CC BY
8
УДК 514.7
doi:10.21685/2072-3040-2021-1-5
Базовые автоморфизмы картановых слоений, накрытых расслоениями
К. И. Шеина
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Нижний Новгород, Россия
Аннотация. Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию групп базовых автоморфизмов AB (M, F) картановых слоений (M, F), накрытых расслоениями, и нахождению достаточных условий для существования в Ab (M, F) структуры конечномерной группы Ли. Класс картановых слоений, накрытых расслоениями, достаточно широк, он содержит, в частности, картановы (X, G) -слоения со связностью Эре-смана, картановы слоения с нулевой трансверсальной кривизной, а также картановы слоения с интегрируемой связностью Эресмана. Материалы и методы. В работе использованы методы слоеных расслоений и накрывающих отображений. Результаты. Найдены достаточные условия для того, чтобы группа базовых автоморфизмов кар-танова слоения, накрытого расслоением, допускала структуру конечномерной группы Ли. Получены оценки размерности данной группы. Более того, для картановых слоенией с интегрируемой связностью Эресмана указан способ вычисления групп базовых автоморфизмов. Выводы. Структура групп базовых автоморфизмов картано-вых слоений, накрытых расслоениями, определяется структурой глобальной группы голономии таких слоений.
Ключевые слова: картаново слоение, базовые автоморфизмы, связность Эресмана
Благодарности: автор выражает благодарность Н. И. Жуковой за полезные обсуждения и замечания.
Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-15-2009-1931.
Для цитирования: Шеина К. И. Базовые автоморфизмы картановых слоений, накрытых расслоениями // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1. С. 49-65. doi:10.21685/2072-3040-2021-1-5
Basic automorphisms of cartan foliations covered by fibrations
K.I. Sheina
National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod, Russia
Abstract. Background. This work is devoted to the study of basic automorphisms AB (M, F ) groups of Cartan foliations (M, F ) covered by fibrations, and to finding sufficient conditions for the existence of a finite-dimensional Lie group structure in Ab (M, F). The class of Cartan foliations covered by fibrations is quite wide; it contains, in particular,
© Шеина К. И., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Cartan (X, G) -foliations with Ehresmann connections, Cartan foliations with a vanishing transversal curvature, and Cartan foliations with integrable Ehresmann connection. Methods. We used the methods of foliated bundles and covering maps in this research. Results. We get sufficient conditions for the basic automorphism group of Cartan foliation covered by fibrations to admit a finite-dimensional Lie group structure in the category of Cartan foliations. Estimates of this group dimension are obtained. Moreover, for Cartan foliations with integrable Ehresmann connection, a method for computing groups of basic automorphisms is specified. Conclusions. The structure of basic automorphisms groups of Cartan foliations covered by fibration is determined by the structure of the global holonomy group of such foliations.
Keywords: cartan foliation, basic automorphism, Ehresmann connection Acknowledgments: the author extends gratitude to N.I. Zhukova for the useful discussion and remarks. The work was financed by the Laboratory of Dynamic Systems and Applications of HSE University, a grant of the Ministry of Science and Higher Education, agreement No. 075-15-2009-1931
For citation: Sheina K.I. Basic automorphisms of cartan foliations covered by fibrations.
Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;1:49-65. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-1-5
Введение
Одним из основных объектов, ассоциированных с геометрической структурой на гладком многообразии, является его группа автоморфизмов. Во введении к монографии Ш. Кобаяси [1] подчеркнуто, что существование структуры конечномерной группы Ли в группе автоморфизмов многообразия с геометрической структурой является одной из центральных проблем дифференциальной геометрии.
Как известно, решенная 5-я проблема Гильберта посвящена нахождению условий, при которых топологическая группа допускает структуру группы Ли [2]. Из многочисленных работ Э. Картана, Р. Майера, H. Стинрода, К. Номидзу, Ш. Кабаяси, Ш. Эресмана и других авторов известно, что группы автоморфизмов многих геометрических структур являются группами Ли преобразований (см. обзор [3]).
Пространства, которые сейчас называются картановыми геометриями, были введены Э. Картаном в 1920-х гг. Теория картановых геометрий изложена в монографиях А. Чапа, Я. Словака [4], Р. В. Шарпе [5], М. Крампина и Д. Саундерса [6]. В настоящее время картановы геометрии и картановы слоения исследуются многими математиками и находят применение в различных физических теориях (см. например, [7-10]).
Пусть (M,F) - гладкое слоение. Напомним, что голономно инвариантная геометрическая структура на многообразии M называется трансверсаль-ной к слоению (M, F). Другое, эквивалентное определение трансверсальной геометрической структуры, в качестве которой выступает картанова геометрия, дано в разд. 1. В теории слоений с трансверсальными картановыми геометриями в качестве морфизмов рассматриваются локальные диффеоморфизмы, переводящие слои в слои и сохраняющие трансверсальную геометрию (см. раздел 1). Категория картановых слоений обозначается через C3 .
Данная работа посвящена исследованию групп автоморфизмов карта-новых слоений, т.е. слоений, допускающих в качестве трансверсальной
структуры картанову геометрию. Изучение картановых слоений мотивировано тем, что такие широкие классы слоений, как параболические, конформные, проективные, псевдоримановы, лоренцевы, вейлевы, трансверсально однородные слоения и слоения с трансверсальной линейной связностью, - принадлежат к классу картановых слоений. Поэтому исследование картановых слоений позволяет с единой точки зрения изучать общие свойства указанных слоений, в то время как многие авторы изучают их по отдельности.
