CC BY
7
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 3 (2019). С. 30-45.
УДК 514.7
ГРАФИКИ НЕКОТОРОГО КЛАССА ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЛОЕНИЙ НА ПСЕВДОРИМАНОВЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ
Н.И. ЖУКОВА
Аннотация. Исследуются вполне геодезические слоения F произвольной коразмерности на n-мерных псевдоримановых многообразиях, метрика на слоях которых не вырождается, а дополнительное по ортогональности распределение является связностью Эресмана. Общепринятый график G(F) такого слоения, вообще говоря, является нехаусдорфовым многообразием, поэтому мы исследуем график Gm(F) слоения со связностью Эресмана Ш, введенный ранее автором, который всегда хаусдорфов. Мы доказываем, что на графике Gm(F) определена псевдориманова метрика, относительно которой индуцированное слоение и простые слоения, образованные слоями канонических проекций, являются вполне геодезическими. Доказано, что слои индуцированного слоения на исследуемом графике являются невырожденно приводимыми псевдоримановыми многообразиями и дано описание их структуры. Рассмотрено приложение к графикам параллельных слоений на невырожденно приводимых псевдоримановых многообразиях. Показано, что любое слоение, полученное надстройкой гомоморфизма фундаментальной группы псевдориманова многообразия, относится к исследуемому классу слоений.
Ключевые слова: вполне геодезическое слоение, псевдориманово многообразие, график слоения, связность Эресмана для слоения.
Mathematics Subject Classification: 53С12, 53С50, 57R30
1. введение. Основные результаты
Группоид голономии слоения введен Ш. Эресманом, эквивалентную конструкцию предложил X. Винкельнкемпер [1] под названием графика слоения. График слоения содержит всю информацию о слоении и о его росковых группах голономии, общепринятых в теории слоений [2]. С*-алгебры комплексно-значных функции для слоений, введенные Конном [3], определяются на группоидах голономии этих слоений.
Пусть (M,F) — гладкое слоение коразмерности q на n-мерном гладком многообразии М. P.A. Блюменталь и Дж. Хебда ([4] и [5]) определили связность Эресмана для (М, F) как ^-мерное Ш
вдоль любой кривой в слое слоения. Для произвольного слоя La слоения (М, F) введено понятие Ш
Напомним конструкцию графика Gm(F) слоения F коразмерности q со связностью Эресмана Ш на n-мерном многообразии М, введенного нами в [6] (см. также [7], [8]). Рассмотрим любые две точки х и у из одного слоя La этого слоения. Обозначим через А(х, у) множество кусочно гладких путей в La, соединяющих х с у. Пути h и f из А(х,у) называются эквивалентными h ~ f, если петля h ■ f-1, равная произведению путей h и f-1, порождает тривиальный элемент группы Ш-голономии Н<ш(Ьа,х) стоя La в точке х. Класс эквивалентности, содержащий путь h,
N.I. Zhukova, Graphs of totally geodesic foliations on pseudo-Riemannian manifolds.
©Жукова Н.И. 2019.
Работа поддержана РФФИ (грант № 16-11-00312) и Центром фундаментальных исследований IIIIN" ВШЭ в 2019 г.
Поступила 19 июля 2018 г.
обозначается через {К}. Множество СШ(Р) троек вида (х, {И,}, у), где х е М, у е Ь(х), К е А(х, у), называется графиком слоения (М, Р) со связностью Эресмана Ш, а отображения р\ : Ош(Р) ^ М : (х, {К}, у) ^ х, р2 : Ош(Р) ^ М : (х, {К}, у) ^ у называются каноническими проекциями. Нами доказано, что график Ош(Р) естественным образом наделяется структурой (2п-д)-мерного хаусдорфова гладкого многообразия [6] (см. также [7], [8]).
Таким образом, график слоения со связностью Эресмана Ош(Р) определен аналогично классическому графику слоения С(Р) [1] заменой ростковой группы голономии Г(Ь, х) стоя Р,х е М, на группу ^^^момии Нщ(Р, х). В отличие от Ош(Р) топологическое пространство графика С(Р), вообще говоря, не хаусдорфово.
Отображение
Р : Сш(Р) ^ С(Р), $(х, {Н},у) = (х,<Н >,у),
где (х, < К >,у) е С(Р), является локальным диффеоморфизмом. Оба графика С(Р) и Ош(Р) наделяются структурой группоидов, причем @ — гомоморфизм этих группоидов, то есть отображает произведение элементов одного группоида в произведение соответствующих элементов другого.
Пусть р : М ^ В — субмерсия и Ш — распределение па В. Будем использовать обозначение р*Ш := {Ш* | ж е М}, где N = {Г е ТХМ | р*х¥ е Шр(х)}
Нами доказаны следующие свойства указанных выше двух графиков произвольного слоения со связностью Эресмана [6], [7].
Теорема 1. Пусть (М, Р) — слоение кораз мер ноет,и д на п-мерном гладком многообразии М,
Ш
1. Гомоморфизм группоидов [3 : Ош(Р) ^ &(Р) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда график С(Р) хаусдорфов.
2. Канонические проекции рг : Ош(Р) ^ М, г = 1,2, являются локально тривиальными расслоениями.
3. Распределение N := р\Ш П р**Ш — связность Эресмана для индуцированного слоения
Е := {р-1(Ь) | ь е Р} = {р-\Ь) | Ь е Р},
на, графике Ош(Р ), причем группы голо номии Нж(Ь, г) и Нш(Р, х), х = рг(г), слое в Ь и Ь = рг(Ь), а также ростковые группы голономии этих слоев канонически изоморфны.
Определение 1. Псевдогруппа % локальных голономных диффеоморфизмов многообразия М называется квазианалитической, если из того, что для некоторого открытого связного подмножества V в М выполняется ра вест во Ь\у = гйу для какого-либо элемент,а, К е%, следует,, что К = гйрф) ш всей связной области определения И (К) элемента К, содержащей V.
Согласно [9, Предложение 2], критерий Винкелькемпера о хаусдорфовости графика С(Р) может быть переформулирован следующим образом:
Предложение 1. Топологическое пространство графика С(Р) слоения (М,Р) хаусдорфово тогда и только тогда, когда псевдогруппа голономии этого слоения квазианалитична.
Согласно Теореме 1 и Предложению 1 для слоений со связностью Эресмана, имеющих квазианалитическую псевдогруппу голономии, мы можем отождествить графики Ош(Р) и С(Р) по каноническому изоморфизму @ и обозначить это через Ош(Р) — С(Р). Следовательно, график Ош(Р) можно рассматривать как десипгуляризацию нехаусдорфова графика С(Р), где под сингулярностью понимается нехаусдорфовость. Такое существенное различие свойств этих графиков объясняется тем, что группа Ш-голономии Н(Ьа,х) имеет глобальный характер, в то время как ростковая группа голономии Г(Ьа,х) носит локально-глобальных характер, глобальный по слоям и локальный по трансверсалям.
На графике Ош(Р) индуцируются следующие три слоения
р(1) = {р-1 (х) I х е М}, Р(2) = {р-1(х) IX е М}, Е = {р-1(Ь) I ь е Р}. Заметим, что Е = {р-1(Ь) | Ь е Р}.
Введем обозначение N = р\М П р*М и М(1) = N ф ТР(2). Подчеркнем, что любое гладкое векторное поле X на графике Ом(Р) однозначно представимо в виде X = X(1) + X+ X(2), где X (О € Хр(г) )), г = 1,2, Xт е )), а также в виде
X = X(1) + XМ(1),
(1)
где Xм(1) е ХШ(1) (Ом^)).
Определение 2. Пусть (М, Р) — слоение коразмерности д на п-мерном псевдоримановом многообразии (М,д), 0 < д < п, причем на слоях индуцируется псевдориманова метрика. Тогда, для, любых векторных полей Х,У € %(Ом(Р)) представленных в виде (1), равенство
определяет, псевдориманову метрику (I на, графике Ом(Р) которая называется индуцированной метрикой.
В случае когда (М, Р) — трансверсально аналитическое риманово слоение, а М — ортогональное распределение на полном римановом многообразии, график С(Р) отождествляется с графиком См(Р) индуцированная метрика й на С(Р) рассматривалась Р. Волаком в [10].
Определение 3. Распределение М на псевдоримановом многообразии (М, д) называется геодезически инвариантным,, если, любая гладкая, геодезическая, связности Леви-Чивита метрики д, касающаяся распределения М в одной, точке, является интегральной кривой, этого распределения.
