1,п.

Теорема 7.12. Для того, чтобы однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.12) было структурно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы п = 1 и \р\1х /рс11х \ = 1.

§ 13. Эквивалентности вполне разрешимых проективных матричных уравнений Риккати с периодическими

коэффициентами.

Рассмотрим вполне разрешимые однородные проективные матричные уравнения Риккати

т

(V = ^^ Аз(z1,..., zm)v dzj (1.13)

з=1

и

т

(V = ^^ Вз(z1,..., zm)v dzj, (2.13)

з=1

где т > 1, квадратные матрицы Аз= Ца^(^1,..., zm)\\ и Вз ... , zm) = \ \bij ... , zm) \ \ разме ра п + 1 состоят из 1-периодических по своим аргументам голоморфных функций а^з : Cm ^ С и bikj : Cm ^ С, г = 1,п + 1, к = 1,п + 1, ] = 1, т. Общие решения вполне разрешимых однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) определяют дробно-линейные накрывающие слоения на многообразии СРп х Zт. Так как группа m) абелева, то па основании определений 2.1.1 и 2.8 имеем, что группы голономии однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) также являются абелевыми. Кроме того, обозначим через , I = 1,т, образующую группы п1 (^1П).

В силу теорем 1.8, 2.8, 4.8 - 7.8 и 2.11 имеем такие утверждения.

Теорема 1.13 [35]. Пусть матрицы Р71 = 8(гад{р\11 ,р211 ^-1, Qll = Т (гад{д111 ,д2ъ }Т-1, I = 1,т. Тогда для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы и = \ \иц \ \ размера т и комплексного числа а с Яв а = —1, что ли-

бо П ((11ъ/Я2Ъ Уи = (Р1ц /Р211) \ Р1л /Р211 \а, I = 1,т либо П(Я1Ъ/Я2Ъ УИ = з=1 __з=1

Ыл /Р2л ) \ Р111/Р211 \I = 1Ут.

Теорема 2.13. Пусть при, п > 1 матриц ы Р11 =

Б (гад{р111 ,... ,Рп+1л1} Б—1, QYl = Т (гад{д111,..., дп+\>11} Т—1, наборы чисел

{1п (Р111 /Рп+1,11), ...,1п (Ри11 /'Ри+1,11)} и {1п (Я\ 11 /Яп+1,11), ...,1п (Я„П1 /Яп+1, 11)} являются простыми, I = 1,т. Тогда для топологической эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы и = \\uij|| размера т, перестановки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1)

т

и комплексного числа ас Яв а > —1, что либо П (Я^Ь • /Яд(п+1)^ ■ )и': =

(Рк11 /Рп+1Л1 )\Рк11 /Рп+1Л1 \а, к = 1,п, I = 1,т, либо Ц(.Яд(к)ъ/Яд(п+1)Ъ)Щ = _ _ _ j=l

(Рк^1 /Рп+1, ц )\Рк11 /Рп+1, ц\а, к =1,п, I =1,т

Теорема 3.13 [35]. Пусть выполняются условия теоремы 1.13. Тогда, для гладкой (Ш-голоморфной) эквивалентности однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования такой унимодулярной матрицы и = \ \щ\\ размера т, что

либо Ц(Я1 ъ/Я2Ъ)щ = (Р1 11/Р211 У, I = 1,т, либо Ц(Я1 ъ/Я2Ъ)и1: = j=1 _ j=l

(Р1 ^/Р211 )£, I = 1,т; £2 = 1

Теорема 4.13. Пусть выполняются условия теоремы 1.13. Тогда, для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования та-

т

кой, унимодулярной матрицы и = \\щ\\ размера т, что П(.Я1-у■ /Я^ ■ )Щ: = _ j=l : :

(Р111 /Р'211 )£, I = 1,т, £2 = 1

Теорема 5.13. Пусть выполняются условия теоремы 2.13. Тогда, для гладкой (Ш-голоморфной) эквивалентности однородных проективных матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы и = \\щ\\ размера т, перестановки д : (1,...,п + 1) ^ (1,...,п + 1), что ли-

бо И(Яд(к)ъ/яе(п+1)ъ)и1: = (Рк71 /Рп+\Л1), к = 1,п, I = 1,т, либо j=l

и(Яд(к):/Яд(п+1):)и': = (Рк11 /Рп+\,^), к = 1,п, I = 1,т. j=l

Теорема 6.13. Пусть выполняются условия теоремы 2.13. Тогда, для голоморфной эквивалентности однородных проект,иены,х матричных уравнений Риккати (1.13) и (2.13) необходимо и достаточно существования таких унимодулярной матрицы и = \\uij\\ размера т, перестановки д :

(1,...,п + ^ ^ (1,...,п + 1), что П ((в(к)ъ/(в(п+1)ъ )щ = (Рк^ /Рп+1Л1), к = _ __з=1

1,п, I = 1,т.