Пусть A(M, F) - полная группа автоморфизмов картанова слоения
(M,F) в категории C3 . Группа AL(M,F) :={ f e A(M,F) | f (La) = La VLae F} является нормальной подгруппой A(M, F) и называется группой слоевых автоморфизмов слоения (M, F). Факторгруппа A(M, F)/ Al (M, F) называется группой базовых автоморфизмов и обозначается через AB (M, F). Подчеркнем, что группа базовых автоморфизмов Aß (M, F) картанова слоения (M, F ) является инвариантом в категории картановых слоений CF.
Мы исследуем группы базовых автоморфизмов Aß (M, F) картановых слоений (M, F) , накрытых расслоением, и находим достаточные условия для существования в группе Aß (M, F) структуры конечномерной группы Ли. Дж. Лесли, впервые решил подобную задачу для гладких слоений на компактных многообразиях и рассмотрел приложение к слоениям с трансвер-сальной G -структурой. Для слоений с полными трансверсально проектируемыми аффинными связностями данная проблема решалась И. В. Белько [11]. Группы базовых автоморфизмов полных слоений с эффективными трансвер-сальными жесткими геометриями исследованы Н. И. Жуковой [12], ею введен алгебраический инвариант, названный структурной алгеброй Ли слоения, и доказано, что равенство данного инварианта нулю является достаточным условием для того, чтобы группа базовых автоморфизмов данного класса слоений допускала структуру конечномерной группы Ли. В статье [13] исследовалось существование структуры группы Ли в группах базовых автоморфизмов картановых слоений, моделируемых на неэффективных картано-вых геометриях.
1. Основные результаты
Среди картановых слоений выделяются слоения, накрытые расслоениями.
Определение 1. Слоение (M, F) называется накрытым расслоением, если слоение (M, F), индуцированное на пространстве универсального накрывающего отображения k : M ^ M , образовано слоями локально тривиального расслоения r : M ^ ß .
Следующая теорема описывает глобальную структуру картанова слоения, накрытого расслоением.
Теорема 1. Пусть (M, F) - картаново слоение, моделируемое на кар-
тановой геометрии накрытое расслоением r : M ^ ß, где k : M ^ M -универсальное накрытие. Тогда:
1) существует регулярное накрывающее отображение k : M ^ M такое, что индуцированное слоение F образовано слоями локально тривиального расслоения r : M ^ B над односвязным многообразием B, причем ^ индуцирует на B картанову геометрию п , локально изоморфную ^ ;
2) определен эпиморфизм % : п (M, x) ^ ¥, x е M, фундаментальной группы nj(M, x) на подгруппу ¥ группы Ли автоморфизмов Aut(B, п) кар-танова многообразия (B, п) ;
3) группа накрывающих преобразований накрытия k : M ^ M изоморфна группе ¥.
Определение 2. Группа ¥ = ¥(M, F), удовлетворяющая теореме 1, называется глобальной группой голономии картанова слоения (M,F), накрытого расслоением.
Мы приводим подробное доказательство следующей теоремы, приведенной без доказательства в статье [13, Proposition 8]. Эта теорема устанавливает связь между группой базовых автоморфизмов Ab (M, F) картанова слоения (M, F), накрытого расслоением, и его глобальной группой голономии ¥.
Теорема 2. Пусть (M, F ) - картаново слоение, накрытое расслоением
r : M ^ B , где B - односвязное картаново многообразие. Предположим, что глобальная группа голономии ¥ является дискретной подгруппой группы Ли Aut(B, п) . Пусть N(¥) - нормализатор ¥ в группе Aut(В,п) . Тогда
группа базовых автоморфизмов Ab (M, F) является группой Ли изоморфной открыто-замкнутой подгруппе Ли фактор-группы N (¥ ) / ¥ и dim( Ab (M, F)) = dim(N(¥)/ ¥). Структура группы Ли в группе Ab (M, F) единственна.
Следующая теорема указывает способ вычисления групп базовых автоморфизмов для картановых слоений с интегрируемой связностью Эресмана.
Теорема 3. Пусть (M ,F ) - картаново слоение с интегрируемой связностью Эресмана Q . Тогда:
1) существует регулярное накрытие k : M ^ M такое, что M = Lq X В , где Lq - многообразие, диффеоморфное любому слою с тривиальной группой голономии, а B - односвязное многообразие, причем индуцированное слоение F = k * F образовано слоями канонической проекции r : Lq X В ^ В на второй сомножитель, а на B индуцирована картанова геометрия п , относительно которой k - морфизм картановых слоений (M, F) и (M, F) ;
2) слоение (M, F) является (Aut(В, п), В)-слоением;
3) если, кроме того, глобальная группа голономии ¥ является дискретной подгруппой группы Ли Aut ( В, п) и нормализатор N (¥) равен централизатору Z(¥) группы ¥ в Aut(В, п), то имеет место равенство AB (M, F) = N(¥)/ ¥ .
Используя теорему 3, мы строим пример вычисления группы базовых автоморфизмов некоторого конформного слоения произвольной коразмерности q , где q > 3 на (q +1) -мерном многообразии. Другие примеры построены в [13].
2. Категория картановых слоений
Категория картановых геометрий. Пусть G и H - группы Ли с алгебрами Ли р и Й соответственно, причем H - замкнутая подгруппа в G. Главное H -расслоение P(N, H) над гладким многообразием N с проекцией
p: P ^ N и р-значной 1-формой юеП1(P, р) называется картановой геометрией на N типа (G,H), если выполнены следующие условия:
ci) отображение wu : TuP ^р Vu е P - изоморфизм векторных пространств;
& * С2) w(A ) = A для любого A е Й, где A - фундаментальное векторное
поле;
* — 1
Сз) форма w является H -эквивариантной, т.е. Rhw = AdG(h )w для каждого h е H , где AdG : H ^ GL (р) - присоединенное представление подгруппы Ли H с G в алгебре Ли р. При этом р-значная форма w называется картановой связностью. Будем обозначать картанову геометрию типа (G,H) через q = (P(N,H), w). Пара (N,q) - картаново многообразие.
