Накрытия полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 2. С. 10-15.

УДК 519.8 Е.А. Мещеряков

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

НАКРЫТИЯ ПОЛНЫХ ПЛОСКИХ СТРОГО ПРИЧИННЫХ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Covers of complete flat strictly casual Loretzian manifolds are described.

Введение

В статье рассматриваются полные плоские лоренцевы многообразия, т. е. геодезически полные лоренцевы многообразия с нулевыми кривизной и кручением. Они могут быть реализованы как фактор-пространства Мп/Г, где Мп - п-мерное пространство-время Минковско-го, а Г - дискретная подгруппа группы Пуанкаре, действующая свободно и собственно разрывно на Мп (в этой ситуации Г изоморфна л (М)). Кроме того, они могут быть определены как полные аффинные многообразия с согласованной лоренцевой метрикой.

Если многообразие М не допускает замкнутых временеподобных кривых, то оно называется причинным. Выбор начала координат о в Мп позволяет отождествить Мп с вещественным векторным пространством V, в котором задана лоренцева форма 1 сигнатуры (+,-, ..., -); причинная структура задается конусом С (один из двух конусов, определяемых соотношением 1(у, у)>0). Если М причинно, а прошлое и будущее любой точки р из М замкнуты в некоторой окрестности р, то М называется строго причинным (при этом будущее или прошлое могут оказаться незамкнутыми).

В дальнейшем, если не оговорено противное, многообразия предполагаются лоренцевыми, полными, плоскими и строго причинными. В

[2] они были найдены с точностью до конечных накрытий; точнее, в [2] было явно построено действие Г. В [1] каждому такому многообразию была сопоставлена кривая, которая его однозначно определяет. Кривая расположена в конусе положительно определенных квадратичных форм и может быть параболой, лучом или точкой. В [4] была получена классификация многообразий указанного класса. В данной работе найдены все накрытия в наиболее важном подклассе таких многообразий.

Предварительные сведения

Согласно [2, теорема 1], каждое строго причинное плоское полное лоренцево многообразие конечно накрывается пространством векторного расслоения с (произвольной) ограниченной группой голономии и унипотентной базой. Последнее означает, что Г состоит из аффинных преобразований с унипотентной линейной частью; мы будем рассмат-

© Е.А. Мещеряков, 2008

ривать только этот случай. Согласно [2, теорема 2], унипотентное многообразие этого типа допускает конечное накрытие многообразием описанного ниже вида.

Основная конструкция

Фиксируем вектора Уо, VI такие, что 1(У1,У1)=0 для 1=0,1, для которых выполняется равенство 1(Уо,У1)=1$. Обозначим

Ь=Куо, W=L\ Н="^У1Х; 1_0(у)=1(уо,у).

Гиперплоскость W есть прямая сумма N и L, она касается границы конуса - дС в точке У0; очевидно, WПдC - полупрямая в L. Форма 1 не положительна и вырождена на W и не вырождена и отрицательна на N. Пусть Т - произвольное линейное подпространство N Г - решетка в Т (коком-пактная подгруппа аддитивной группы Т) и а - линейное отображение, симметричное по отношению к 1: а:Т ^ N 1(ах, у)=1(х, ау), х, у из Т. Аддитивная группа Т аф-финно действует в V по формулам А(х)у=у+1_0(у)ах-(1(ах,у)+

+ 1/2 _0(у)1(ах,ах))у_0, (1)

т(х)=х-1/2 1(ах,х)у_0, (2)

Yx(v)=A(x)v+x(x).

Следующее условие необходимо и достаточно для того, чтобы действие Т было свободно, а действие Г - свободно и собственно разрывно:

кег(1+Ба)=0 (3)

для всех вещественных б. Отображение а можно единственным образом представить в виде а=а’+а’’, где а’:Т ^ Т$ - самосопряженное преобразование Т, а а’’:Т ^ Тх П N$. Следуя [1], набор (п, т, г, к), где п=^т М, m=d1m Т, г=d1m а''Т, k=d1m кег а, будем называть сигнатурой многообразия М. В работе [1] было показано, что сигнатура не зависит от реализации в виде основной конструкции и что выполняются следующие неравенства:

п > m+k+2, m > г+к. (4)

Согласно [1], многообразие М полностью определяется набором У0, У1, Т, а, Г, 1, поэтому мы в дальнейшем будем писать М=М(У0, У1, Т, а, Г, 1).