Теорема 7.13. Однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.13) структурно неустойчиво.

§ 14. Эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати с эллиптическими коэффициентами.

Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати

(и

= а2(^ )и2 + а)и + а0^) (1.14)

и

dz

(и dz

= Ь2^)и2 + Ь1(г )и + Ьо^), (2.14)

где коэффициенты ази Ьк(^), к = 0, 2, являются эллиптическими (меро-морфными двоякопериодическими) функциями с основным параллелограммом периодов П, образованным точками 0, 1, а + гЬ, а + 1 + гЬ, а > 0, Ь > 0. Через zk Е П, к = 1,п, обозначим совокупность полюсов коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения Риккати (1.14) (уравнения Риккати (2.14)). При этом, не умаляя общности, будем считать, что zk Е дП, к = 1,п, где дП - граница параллелограмма П.

Так как сферу Римана (расширенную комплексную плоскость С = С и

{го}, где го есть бесконечно удаленная точка) можно одновременно рассмат-

СР1

следуюгцим образом: и = v1 /v2, : v2 = 0; и = го, : v2 = 0),

то обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати (1.14) и (2.14) равносильны соответствующим обыкновенным однородным проективным матричным уравнениям Риккати вида (1.8) и (2.8) при п = 1.

В силу двоякопериодичности коэффициентов обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати (1.14) и (2.14) их общие решения определяют дробно-линейные накрывающие слоения на многообразии С х Тп, где Тп есть П.

циального уравнения Риккати (1.14) (уравнения Риккати (2.14)) определяется невырожденными дробно-линейными преобразованиями Рк (и, 1), У и Е С, Рк Е ОЬ(2, С) (невырожденными дробно-линейными преобразованиями Qk(и, 1), Уи Е С, Qk Е СЬ(2, С)), к = 1, 2, соответствующими обра-

Тп

Р2+к(и, 1), Уи Е С, Рк Е ОЬ(2, С) (невырожденными дробно-линейными преобразованиями Q2+k(и, 1), Уи Е С, Qk Е СЬ(2, С)), соответствующими полюсам Хк, к = 1,п. Нетрудно видеть, что невырожденные дробно-линейные преобразования Рк (и, 1), У и Е С (невырожденные дробно-линейные преобразования Qk(и, 1), Уи Е С), к = 1, 2, перестановочны.

На основании теорем 1.8, 4.8, 5.8 и леммы 1.2.2 получаем такие конструктивные критерии классификаций обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати (1.14) и (2.14).

Теорема 1.14. Пусть матрицы Рк = Б (Иад{р\к ,р2к} Б—1, Qk = Т (гад{д\к,д2к} Т—1, к = 1,2, таковы, что подгруппа группы С* ненулевых комплексных чисел по умножению, образованная числами рц/р2\ и Р12/Р22, плотна в множестве С комплексных чисел. Тогда, для топологической эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати (1.14) и (2.14) необходимо существование таких унимодулярной матрицы и = |1 икз | | размера 2 и комплексного числа а с Яв а = —1, что либо

2

П^/Я23у* = (Р1к/Р2к)|Р1к/Р2к| а, к = 172, (3.14)

3=1

либо

2

П(Я13/Я23Уик> = (Р1к/Р2к)Ы/Р2ку, к = 1,2, (4.14)

3=1

причем, при выполнении соотношений (3.14) сопрягающий группы голономии гомеоморфизм задается, формулой / (и) = 'уи^^, У и Е С, 7 = 0, а при, выполнении соотношений (4.14) - формулой /(и) = 'уЩи^, Уи Е С, 7 = 0.

Теорема 2.14. Пусть выполняются условия теоремы 1.14. Тогда для гладкой (Ш-голоморфной) эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати (1.14) и (2.14) необходимо существование такой унимодулярной матрицы и = Ци^ || размера 2, что л,ибо

2

П>3/Я23)и* = Р1к/Р2к, к = 1,2, (5.14)

3=1

либо

2

П>з/Я23)икз = Р1к/Р2к, к = 12, (6.14)

3=1

причем, при выполнении соотношений (5.14) сопрягающий группы голономии диффеоморфизм, (Ш-голоморфизм) задается ф ормулой / (и) = ^и, У и Е

С, 7 = 0, а при выполнении соотношений (6.14) - формулой /(й) = ^й, Уй Е С, 7 = 0.