Максимальная нормальная подгруппа K группы G, содержащаяся в H , называется ядром пары (G, H). Обозначим алгебру Ли группы K через к. Картанова геометрия q = (P(N, H), w) типа (G, H), моделируемая на паре групп Ли (G, H), называется эффективной, если ядро K пары (G, H) тривиально. Далее предполагаем, что все рассматриваемые картановы геометрии являются эффективными.
Пусть q = (P( N, H), w) и q' = (P'( N', H), ю') - две картановых геометрии со структурной группой H. Морфизмом из q в q' называют гладкое отображение Г:P ^P', для которого Гю' = ю и Ra °Г = Г оRa , aе H . Категорию картановых геометрий обозначим через Car . Если Ге Mor (q, q'), тогда проекция у: N ^ N' определена равенством p' ° Г = у о p, где p: P ^ N и p : P' ^ N' - проекции, соответствующие H -расслоениям.
Проекция у называется автоморфизмом картановых многообразий (N, q) и (N',q'). Обозначим через Aut(N, q) группу всех автоморфизмов
картанова многообразия (N, q), а через A(q) - группу всех автоморфизмов
*
картановой геометрии q . Пусть A(P, w) := {Ге Diff (P) | Г w = w} - группа автоморфизмов параллелизуемого многообразия (P, w), которая, как известно, является группой Ли, причем dim( A( P, w)) < dim P. Заметим, что A(q) = {Ге A(P, w)| Ra о Г = Г о Ra} - замкнутая подгруппа группы Ли A(P, w). Следовательно, A(q) является группой Ли, причем определено отображение а: A(q) ^ Aut(N, q): Г ^ у, где у - проекция автоморфизма Г
на N, которое в силу эффективности картановой геометрии является изоморфизмом групп Ли.
Картановы слоения. Пусть N - гладкое ^-мерное, возможно не связное, многообразие; М - гладкое «-мерное многообразие, где 0 < q < п . Предположим, что многообразие N наделено картановой геометрией ^ = (Р(N,Н), ю). Пусть р : Р ^ N - проекция Н -расслоения. На каждом открытом подмножестве V с N индуцирована картанова структура & = р (V, Н), Щ/) типа О, Н) такая, что PV := р"1^) и Щ/ :=ю р .
Напомним, что (N, -коциклом на М называется семейство £ = {Ц-,,{у„}}г- jeJ , удовлетворяющее следующим условиям:
1) {и-1 г е J} - открытое покрытие многообразия М открытыми связными подмножествами и- из М, а : и ^ N - субмерсии со связными слоями;
2) если и- п Uj Ф0, г, j е J, то существует изоморфизм Г у : ^/ (и. пи ■) ^^ /■ (и-пи ■) картановых геометрий, индуцированных на открытых подмножествах /у (и- п Цу) и (и. п Цу) такой, что проекция у■ изоморфизма Г у удовлетворяет равенству ^ = угу о /у на и. п Цу Ф 0,
г, ■ е J;
3) если и. п Цу п и^ Ф0, г, у,к е J, то угу о у= уг£ для любого хе ц п цу п ик и уй = idиг .
Два (N, -коцикла называются эквивалентными, если существует (N, -коцикл, содержащий оба этих коцикла.
Пусть
{и , /г- ДУу }}.
- класс эквивалентности (N, -коцикла на
Ч УеJ
многообразии М , содержащий коцикл £ . Класс эквивалентности (N, -коциклов задает картаново слоение на многообразии М , следующим образом. Пусть семейство X = {| V е V,- е J} образует базу некоторой топологии т в М . Компоненты линейной связности топологического пространства (М, т) образуют разбиение ^ := {Ьа | ае J} многообразия М . Пара (М, ^) называется картановым слоением коразмерности q моделируемым на картановой геометрии ^ = (Р(N, Н), ю), которая называется транс-версальной для слоения (М,^). Подмножество Ьа | ае J называются слоями слоения (М,Е). При этом говорят, что (М,^) задано (N,-коциклом £ .
Морфизмы картановых слоений. Пусть (М,^) и (М',^') - картановы слоения, определенные (N,-коциклом £ = {Ц,,{угу}} и (N/,-
коциклом £' = {и',/',{Уу}} соответственно. Все объекты, относящиеся к £', отмечены штрихом.
Пусть /: М ^ М' - гладкое отображение, которое является изоморфизмом в категории 3^-. Следовательно, для любых хеМ и у:=/(х) существуют окрестности Ук э х и У э у из ^ и соответственно и диффеоморфизм ф: Ук ^ V' , где Ук := /к (Ук) и У' := /' (У') удовлетворяют соотношениям /Ук) = У' и ф о /к = /' ° / У . Далее мы будем использовать
следующие обозначения: Рк := Р Ук , Ря' := Р' \у, и Рк := р \рк , р \ := р .
Говорят, что / сохраняет трансверсальную картанову геометрию, если каждый такой диффеоморфизм ф: Ук ^ У' является изоморфизмом индуцированных картановых геометрий (Ук,Ъук) и ), т.е. если существует
изоморфизм Ф : Рк ^ Р' в категории Саг, удовлетворяющий коммутативной диаграмме (рис. 1).
