Наибольшая площадь эллипса, вписанного в сектор круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Наибольшая площадь эллипса, вписанного в сектор круга

Наумов В. А.

Наумов Владимир Аркадьевич /Naumov Vladimir Arkad'evich - доктор технических наук, профессор, кафедра водных ресурсов и водопользования, Калининградский государственный технический университет, г. Калининград

Аннотация: применительно к форме сечения 3-прядных крученых канатов решена задача на нахождение наибольшей площади эллипса, вписанного в сектор круга с центральным углом 120 градусов. Ключевые слова: 3-прядный крученый канат, относительная полезная площадь, вписанный эллипс, экстремум, аналитическое решение.

Введение

При определении прочностных и упругих характеристик канатов важную роль играет относительная полезная площадь X [1-2], равная отношению площади сечения всех прядей S к площади сечения каната S0. В частности, для 3-прядного крученого каната (рис. 1), имеем

я = S/S0 = 3 • S1 /(0,25 'Ж' d2 ),

где Sj - площадь сечения отдельной пряди, d - диаметр каната.

d

Рис. 1. Конфигурация 3-прядного крученого каната (тип А [3])

Данная статья посвящена решению вспомогательной задачи, связанной с относительной полезной площадью каната.

Постановка задачи

Пусть круг диаметром << разбит радиусами на три равные части. Центр круга (точка О) находится в начале координат. В каждый сектор круга вписан эллипс (рис. 2). Эллипс касается внешней окружности (точка Е) и граничных радиусов (точка В). Требуется найти положение и размеры такого эллипса, чтобы его площадь была наибольшей. Следовательно, определению подлежит ордината центра эллипса (точка О1) уе и его полуоси а, Ь. Рисунок 2 является симметричным относительно оси ординат, поэтому далее рассматриваются только положительные значения абсциссы (правая часть сектора).

ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ № 7(19) 2016 | 6 |

О.Е

0.6

0.4

0.2

Л % X \\ О! £ / V

\ —_ — 1 у \

ч ч ч ч ч .60,> ✓ * * 1

О

-I -О.Е -0.6

-0.4 -0.2

0.2

0.4 0.6

О.Е

Рис. 2. Эллипс, вписанный в сектор круга

В общем случае, в правой части сектора эллипс может иметь по две точки пересечения с радиусом ОА (обозначим их В1 и В2) и внешней окружностью (обозначим их Е1 и Е2).

Система уравнений для определения координат точек пересечения В1 и В2, включает уравнение эллипса и уравнение прямой ОА, соответственно:

9 9

X (у ~ Уе) 1 X

+ —-= 1, У = (1)

2

а2 Ь2 " "43

Система уравнений для определения координат точек пересечения Е1 и Е2, включает уравнение эллипса и уравнение окружности:

2 (у- у^,2

X

а

2

+ = 1, X2 + у2 = ^

Ь2 4

(2)

Параметры искомого эллипса можно найти, используя условие, что и система уравнений (1), и (2) должны иметь единственное решение. Решение задачи

Рассмотрим систему уравнений (1). Для удобства обозначим Ь = ка. Выражение, следующее из второго уравнения х2 = Зу2, подставим в уравнение эллипса и преобразуем его следующим образом:

(1 + к2)• у2 - 2Уе • у + У2 - к2а2)= 0

Приравняем дискриминант квадратного уравнения (3) к нулю:

к2 (а2 - 3у2 + 3а2 к 2 )= 0

Из уравнения (4) к = 0 или

-V к2 +1/3

(3)

(4)

уе = а •л/ к~ +1/3 (5)

Далее исключим х2 из системы (2) и получим квадратное уравнение:

'1 Л 2 2уе

тт -1

V к

• у

к

2

• у +

и2

V

4

а2 + ^ к2

= 0

(6)

у

Приравняем дискриминант квадратного уравнения (6) к нулю:

а -1

^ а2

V

к

2

У

V

4

а

у

у 2

+ уе- = 0 к2

(7)

Единственный корень уравнения (7) в рассматриваемой области

| 7 | ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ № 7(19) 2016