Теорема 3.14. Пусть выполняются условия теоремы 1.14. Тогда для

голоморфной эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений

Риккати (1.14) и (2.14) необходимо существование такой унимодулярной

2 _

матрицы и = \ \ и^ \ \ размера 2, что Y\(Яlj/Яу )ик: = Р\к /Р2к, к = 1, 2, и

j=l

при этом сопрягающий группы голономии голоморфизм задается формулой /(й) = ^й, Уй Е С, 7 = 0.

Кроме того, на основании теоремы 2.11 получаем утверждение.

Теорема 4.14. Обыкновенное дифференциальное уравнение Риккати (1.14) структурно неустойчиво.

Глава 4. Глобальная топологическая устойчивость накрывающих

слоений.

§ 1. Глобальная топологическая устойчивость накрывающих

слоений.

Определение 1.1. Накрывающее слоение будем, называть глобально топологически устойчивым, если существует конечное число однолистных слоев (которые будем называть особыми,), что все остальные слои, (которые будем, называть неособыми) этого слоения негомеоморфны особым и, кроме того, замыкание каждого из неособых слоев содержит все особые слои. Накрывающее слоение, не являющееся глобально топологически устойчивым, будем, называть глобально топологически неустойчивым.

Определение 2.1. Накрывающее слоение будем, называть глобально фазово устойчивым, если замыкание орбиты всякой, не являющейся неподвижной, точки фазового слоя содержит все неподвижные точки этого слоения, и будем, называть глобально фазово неустойчивым в противном случае.

Теорема 1.1. Глобальная топологическая устойчивость накрывающего слоения равносильна его глобальной фазовой, устойчивости.

Доказательство этого утверждения проводится непосредственно на основании определения 2.1.1 путем сдвига отмеченной точки базы накрывающего слоения.

Следствие 1.1. Глобально топологически устойчивыми могут быть лишь невырожденные нетривиальные накрывающие слоения.

§ 2. Глобальная топологическая устойчивость абелевых линейных

накрывающих слоений.

Рассмотрим сначала вещественное абелево линейное накрывающее слоение С(п) с вещественной абелевой фазовой группой СЬ1 (п), определяемой линейными действиями

Рги, Уи Е Шп, Рг Е СЬ(п, Ш), г = 1, V. (1.2)

При этом будем считать, что матрицы Рг имеют простую структуру и не имеют собственных значений, равных по модулю 1, г = 1,и. Будем рассматривать тот случай, когда фазовая группа имеет единственную неподвижную точку - начало координат 0 Е Шп. Очевидно, что при этом вещественное линейное накрывающее слоение С£1(п) является невырожденным нетривиальным. В силу теоремы 1.1.1 вещественное линейное накрывающее слоение С£1(п) имеет единственный особый слой и этот слой соответствует неподвижной точке.

Для изучения глобальной топологической устойчивости вещественного линейного накрывающего слоения С£1(п) с помощью общего преобразования подобия все матрицы Рг, г = 1,и, одновременно приведем к диагональному виду, соответствующему вещественной нормальной жордановой форме (этого всегда можно добиться в силу простоты структуры и перестановочности матриц Рг, г = 1, и).

В новой системе координат образы линейных действий (1.2) запишем в виде

Q I ^гтУг, кг Е С, уг Е С, г = 1, к, (2 2)

т Хгтуг, Хгт Е Ш, уг Е Ш, г = к + 1,5, г = 1,у;

где й + к = п; \гт, г = 1, в, - собственные значения матрицы Рт, г = 1,и.

Определение 1.2. Фазовой матрицей вещественной фазовой группы СЬ1 (п) будем называть матрицу ЦЯв 1п Хгт.

Определение 2.2. Фазовую матрицу вещественной фазовой группы СЬ1(п) будем, называть матрицей Пуанкаре, если выпуклая оболочка векторов

Лг = (Яв 1п Хг1,... ,Яв 1п Х,ш), г = 1,в, (3.2)

не содержит начала координат 0 Е RV, и матрицей Зигеля в противном случае.

Лемма 1.2. Если фазовая матрица вещественной фазовой группы CL1(u) является матрицей Пуанкаре, то начало координатО Е Rn принадлежит замыканию определяемой группой орбиты для любой точки x = 0 фазового слоя Rn, а если фазовая матрица является матрицей Зигеля, то существует множество точек фазового слоя Rn размерноети и, таких, что замыканию определяемой данной группой орбиты всякой точки этого множества не принадлежит, начало координатО Е Rn.