Pk
Рис. 1
Подчеркнем, что в силу эффективности трансверсальной картановой геометрии с данной проекцией ф существует единственный изоморфизм
Ф: Рк ^ Р' в категории Саг . Данное определение Ф корректно, т.е. не зависит от выбора окрестностей Ук и У' из ^ и .
Определение 3. Под морфизмом двух картановых слоений (М, Р) и (М', Р') понимается локальный диффеоморфизм /: М ^ М', отображающий слои в слои и сохраняющий трансверсальную картанову структуру. Категория С3 , объектами в которой являются картановы слоения, а морфизма-ми - морфизмы картановых слоений, называется категорией картановых слоений.
3. Связность Эресмана для слоений
Слоения со связностью Эресмана. Р. А. Блюменталь и Дж. Дж. Хе-бда [14] ввели понятие связности Эресмана для слоения (М, Р) как естественное обобщение связности Эресмана для субмерсий. Пусть (М, Р) -слоение коразмерности д; Q - гладкое д -мерное распределение на М, трансверсальное к слоению Р . Кусочно-гладкие интегральные кривые распределения Q называются горизонтальными, а кусочно-гладкие кривые в
слое называются вертикальными. Кусочно-гладкое отображение Н квадрата
Ij XI2 в M называется вертикально-горизонтальной гомотопией, если кривая H |{s}Xi2 является вертикальной для любого s e Ij и кривая H lijX{t} является горизонтальной для любого t е I2. В этом случае пара путей (H Ii1x{0} ; H |{0}xI2 ) называется базой H .
Известно, что существует не более одной вертикально-горизонтальной гомотопии с данной базой. Распределение Q называется связностью Эре-смана для слоения (M,F), если для любой пары путей (g, h) в M с общей начальной точкой g(0) = h(0), где g - горизонтальная кривая, а h - вертикальная кривая, существует вертикально-горизонтальная гомотопия H с базой (g, h).
Простое слоение со связностью Эресмана. Пусть f.M^N - субмерсия со связными слоям. Напомним, что слоение F = {p j(z), z е N} , образованное слоями субмерсии, называется простым слоением. Пусть (M,F) - произвольное гладкое слоение связностью Эресмана. Если существует его накрытие k: M ^ M такое, что поднятое слоение (M, F) является простым, то слоение (M, F) накрыто расслоением.
4. Классы слоений, накрытых расслоениями
(X, G) -слоения со связностью Эресмана. Пусть X - гладкое связное многообразие, G - группа Ли диффеоморфизмов многообразия X. Напомним, что действие группы G на многообразии X называется квазианалитическим, если для любого открытого подмножества U с X и элемента g е G равенство g U = id U влечет g = e, где e - тождественное преобразование в X .
Предположим, что группа диффеоморфизмов G многообразия X действует на N квазианалитически. Слоение (M, F), заданное (N, -коциклом
{Ui, fi,{yij}} , называется (X,G) -слоением, если для каждого L n, jeJ
Ui n Uj /0, i, j e J существует элемент g e G, удовлетворяющий равенству Yj = g | f j u nUj ). Если, кроме того, (X, - картаново многообразие и группа G - подгруппа группы автоморфизмов Aut(X, , то (M, F) - карта-ново (X,G) -слоение. Из работы [7, раздел VI] следует, что картановы (X, G) -слоения со связностью Эресмана накрыты расслоениями.
Картановы слоения с нулевой трансверсальной кривизной. Карта-ново слоение (M, F) типа (G, H), трансверсальная картанова кривизна которого равна нулю, является (G, G / H) -слоением и, если слоение (M, F) имеет связность Эресмана, оно накрыто расслоением. Следовательно, все полученные результаты справедливы для картановых слоений с нулевой трансверсальной кривизной, допускающих связность Эресмана.
Конформные слоения коразмерности q , q > 3. Согласно [12, теорема 5] любое конформное слоение коразмерности q, q > 3, не являющееся
римановым слоением и обладающее связностью Эресмана, накрыто расслоением и поэтому входит в класс исследуемых слоений.
Слоения с интегрируемой связностью Эресмана. Напомним, что связность Эресмана Q для слоения (М,Р) называется интегрируемой, если интегрируемо распределение Q . Слоения с интегрируемой связностью Эресмана накрыты расслоениями и входят в исследуемый нами класс слоений.
Надстроечные слоения. Конструкция надстроечного слоения предложена А. Хефлигером и подробно описана в [15]. Заметим, что надстроечные слоения образуют класс слоений с интегрируемой связностью Эресмана и накрыты расслоениями.
Картаново слоение коразмерности д = 1. Любое гладкое одномерное распределение интегрируемо, поэтому картаново слоение (М, Р) коразмерности 1, допускающие связность Эресмана, накрыто расслоением.
5. Доказательство основных теорем
Регулярные накрывающие отображения
Определение 4. Пусть /: М ^ В - субмерсия. Говорят, что д, И е Б1//(М), лежит над И е Б1//(В) относительно / , если И ° / = / ° И .
Пусть к: К ^ К - универсальное накрывающее отображение, где К и К - гладкие многообразия. По аналогии с теоремой 28.10 из [16] нетрудно показать, что для любого И е Di//(К) существует диффеоморфизм
И е Di//(К), лежащий над И . Для произвольного накрывающего отображения аналогичное утверждение, вообще говоря, не верно. Нетрудно доказать следующий критерий существования поднятий произвольных диффеоморфизмов относительно регулярных накрытий.