Слоения с геодезически, инвариантным, касательным распределением называются вполне геодезическими слоениями.
Следующая теорема является одним из основных результатов данной работы.
Теорема 2. Пусть (М, Р) — вполне геодезическое слоение произвольной коразмерности д на п-мерном псевдоримановом многообразии (М,д), причем на слоях индуцируется псевдориманова, метрика. Предположим, что д-м,ерное распределение М, ортогональное слоению (М,Р), является, связностью Эресмана для, (М,Р). Тогда, определенные выше слоения Р(1); Р(2) и F на графике Ом(Р) с индуцированной м,етрикой (I являются вполне геодезическим,и, а, д-м,ерн,ое распределение N, ортогональное ^ геодезически инвариантно.
В силу первого утверждения Теоремы 1 и Предложения 1 из Теоремы 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Предположим, что слоение (М, Р) удовлетворяет условиям Теоремы 2, и псевдогруппа голономии этого слоения квазианалитическая. Тогда, график С(Р) отождествляется с графиком Ом(Р)-, наделенным индуцированной метрикой, индуцированное слоение (С(Р),F) и слоения, образованные слоями канонических проекций, рг : С(Р) — М, г = 1, 2, являются вполне геодезическим,и.
Поскольку псевдогруппа голономии трансверсально аналитического слоения (М, Р) является квазианалитической, графики С(Р) и См(Р) отождествляются. Так как полнота риманова многообразия влечет полноту любого вполне геодезического слоения на этом многообразии, то, согласно Предложению 4, дополнительное по ортогональности к ТР расиределение М — связность Эресмана для (М,Р). Поэтому из Теоремы 1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 2. Если (М, Р) — трансверсально аналитическое слоение на полном, римановом многообразии (М,д) и С(Р) — график этого слоения, наделенный, индуцированной метрикой, то индуцированное слоение (С(Р), F) и слоения (С(Р ),Р г = 1, 2, образованные слоям,и канонических проекций, Р1 : С(Р) — М, являются вполне геодезическим,и слоениями.
Замечание 1. При выполнении условий Следствия 2 Р. Волаком, доказана, вполне геодезич-ность слоения, образованного слоями только одной, канонической проекции р1 : С(Р) — М [10, Теорема 2].
¿(Х,У) := (р!д)(ХМ(1),УМ(1)) + (р2д)(Х(1),У(1))
(2)
Замечание 2. Графики псевдоримановых слоений на псевдоримановых многообразиях с невырожденной метрикой на слоях исследовались А. Ю. Долгоносовой и автором в [11].
Применяя Теорему 2, мы доказываем следующие свойства графиков исследуемого класса вполне геодезических слоений.
Теорема 3. Пусть (М,Р) — слоение, удовлетворяющее условиям Теоремы 2, Р(1); Р(2), Е
— указанные выше слоения на графике Сш(Р) и Р0 = р-1(х), х е М, — произвольный слой канонического расслоения, причем график и слои соответствующих слоений рассматриваются с индуцированной метрикой (I. Тогда:
1. Каждый слой Ь = р-1(Ь) индуцированного слоения (Сш(Р), Е) является невырожденно приводимым, псевдоримановым многообразием с парой параллельных, дополнительных по ортогональности слоений Р(1)|ь и Р(2)|ь-
2. Для любого слоя Ь слоения (М, Р) существует регулярное псевдориманово накрытие Д : Ь0 ^ Ь с группой накрывающих преобразований, изоморфной группе Ш-голономии Нш(Р).
3. Группа Нш(Р) диагонально свободно и собственно разрывно действует, на, псевдоримановом произведении Ь0 х Ь0 посредством, группы изометрий Ф так, что существует изометрия
1] : Ь ^ (Ьо х Ьо)/Ф
слоя Ь = р-1(Ь) на, фактор-многообразие (Ь0 х Ь0)/Ф, переводящая слои параллельных слоений р (1)|
Ь и Р(2)|ь в слоения, накрытые произведением, Ьо х Ьо-
Согласно второму утверждению Теоремы 3 каждый слой (Ьа, д) слоения (М, Ь) локально изо-метричен (Ьо,й), откуда вытекает сдедующее следствие.
Следствие 3. Если существует слой Ь вполне геодезического слоения (М,Р), имеющий постоянную кривизну, то каждый слой Ьа этого слоения имеет ту же самую постоянную кривизну.
Пусть (М, д) — невырожденно приводимое псевдориманово многообразие, рассматриваемое со связностью Леви-Чивита. Это означает, что существует подпространство Шх касательного векторного пространства ТХМ в некоторой точке х е М, па котором сужение метрики д не вырождается, причем Шх инвариантно относительно параллельных переносов вдоль кусочно гладких петель в точке х. Параллельный перенос подпространства Шх в любую другую точку многообразия М определяет распределение Ш на М, которое называется параллельным. Так как параллельный перенос сохраняет метрический тензор, то дополнительное по ортогональности подпространство Ш^ инвариантно относительно параллельных переносов вдоль петель в точке х и, следовательно, также определяет параллельное распределение Ш^ на М. Как известно, любое параллельное распределение интегрируемо и является касательным к некоторому слоению, которое называется параллельным.
Таким образом, на каждом невырожденно приводимом псевдоримановом многообразии существует пара (Р, Рдополнительных по ортогональности параллельных слоений.
Теорема 4. Пусть (М, д) — невырожденно приводимое псевдоримново многообразие, Р и Р±
— его параллельные слоения дополнительной размерности, причем, Ш = ТР± — связность Эре-см,а,н,а, для, слоения (М,Р). Тогда, во введенных выше обозначениях:
1. Графики С(Р) и Ош(Р) канонически изоморфны и отождествляются; С(Р) наделяется псевдорим,а,новой мерикой d.
2. Почти для всех точек г е С(Р) и х = р1(г) е М ело и Ь = Ь(г) и Ь = Ь(х) имеют тривиальные группы голономии и изометричны Ь0 х Ь0 и Ь0 соответственно, где Ь0 — произвольный фиксированный слой канонической проекции р1 : С(Р) ^ М с индуцированной метрикой.
3. Определены слоения Рт, 1(г), г = 1, 2, такие, что ТРт = N и ТТ (€) = Ш({) на графике С(Р).
4- График С(Р) с индуцированной метрикой (I — невырожденно приводимое псевдориманово м,ногообра,зие с тремя парам,и дополнительных по ортогональности параллельных слоений (Р(1), !(1));(Р(2), I(2)) и (Рт, Е).
5. Каждое из указанных выше шест,и, слоений обладает, интегрируемой связностью Эресмана, а его график удовлетворяет Теоремам 2 и 3, а, также утверждениям 1~4 данной теоремы.
Теорема 4 и следующие два утверждения показывают, что класс исследуемых здесь слоений достаточно широк.
Предложение 2. Пусть (М, Р) вполне геодезическое слоение коразмерности д на п-мерном псевдоримановом многообразии (М,д), где 0 < д < п. Если на слоях этого слоения индуцируется полная псевдориманова метрика, то д-м,ерное распределение М, ортогональное слоям, является связностью Эресмана для, слоения (М, Р).
Предложение 3. Пусть (В,дв) — произвольное псевдориманово многообразие. Если (М,Р) — слоение, полученное надстройкой гомоморфизма
р : Ж1 (В,Ь) — тц(Т),
то на М существует псевдориманова, метрика такая, что:
1) (М, Р) — вполне геодезическое слоение с индуцированной, псевдоримановой метрикой на слоях, причем слои слоения (М, Р) — полные псевдоримановы подмногообразия тогда и только тогда, когда полным, является (В,дв);
2) ассоциированное локально т,ри,ви,а,л,ьн,ое расслоение образовано слоями псевдоримановой суб-мерсии р : М — В;
3) распределение, образованное касательными пространствами к слоям субмерсии р : М — В является интегрируемой связностью Эресмана для (М,Р);
4) график С(Р) хаусдорфов тогда и только тогда, когда группа Ф := р(ж1(В,Ъ)) квазианалитически действует на, Т.
Обозначения Следуя [15], мы обозначаем Р(N,H) главное Я-расслоения над многообразием N. Через X(M) обозначается модуль гладких векторных полей на многообразии М над алгеброй F(M) гладких функций. Слоение F на многообразии М обозначается как одной буквой, так и парой (M,F). Пусть M — гладкое распределение на многообразии М, тогда XM(M) := {X е X(M) | Хи е Ши Уи G М^^ли M интегрируемо и M = TF, то ХШ(М) обозначается также %f(М).