Доказательство. Пусть фазовая матрица является матрицей Пуанкаре. Перейдем от линейных преобразований (1.2) к линейным преобразованиям (2.2). На основании определения матрицы Пуанкаре приходим к выводу, что существует гиперплоскость П, проходящая через начало координат О Е RV, такая, что векторы (3.2) расположены по одну открытую сторону от данной гиперплоскости. Возьмем вектор d Е RV, ортогональный гиперплос-П

кости. Следовательно, скалярные произведения Ai • d < 0, i = 1,s. В силу плотности множества рациональных чисел в множестве вещественных чисел существуют натуральное число l и целочисленный вектор c = (c1,...,cV), такие, что длина вектора ld — c достаточно мала и, кроме того, имеют место неравенства Ai • c < 0, i = 1,s. Введем вспомогательное отображение

V

Q = П Qrr, гДе произведение обозначает суперпозицию линейных преоб-

r=1

разований. Из полученных выше неравенств непосредственно вытекает, что lim Qk(y) = 0, Vy =(yi,...,ys) Е Rn.

Пусть теперь фазовая матрица является матрицей Зигеля. Как и в первом случае, перейдем к линейным преобразованиям (2.2). Исходя из определения

c

ординатами существует такой индекс i Е {1,..., s}, что имеет место неравенство Ai • c ^ 0. Отсюда вытекает неравенство | pi ◦ Q(y)| ^ | pi о y| , Vy е Rn, где pi о y есть проекция вектора y на координатную прямую yi (комплексную при i = 1, k, и вещественную при i = k + 1, в). Возьмем точку y* Е Rn такую, что все ее координаты отличны от нуля. Тогда из последнего неравенства и произвольности вектора c следует, что замыкание орбиты точки y*, определяемой фазовой группой, не содержит начала координат. Лемма 1.2 доказана.

Теперь на основании теоремы 1.1 и леммы 1.2 имеем такое утверждение.

Теорема 1.2 [26]. Если у невырожденного нетривиального вещественного абелевого линейного накрывающего слоения С£1(п) фазовая матрица вещественной фазовой группы СЬ1 (п) является матрицей Пуанкаре, то оно глобально топологически устойчиво, а если является матрицей Зигеля - то глобально топологически неустойчиво.

В случае невырожденного нетривиального комплексного линейного накрывающего слоения С£1(п) с комплексной фазовой группой СЬ1(п), образованной аналогично вещественной фазовой группе СЬ1(п), подобно теореме 1.2 получаем такое утверждение.

Теорема 2.2 [39]. Если у невырожденного нетривиального комплексного абелевого линейного накрывающего слоения С£1(п) фазовая матрица комплексной фазовой группы СЬ1 (п) является матрицей Пуанкаре, то оно глобально топологически устойчиво, а если является матрицей Зигеля - то глобально топологически неустойчиво.

§ 3. Глобальная топологическая устойчивость неавтономных

линейных дифференциальных систем с абелевыми группами

монодромии.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

3=1

обыкновенную при т = 1 и вполне разрешпмую при т > 1, где квадратные матрицы Аз (х1, ..., хт) = Цагкз (х1, ..., гт)Ц размер а п состоят из голоморфных функций агкз : В ^ к, г = 1,п, к = 1,п, ] = 1, т. Общее решение линейной дифференциальной системы (1.3) определяет линейное накрывающее слоение £^п) на многообразии кп х В.

Определение 1.3. Будем говорить, что линейная дифференциальная система (1.3) глобально топологически устойчива, если глобально топологически устойчиво линейное накрывающее слоение 21 (п).

Теперь на основании теорем 1.2 и 2.2 в случае абелевости группы монодромии СЬ1(п) линейной дифференциальной системы (1.3), соответствующей невырожденному нетривиальному абелевому линейному накрывающему слоению С£1(п), имеем такое утверждение.

Теорема 1.3. Если у линейной дифференциальной системы (1.3) фазовая матрица группы монодромии СЬ1 (п) является матрицей Пуанкаре, то

т

(1.3)

система глобально топологически устойчива, а если является матрицей Зигеля - то глобально топологически неустойчива.

§ 4. Глобальная топологическая устойчивость линейных дифференциальных систем с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

т

<й = ^^ Аз(х\,... ,хт)й йхз, (1.4)

з=1

обыкновенную при т = 1 и вполне разрешимую при т > 1, где квадратные матрицы Аз (х\,..., гт) = \\(Цкз (г\,..., гт)\\ размер а п состоят из 1-периодических по своим аргументам голоморфных функций (¡кз : Кт ^ К, % = 1,п, к = 1,п, ] = 1, т. Общее решение линейной дифференциальной системы (1.4) определяет абелево линейное накрывающее слоение С£1(п) на многообразии Кп х Тт (в вещественном случае, где Тт есть т-мерпый тор) или па многообразии Сп х Zт (в комплексном случае).