Обозначим через Г алгебраическое замыкание группы Г, т. е. замыкание в топологии Зарисского в группе Лйй^) всех аффинных преобразований V. Согласно [1, предложение 1], справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. Группа Г изоморфна векторной группе Т; более того, алгебраическое замыкание Г-орбиты любой

точки V совпадает с T-орбитой той же точки.

Следующее предложение выполняется согласно [2, теорема 2].

Предложение 2. Любое полное плоское строго причинное лоренцево многообразие M=V/r может быть реализовано как тотальное пространство расслоения над V/T, слои которого - торы Tv/Tv, v из V.

Доказательство. Пусть S - объединение аффинных подпространств

St=((I+ta)T)x П Wt, t из R, где Wt={v из V: l_0(v)=t}$. Из (3) следует, что S гомео-морфно векторному пространству V/T. Пусть v принадлежит Wt; обозначим через u ортогональную проекцию v на (I+ta)T (определение корректно, так как форма l не вырождена на N). Тогда существует единственный x из T$ такой, что u+x+tax=0. Так как vo, v^N и A(x) из SO(V, l), то (1) и (2) влекут, что любая T-орбита в V пересекается с S ровно по одной точке. Другими словами, V может быть представлено в виде V = S х T . Поэтому M = V / Г = V / T х T / Г , а так как S=V/T, то M гомеоморфно произведению V / T х T / Г .

Согласно предложению 1, можно считать, что Г - решетка в T (так как T - алгебраическое замыкание Г). Поэтому T/Г -связная компактная абелева группа, т. е. тор.

Аффинные накрытия

Пусть Mi и M2 - полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия. Отображение v:Mi ^ M2 называется аффинным, если оно аффинно в локальных координатах на Mi и M2. В этом разделе мы ограничимся рассмотрением аффинных отображений (очевидно, лоренцевы многообразия M1 и M2 имеют естественную нижележащую аффинную структуру). Если v - накрытие, то dim M1=dim M2; обозначим

n=dim M1=dim M2.

Будем считать, что Mj=Vj/Fj, j=1, 2, где

V1, V2 - n-мерные вещественные векторные пространства с лоренцевыми формами l1, l2 соответственно. Обозначим через Kj отображения факторизации Vj ^ Mj. Отображение v индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп V* : п1 (M1) ^

^ П1(М2). Согласно [5, теорема 76], гомоморфизм v* инъективен. Отождествляя Г1 и v*(T1)$, можно считать, что Г1 - подгруппа Г2; однако из этого не следует, что

М1 можно получить, заменяя Г2 на Г1 при реализации М2 в рамках основной конструкции, сохраняя остальные параметры. Ниже будет показано, при каких условиях на накрытие М2 можно реализовать в виде основной конструкции с теми же параметрами, что и Мі, и заменой Гі на Г2.

Предложение 3. Любая пара точек

V є V и у2 єУ2, удовлетворяющих соотношению

ККіО'і)) = К2(У2) , однозначно определяет невырожденное аффинное отображение a:V1 ^ V2 такое, что а(у1)=у2 и следующая диаграмма коммутативна:

V

М1 ------► М2

\ К1 \ К (5)

а ^

Доказательство. Так как V, К1, К2 -

накрытия, то композиция V и К1, и К2 отображают достаточно малые окрестности и1, и2 точек У1, У2 (соответственно) взаимно однозначно на окрестность и точки Р^(К:(У1))=К2(У2). Это определяет ветвь а:и1 ^ и2 отображения K2-1ovoKl. Ясно, что а аффинно и не вырождено. Поэтому оно единственным образом продолжается до взаимно однозначного аффинного отображения Vl ^ V2.

Осталось заметить, что а по построению замыкает диаграмму (5) локально, а поэтому и глобально.

Замечание 1. Линейная часть отображения а есть дифференциал отображения V в точке р1=К1(У1) (в обозначениях предложения).

Замечание 2. Наличие взаимно однозначного отображения а, замыкающего коммутативную диаграмму (5), позволяет отождествить пространства V! и V2; очевидно, при этом Г1 реализуется как подгруппа Г2. В дальнейшем под V мы будем понимать отождествленные Vl и V2.