Через Fol обозначается категория слоений, в которой морфизмы отображают слои одного слоения в слои другого слоения.
Сужение слоения (или метрики) на подмногообразие обозначается той же буквой, что и исходное слоение (или метрика).
Через = обозначается изоморфизм в соответствующей категории, аф — символ прямой суммы векторных подпространств и распределений.
2. Слоения со связностью Эресмана
2.1. Связность Эресмана для слоений. Пусть на гладком n-мерном многообразии М задано слоение ^произвольной коразмерности g > 1.
Обозначим через M ^-мерное трансверсальное к F распределение, тогда касательное пространство ТХМ к многообразию М в каждой своей точке х е М представимо в виде ТХМ = TXF ф Mx.
Распределение M и кусочно гладкие интегральные кривые этого распределения называются M-горизонтальными или просто горизонтальными. Касательное распределение TF к слоям слоения F и каждый вектор X из TXF, х е М, называются вертикальными. Кривая в многообразии М, принадлеж^цм одному слою слоения F, называется вертикальной.
Кусочно гладкое отображение Н : I х I ^ М, вде I = [0,1], называют вертикально-горизонтальной гомотопией (далее, для краткости, вгг), если для любых (s,t) е I х I кривая Н|/x{t} ^^ртзонтальной, а Н|{s}x/ является вертикальной кривой. Пара
(Н|/x{o}, Н|{о}х/) называется базой вгг П. Две кривые (ö, т) на М называются допустимой парой путей, если ¿(0) = т(0), причем путь 5 является горизонтальным, а г — вертикальным.
Если для любой допустимой пары путей (5,т) существует вгг с базой (5,т), то распределение M называется связностью Эресмана для F. Если при этом распределение M интегрируемо, то связность Эресмана M называется интегрируемой.
Говорят, что кривая ö получена переносом кривой, 5 вдоль т относительно связности Эресмана M, если ö := Н|/х{!}. Обозначим этот перенос через ö > ö.
2.2. Группы Ш-голономии. Пусть (М, Ь) — слоение со связностью Эресмана Ш. Обозначим через 0,х, х е М, множество горизонтальных кривых с началом в точке х. Действие фундаментальной группы Ж1(Ь,х) стоя Ь = Ь(х) на множестве определяется следующим образом: Фх : п1(Ь,х) х ^ : ([К],а) ^ а, где [К] е ж1(Ь,х)^ а результат переноса кривой а е вдоль К относительно Ш. Пусть Кш(Ь,х) — ядро действия Фх, т.е. КШ(Ь,х) = {а е ж1(Ь,х) I а(а) = а Уа е Фактор-группа НШ(Ь,х) = ж1(Ь,х)/КШ(Ь,х) называется группой Ш-голономии слоя Ь [4]. Благодаря линейной связности слоев, группы Ш-голономии в различных точках одного и того же слоя изоморфны. Пусть Г(Ь, х) — ростковая группа голономии слоя Ь. Определен эпиморфизм групп % : Нш(Ь,х) ^ Г(Ь,х), удовлетворяющий равенству
X ° V = у, (3)
где у : ж1(Ь,х) ^ Нш(Ь, х) — фактор-отображение и и ([К]) :=< К > ^ росток локального голономного диффеоморфизма трансверсального ^-мерного диска вдоль петли К в точке х.
2.3. Локальные горизонтальные голономные диффеоморфизмы. Рассмотрим произвольное гладкое слоение (М, Ь) коразмерности ц на п-мерном многообразии М. Пусть Ш — гладкое ^-мерное распределение па М, трапсверсальпое этому слоению, т.е. ТхМ = ТХЬ ф Шх Ух е М. Далее будем рассматривать вертикально-горизонтальные гомотопии относительно распределений ТМ и Ш. В любой точке х е М существует такая окрестность Ух, что для любой допустимой пары путей (а, К) в Ух с общим начал ом в х существует вгг в Ух с базо й (а, К). Пусть а : [0,1] ^ М — любая гладкая интегральная кривая распределепия Ш с началом Хо := ст(0) и концом Х1 := ст(1). Нетрудно убедиться в том, что найдутся такие стягиваемые окрестности Ц~о точки хо в ело е Ьо Э Хо и и1 точк и Х1 в ело е Ь1 э Х1, что для любой т очки х е и о и любого кусочно гладкого пути кх : [0,1] ^ ио соединяющего К(0) = хо с К(1) = х, существует вгг Нх с базой (а, кх). При этом Ш-горизоптальная кривая ах(в) := Нх(,в, 1) в е [0,1], является гладкой и, в силу стягиваемости Ц~о, не зависит от выбор а пути кх, соединяющего хо с х в ио. Далее будем называть ах переносом пути а в точку х е ио. При этом определен диффеоморфизм
Фа : ио ^ и1 : х^ ах(1), х е Щ,
который называется локальным, горизонтальным, голономным диффеоморфизмом вдоль Ш-кривой а [5].
Из определения производной Ли Ьхд от 2-формы д вдоль векторного поля X вытекает справедливость следующего утверждения.
Лемма 1. Предположим, что (М, Ь) — слоение коразмерноет,и д на п-мерном псевдорима-новом многообразии (М, д), причем индуцированная метрика на слоях не вы,рождает,ся, и Ш — д-м,ерпое ортогональное к ТЬ распределение. Пусть а : [0,1] ^ М — произвольная гладкая, Ш-горизонтальная кривая в М, Фа : ио ^ и1 - локальный горизонтальный голономный диффеоморфизм вдоль а и Ш := {^(з) | х е ио,в е (0,1)}, где ах — перенос а в точку х е ио. Тогда, следующие два, условия эквивалентны:
1. Диффеоморфизм Фа является изометрией (ио,д) и (и1,д);
2. Для векторного поля X е ) такого, что X|а^(8) = <гх(в), где х е ио, в е [0,1], выполняется равенство (Ьхд)(У, %) = 0 для, всех У, 2 е (Ш).
3. псевдоримановы СУВМЕРСИИ
Изучение псевдоримановых субмерсий было инициировано В. О'Нейлом [12] и А. Грэйем [13]. Гладкая сюръективная субмерсия р : М ^ В между двумя псевдоримановыми многообразиями (М,д) и (В,дв) называется псевдоримановой субмерсией, если метрика, индуцированная на каждом слое субмерсии р-1(Ь), где Ь е В, не вырождается, и р сохраняет скалярное произведение векторов, ортогональных слоям субмерсии.
Исследованию псевдоримановых субмерсий посвящены многочисленные работы различных авторов. Особый интерес представляют псевдоримановы субмерсии с вполне геодезическими слоями, для некоторых классов которых доказаны классификационные теоремы (см. [14] и ссылки там).
Следующие свойства исевдоримаиовых субмерсий с вполне геодезическими слоями существенно используются далее в данной работе.
Предложение 4. Если (M, g) и (В, дв) — псевдоримановы многообразия размерности п и q, соответственно, где 0 < q < п, а, р : M ^ в псевдориманова субмерсия, слои которой — вполне геодезические подмногообразия в (М,д), то:
(г) проекция а = р о 7 любой геодезической 7 из (M, g) является геодезической в (В,дв); (п) прообраз p-1(L) любого вполне геодезического подмногообразия L из базы, (В,дв) является вполне геодезическим, подмногообразием, в (M, g), несвязным, если слои субмерсии р не связны.
Доказательство. Предположим, что р : M ^ В — псевдориманова субмерсия с вполне геодезическими слоями.
(г). Свойство кривой псевдориманова многообразия (М,д) быть геодезической является локальным, поэтому достаточно доказать, что для любой геодезической 7 в произвольной координатной окрестности ^адаптированной к (M, F), ее проекция р о 7 — геодезическая в окрестности V := p(U) многообразия (В,дв). Заметим, что plu : U ^ V — превдориманова субмерсия на стягиваемом многообразии со стягиваемыми слоями. Поэтому, не нарушая общности, в данном доказательстве положим M = U, В = V, р : M ^ В — псевдориманова субмерсия с вполне геодезическими слоями, a F = {p-1(b) | b G В}.
