CC BY
96
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
\
УДК 539.371
А. С. Иванов, М. М. Ермолаев
НАГРУЖЕНИЕ СДВИГАЮЩЕЙ СИЛОЙ СОЕДИНЕНИЯ БОЛТАМИ, УСТАНОВЛЕННЫМИ С ЗАЗОРОМ
Предложен расчет изменения по длине соединения растягивающей нагрузки и смещений в контактном слое. Учтено влияние касательной податливости контактного слоя соединяемых деталей на работу резьбового соединения. Появились возможности: прогнозировать возникновение фреттинг-коррозии при циклическом нагру-жении; рассчитывать работу сил трения в соединении; оценивать степень неравномерности распределения сдвигающей нагрузки по болтам; разрабатывать конструктивные мероприятия, повышающие надежность соединения.
E-mail: a-s-ivanov@yandex.ru
Ключевые слова: резьбовое соединение, касательная податливость, смещение в контактном слое, локальное проскальзывание, фреттинг-коррозия, неравномерность распределения нагрузки по болтам, относительное рассеяние энергии.
Рассмотрим нагруженное сдвигающей силой резьбовое соединение с длиной поверхности контакта L и шириной B, образованное (рис. 1) пластиной 1 (толщиной 2Н\, шириной B1) и двумя накладками 2 (толщиной h2 и шириной B2), стянутыми болтами 3, которые установлены с зазором. К соединению приложена сдвигающая сила F; 2hi, Bi и h2, B2 — толщина и ширина соединяемых пластины и накладок; f — коэффициент трения в соединении.
В традиционном расчете такого соединения предполагается [1] следующее: стягиваемые детали абсолютно жесткие; несдвигаемость по двум поверхностям контакта стягиваемых деталей обеспечивается силами трения, которые создаются давлением p = zF^j(LB) (z — число
Б-Б
(увеличено)
Рис. 1. Резьбовое соединение, образованное пластиной и двумя накладками
болтов; предполагается высокая изгибная жесткость пластины и накладок), обусловленным затяжкой болтов; болты нагружены осевой силой затяжки и моментом в резьбе, скручивающим стержень болта. Если сдвигающая нагрузка переменная, то на болты действует только статическая нагрузка и у них нет изгибных деформаций. Расчет такого соединения сводится к оценке необходимой силы затяжки болта ^зат и определению его внутреннего диаметра резьбы
^ = . (1) 1 зат . / 1 V1}
ZlстJ^
^^з >,/, (2)
где к\ — запас по несдвигаемости, который в большинстве случаев приближенно принимают равным 1,5; гст — число поверхностей контакта стягиваемых деталей; 1,3 — коэффициент, учитывающий наличие в стержне болта касательных напряжений, возникающих в резьбе от момента, создаваемого при закручивании гайки; [а] — допускаемое напряжение в болте, зависящее от его класса прочности.
В то же время Я.Г. Пановко [2], решая задачу близкого вида — продольное нагружение упругой полосы, прижатой давлением к жесткому основанию, — установил, что в соединении может иметь место локальное проскальзывание. При решении задачи принималось, что коэффициент трения в соединении может иметь только два значения: / — на участках локального проскальзывания; нуль — на участках, где проскальзывания нет. Таким образом, задача решалась в предположениях, что стягиваемые детали упругие, но контакт стягиваемых деталей абсолютно жесткий, т.е. отсутствует касательная податливость контактного слоя стягиваемых деталей. Аналогичный подход к решению подобных задач (определение участков проскальзывания в соединении с натягом, нагруженном крутящим моментом) содержится в работах В.И. Феодосьева [3] и В.Л.Бидермана [4].