Так как Г1 - подгруппа в Г2, то алгебраическое замыкание Г1 содержится в алгебраическом замыкании Г2. Поэтому для любой точки V из V

л л

Г V с Г2у . (6)

Определим пространство Ti как касательное пространство к Г1 -орбите точки p из Mi; аналогично определяется Т2. В силу [1, предложения 1], Tj как векторная

группа изоморфна группе Гj . Из (6) следует, что Ti - подпространство Т2.

Теорема 1. Пусть полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия M1 и М2 имеют сигнатуры (n, mj, rj, kj), j=1, 2. Аффинное накрытие v:Mi ^ М2 конечнолистно тогда и только тогда, когда mi=m2.

Доказательство. Пусть Mj=M(voj, vj Tj, aj rj, li). Так как гомоморфизм v* инъ-ективен, то можно считать, что Ti вложена в r2 как подгруппа.

Если накрытие конечнолистно, то Ti -подгруппа конечного индекса в r2, т. е. пространство Г2/П конечно; тогда и

Г2/Гх конечно. Согласно предложению i,

Г j изоморфна векторной группе Tj. По

определению сигнатуры, mj=dim Tj; это означает, что T2/T изоморфно Rm, где m=m-mi и T2/Ti конечно, что возможно лишь при mi=m2.

Обратно: так как v - накрытие, то Ti -

подгруппа в Г2. Кроме того, Tj = Г j , откуда Ti подпространство в T2, а так как dim Ti=mi=m2=dim T2, то Ti=T2. Рассматривая Tj как решетку в Tj, получаем, что Ti -подрешетка T2. Поскольку каждая решетка в аддитивной группе Rn изоморфна Zn, то Ti - подгруппа конечного индекса в T2, что и завершает доказательство теоремы.

Многообразие M=M(vo, vi, T, a, T)=Y/T можно рассматривать как расслоение над пространством Y/T, слоем которого является тор T/T (см. предложение 2), группа T считается вложенной в T.

Следствие 1. Пусть v:Mi ^ M2 - аффинное конечнолистное накрытие. Тогда накрытие v послойно и индуцирует взаимно однозначное отображение баз.

Доказательство. Пусть Mj=M(voj vij, Tj, aj Tj, lj). Так как накрытие конечнолистно, то Ti=T2=T$. Таким образом, базы расслоений для многообразий Mi и M2 изоморфны Y/T. Слой для многообразия Mj - это T/Tj-орбита. В силу предложения i, (6) и совпадения алгебраических замы-

каний Г1 и Г2, Т-орбита переходит в Т-

орбиту под действием отображения а из (5). Так как Г1 - подгруппа в Г2, то Т/Г1 накрывает Т/Г2.

Согласно предложению 2 и следствию 1, конечнолистное накрытие многообразий М1 ^ М2 задается накрытием торов Т/Г1 ^ Т/Г2.

Лоренцевы накрытия

Будем использовать следующие термина::

- накрытие v:Ml ^ М2 конформно, если для каждой точки р из М1 существует константа Ср>0 такая, что 12(dpV(u), dРv(v))=cp11(u, у) для всех и, V из ТРМ1;

- V гомотетично, если оно конформно и константа с=ср>0 не зависит от р; в этом случае с будем называть коэффициентом гомотетии;

- V изометрично, если оно гомотетично с коэффициентом С=1.

Конформные накрытия сохраняют причинную структуру, так как они сохраняют конус будущего в любой точке V. Кроме того, они сохраняют свойство векторов быть ортогональными.

Лемма 1. Любое аффинное конформное отображение V: V ^ V гомотетично.

Доказательство. Аффинное отображение имеет вид V ^ ау+Ь, где а из \GL(V) и Ь из V. Поэтому dpV=a для любой точки р из V. В силу конформности 1(ау, ау)=Ср1(у, у) при всех V из TpV=V, а так как левая часть равенства не зависит от р, то и Ср не зависит от р.

Теорема 2. Любое аффинное конформное накрытие V: М1 ^ М2 полных плоских строго причинных многообразий гомотетично.

Доказательство. Любое аффинное конформное накрытие многообразий можно поднять до аффинного отображения универсальных накрывающих с сохранением конформности (см. предложение 3). Поэтому утверждение следует из леммы 1.

В силу теоремы 2, в дальнейшем можно считать, что конформное накрытие М1 ^ М2 гомотетично. Следующее предложение позволяет установить связь между некоторыми параметрами основной конструкции для М1 и М2.