Предположим, что псевдоримановы метрики g и дв имеют сигнатуры (k, s) и (ki,Si), соответственно, где к + s = п, к1 + s1 = q. Пусть Н1 = 0(k1,s1), H = 0(k,s). Обозначим через С(М,Н) = M х H и Р1(В,Н\) = В х Н1 расслоения псевдо-ортогональных реперов на M и Л, определенные метриками g и дв, соответственно, они являются тривиальными главными расслоениями с проекциями ■к : С ^ M и /1 : Р1 ^ В. Пусть M — g-мерное распределение, ортогональное слоям субмерсии р. Обозначим через Р = M х Н1 расслоение M-трансверсальных реперов, являющееся прообразом расслоения Р1 (В,Н\) относительно субмерсии р, то есть Р = {(y,v) G M х P1I р(у) = /1 (v)}. При этом определены проекции f : Р ^ М, f (у, v) := у, и h : Р ^ A, h(y, v) = v У (у, v) G ^удовлетворяющие равенству /1 о h = р о f. Слои субмерсии h : Р ^ Р1 образуют елоение (Р, Fp).
Так как M = U — координатная окрестность, адаптированная к слоению (M, F), то в каждой точке у G M определен координатный репер ( ly, -J^ly), а = 1, ...,п — q, а = п — q + 1, ...,п, причем {-J^ ly} — базис ТуF, касательного пространства к елою слоения (M, F) в точке у. Любая точка (y,v) G Р представляет собой трансверсальный репер, то есть базис {Zaly} векторного пространства My в точке у G M, определенный равенством р*у(Zaly) = Ха|ж, где {Xalx} = v — базис касательного векторного пространства ТХВ в точке х = f1(v) = р(у). Следовательно, определено отображение J : Р ^ С, J(y,v) = {-J^ly, Zaly}, являющееся вложением многообразия Р в С и удовлетворяющее равенству ■к о J = f.
Пусть En-q — единичн ая (п — д)-мерная матрица. Обознач им через j : Н1 ^ H :А ^ ( q ^ ) вложение группы Н1 в групп у Н. При этом п ара (J,j ) определяет редукцию Я Д-расслоения С к замкнутой подгруппе j(Н{) [15, Глава 1, §5]. Поскольку отображение J : Р ^ Я = J(Р) — изоморфизм главных расслоенных пространств можно отождестить Р с Я посредством J. При этом коммутативна диаграмма:
CD Я = Р —— Р1
KK = f
Л (4)
м —— В,
где пк := п1к- Таким образом, на Я определено слоение Т как образ слоения (Р, Рр) при указанном отождествлении, причем сужение отображения пк на любой стой слоения (Я, Т) является диффеоморфизмом на соответствующий слой (М, Р).
Связность Леви-Чивита V псевдориманова многообразия (М, д) ^^^еделяет ^^^^^отость Q на Пусть — Я^^^^^^тость на Р1, ^^^отостью Леви-Чивита Vе псевдориманова
многообразия (В,дв). Обозначим через ш §1(п, М)-значную стязности а через в —
каноническую 1-форму этой связности на С со значениями в Мп. Напомним, что В^ с Х(С) называется стандартным горизонтальным, векторным полем,, если ш(В^) = 0 то есть В^ с £д(С),
и в(В^) = £ = const Е Rn. Как известно [15, Глава III, Предложение 6.3], кривая j — геодезическая в (М, V) тогда и только тогда, когда 7 является проекцией интегральной кривой некоторого стандартного горизонтального векторного поля.
Поскольку лифт в С любой геодезической из (М, V) является интегральной кривой распределения Q, то вполне геодезичность (М, F) влечет включение ТТ С QIr. Следовательно, Qh = ТТ® N, где N = ж*Ш П QI-.
Так как р : М ^ В — псевдориманова субмерсия, согласно [11, Теорема 1], распределение Ш геодезически инвариантно, поэтому Q-лифт 7 в точкv и Е ^-1(7о) ПК любой Ш-горизоптальпой геодезической 7 : [0,1] ^ М является интегральной кривой распределения N. Более того, для любого вектора У Е и Е К, такого, что 9(У) = £ Е {0n-q} х Rq, где 0n-g - ноль в Rn q, существует единственная Ш-горизоптадьпая геодезическая 7 па М, Q-лифт которой в точку и есть интегральная кривая стандартного горизонтального векторного поля В^, причем В^ 1-й = Y.
По свойству псевдоримановой субмерсии, любая Ш-горизонтальная геодезическая посредством р : М ^ В проектируется в геодезическую базы (В, VB) [12]. Отсюда, учитывая равенство
fi о h = р о ж—, мы получаем h*u(Nu) = h*u(Qu) = Q^— для любой точки и ЕК.
Пусть 7 — любая геодезическая в (М, д), проходящая через точку х = 7(0) в направлении вектора X = 7(0) Е ТХМ. Возьмем такую точку и0 Е К, что п(ио) = х. Рассматрим репер ио как отображение ио : Rn ^ ТХ М, которое ставит в соответствие вектору из Rn с координатами Xi,..., \n в стандартном базисе в Rn вектор в ТХМ с теми же координатами в базисе ио- Предположим, что ц := и-1(Х) Е Rn. Пусть pr : Rn = Rn-<? х R9 ^ R — каноническая проекция па сомножитель и £ := pr(rj) Е Rq. Так как 7 — геодезическая, существует интегральная кривая 7 стандартного векторного поля Bv на К с началом в точке 7(0) = ио- При этом 7 = ■к о 7 и с? := h о 7 — интегральная кривая стандартного век торного поля В^ на Pi, проходящего через точку ьо = h(ио) = <г(0). Поскольkv р о ж— = fi о h, мы имеем цепочку равенств a = р о 7 = р о (ж о 7) = (р о ж) о 7 = (f1 о h) о 7 = f1 о (h о 7) = f1 о д.
Таким образом, кривая a := f1 о о — геодезическая па (B,gB), являющаяся проекцией геодезической 7 многообразия (М,д), т.е. р о 7 = ст, и утверждение (г) доказано.
(ii). Пусть L — вполне геодезическое подмногообразие в (В,дB) и N := p-1(L) — гладкое вложенное подмногообразие в М, несвязное, если слои субмерсии р : М ^ В не связны. Возьмем любую точку у Е N и вектор Y Е ТуN. Пусть 7 = ^y(s),s Е [0,1], — геодезическая в (М,д), проходящая через точку у = 7y(0) в направлении вектора Y, то есть Y = 7y(0). Согласно доказанному утверждению (i) a := р о 7 — геодезическ ая в (В,дB), проходящая через точку b = р(у) = ст(0) в направлении вектора X = р*уY Е T^L. Так как L — вполне геодезическое подмногообразие, то a(s) Е L Ув Е [0,1], следовательно, ^(s) Е N Ув Е [0,1]. Это означает вполне геодезичность подмногообразия N в (М,д). □
4. Доказательство Теоремы 2 4.1. Критерий вполне геодезичности слоения.
Определение 4. Векторное поле X на многообразии М называется слоеным относительно слоения (М,Ь), есл и [X, У] е Хр (М) для любо го У е Хр (М).
Предложение 5. Пусть (М, Ь) — слоение на псевдоримановом многообразии (М, д) со связностью Леви-Чивита V, причем на слоях слоения индуцируется псевдориманова метрика, и Ш — распределение, дополнительное по ортогональности к ТР. Тогда, следующие утверждения эквивалентны:
(1) слоение (М,Р) вполне геодезическое;
(2) Ьхд(У, %)= 0 для любых векторных полей X е Хш(М) и У,,% е Хр(М);
(3) Ьхд(У, Z) = 0 для любого слоеного векторного поля X е Хш(М) и любых векторных полей У, г е Хр(М);
(4) для, любой Ш-горизонтм,ьной кривой а : [0,1] ^ М локальный горизонтальный голоном-ный диффеоморфизм Ф а : ио ^ и1 является изометрией (ио,д) и (и1,д).
Доказательство. Обозначим через аж(У, Z) ортогональную проекцию VY% в %ж(М) относительно разложения ТМ = ТЬ ® М. Вполне геодезичность слоения (М, Р) эквивалентна
Эквивалентность (1) и (2) доказана в [16, Предложение 2.7] следующим образом. Используя свойства связности Леви-Чивита V псевдориманова многообразия (М,д), получено равенство
откуда, в силу невырожденности индуцированной метрики на слоях, вытекает эквивалентность Ьхд(У, г) = 0 УХ с ХШ(М) & аж(У, 2) = 0, то есть (1) & (2).