Теперь на основании теоремы 1.3 имеем следующее утверждение в случае, когда накрывающее слоение С&1(п), соответствующее линейной дифференциальной систему (1.4), является невырожденным и нетривиальным.

Теорема 1.4. Если у линейной дифференциальной системы (1.4) фазовая матрица группы монодромииСЬ1 (п) является матрицей Пуанкаре, то система глобально топологически устойчива, а если является матрицей Зигеля - то глобально топологически неустойчива.

§ 5. Глобальная орбитальная устойчивость автономных линейных

дифференциальных систем.

Рассмотрим автономную линейную дифференциальную систему

т

<й = Азй <гз, (1.5)

3=1

т = 1 т > 1

янные квадратные матрицы Аз = \\щкз \\ размер а п состоят из элементов (¡кз Е К, % = 1,п, к = 1,п, ] = 1, т. Общее решение автономной линейной дифференциальной системы (1.5) определяет тривиальное накрывающее слоение на многообразии Кп х Кт. В силу следствия 1.1 автономная линейная дифференциальная система (1.5) глобально топологически неустойчива.

Определение 1.5. Автономную линейную дифференциальную систему (1.5) будем, называть глобально орбитально устойчивой, если замыкание любой ее отличной от точки орбиты [31, с. 114] содержит начало координат О Е Кп.

т > 1

(1.5) вполне разрешима, то [31, с. 64-65] матрицы Аз, ] = 1,т, в совокупности перестановочны, и ее фундаментальная система решений имеет вид

т т \ _

ехр( ^ А3хз ). Матрицы вхр А3, ] = 1,т, образуют линейную фазовую груп-4=1 ]

пу СЬ1(п). Теперь на основании теорем 1.2 и 2.2 имеем такое утверждение.

Теорема 1.5 [26, 39]. Если у автономной линейной дифференциальной системы (1.5) с единственным состоянием равновесия фазовая матрица линейной фазовой группы СЬ1(п) является матрицей Пуанкаре, то система глобально орбитально устойчива, а если является матрицей Зигеля - то глобально орбитально неустойчива.

§ 6. Глобальная топологическая устойчивость абелевых дробно^линейных накрывающих слоений.

Рассмотрим сначала вещественное абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС1 (п) с вещественной абелевой фазовой группой СРЬ1(п), определяемой дробно-линейными действиями

РтV, Уу Е ШРп, Рт Е ОЬ(п + 1, Ш), г = 1,и. (1.6)

Рт

собственных значений, для любых двух собственных значений имеет место следующее свойство: если хотя бы одно из этих двух собственных значений

1,

ственное значение Х Е С, то п-1агдХ Е О, г = 1,и. Будем рассматривать тот случай, когда фазовая группа имеет только п + 1 неподвижных точек: От -начала координат аффинных карт Мт = {у, ут = 0} атласа М многообразия ШРп, т = 1,п + 1. Очевидно, что при этом вещественное дробно-линейное накрывающее слоение СрС1(п) является невырожденным нетривиальным.

Как и ранее, с помощью общего преобразования подобия (которому соответствует невырожденное дробно-линейное преобразование пространства

ШРп) все матри цы Рт, г = 1,р, одновременно приводим к диагональному виду, соответствующему вещественной нормальной жордановой форме.

Рассмотрим две логические возможности: 1) матрица Рг не имеет вещественных собственных значений, г = 1,и; 2) матрица Рг имеет хотя бы одно вещественное собственное значение, г = 1,и.

В первом случае после вышеуказанного преобразования образы дробно-линейных преобразований (1.6) запишем в виде Пг = {Хггуг, Хгг Е С, уг Е С, г = 1,^}, г = 1,и; где 5 = п/2; Хгг, г = 1,5, - собственные значения матрицы Рг, г = 1,и. Непосредственными вычислениями приходим к выводу, что фазовая группа СРЬ1(п) в первом случае не имеет неподвижных точек. Следовательно, Ср£1(п) является слабо эргодическим нетривиальным накрывающим слоением и в силу следствия глобально топологически неустойчиво.