Исследование, рассматриваемое в настоящей работе, направлено на совершенствование существующего расчета группового резьбового соединения, нагруженного сдвигающей силой. Совершенствование расчета достигается учетом как податливости стягиваемых деталей, так и касательной податливости контактного слоя. В результате получены следующие зависимости изменения по длине соединения: касательного напряжения т в контакте стягиваемых деталей; смещения 8Т в контакте стягиваемых деталей; растягивающей силы в пластине. Знание распределения касательного напряжения т позволяет прогнозировать длину зоны локального проскальзывания. Меняя силу затяжки винтов, среднюю арифметическую высоту микронеровностей
контактирующих поверхностей, длину поверхности контакта и коэффициент трения в нем, можно либо исключить возможность повреждений от фреттинг-коррозии в соединении при его циклическом на-гружении, обеспечив отсутствие зоны локального проскальзывания, либо минимизировать эти повреждения. Знание распределения смещения 8Т предоставляет возможность оценить как упругие смещения, так и смещения при проскальзывании. По суммарным смещениям (тех и других) можно вычислить изгибные напряжения в винте в случае, если в пластине нарезаны резьбовые отверстия и к ней притягиваются накладки винтами, завертываемыми с обеих сторон в пластину. Зная смещения при проскальзывании, можно прогнозировать сопротивление усталости пластины и накладок с учетом фреттинг-коррозии и демпфирующую способность соединения. Знание распределения растягивающей силы по длине соединения позволяет оценить степень неравномерности распределения сдвигающей нагрузки, приложенной в зоне расположения каждого из болтов.
В работе [5] получено выражение для оценки сближения 8 в контактном слое стягиваемых деталей, возникающего при повторных его нагружениях давлением р,
8 = сер0'5, (3)
где с = Дас0/Е0 5 — коэффициент, учитывающий влияние средней арифметической высоты Да микронеровностей контактирующих поверхностей, безразмерного коэффициента с0 влияния способа обработки поверхностей, приведенного модуля упругости Е = 2Е^2/(Е1 + +Е2) контактирующих материалов; е — коэффициент влияния масштаба, зависящий от длины контакта и способа обработки поверхностей. Если высота микронеровностей двух контактирующих поверхностей разная, то принимают Да = (Да1 + Да2)/2. Безразмерный параметр с0 зависит от вида обработки поверхностей и направления следов обработки; с0 = 160 для контактирующих поверхностей, полученных торцовым точением или строганием в случае параллельности следов обработки, и с0 = 500 в остальных случаях, т.е. для контактирующих поверхностей, полученных шлифованием или фрезерованием независимо от направления следов обработки, полученных торцовым точением или строганием в случае непараллельности следов обработки. Коэффициент влияния масштаба е зависит от допуска А плоскостности, определяемого степенью точности по ГОСТ 24643-81 и наибольшим размером контактной поверхности /, а также от наибольшей высоты Жшах волны волнистой поверхности: е = 8/80, где 80 = ср0'5 — сближение контактных поверхностей, наибольший размер которых /0 = 50 мм. Принято, что при / = 50 мм е = 1; при / < 50 мм е = //50; при / > 50 мм (рис. 2), если 3а1/3 < а, то е = 3а1/3, и если 3а1/3 > а, то е = 0,5а + (1 - а2Д2)1/2, где а = (А - ЖШах)/80.
Рис. 2. Коэффициент влияния масштаба е при 1 > 50 мм (а); волнистость поверхности (б) при обработке фрезерованием (1), строганием (2), точением (3), шлифованием (4); допуск плоскостности (в):
1 — при Яа = 0,32 ... 2,5 мкм (V, VI степени точности); 2 — Яа = 2,5 ... 5 мкм (VII, VIII степени точности); 3 — Яа = 5 ... 16 мкм (IX, X степени точности)
Рис. 3. Зависимости сближения д от нормального давления р (а) и смещения дт от касательного напряжения т (б)
Сближение при первом нагружении также может быть оценено по выражению (3), при этом следует принимать с0 = 1500 ... 2000.
Зависимость 5 от р, соответствующая выражению (3), представлена параболой на рис. 3, а. Тангенс угла а наклона касательной к параболе при р = р! численно равен ек, где к = 0,5Ла с0/(Ер1 )°'5 — коэффициент контактной податливости, мм3/Н, полученный дифференцированием выражения (3) по р.