Импликация (2) ^ (3) очевидна. Пусть имеет место (3). Заметим, что произвольное векторное поле X с %<ж(М) является линейной комбинацией слоеных векторных полей из ХШ(М), то есть X = Хк, где Хк с %щ(М) — слоеные векторные поля, рк с д(М). Применяя (5), благодаря билинейности д, мы получаем
Ьхд(У, г) = д(Х, аш(У, г)) = д(/3кХк, аш(У, г)) = ркд(Хк, аш(У, г)) = ркЬХкд(У, г). Согласно
предположению Ьхкд(У, 2) = 0, поэтому Ьхд(У, %) = 0. Следовательно, (3) ^ (2) ж (2) & (3)
Если а — кусочно гладкая М-горизонтальная кривая, то Фа — композиция локальных горизонтальных голономных диффеоморфизмов, соответствующих гладким кускам кривой а. Поэтому, не нарушая общности, в (4) можно считать, что а : [0,1] — М — гладкая М-горизонтальная кривая.
Предположим, что выполняется (3). Пусть а : [0,1] — М — гладкая М-горизонтальная кривая, Фа : !1о — и1 — локальный горизонтальный голономный диффеоморфизм вдоль м! — векторное поле, индуцированное Фа указанным в Лемме 1 способом. Так как X является слоеным векторным полем, ортогональным слоению (М, Р), то из (3) следует Ьхд(У, %) = 0 УУ, 2 с (М). Следовательно, по Лемме 1 Фа — изометр ия (ио,д) и (и1, д). Таким образ ом, (3) ^ (4).
Теперь достаточно показать, что (4) ^ (3). Пусть X с ХМ(М) — любое слоеное векторное поле и а : [0,1] — М — любая его интегральная кривая. Так как а — М-горизонтальная кривая, то определен локальный горизонтальный голономный диффеоморфизм Фа : Ц~о — VI вдоль а. Поскольку X — слоеное векторное поле, то перенос ах кривой а в точку х с Щ также является интегральной кривой поля X. Согласно Лемме 1 отсюда следует, что Ьхд(У, 2) = 0 УУ, 2 с (М). Таким образом, (4) ^ (3). □
Замечание 3. Предложение 5 доказано без предположения существования связности Эре-смана для, слоения (М,Ь).
4.2. Вполне геодезичность слоения Р(1). Докажем, что Р(1) — вполне геодезическое слоение на графике (См(Р), Л).
Пусть 7 : [0,1] — ) — гладкая ^-кривая в См(Р ) с началом в точке
7(0) = го = (хо, {К},уо) с См(Р). Тогда а := р1 о 7 — М-кривая в М с началом в точке х0 = а(0) = р1(го). Так как (а, К) — допустимая пара, то существует вгг Н с базой (а, К). Пусть
а > а, при этом а = Р2о^. Не нарушая общности, предположим, что Уо такая окрестность точки го в сто ер-!(х0), что окрести ость и0 = р2(Уо), принадлежащая слою Ь = Ь(х0), правильно накрыта отображением р21ьт : — Ь, где Ь(1 = Ь(1"1(го) = р-!(ж0). Если Ф7 : Уо — У1 : г — Ф7(г) — горизонтальный голономный диффеоморфизм вдоль 7 в С<м(Р), где V1 — окрестность точки 7(1) в слое р-1(а(1)), то для любой точки г с Уо и ЭТ-лифта кривой а в точку г, по определению, Ф7(г) = (1). При этом г = (х0, {ку},у), где у = р2(г), Ку = К ■ Ьу, — путь в и0, соединяющий уо с у в ио- Заметим, что ау = р2 о — М-кривая в М, которая получена переносом а вдоль пути Ку, а Ф& := р2 о Ф7 : ио = р2(Уо) — и1 = р2(У\) — локальный М-горизонтальный голономный диффеоморфизм вдоль а, удовлетворяющий коммутативной диаграмме:
аш(У, г) = 0 уу,г с хЕ(м).
ьхд(У, г) = д(х, аш(у, г)) УХ с %щ(м), УУ, г с %Е(м),
(5)
^о -- V!
Р2|У0
(6)
ио -► иъ
Согласно Предложению 5 из вполне геодезичности слоения Ь вытекает, что Ф^ : и о ^ и1 — изо-метрия псевдоримановых многообразий (По,д) и (и1,д). Отсюда, учитывая, что рАуо : Уо ^ ио, Т^У! : У1 ^ и1 — изометрии, в силу коммутативности диаграммы (6) мы получаем, что Ф7 : Уо ^ V! изометрия (У1,й) и (у2,<1). Отсюда, аналогично Предложению 5 мы получаем
(Ьх<!)(¥, г) =0 УХ е Хт(Сш(ь)), УУ,г е Хр(!)(Сш(^)). (7)
Покажем теперь, что (Ьхй)(У, Z) = 0 УУ, Z е Хр(1) (СШ(Р)) и для каждого X е Хр(2) (СШ(Р)). Обозначим через Ь(г) = Ь(г)(го), г = 1,2, и Ь = Ь(^о) слои слоений Р (г) и F, соответственно, проходящие через го- Пусть 7 — произвольная ТР(2)-кривая с началом го = 7(0), то есть 1(8) е Ь(2), в е [0,1^. Определен локальный горизонтальный диффеоморфизм Ф7 : Шо ^ Ш1 вдоль 7, где Шо — окрестность точки го в елое Ь(1\ а Ш1 — окрестность точки г1 = 7(1) в слое Ь(1 (г1) слоения Ь(1), проходящем через г1.
Напомним, что подмножество слоеного многообразия ) называется ^^-насыщенным,
если его можно представить в виде объединения некоторых слоев слоения )•
Любой слой Ь индуцированного слоения (Ош(Р), является как Р(1)-пасыщеппым, так и р(2)-насыщенным подмногообразием графика Ош(Р) причем, согласно определению метрики й, слой Ь с индуцированной псевдоримановой метрикой (Ь, й) локально является псевдоримановым произведением псевдоримановых многообразий (Ь(1\й) и (Ь(2\й). Отсюда следует, что р «|
Ь И
р(2)|ь — параллельные слоения па невырожденно приводимом псевдоримановом многообразии (Ь, (I) (см., например, [19]). Следовательно, Р(1) |ь и Р(2)|ь — вполне геодезические слоения на (Ь, поэтому, согласно Предложению 5 Ф7 : Шо ^ Ш1 — изометрия и выполняется равенство
(Ьх(1)(У,г) = 0 УХ е Хр(2)(Сш(Р)), УУ,г е Хр(1)(Сш(Р)). (8)
Заметим, что в любой точке графика Ош(Р) существует окрестность адаптированная к слоениям ^ Р(1) и Р(2) одновременно, в которой выполняются оба равенства (7) и (8). Так как Ш(1) = N ф ТР(2), то любое векторное поле X е ХШ(1) (Ш) в окрестности № произвольной точки г е Сш(Р) можно представить в виде X = аХ>п + /ЗХ(2), где X>п е XN(Ош(Р)), X (2) е Хр(2) (Сш(Р)), е ). Так же как в доказательстве Предложения 5 мы показываем, что (Ьах<я+13х(2)(1)(У, г) = а(Ьхк(1)(У, г) + Р(Ьх(2)(1)(У, £) для любых У, г е Хр(1) (Сш(Р)). Равенства (7) и (8) влекут (Ьх<х(1)(У,Е) = 0 и (Ьх(2)(!)(У,%) = 0. Таким образом мы получаем,
(Ьх(1)(У,г) = 0 УХ е Хш(1)(Сш(Р)),УУ,г е Хр(1)(Сш(Р)). Согласно Предложению 5 это означает, что Р(1) — вполне геодезическое слоение.
4.3. Геодезическая инвариантность распределений Ш(1), Т^ и ТР(2). Из определения метрики ^ вытекает, что Р1 : Сш ^ М — псевдориманова субмерсия, а
Ш(1) — распределение,
дополнительное по ортогональности к слоям этой субмерсии. Поэтому согласно [11, Теорема 1] распределение Ш(1) геодезически инвариантно.
По доказанному выше слоение Р(1) вполне геодезическое, следовательно, Р1 : Сш(Р) ^ М — псевдориманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Отсюда, применяя утверждение (гг) Предложения 4, мы получаем, что вполне геодезичность слоения (М, Р) влечет вполне геодезич-пость индуцированного слоения (Сш(Р), поскольку каждый его слой Ь = р—1(Ь) есть прообраз некоторого слоя Ь слоени я (М, Ь), являющегося вполне геодезическим подмногообразием в (М,д).