Предложение 1. Пусть к: К ^ К - гладкое регулярное накрывающее отображение с группой накрывающих преобразований Г. Диффеоморфизм И е Di//(К) лежит над некоторым диффеоморфизмом И е Di//(К) тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет равенству Г о И = И о Г.
Доказательство теоремы 1. Предположим, что (М, Р) - картаново слоение, моделируемое на эффективной картановой геометрии ^ = (Р(N, Н), ю), накрыто расслоением г : М ^ В , и к: М ^ М - универсальное накрытие. Расслоение г :М ^ В имеет связные слои и односвязное многообразие М . Применяя точную гомотопическую последовательность для этого расслоения, мы получаем, что его базовое многообразие В также односвязно.
Для произвольной точки Ь е В рассмотрим у е г-1(Ь) и х = к(у). Не нарушая общности, считаем, что существует окрестность У, х е У, из (N, -коцикла {У, , [у„} I , задающего слоение (М, Р), и окрестность
У, у е у, такая, что к У : у ^ У^ - диффеоморфизм.
Пусть Vi := r(Uj). Тогда определен диффеоморфизм ф: Vi ^ V, удовлетворяющий равенству ф о r \ц = f, ° к\ц . Подчеркнем, что диффеоморфизм ф
индуцированной картановой геометрии Г|у. на Vj будет также изоморфизмом
(Vj,r\y) и (I). с j - ) в категории картановых геометрий Саг. Прямая проверка
Vi i
показывает, что определенная на B геометрия п является картановой, причем
П \у = Пу,iе J . Таким образом, утверждение (1) доказано.
Vi V i
Зафиксируем точки х0 е M и j0 е к_1(хо)е M . Тогда фундаментальная группа nj(M, Хо) действует на универсальном накрывающем пространстве M как группа накрывающих преобразований G = п (M, Хо) накрытия к . Так как G сохраняет индуцированное слоение (M, F), образованное слоями расслоения r : M ^ B, то каждое преобразование уе G определяет диффеоморфизм фе Diff (B) многообразия B, удовлетворяющий равенству го у = у о r . Отображение %: G у ^ у - эпиморфизм групп и утверждение (2) доказано.
Заметим, что G - подгруппа группы автоморфизмов A(M, F) слоения (M,F) в категории Следовательно ¥ - подгруппа группы автоморфизмов Aut{B,r|) в категории картановых геометрий £дг. Дцро ker(%) отображения % определяет фактор-многообразие М:=M /ker(%) с фактор-отображением к:M ^M и фактор-группой G := G/ker(%) такой, что M = M / G . Фактор-отображение к: M ^ M - регулярное накрывающее отображение, причем G действует на M как группа накрывающих преобразований. Отображение 0: G : у-ker(%) ^%(у), уе G, - изоморфизм
групп, (3) доказано. |
Слоеное расслоение. Пусть (M, F) - картаново слоение, моделируемое на картановой геометрии ^ = (P( N, H), ю) типа (G, H). Тогда определено главное H -расслоение с проекцией п: К ^ M, H -инвариантное слоение (К, 3) и ^-значная H -эквивариантная 1-форма в на К, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) в(A ) = A для любого A е Й;
(ii) отображение Р„ : ТИЭХ —» д . иеЭХ. сюръективно, причем кег((3г,)=гг,3;
(iii) слоение (К, 3) - трансверсально параллелизуемое;
(iv) Lx в = 0 для каждого векторного поля X, касательного к слоению
(Я 3).
Главное H -расслоение K(M, H) называется слоеным расслоением, а слоение (К, 3) поднятым слоением для картанова слоения (M, F).
Если поднятое слоение (9, 3) образовано слоями локально тривиального расслоения пь :9 ^Ж, то Ж = 9 /3 - гладкое многообразие, на кото-
~ * ~
ром индуцированы ^-значная 1-форма в, причем пьв :=в, и локально свободное действие группы Ли Н на Ж . При этом (Ж,в) - параллелизуемое
многообразие и А(Ж, в) - группа Ли его автоморфизмов, свободно действу-
Н ~
ющая на Ж . Далее, через А (Ж,в) обозначается замкнутая подгруппа Ли группы Ли А(Ж, в), образованная преобразованиями, коммутирующими с индуцированным действием группы Ли Н на Ж.
Доказательство теоремы 2. Предположим, что картаново слоение (М, Р) накрыто расслоением. Тогда, слоение (М, Р), индуцированное на
пространстве универсального накрывающего отображения 1с : М ^М , определено слоями локально тривиального расслоения г : М ^ В . Благодаря теореме 1 определены регулярное накрывающее отображение к: М ^ М и локально тривиальное расслоение г: М ^ В , причем В - односвязное многообразие с индуцированной картановой геометрией п . Пусть ¥ - глобальная группа голономии слоения (М, Р), тогда ¥ изоморфна группе накрывающих преобразований О накрытия к : М ^ М . Так как многообразие М одно-связно, то существует универсальное накрывающее отображение кг: М ^ М, удовлетворяющее равенству к о 1с = 1с . Пусть О , О и (О - группы накрывающих преобразований для накрывающих отображений 1с , к и 1с соответственно, причем ¥ = О = О / (О .
Рассмотрим следующие прообразы Н -расслоения 9 относительно 1с и к :
& := [(х, и) е М х9 \ к( х) = п(и)} = 1*9 и := [(х, и) е М х9 \ к (х) = п(и)} = к .
Заметим, что
0:(х,и)^(к(х),и) У(х,и)е9, 0 :=99 :(х, и) ^ (к (х), и) У( х, и) е99,
0:=9^9:(х, и) ^ (к(х), и) У(х, и) е9 -
регулярные накрывающие отображения с группами накрывающих преобразований О , О и О соответственно. Более того, Г = О , Г = О и Iе = О .