Предложение 4. Пусть V: М1 ^ М2 -гомотетичное накрытие. Тогда многообразия М1, М2 допускают реализации

М]=М(у0], V) Т), а!, Г], 1))^/Г], j=1, 2, такие, что

(1) Т1 - подпространство Т2;

(2) вектора У01 и У02 пропорциональны;

(3) а2 |Т = еа1, где с - коэффициент гомотетии.

Доказательство. Так как гомоморфизм V* инъективен, то, отождествляя Г1 с v*(Гl), можно считать, что Г1 - подгруппа в Г2 . Используя предложение 1, получаем,

что Г1 = Т1 подгруппа в Г2 = Т2 Таким образом, Т1 - подпространство в Т2 (Т1 изоморфно а(Т1)), что и доказывает (1).

Обозначим через Н] линейные оболочки векторов вида (А(х)-1)у, где х из Т], V из V. Так как Т1 подпространство в Т2, то Н1 содержится в Н2. При доказательстве [1, предложение 2] было получено следующее выражение для пространства Н):

Н)=аТ]+КУ0]. Пространство Н] содержит единственную ^-изотропную прямую Rvо]=L], так как оно содержится в касательном пространстве к конусу будущего в точке У0]. Так как свойство изотропности сохраняется благодаря конформности V, то L1=L2. Поэтому У01 и У02 пропорциональны, т. е. верно (2).

Согласно основной конструкции, действие групп Г] (и групп Т]) определяется формулами

Yx](v)=v+(1+1оj(v)aj)x-

-1/21]((1+10](у)а])х+2у,ах)У0], (7)

х из Г].

Так как Т1 - подпространство Т2, то для х из Т1 формулы (7) совпадают при ]=1, 2. Рассмотрим Yx](v), факторизуя по Ll (или по Ьэ, что неважно, так как они совпадают), получаем

101(у)а1=102(у)а2 на Т1.

Выберем произвольный вектор V такой, что 10](у) не равно 0, для ]=1, 2; тогда

а2 |Т1 = еа1, где с=10!(у)/Ъ2(у). (8)

Следствие 2. Аффинное конформное накрытие v:Ml ^ М2 конечнолистно тогда и только тогда, когда сигнатуры М1 и М2 совпадают.

Доказательство. Если совпадают сигнатуры, то ml=m2; из определения сигнатуры и теоремы 1 следует, что накрытие V конечнолистно.

Пусть V конечнолистно. Тогда П1=П2, так как V - накрытие и ml=m2. Последнее следует из теоремы 1. Кроме того, из той же теоремы следует, что Т1=Т2. Используя это, а

также пункт (3) предыдущего предложения, получаем, что ki=k2 и ri=r2 (так как a2=cai, kj= dim ker a и rj=mj-kj-dim(ai T П T)).

Пусть Mj=M(voJ, vj Tj, aj, Tj, j и Mj=Y/Tj, выберем в пространстве Y базис {eo,...,en-i} так, чтобы vo2=eo, vi2=en-i, {ei,^,em} - базис T2 и {em+i,.,em+r} - базис R2=a''2 T (см. определение сигнатуры). Тогда форма l2 примет вид: l2(v,v)=2vo vn-i -vi vi-...-vn-2 vn-2, где v=(vo,.,vn-i).

Вектора vj voj определяют пространства Nj=(voj)± П (v^. В силу пункта (2) предложения 4, voi=x eo, где x из R. Заметим, что пространство Ti+aj Ti не зависит от j, в силу пункта (3) предложения 4. Условие гомотетичности и предложение 4 позволяют связать почти все параметры основной конструкции многообразий Mi и M2; следующее предложение показывает, как связаны вектора vi1 и vi2.

Предложение 5. Пусть v:Mi ^ M2 -гомотетичное накрытие с коэффициентом гомотетии с и vi1=xo eo +v’+Xn-i en-i, где v’ из N2. Тогда

(1) Xn-i=1 / с x;

(2) v' из (Ti+aj Ti)x;

(3) xo=x/2c <v’,v’>.

Доказательство. Пункты (i) и (3) следуют из соотношений 1=l(vo2, vi2)=c l(vo1, vi1) и l(vi1, vi1) = o. По определению vi1 N1 и, кроме того, N1 подпространство (Ti+aj Ti), что и влечет пункт (2).