Так как ТР(2) = Ш(1) П Т¥, то ТР(2) — геодезически инвариантное распределение как пересечение геодезически инвариантных распределений Ш(1) и Т^^ ^^^^^тательно, (Сш(Р),Р(2)) — вполне геодезическое слоение на (СШ(Р),й). □
5. Доказательство Теоремы 3
1. Первое утверждение Теоремы 3 обосновано при доказательстве Теоремы 2 (подраздел 4.2).
2. Пусть Ж1 и Х2 — любые две точки псевдориманова многообразия (М,д). Согласно [4, Лемма 1.1], слои Ь1 э Х1 и Ь2 Э Х2 можно соединить Ш-горизоптальной кривой а : [0,1] ^ М, где
у1 = а(0) с Ь^ у2 = а(1) с Ь2. Соединим Хг с кривой 01 в слое Ь^ г = 1, 2. Тогда произведение путей 7 = 01 ■ о ■ о— 1 соединяет точку Х1 с точкой Х2- Как известно [7, Лемма 1], любая М-горизонтальная кривая из М обладает ^-горизонтальными лифтами в Ощ(Ь)■ Кривые 01 и 02 обладают ТР лиф тами в Ощ(Р ) поскольку для любог о слоя Ь индуци-
рованного слоения (Ом(Т), распределение ТР(2) — связность Эресмана для субмерсии р1\ъ. Следовательно, для любой точки г из р- (х-\) существует -горизонтальный лифт 7 кривой 7 с началом 7(0) = г и концом 7(1) с р~-1(х1). Так как
Ф^ : р- 1 (xq) ^ р- 1(х1) : z ^ 7(1)
— горизонтальный голономный диффеоморфизм относительно слоения (Сщ,Т(1)) вдоль горизонтального пути 7, то в силу вполне геодезичности указанного слоения, из Предложения 5 вытекает, что отображение Ф^ является изометрией. Следовательно, существует псевдоримано-
во многообразие Ь^, изометричное любому слою субмерсии р1. Аналогично, существует псев-дориманово многообразие Ь^, изометричное любому слою субмерсии р2- Зафиксируем точку %о = (%о, {1ж0},%о) с Сщ(Р), где 1Х0 — постоянный путь в точке Хо- Заметим, что сужение инверсии г : СМ(Р) — СМ(Р), г(х, {К}, у) = (у, {К-1}, х) на слой р^1(хо) является изометрией р^1(хо) на слой р-1(хо)■ Отсюда вытекает изометричность Ь^ и Ь^. Обозначим через Ьо псевдорима-ново многообразие, изометричное \ г = 1, 2.
Пусть Ь = Ь(х), х с М, — любой слой слоения (М,Р). Из определения графика Сщ(Р) вытекает, что сужение канонической проекции Р1\р- 1(х) : р-1(х) — Ь — регулярное накрывающее отображение с группой накрывающих преобразований, изоморфной группе М-голономии Нщ(Ь, х). Согласно определению псевдоримановой метрики й на Сщ(Р), это отображение является локальной изометрией и, следовательно, псевдоримановым накрытием. Доказанная выше изометричность р-1(х) и Ьо влечет выполнение утверждения (^ доказываемой теоремы.
Рассмотрим произвольный слой Ь = р—1(Ь) индуцированного слоения ^ ^^ ^^фике Сщ(Р) с метрикой Как показано в подразделе 4.2, псевдориманово многообразие (Ь,с!) является невырожденно приводимым, причем Р(1)|ь и Р(2)|ь — его ортогональные параллельные слоения. Подчеркнем, что ТР(1) — интегрируемая связность Эресмана для Р(2) а ТР(2) — интегрируемая связность Эресмана для
Р (1)| Ь- Таким образом, (Ь,р11ь,Р1\ъ,Т,Ь) — симметричное простое трансверсальное двурасслоение в смысле [8].
Зафиксируем точку г = (х, {1х},х) с Ь. Согласно (г) группа Ф = Нщ(Ь, х) действует изометри-ями на псевдоримановом накрывающем многообразии Ьо как группа накрывающих преобразова-
ФФ
Ьо х £о по правилу ■ф(х1,х2) = (ф(х1),ф(х2)), (х1,х2) с Ьо х Ьо. Действие Ф свободное, собственно разрывное и сохраняет структуру произведения. Определено фактор-многообразие (Ьо х Ьо)/Ф с парой слоений Ь1, Р2, накрытых произведением Ьо х Ьо • Так как Ф сохраняет метрику псевдо-риманова произведения на Ьо х Ьо, то на (Ьо х Ьо)/Ф индуцируется псевдориманова метрика, относительно которой фактор-отображение Ьо х Ьо — (Ьо х Ьо)/Ф является псевдоримановым накрытием. При этом на (Ьо х Ьо)/Ф определена пара параллельных слоений (Ь1, Р2), слои которых накрыты слоями тривиальных слоений произведения Ьо х Ьо-
Как известно [8, Предложения 5 и 6], существует диффеоморфизм
в: L ^ (Lq х Lq)/V,
являющийся изоморфизмом обеих пар слоений F « |l и Fi, i = 1,2 в категории слоений Fol. Нетрудно видеть, что Lq х Lq общее псевдориманово накрывающее пространство для L и для (Lq х Lq)/^, следовательно, в — диффеоморфизм, являющийся локальной изометрией, т. е., в — изометрия, что завершает доказательство утверждения (гг) Теоремы 3. □
6. Графики параллельных слоений
6.1. Критерий существования интегрируемой связности Эресмана.
Определение 5. Пара трансверсальных слоений дополнительной размерности (Р1,Р2) на, многообразии М называется двуслоением.
Если (Р1 ,Р2) — двуслоение на М, то в каждой точке х е М выполняется равенство ТХМ = ТХР1 ф ТХР2.
Определение 6. Пусть (Р1,Р2) — двуслоение на М, а к : М ^ М — универсальное накрывающее отображение. Если выполняются условия:
1) М = М1 х М2 — произведение односвязных многообразий М1 и М2,
2) к*Р1 = {М1 х {x2}| х2 е М2}, п*Р2 = {х1 х М2 | х1 е М1}, то говорят, что двуслоение (Р1,Р2) накрыт,о произведением.
Используя теорему Ш. Касивабара [17, Теорема 2], нетрудно получить критерий существования интегрируемой связности Эресмана для гладкого слоения. Сформулируем этот критерий в следующем удобном для нас виде.
Теорема 5. Двуслоение (Р1,Р2) на, многообразии М накрыто произведением тогда и тольео тогда, когда распределение ТР2 ^ интегрируемая связность Эресмана для слоения (М,Р1).
Пусть (Р1, Р2) — двуслоение на многообразии М. Из определения связности Эресмана вытекает, что ТР2 — связность Эресмана для слоения (М, Р1) тогда и только тогда, когда ТР1 — связность Эресмана для (М, Р2).
6.2. Лемма. Мы будем применять следующее утверждение, которое по существу имеет локальный характер.
Лемма 2. Пусть (Р, Р— взаимно ортогональные слоения дополнительной размерности на псевдоримановом многообразии (М,д), причем индуцированная, метрика на слоях слоения (М, Р) не вырождает,ся. Тогда, следующие четыре утверждения эквивалентны:
(1) слоение (М,Р) является одновременно псевдорим,а,новы,м, и вполне геодезическим,;
(2) о^ слоения (М, Р) и (М, Рвполне геодезические;
(3) оба слоения (М, Р) и (М, Рпсевдоримановы;
(4) о^ слоения (М, Р) и (М, Рпараллельны.
Доказательство. Предположим, что выполняются условия Леммы 2, причем Мт(М) = п, а (Ит(Р) = д, где 0 < д < п, при этом йгт(Р= п — д.
Пусть слоение (М,Р) является одновременно псевдоримановым и вполне геодезическим. Так как (М, Р) псевдоримапово слоение, то согласно [11, Теорема 1] (п — д)-мерное ортогональное ему распределение Ш^ — вполне геодезическое. Поскольку Ш^ = ТРэто означает вполне геодезичность слоения (М,РТаким образом, (1) ^ (2).
Предположим, что оба слоения (М, Р) и (М, Р±) вполне геодезические. Согласно [11, Теорема 1] оба этих слоения являются псевдоримановыми, то есть, (2) ^ (3).