Пусть (9,3) и (99,3) соответствующие поднятые слоения. Так как (М, Р) и (М, Рс) являются простыми слоениями, то (9,3) и (9,3) также простые слоения, которые образованы локально тривиальными расслоениями пЬ :Ж и пЬ :99 ^Ж. Следовательно, £0(9,3) = 0, £0(99,33) = 0 и Ж = 9/ 3, Ж = 99 / - гладкие многообразия. Так как расслоения г : М ^ В
и г : М ^ В имеют одинаковую базу В, то каждый слой слоения (М, Р) инвариантен относительно действия группы О , т.е. О с А^(М,Р). Поэтому Г с АI (9,3) и пространства слоев 9 /3= Ж и 3/ 3 = Ж совпадают, т.е. Ж = ЖТ. Следовательно, группы базовых автоморфизмов Ав (3,3) и
Ав (3,33) могут быть отождествлены, т.е. Ав (3,3) = Ав(3,3).
Согласно условиям доказываемой теоремы ¥ - дискретная подгруппа группы Ли Аш(В, п) • Пусть N(¥) - нормализатор ¥ в группе Ли Аш(В, п) • Тогда N(¥) - замкнутая подгруппа Ли группы Ли Аш(В,п), фактор-группа N(¥) / ¥ также является группой Ли.
Пусть п: 3 ^ М - проекция слоеного расслоения над (М, Р). Благодаря дискретности глобальной группы голономии ¥ в группе Ли Аш(В,п)
поднятое слоение (3,3) образовано слоями некоторого локально тривиального расслоения п^ : 3 ^ Ж, которое называется базовым. Подчеркнем, что существует отображение т: Ж ^ Ж, удовлетворяющее равенству т ° Пь =0 ° пь . Непосредственная проверка показывает, что т: Ж ^ Ж - регулярное накрывающее отображение с группой накрывающих преобразований Ф, Фс Ан {Ж, |3) , причем Ф естественным образом изоморфна группам ¥ , О и Г •
Обозначим через п = (Р(В, Н), ю) картанову геометрию с проекцией р : Р ^ В на В, определенную в доказательстве теоремы 1. Заметим, что Ж = Р - пространство главного Н -расслоения для картановой геометрии п. Так как к: М ^ М, 0: 3 ^ 3 и п: 3 ^ М - морфизмы следующих слоений к\{М,Р)^{М,Р), 0:(3,3) —>(3,3) и л:(3,3) —>(М,3) в категории слоений то определены отображения т: В ^М/Р и 5 : Ж ^ Ж/Н = М/Р, причем коммутативна диаграмма (рис. 2).
Рис. 2
Как доказано в [13, теорема 1], существуют изоморфизмы групп Ли: £: АВ (М,Р) ^ ш(е) с АН (Ж,р) и
£: АВ (М, Р) = АВ (М, Р) ^ ш(£) с АН (#,(в). Определим отображение ©: ш(£) ^ N(Ф) / Ф следующим образом. Возьмем произвольный элемент к е ¡ш(£) с АН (Ж, (). Обозначим элемент к е Ш(£) с АН (Ж, () через / • Аь (М, Р) е АВ (М, Р), где / е А(М,Р). Так как к: М ^ М - универсальное накрывающее отображение, то существует диффеоморфизм /е Di//(М), лежащий над / относительно. Заметим, что / е А(М, Р), тогда / • А^ (М, Р) е Ав (М, Р) . Рассмотрим
Л Л ~ _ _ Л Н Л Л Л
к:=£(/ • А^ (М, Р)) е ш(£) с А (ЖТ, (в). Прямая проверка показывает, что к лежит над к относительно т . Напомним, что Ф - группа накрывающих преобразований накрытия т :Ж ^ Ж . Применяя предложение 1, мы получаем, что к е N(Ф) и множество всех автоморфизмов ш(£), лежащих над к, равно множеству всех преобразований из класса к Ф. Положим ©(к) := к • Ф е N(Ф) / Ф . Проверка показывает, что отображение ©: ш(£) ^ N(Ф) / Ф - мономорфизм групп.
Эффективность картановой геометрии п = (Р(В, Н), ю) на В, где Л Н Л Л
Р = Ж, влечет существование изоморфизма групп Ли а: А (ЖТ, (в) ^
^ Аш(В, п). Заметим, что а(Ф) = ¥ и а^(Ф)) = N(¥), следовательно, существует индуцированный изоморфизм групп Ли а: ^Ф) / Ф ^ N(¥) / ¥ . Тогда композиция мономорфизмов групп Ли
5 :=а о © о £: Ав (М, Р) ^ N(¥)/ ¥
является требуемым мономорфизмом групп Ли. Благодаря единственности структуры группы Ли в группе базовых автоморфизмов Ав (М, Р) и [13, теорема 1] образ Ш(5) является открыто-замкнутой подгруппой фактор-группы ^¥)/¥ . ■
Доказательство теоремы 3.
1. Согласно условиям доказываемой теоремы 3 (М, Р) является Q -полным картановым слоением, причем распределение Q интегрируемо.
В этом случае существует д -мерное слоение (М, Рг) такое, что TРt = Q .
Пусть к:М ^М - универсальное накрывающее отображение. Из [15, предложение 2] известно, что в этом случае Q является интегрируемой связностью Эресмана для слоения (М, Р) .