Аналогично, во втором случае образы дробно-линейных преобразований (1.6) запишем в виде

£ I ХгтУг, Хгт Е С, уг Е С, г = 1,к, г Хгтуг, Хгг Е К, уг Е К, г = к + 1,5, г = 1, V;

где 5 + к = п + 1; Хгг, г = 1, 5, - собственные значения матрицы Рг, г = 1,и. На основании (2.6) имеем, что фазовая группа СРЬ1(п) в данном случае имеет р = п + 1 — 2к неподвижных точек, а именно ОТ Е М2к+Т, т = 1,р, где переменным уг, г = 1, к, из (2.6) соответствуют переменные Vj, ] = 1, 2к. Следовательно, Ср£1(п) является невырожденным нетривиальным накрывающим слоением.

В каждой карте Мт, т = 2к + 1,п + 1, дробно-линейные преобразования (2.6) задают невырожденные линейные однородные преобразования, которые в совокупности определяют фазовую группу СЬ1(п)(МТ), т = 2к + 1,п + 1. Отсюда на основании теорем 1.1 и 1.2 получаем утверждение.

Лемма 1.6. Если у невырожденного нетривиального вещественного дробно-линейного накрывающего слоения Ср£1(п) фазовая матрица вещественной фазовой группы СЬ1 (п)(МТ), т Е {2к + 1,... ,п + 1}, является матрицей Зигеля, то оно глобально топологически неустойчиво.

Пусть теперь фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(МТ), т = 2к + 1,п + 1, являются матрицами Пуанкаре. Обозначим через О(у) определяемую фазовой группой СРЬ1(п) орбиту точки V Е КРп. Если отличная

п+1 р

от неподвижных точка V* Е М = Р| Мт или V* Е У М2к+Т, то, очевидно,

Т=1 Т=1 _ р 2к , п+1

что V* Е О(V*), где V* = У V1'. В случае же V* Е Б = и БТ и БТ,

Т Т=1 ' Т=2к+1

где Бт = Мт/М, на основании условий вида п-1агдХ Е О, г = 1,и, для комплексных характеристических корней аналогично [38] приходим к выводу, что О(у*) С Б. Поэтому из того, что (гтБ ^ 1, с учетом первого случая, леммы 1.6 и теоремы 1.1 имеем такое утверждение.

Теорема 1.6 [26]. Для того, чтобы невырожденное нетривиальное вещественное абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС1 (п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы матрицы Рт, г = 1,и, определяющие вещественную фазовую группу СРЬ1(п), имели только вещественные собственные значения, и фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

Рассмотрим теперь комплексное абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС1 (п) с комплексной абелевой фазовой группой СРЬ1(п), определяемой дробно-линейными действиями РтV, Уу Е ШРп, Рт Е ОЬ(п + 1, С), г = 1, V. Будем считать, что невырожденные матрицы Рт не имеют кратных собственных значений и модуль частного любых двух собственных значений отличен от 1, г = 1^. Образованную таким образом фазовую группу также обозначим СРЬ1(п). Нетрудно видеть, что накрывающее слоение СфС1(п) является невырожденным нетривиальным.

Как и в случае проективного пространства ШРп, фазовой группе СРЬ1(п) поставим в соответствие группы СЬ1(п)(Мт), т = 1,п + 1, и па основании теоремы 2.2 аналогично теореме 1.6 доказываем следующее утверждение.

Теорема 2.6 [26]. Для того, чтобы невырожденное нетривиальное комплексное абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС1(п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

§ 7. Глобальная топологическая устойчивость неавтономных проективных матричных уравнений Риккати с абелевыми

группами голономии.

Рассмотрим однородное проективное матричное уравнение Риккати

3=1

т = 1 т > 1

ные матрицы А3 (х1,..., хт) = Цагк3 (х1,..., гт)Ц размер а п + 1 состоят из

т

(1.7)

голоморфных функций агк3 : В ^ К, г = 1,п + 1, к = 1,п + 1, ] = 1, т. Общее решение однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.7) определяет дробно-линейное накрывающее слоение фС1 (п) на многообразии

Определение 1.7. Будем говорить, что однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.7) глобально топологически устойчиво,

если глобально топологически устойчиво дробно-линейное накрывающее слоение фС1(п).

Теперь на основании теорем 1.6 и 2.6 в случае абелевости группы го-лономии СРЬ1(п) однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.7), соответствующего невырожденному нетривиальному абелевому дробно-линейному накрывающему слоению СфС1(п), имеем такие утверждения.

Теорема 1.7. Для того, чтобы вещественное однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.7) с группой голономии СРЬ1(п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы матрицы Рт, г = 1^, определяющие группу голономии, имели только вещественные собственные значения, и фазовые матрицы фазовых групп СЬ1 (п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

Теорема 2.7. Для того, чтобы комплексное однородное проективное матричное уравнение Риккати{ 1.7) с группой голономии С Р Ь1 (п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

§ 8. Глобальная топологическая устойчивость проективных матричных уравнений Риккати с периодическими

коэффициентами.