Пусть оба слоения (М, Р) и (М, Р±) — псевдоримановы. Как известно, для любого двусло-ения (Р, Р^) в каждой точке х е М существует такая карта (и, <р), что и = И1 х Ц~2, где Р^ = {и1 х {х2} | х2 е и2} и Р±^ = Н^} х и2 | х1 е и1}. Псевдоримаповость слоений (М, Р) и (М, Р^) влечет существование на и^ и2 таких псевдоримановых метрик §1 ш д2, соответственно, что проекции па сомножители и1 х 112 ^ Щ, ^ = 1, 2, являются псевдоримановыми субмерсиями (и1 х и2,д) на (111,9г)- Это означает, что (и1 х и2,д) представляет собой псевдоримапово произведение псевдоримановых многообразий (и1,д{) и (П2,д2)- Поскольку х — произвольная точка многообразия М, отсюда следует, что (М, д) — невырожденно приводимое псевдоримапово многообразие с параллельными слоениями (М,Р) и (М,Р^) (см., например, [19]). Итак, мы доказали, что (3) ^ (4).
Предположим теперь, что (М, Р) и (М, Р±) — параллельные слоения па (М,д). Так как касательные векторы к геодезической образуют поле параллельного переноса, то из определения параллельных слоений вытекает их вполне геодезичность, поэтому из доказанной импликации
(2) ^ (3) следует, что оба указанные слоения являются псевдоримановыми. Таким образом, (4) ^ (1). * * □
6.3. Группы голономии параллельных слоений.
Предложение 6. Если F — параллельное слоение на псевдоримановом многообразии (М,д), причем метрика на слоях не вырождается, а дополнительное по ортогональности распределение — связность Эресмана для, F, то почти каждый слой, слоения F имеет тривиальную группу голономии.
Доказательство. Из условия вытекает существование дополнительного по ортогональности к F параллельного слоения F ±. Так как TF^ — связность Эресмана для F, то из Теоремы 5 следует, что двуслоение (F, Fнакрыто произведением, то есть универсальное накрытие для М имеет вид к : М1 х М2 ^ М, причем k*F = {М1 х {z} | z £ М2}. Зафиксируем хо £ Ми (yo,Zo) £ М1 х М2,. p\(yo,zo) = хо. Обозначим через L и L± слои слоений F и F±, проходящие через xq. Положим М1 = М1 х {zo} и М2 = {уо} х М2. Пусть = gh, и g2 = glL±. Так как k|mi : ^ L и к1м2 : М2 ^ L^ — универсальные накрывающие отображения, то определены псевдоримановы многообразия (М\, n*gi) и (М2, к*д2)• Поскольку (М,д) локально является произведением псевдоримановых многообразий, индуцированных на локальных слоях слоений F и F ±, то псевдориманово многообразие (М1 х М2,п*д) является произведением псевдоримановых многообразий (М1,к*д1)и (М2, к*д2).
Фундаментальная группа k\(M,xq) действует на М\ х М2 как группа накрывающих преобразований G накрытия и, сохраняюшая структуру произведения и псевдориманову метрику к*д. Поэтому на М2 индуцируется группа изометрий Ф и определен эпиморфизм групп % : G ^ Ф. В силу квазианалитиности действия группы Ф на М2, группа голономии Г(Ь, х) произвольного слоя L = L(х) слоения F изоморфна стационарной подгруппе Ф? группы Ф в точке z £ рг(к-1 (х)), где рг : М\ х М2 ^ М2 — каноническая проекция на второй соиножитель. Следовательно, слой L = L(x) имеет тривиальную группу голономии тогда и только тогда, когда группа Фг тривиальна при z £ рг(к-1(х)).
Пусть fix(ip) — множество фиксированных точек изометрии ф £ Ф. Докажем, что объединение всех слоев слоения (М, F) с нетривиальными группами голономии имеет меру ноль в М. Это эквивалентно тому, что множество К = |Jfix(ip) имеет меру ноль в М2.
Напомним, что подмножество N m-мерного многообразия имеет меру ноль, если в каждой точке существует такая карта (U, f) этого многообразия, что подмножество f (U П N) С Rm имеет меру нуль в Rm.
Пусть ф — любой элемент из Ф и z — произвольная точка из fix(tp). Так как псевдори-манова метрика определяет G-структуру первого порядка, существует изоморфизм ц : Фх ^ ОФх, ¡л,({ф}х) = ф*х, стационарной подгруппы Фг на линейную группу ОФх, ставящий в соответствие любой изометрии ф £ Фг диференциал ф*х в точке z.
Существует окрестность нуля Wo в TzМ2 такая, что экспоненциальное отображение Explw0 : Wo ^ М2 является диффеоморфизмом на открытую окрестность W точки z в М2. В силу непрерывности ф*х найдется окрестность W' нуля в TzМ2, для шторой ф*х(W') С Wo. Пусть W' = Exp(W'). Поскольку ф — изометрия, она удовлетворяет равенству
Ехр о ф*х 1щ =ф о Ехр 1щ,
следовательно, Ехр-1(/гх(ф) П W') = ¡'гх(ф*г) П Wq .Так как ф*х — нетривиальное линейное отображение векторного пространства TZM2, то /гх(ф*г) — собственное подпространство в TZM2, поэтому множество f iх(ф*х) П Wq имеет меру ноль в TZM2 = R9. Заметим, что (W', Exp-1lw>) можно рассматривать как карту в точке z на многообразии М2. Следовательно, множество f гх(ф) имеет меру ноль в М2. Так как группа Ф не более, чем счетная, отсюда вытекает, что множество К также меру ноль в М2. □
6.4. Доказательство Теоремы 4. Предположим, что (М, д) — невырожденно приводимое псевдориманово многообразие, a F и F^ — его параллельные слоения дополнительной размерности, причем M = TF^ — связность Эресмана для слоения (M,F). По Лемме 2 слоения F и F^ являются одновременно вполне геодезическими и псевдоримановыми. Поэтому псевдогруппа
голономии слоения (М, Ь) образована локальными изометриями и является квазианалитической. Отсюда в силу Предложения 1 вытекает хаусдорфовость графика ). Согласно Теореме 1 графики 0(Ь) и Ош(Г) канонически изоморфны и отождествляются, и утверждение 1 доказано.
Согласно [11, Теорема 2] индуцированное слоение (О(Ь), F) также псевдориманово, то утверждение 2 следует из Предложения 6 и утверждений 2 и 3 Теоремы 3.
Покажем, что распределение N интегрируемо. Для любого X е Х^О(Р)) по свойству дифференциала Рг*(Х) е Хш(М) при г = 1, 2. Учитывая это, в силу интегрируемости Ш, мы имеем Р1*([Х,У]) = [Р1*(Х),ри(У)] е Хш(М) и Р2*([Х,У]) = [Р1*(Х),Р2*(У)] е Хш(М). Отсюда, принимая во внимание, что N = р\Ш П р*Ш, мы получаем [X, У] е Хщ_(0(Ь)). По теореме Фробениуса распределение N интегрируемо и определяет слоение, которое обозначим через Ь<л. Из Теоремы 2 вытекает, что слоения Ьт и F — вполне геодезические. Согласно Лемме 2 это эквивалентно тому, что (Ь<л, F) — пара дополнительных по ортогональности параллельных слоений.
Покажем, что распределение Ш(2) интегрируемо. Возьмем любые векторные поля X, У, касательные к
Ш(2)
Пусть Z := [X, У\. Так как Ш(2) = ТЬ(1) ф N = р*Ш, то благодаря интегрируемости распределения Ш = ТЬ^ выполняется цепочка равенств
Рп^) = р1*([Х,У]) = [р1*(Х),р1*(У)] е Хш(М), поэтому необходимо, чтобы Z е ХШ(2) (С(М)).
Ш(2) (2)
слоение,
для которого Ш(2) = ТТ(2) . По условию слоения (М, Ь) и (М, Ьпараллельны, поэтому из Леммы 2 следует вполне геодезичность слоения (М,Ь). По Теореме 2 вполне геодезичность слоения (М, Ь) влечет вполне геодезичность слоения (С(Г),Г(2)), а согласно [11, Теорема 2] псевдори-мановость (М,Ь) влечет псевдоримановость слоения (0(Т),Ь(2^), поэтому благодаря Лемме 2 дополнительные по ортогональности слоения Ь(2) и Т(2) па графике (0(Т),с!) параллельны. Аналогично доказывается параллельность пары дополнительных по ортогональности слоений (Ь(1),Т(1)). Таким образом, утверждения 2 и 3 доказаны.