Согласно теореме о разложении Касивабары [17] универсальное накрывающее многообразие равно произведению многообразий М = Q х В, где Q - универсальное накрывающее многообразие для любого слоя слоения (М, Р), а В - универсальное накрывающее многообразие для любого слоя
слоения (М, Р ). Определены индуцированные слоения Р := к Р =
= {б х( у}| У е В}, Р* := к Vг = {{г} X В | г е 0 , следовательно, (М, Р) накрыто расслоением 5 : б х В ^ б . Так же как и в доказательстве теоремы 1, на многообразии В индуцируется картанова геометрия п такая, что (М, Р) становится (Лш (В, п), В) -слоением.
2. Пусть ¥ - глобальная группа голономии этого слоения. Предположим, что нормализатор ^¥) равен централизатору Z(¥) группы ¥
в группе (Лм(В,п), В). Так как слоение (М, Р1) накрыто расслоением 5: б X В ^ б , то для него определена глобальная группа голономии ¥г.
Зафиксируем точки х0 е М и (г0, Уо) е к-1(х0) е М . Тогда фундаментальная группа П1(М, х) действует на универсальном накрывающем пространстве М = б X В как группа накрывающих преобразований О = п(М, х) накрытия к . Так как О сохраняет оба индуцированных слоения (М, Р) и (М, Рг), то каждый элемент § е О может быть записан в виде § = (уг, у), где уг - преобразование из подгруппы ¥г в Б///(0, уе ¥, причем §(г, у) = (уГ (г), у(у)), (г, у) е б X В . Отображения X: О : § = (уГ, у) ^ у
и X : О : § = (уГ, у) ^ уГ являются эпиморфизмами указанных групп.
Пусть к - любой элемент из класса смежности к ° ¥е N(¥). Так как N (¥) = Z (¥), то мы получаем следующую цепочку равенств
§ о (/¿б, к) = (уг, у) о (/¿^, к) = (уг о /¿^, у о к) =
(/¿^ о уг, к о у) = (/¿б, к) о (уг, у) = (/¿б, к) о §
для любого § = (уг,у) е О , т.е. О о (/¿д ,к) = (/¿д ,к) о О . Следовательно,
согласно предложению 1 диффеоморфизм к проектируется на М , т.е. существует такое преобразование к е О///(М), что (/¿б, к) лежит над к
относительно универсального накрытия к : М ^ М . Используя принадлежность (/¿б, к) е Л(М, Р), нетрудно проверить, что к е Л(М, Р). Следовательно, отображение £: Лв (М, Р) ^ N (¥) / ¥, заданное равенством £(к • Л^ (М, Р)) = к , является сюръективно. Таким образом, £ - изоморфизм групп Ли. |
6. Пример вычисления группы базовых автоморфизмов
Пусть - q -мерная стандартная сфера, где q > 3 . Отождествим с ^ и , где - бесконечно удаленная точка. Определим преобразование у: Sq ^ Sq равенством у(г) = Хг для любого г е Sq = ^ и , где X -
действительное число, причем 0 1. Обозначим через Conf (Sq) группу Ли всех конформных преобразований сферы Sq . Пусть ¥=< у >, подгруппа группы Conf (Sq), порожденная преобразованием у, и изоморфная Z. Определим действие группы целых чисел Z на произведении R1 X Sq равенством n(t, z) = (t - n, уn (z)) для любых n e Z, (t, z) e R1 X Z . Это действие свободное и собственно разрывное, поэтому определено многообразие орбит M = R1 Xz Sq и фактор-отображение f: R1 X Sq ^ M . Так как указанное действие сохраняет структуру произведения R1 X Sq , то определены два слоения (M, F) и (M, Fг), накрытые тривиальными расслоениями : R1 X Sq ^ Sq и pr^: R1 X Sq ^ R1 соответственно. Обозначим через %: R1 ^ S1 и
v: Sq ^ Sq / ¥ проекции на пространство орбит, а через r: M ^ M / F -проекцию на пространство слоев слоения (M, F). Наблюдения показывают,
что топологические пространства M / F и Sq / ¥ гомеоморфны и удовлетворяют коммутативной диаграмме (рис. 3), где p: M ^ S1 - проекция локально
тривиального расслоения, образованного слоями (M, F1). Так как многообразие M является пространством локально тривиального расслоения над окружностью S1 с компактным стандартным слоем Sq , то M - компактно.
Рис. 3
Распределение Q , касательное к слоям слоения (М, Р1) , является интегрируемой связностью Эресмана для слоения (М, Р). Слоение (М, Р) имеет два компактных слоя Ь и диффеоморфные окружности, любой другой слой Ь диффеоморфен прямой, а его замыкание равно объединению Ь и ¿1 и 1*2 . Подчеркнем, что (М, Р) - конфорное слоение, которое можно
рассматривать как картаново типа (О,Н), где О = Соп/(Зд), а Н - стационарная подгруппа группы Соп/(8д) в некоторой точке из . Как известно, Н = СО(д) к - полупрямое произведение конформной группы
СО(д) = Я+ х О(д) и нормальной абелевой подгруппы Яд . Заметим, что ¥ -глобальная группа голономии слоения (М, Р) , причем ¥ - дискретная подгруппа группы Ли Соп/ ).
Нетрудно проверить, что нормализатор группы ¥ равен N(¥) = R + XO(q) и совпадает и централизатором Z(¥). Применяя теорему 3, мы получаем, что группа базовых автоморфизмов Лв (M, F) является группой Ли, изоморфной фактор-группе N(¥) / ¥ = U(1) X O(q), где U(1) = . Таким образом, группа Ли базовых автоморфизмов Лв (M, F) изоморфна произведению групп Ли U(1) X O(q).