Рассмотрим однородное проективное матричное уравнение Риккати

обыкновенное при т = 1 и вполне разрешимое при т > 1, где квадратные матрицы А3 (х1,..., хт) = \\агк3 (х1,..., хт)\\ размер а п + 1 состоят из 1-периодических по своим аргументам голоморфных функций агк3 : Кт ^

КРп х В.

т

(1.8)

3=1

К, г = 1,п + 1, к = 1,п + 1, ] = 1,т. Общее решение однородного проективного матричного уравнения Риккати (1.8) определяет абелево дробно-линейное накрывающее слоение СфС1 (п) на многообразии Кп х Тт (в вещественном случае) или на многообразии Сп х Zт (в комплексном случае).

Теперь на основании теорем 1.7 и 2.7 имеем следующие утверждения в случае, когда накрывающее слоение Сф£1(п), соответствующее однородному проективному матричному уравнению Риккати (1.8), является невырожденным и нетривиальным.

Теорема 1.8. Для того, чтобы вещественное однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.8) с группой голономии СРЬ1(п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы матрицы Рг, г = 1,и, определяещие группу голономии, имели только вещественные собственные значения, и фазовые матрицы фазовых групп СЬ1 (п)(МТ), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

Теорема 2.8. Для того, чтобы комплексное однородное проективное матричное уравнение Риккати( 1.8) с группой голономии С Р Ь1 (п) было глобально топологически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(МТ), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

§ 9. Глобальная орбитальная устойчивость автономных проективных матричных уравнений Риккати.

Рассмотрим автономное однородное проективное матричное уравнение Риккати

з=1

обыкновенное при т = 1 и вполне разрешимое при т > 1, где постоянные квадратные матрицы А3 = \\агкз || размер а п состоят из элементов агкз Е К, г = 1,п + 1, к = 1,п + 1, ] = 1, т. Общее решение автономного однородного проективного матричного уравнение Риккати (1.9) определяет тривиальное накрывающее слоение на многообразии КРп х Кт. В силу следствия 1.1 автономное однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.9) глобально топологически неустойчиво.

Определение 1.9. Автономное однородное проективное м,ат,ри,чное уравнение Риккати (1.9) будем, называть глобально орбитально устойчивым, если замыкание любой ее отличной, от точки орбиты содержит, все состояния равновесия этого уравнения из пространств а КРп.

т

(1.9)

Дифференциальные уравнения и процессы управления, IV. 4, 2004 т > 1

нение Риккати (1.9) вполне разрешимо, то матрицы А3, ] = 1,т, в совокупности перестановочны, и его фундаментальная система решений имеет вид

т т \ _

ехр(^ А3 г3]. Матрнцы ехр А3, ] = 1,т, образуют дробно-линейную фа-4=1 ;

СРЬ(п)

утверждения.

Теорема 1.9 [26]. Для того, чтобы вещественное однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.9) с изолированными состояниям,и равновесия было глобально орбитально устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы матрицы ехр А3, ] = 1,т, определяющие вещественную фазовую группу СРЬ1(п), имели только вещественные собственные значения, и фазовые матрицы фазовых групп СЬ1(п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

Теорема 2.9 [26]. Для того, чтобы комплексное однородное проективное матричное уравнение Риккати (1.9) с изолированным,и состояниям,и равновесия, было глобально орбитально устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы фазовые матрицы фазовых групп СЬ1 (п)(Мт), т = 1,п + 1, являлись матрицами Пуанкаре.

Литература

[1] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.; Л.: ОГИЗ, 1947. - 392 с.

| Reeb G. Sur certaines properiètès topologiques des variétés feuilletés. -Paris: Herman, 1952. - 301 p.

[3] Новиков С. П. Топология слоений // Тр. Моск. мат. об пи. - 1965. -Т. 14. - С. 248 - 278.

[4] Тамура И. Топология слоений. - М.: Мир, 1979. - 319 с.

[5] Петровский И. Г., Ландис Е. М. О числе предельных циклов уравнения dy P(x, y)

= —-- где P и Q — многочлены второй степени Матем. сб. - 1955.

dx Q(x,y )

- T. 37, вып. 2. - С. 209 - 250.

[6] Ильяшенко Ю. С. Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной проективной плоскости // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - 1978. - Вып. 4. - С. 83 - 136.

[7] Ладис H.H. Об интегральных кривых комплексного однородного урав-

нения // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, № 2. - С. 246 - 251.