В качестве вектора v’ можно выбрать произвольный пространственноподобный (l2(v’, v’)<o) вектор из Y с сохранением условия (2) предложения 5. Действие подгруппы Ti однозначно определяется вектором vo1 и отображением ai (в частности, пространство Ti может быть задано как область определения отображения ai). Это позволяет изменить реализацию Mi в виде основной конструкции так, чтобы вектор vi1 был коллинеарен вектору vi2, то есть v'=o, при этом действие группы Ti не изменится.

Из определения гомотетичного накрытия следует, что его можно представить в виде композиции гомотетии вида (M, l) ^ (M, с l) и изометрического накрытия. Поскольку любое аффинное конформное накрытие гомотетично (см. теорему 2), это позволяет свести их классификацию к случаю изометричных накрытий.

Пусть M=Y/T. Любая подгруппа T’ группы T задает изометрическое накрытие v:Y/T’ ^ Y/T. Не очевидно, что любое

изометричное накрытие может быть получено таким образом. Пусть v:V/Г’ ^ V/Г

- изометричное накрытие. Тогда Г’ изоморфна подгруппе v*(Г’) группы Г. Последнее не означает, что действия Г’ и v*(Г’) совпадают на V. Тем не менее это верно, т. е. накрывающее многообразие М’ может быть реализовано в виде основной конструкции с теми же параметрами, что и база М, с заменой Г на Г’.

Теорема 3. Пусть v:M’ ^ М -

изометричное накрытие и М^/Г. Тогда многообразие М’ может быть реализовано как V/Г’, где Г’ - подгруппа Г.

Доказательство.

Пусть М=М(У0, У1, Т, а, Г, 1), и v:M’ ^ М$ - изометричное накрытие. Покажем, что М’ может быть реализовано как М(У0, У1, Т’, а|Т’, Г’, 1)$. Предположим, что М’=М(у’0, у’1, Т’, а’, Г’). Тогда Г’ - подгруппа в группе Г. Согласно пунктам (1) и (3) предложения 5, вектора У0, У1, у’0, у’1 связаны соотношениями

Уо=!Д У0, у’1=1у!+у’+!/21 <У’,У’>У0.

Из соотношения У0=!Д у’0 и формулы (8) получаем, что а^Д а’. Замена тройки параметров (1У), !Д У1, 1а) на тройку (У0, У1, а) не изменяет многообразие, так формула: действия для Г не меняются при такой замене. Поэтому мы может считать, что 1=1. Более того, так как у’ - произвольный вектор из (Т+аТ)х, то при реализации М’ в виде основной конструкции можно считать, что у’=0, т. е. что у’1=уь Таким образом, применяя предложение 4, мы получаем, что М’=М(У0, У1, Т’, а|Т’, Г’, 1).

Обратно: пусть М’=М(У0, У1, Т’, а|г, Г’,

1). Очевидно, действие Г’, определенное как действие подгруппы Г, совпадает с действием Г’. Отображение V определим следующим образом:

v(p)=K2◦Kl-1(p) (9)

для р из М’. Определение корректно, так как v(p) не зависит от выбора прообраза из к1-1р. Действительно, пусть У1, У2 из к1-!р. Тогда у2 принадлежит Г’-орбите точки У1, а так как Г’ - подгруппа Г, то У2 принадлежит и Г-орбите точки У1, следовательно, К2(у 1)= =К2(У2). То, что V - аффинное накрытие, следует из определения V, а изометричность следует из равенства 1’=1.

Следствие 3. Если существует изометрическое конечнолистное накрытие М1 ^ М2, то М1 и М2 почти причинно изо-метричны.

Доказательство. Пусть Mj=V/Fj. Тогда, согласно теореме 3, Г1 - подгруппа группы Г2. Конечнолистность накрытия гарантирует, что алгебраические замыкания групп Г1 и Г2 одинаковы. Таким образом, при реализации многообразий Mi и M2 в виде основной конструкции все этапы, кроме выбора решетки в пространстве T, совпадают, что по определению и означает их почти причинную изомет-ричность.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гичев В.М., Мещеряков Е.А. О геометрии пло-

ских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб. матем. журнал. Т. 48. (2007). № 1. С. 75-88.

[2] Gichev V.M., Morozov O.S. On flat complete causal Lorentzian manifolds // Geometriae Dedi-cata. 116 (2005). P. 37-59.

[3] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Со-

временная геметория. М.: Наука, 1979. 760 с.

[4] Мещеряков Е.А. Классификация полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 3. С. 6-9.

[5] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.; Л.:

ОНТИ НКТП СССР, 1938. 315 с.