Список литературы
1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1995. - 384 с.
2. Скляренко E. Г. К пятой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. М. : Наука, 1969. С. 101-115.
3. Chu H., Kobayashi S. The automorphism group of a geometric structure // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. № 113. P. 141-150.
4. Cap A., Slovak J. Parabolic Geometries. I. Background and General Theory // Mathematical Surveys and Monographs, 154. American Mathematical Society. Providence, RI, 2009.
5. Sharpe R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Progpam. Graduate Texts in Mathematics. New York ; Springer-Verlag, 1997.
6. Crampin M., Saunders D. Cartan Geometries and their Symmetries, A Lie Algebroid Approach // ATLANTIS Press Atlantis Studies in Variational Geometry. 2016. Vol. 4.
7. Bazaikin Y. V., Galaev A. S, Zhukova N. Chaos in Cartan foliations // Chaos. 2020. Vol. 30. P. 1-9.
8. Pecastaing V. Om two theorems about local automorphisms of geometric structures // Ann. Int. Fourier, Grenoble. 2016. № 66 (1). P. 175-208.
9. Cap A., Caperl A., Gover A. R. and Hamm M. Holonomy reductions of Cartan geometries and curved orbit decompositions // Duke Math. J. 2014. Vol. 163. P. 1035-1070.
10. Jennen H. Cartan geometry of spacetimes with a nonconstant cosmological function A // arXiv:1406. 2621v2[gr-qc]. Physics. REV. D 90, 084046. 2014.
11. Белько И. В. Аффинные преобразования трансверсальной проектируемой связности на многообразии со слоением // Математический сборник. 1982. Т. 117, № 2. С. 181-195.
12. Zhukova N. I. Complete foliations with transverse rigid geometries and their basic automorphisms // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Ser. Math. Information Sci. Phys. 2009. № 2. P. 14-35.
13. Sheina K. I., Zhukova N. I. The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 2. P. 271-280.
14. Blumenthal R. A., Hebda J. J. Ehresmann connections for foliations // Indiana Univ. Math. J. 1984. Vol. 33, № 4. P. 597-611.
15. Жукова Н. И. Минимальные множества картановых слоений // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2007. Т. 256. C. 105-135.
16. Busemann H. The geometry of geodesics. N. Y. : Academic Press, 2011.
17. Kashiwabara S. The decomposition of differential manifolds and its applications // Tohoku Math. J. 1959. № 11. P. 43-53.
References
1. Kobayasi Sh. Gruppy preobrazovaniy v differentsial'noy geometrii = Transformation groups in differential geometry. Moscow: Nauka, 1995:384. (In Russ.)
2. Sklyarenko E.G. To Hilbert's fifth problem. Problemy Gil'berta = Hilbert's problems. Moscow: Nauka, 1969:101-115. (In Russ.)
3. Chu H., Kobayashi S. The automorphism group of a geometric structure. Trans. Amer. Math. Soc. 1964;113:141-150.
4. Cap A., Slovak J. Parabolic Geometries. I. Background and General Theory. Mathematical Surveys and Monographs, 154. American Mathematical Society. Providence, RI, 2009.
5. Sharpe R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Progpam. Graduate Texts in Mathematics. New York; Springer-Verlag, 1997.
6. Crampin M., Saunders D. Cartan Geometries and their Symmetries, A Lie Algebroid Approach. ATLANTIS Press Atlantis Studies in Variational Geometry. 2016;4.
7. Bazaikin Y.V., Galaev A.S, Zhukova N. Chaos in Cartan foliations. Chaos. 2020;30: 1-9.
8. Pecastaing V. Om two theorems about local automorphisms of geometric structures. Ann. Int. Fourier, Grenoble. 2016;66(1):175-208.
9. Cap A., Caperl A , Gover A.R. and Hamm M. Holonomy reductions of Cartan geometries and curved orbit decompositions. Duke Math. J. 2014;163:1035-1070.
10. Jennen H. Cartan geometry of spacetimes with a nonconstant cosmological function A. arXiv:1406. 2621v2[gr-qc]. Physics. REV. D 90, 084046. 2014.
11. Bel'ko I.V. Affine transformations of a transverse projected connection on a foliated manifold. Matematicheskiy sbornik = Collected articles of methematics. 1982;117(2):181-195. (In Russ.)
12. Zhukova N.I. Complete foliations with transverse rigid geometries and their basic automorphisms. Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Ser. Math. Information Sci. Phys. 2009;2:14-35.
13. Sheina K.I., Zhukova N.I. The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018;39(2):271-280.
14. Blumenthal R.A., Hebda J.J. Ehresmann connections for foliations. Indiana Univ. Math. J. 1984;33(4):597-611.
15. Zhukova N.I. Minimal puff cartan sets. Trudy Matematicheskogo instituta im. V. A. Steklova = Proceedings of Steklov Mathematical Institute. 2007;256:105-135. (In Russ.)
16. Busemann H. The geometry of geodesics. New York: Academic Press, 2011.
17. Kashiwabara S. The decomposition of differential manifolds and its applications. Toho-ku Math. J. 1959;11:43-53.
ул. Большая Печерская, 25/12) E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию / Received 02.12.2020
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 18.12.2020 Принята к публикации / Accepted 29.12.2020
Информация об авторах / Information about the authors
Ксения Игоревна Шеина аспирант, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (Россия, г. Нижний Новгород,
Kseniya I. Sheina
Postgraduate student, National Research University "Higher School of Economics' (25/12 Bolshaya Pecherskaya street, Nizhny Novgorod, Russia)