[8] Camacho С., Sad P. Topological classification and bifurcations of holomorphic flows with resonances in C2 // Invent, math. - 1982. - V. 67. -P. 447 _ 472.

[9] Вайсборд Э. M. Об эквивалентности систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Научн. доклады высшей школы (физ. мат. науки). - 1958. Л'° 1. С. 37 - 42.

[10] Дыманов Р. Г. О топологической классификации линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6, № 12. - С. 2270 - 2272.

[11] Ладис Н. Н. Топологическая эквивалентность линейных потоков // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т. 9, № 7. - С. 1222 - 1235.

[12] Ладис Н. Н. Топологическая эквивалентность линейных действийR2 на Rn // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 3. - С. 443 - 448.

[13] Рейзинь А. И. Классификация особых точек линейных систем в полных дифференциалах // Дифференц. уравнения. - 1967. - Т. 3, № 8. - С. 1282 _ 1291.

[14] Перов А. И., Эгле И. Ю. Топологическая классификация точек многомерного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами // Латв. мат ежегодник. - 1976. - Вып. 19. - С. 162 - 179.

[15] Guckenheimer J. Hartman's theorem for complex flows in the Poincare domain // Compos, math. - 1972. - V. 24, № 1. P. 75 82.

[16] Ладис H.H. Топологические инварианты комплексных линейных потоков // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12, № 12. - С. 2159 - 2169.

[17] Ладис Н. Н. Топологическая эквивалентность гиперболических линейных систем // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 2. - С. 255 -265.

[18] Ильяшенко Ю. С. Замечания о топологии особых точек аналитических дифференциальных уравнений в комплексной области и теорема Ладиса // Функц. анализ и его приложения. - 1977. - Т. 11, № 2. С. 28 38.

[19] Camacho С., Kuiper N. Н., Palis J. The topology of holomorphic flows with singularity. 1 // Publ. Math. IHES, Paris. - 1978. - V. 48. - P. 5 - 38.

[20] Горбузов В. H., Тыгценко В. Ю. Об эквивалентности слоений линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 12. - С. 1596 - 1599.

[21] Худи и Воронов М. О. Об одном свойстве решений одного дифференциального уравнения // Матем. сборник. - 1962. - Т. 56, № 3. - С. 301 -308.

[22] Ладис Н. Н. Топологическая эквивалентность неавтономных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 5. - С. 951 - 953.

[23] Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения. - Минск.: Университетское, 1985. - 142 с.

[24] Горбузов В. Н., Тыгценко В. Ю. R-голоморфпые решения уравнения в полных дифференциалах // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35, № 4. -С. 447 - 452.

[25] Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear differential equations // Lect. Notes in Pliys. - 1983. - V. 189. - P. 263 - 331.

[26] Тыгценко В. Ю. О топологических характеристиках проективного матричного уравнения Риккати // Вестник Гроднен. ГУ. Сер. 2. - 2006. - № 1. - С. 20-28.

[27] Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 4. Т. 6. Теория аналитических функций комплексного переменного. - Минск: Вышэйшая школа, 2008. - 319 с.

[28] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 549 с.

[29] Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. - М., Л.: ГИТТЛ, 1948. - 408 с.

[30] Тыгценко В. Ю. О сопряженностях комплексных линейных и дробно-линейных действий // Вестник В ГУ. Сер. 1. - 2007. Л'° 3. С. 96 - 101.

[31] Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. - Минск: Наука и техника, 1983. - 272 с.

[32] Кононов С. Г., Прасолов А. В., Тимохович В. Л., Тралле А. Е., Фе-денко А. С. Топология (под общ. ред. Феденко А. С.). - Минск: Вышэйшая школа, 1990. - 318 с.

[33] Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. - М.: МЦНМО, 2000. - 120 с.

[34] Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 456 с.

[35] Тыгценко В. Ю. Об эквивалентности комплексных многомерных уравнений Риккати с периодическими коэффициентами // Известия НАН Бела-

руси. Сер. физ.-мат. наук. - 2005. - № 4. - С. 119 - 120.

[36] Gorbuzov V. N., Tyshchenko V. Yu. On the embeddability of foliations of

the Riccati equations // Buletinul AS Moldova. Matematica. - 1998. - № 3 (28). _ p. 49 _ 56.

[37] Тыщенко В. Ю. Классификация уравнений Риккати с неабелевыми группами голономии // Вестник БГУ. Сер. 1. - 2007. Л'° 1. С. 82 - 86.

[38] Тыщенко В. Ю. Эквивалентность уравнений Риккати с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 4. - С. 565 - 567.

[39] Василевич Н. Д. Линейные уравнения Пфаффа // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. № 3. - С. 520 - 523.