Рассмотрим универсальное накрывающее отображение / : 0(Ь) ^ ). Так как
N = ТР<Л — интегрируемая связность Эресмана для слоения (С(М), F), то по Теореме 5 С(Ь) = Ц^ х Ь — произведение односвязных многообразий, причем f *р<л = {Ь>п х {г>} | V е Ь} и /*F = {{и} х Ь | и е Ьт}. № Теоремы 2 следует, что Ь = Ьо х Ьо, где /^^ : Ьо ^ Ьо — универсальное накрывающее отображение для Ьо. Таким образом, ) = х Ьо х Ьо. Поскольку двуслоение (Т (2),Р(2)) накрыто произведением (Ьт х Ьо) х Ьо, то, согласно Теореме 5, ТЬ(2) — интегрируемая связность Эресмана для слоения (С(Ь), Т(2^) и наоборот, Т Т(22) — интегрируемая связность Эресмана для (0(Ь ),Ь(2)). Аналогии но, ТР(1) — интегрируемая связность Эресмана для (С(Р), Т(1)) и наоборот. Отсюда вытекает утверждение 4 доказываемой теоремы. □
7. Два класса исследуемых слоений
7.1. Доказательство предложения 4. Семейство кусочно гладких геодезических любого псевдориманова многообразия образует систему путей в смысле [18]. Следовательно, на каждом слое (Ьа, д) слоения (М,Ь) определена система путей. В силу полноты индуцированной метрики на слоях, аффинный параметр на каждой геодезической, лежащей в слое, изменяется на всей числовой прямой. Это означает полноту указанной системы путей. Согласно Лемме 1 и [16, Предложение 2.7] благодаря вполне геодезичности слоения (М, Ь), для любой интегральной кривой а распределения Ш локальный горизонтальный голономный диффеоморфизм Ф а : Ц~о ^ и1 является изометрией. Следовательно, Ф а отображает геодезическую в геодезическую с сохранением параметра. Это означает, что слоение (М, Ь) Ш-согласовано с системами путей па слоях, поэтому из [18, Теорема 6.1] вытекает, что Ш — связность Эресмана для слоения (М,Ь).
7.2. Надстроечные слоения над псевдоримановыми многообразиями. Надет,роенные слоения. Пусть (В, дв) — произвольное т-мерное псевдориманово многообразие и Т — любое гладкое ^-мерное многообразие. Предположим, что задан гомоморфизм р : С ^ Ог//(Т) группы С = П1(В,Ь) в групп у Ог//(Т) диффеоморфизмов многообразия Т. Пусть группа С действует справа как группа накрывающих преобразований на универсальном накрывающем пространстве Б. Тогда равенство /(х,1,д) = (х ■ д, р(д~г)^)), где (х,1,д) е В х Т х С, определяет правое
действие группы G на произведении многообразий В х Т. Фактор-отображение f : В х Т ^ M на фактор-многообразие M := (В х Т)/G индуцирует гладкое слоение F = {/(В х {f}) | v G Т} на M, которое называется надстроенным и обозначается через (M,F) = Sus(Т,В,р). Проекция р : M = (В х Т)/G ^ В = В/G образует локально тривиальное расслоение, которое называется ассоциированным,. Группа Ф = р(тг\(В, Ь)) называется структурной группой надстроечного ( M, F)
7.3. Доказательство предложения 3. Пусть р : M ^ В — ассоциированное расслоение, а M — распределение, образованное касательными пространствами к его слоям. Любое векторное поле X на M однозначно представимо в виде X = XF + Xм, где XF G Xp(M), Xм G Xm(M). Пусть gM — псевдориманова метрика M, не вырождающаяся на слоях слоения (M, F). Указанная метрика дм существует, поскольку в качестве дм можно взять произвольную риманову метрику. Тогда равенство
g(X, Y) := (р*дв)(XF, YF) + дм(XM, Yм) VX, Y G X(M)
M.
ет, что р : M ^ В — псевдориманова субмерсия (M, g) на (В, дв). Следовательно, локальные
F
F
(M, д). По свойству надстроечного слоения, сужение piьа проекции р на произвольный слой La слоения F является накрывающим отображением на базу В, следовательно, р1ьа : La ^ В — псевдориманово накрывающее отображение. Отсюда вытекает, что слои La, наделенные индуцированной псевдоримановой метрикой, являются полными псевдоримановыми многообразиями тогда и только тогда, когда (В, дв) — полное псевдориманово многообразие.
Полнота метрики дв нами не предполагается. Таким образом, построено вполне геодезическое слоение ( M, F) на псевдоримановом многообразии (M, д) с индуцированной псевдоримановой метрикой на слоях, причем ортогональное ^-мерное распределение M является интегрируемой связностью Эресмана для этого слоения. Итак, утверждения 1) - 3) доказаны.
G( F),
голономии H(F) слоения F определяется преобразованиями из группы Ф := р(тт\(В, Ь)) С Dif /(Т), то, применяя Предложение 1, мы заключаем, что график G(F) хаусдорфов тогда и только тогда, когда группа Ф квазианалитически действует на Т. Это доказывает утверждение 4).
Таким образом, слоения, полученные надстройкой гомоморфизма фундаментальной группы псевдориманова многообразия, принадлежат к исследуемому классу слоений.
GM( F)
(M,F) является хаусдорфовым, гладким (2т + q) -мерным многообразием с псевдоримановой метрикой d. Слои канонических проекций, р\ и р2 — вполне геодезииеские т-мерные подмногообразия в (Gw(F),d), изометричные любому слою (Lo,d) с тривиальной группой М-голономии слоения (M, F), если таковой существует, q-мерное распределение N, ортогональное индуцированном,у вполне геодезическом,у слоению F; интегрируемо и является касательным, к некоторому псевдоримановом,у слоению.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Н.Е. Winkelnkemper The graph of a foliation// Ann. Global Anal. Geom. V.l, no 3. 1993. P. 51-75.
2. I. Tamura Topology of foliations: An Introduction. Translations of Mathematical Monographs. V. 97. AMS. 1992. 193 p.
3. A. Connes Non-commutative geometry, Boston: Academic Press. 1994. 654 p.
4. R. Blumenthal, J. Hebda Ehresmann connections for foliations// Indiana Univ. Math. J. V.33, no 4. 1984. P. 597-611.
5. R. Blumenthal, J. Hebda Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations// Quarterly J. Math. Oxford Ser. (2), V. 35, 1984. P. 383392.
6. Жукова Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев// Изв. вузов. Матем. № 2. 1994. С. 79-81.
7. Жукова Н.И. Свойства графиков Эресмановых слоений// Вестник ИНГУ. Сер. Мат. Вып. 1. 2004. С. 73-87.
8. N.I. Zhukova Singular foliations with Ehresmann connections and their holonomy groupoids, Banach Center Publ. V.76, 2007. P. 471-490.
9. N.I. Zhukova Local and global stability of compact leaves and foliations// J. of Math. Phvs., Analysis and Geometry. V. 9, no 3. 2013. P. 400-420.
10. R. A. Wolak The graph of a totally geodesic foliation// Annales Polonici Mathematici. V. 60, no 3. 1995. P. 241-247.
11. A.Yu. Dolgonosova, N.I. Zhukova Pseudo-Riemannian foliations and their graphs // Lobachevskii Journal of Math. V. 39, no 1. 2018. P. 54-64.
12. B. O'Neill Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity. New York, London: Academic Press. 1983. 483 p.
13. A. Gray Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersions// J. Math. Mech. V. 16. 1967. R 715-737.
14. G. Baditoiu Classification of Pseudo-Riemannian submersions with totally geodesic fibres from pseudo-hyperbolic spaces// Proceedings of the London Math. Soc. V. 105, no 6. 2012. P. 1315-1338.
15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии Т. 1, М.: Наука Пресс. 1981.
16. К. Yokumoto Mutual exclusiveness along spacelike, timelike, and lightlike leaves in totally geodesic foliations of lightlike complete Lorentzian two-dimensional tori// Hokkaido Math. J. V. 31, no 3. 2002. P. 643-663.
17. S. Kashiwabara The decomposition of a differentiable manifolds and its applications// Tohoku Math. J. (2), V. 11, no 1. 1959. P. 43-53.
18. Жукова Н.И. Слоения, согласованные с системами пут ей/ / Изв. вузов. Матем. № 7. 1989. С. 5-13.
19. Н. Wu On the de Rham decomposition theorem// Illinois J. Math. V. 8, no 2. 1964. P. 291-311. Нина Ивановна Жукова,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Большая Печерская ул., 25/12, , 603155, Нижний Новгород, Россия E-mail: nina.i .zhukovaShse .ru