В статье [6] показано, что касательное смещение 5Т в контактном слое стягиваемых деталей при действии на него давления р! и касательного напряжения т можно вычислить по значениям коэффициентов влияния масштаба е и касательной податливости кТ:
5Т = екТ т, (4)
причем коэффициент касательной податливости равен коэффициенту контактной податливости: кТ = к. Зависимость смещения 5Т от касательного напряжения т линейна (см. рис. 3, б) до предельного касательного напряжения, равного ттахр = /р!, после достижения которого возникает срыв упругого смещения, т.е. имеет место проскальзывание. При этом предельное упругое смещение 5Ттахр соответствует значению
8ттахр = екТ/р1 и тангенс угла в наклона прямой зависимости 8Т от т равен ект, поэтому в = а. Со снижением давления в контакте угол наклона прямой 8Т = / (т) увеличивается, а значение ттахр уменьшается (см. верхнюю ломаную линию на рис. 3, б).
При анализе напряжений и деформаций, возникающих в контакте двух деталей, полученные формулы позволяют рассматривать контактный слой как третье тело пренебрежимо малой толщины [7] с известными податливо-стями в нормальном (контактная податливость стыка) к поверхности контакта и касательном (касательная податливость стыка) направлениях.
Расчетная схема соединения приведена на рис.4, где ^ = ^/2. Принимаем, что пластины на длине Ь равномерно прижаты друг к другу давлением р = г^зат/(ЬВ), где В = шт(В1, В2).
Допущение равномерности прижатия можно обосновать результатами экспериментального исследования Ито, Тойота и Нагата [8], которые установили, что углы конусов давления, возникающих в стягиваемых деталях при затяжке болтов, увеличиваются с понижением чистоты обработки стягиваемых поверхностей, поэтому при достаточной толщине деталей и достаточно малом расстоянии между болтами давление от затяжки болтов на стягиваемых поверхностях, полученных обработкой шлифованием, точением или фрезерованием, становится в значительной степени равномерным. Можно считать толщину Н (если </Н ^ 0,67... 0,83) достаточной и расстояние между болтами / достаточно малым (при //< ^ 8 ... 10, где < — диаметр болта; вариант, когда расстояние / больше указанной нормы, рассмотрен в работе [9]). Принимаем распределение растягивающих напряжений, создаваемых силой по поперечным сечениям стягиваемых деталей равномерным и равным частному от деления сдвигающей силы в этом сечении на соответствующую площадь В1 Н1 или В2Н2.
Условие отсутствия локальных проскальзываний в контактном слое стягиваемых деталей имеет вид
ттахр ^ р/ (5)
где ттахр — наибольшее касательное напряжение в контактном слое при давлении р.
Рис. 4. Расчетная схема соединения до (а) и после (б) нагружения силой
1 и 2 — верхняя и нижняя пластины; 3 — контактный слой
Разделим соединение на п участков и пронумеруем их слева направо (1 ^ % ^ п). Сопротивление силе Ft возникает в результате действия касательных напряжений т« в контактном слое, которые согласно формуле (4) зависят от соответствующих упругих смещений 5«
в %-м сечении: -/Ер5« , Л
т« = ^^-. (6)
0,5Ка с0е
Точка А принадлежит верхней пластине, точка В — нижней, точки С1 и С2 — %-му сечению. При отсутствии сдвигающей силы расстояние от точки А до %-го сечения обозначим /ь от точки В до %-го сечения — /2 (¿1 + /2 = L — общая длина соединения).
Под действием силы Ft точка А смещается на 501 (новое положение обозначено А*), точка В — на 502 (новое положение обозначено В*). В результате как этих смещений, так и растяжения пластин точка С1 верхней пластины переместится в точку С*, точка С2 нижней пластины — в точку С2*. Положения этих точек определяют размеры /* и (см. рте.4): + 5 * Fj Ь
1* = 11 + 501 + 2. ПЁВЙг;
7=1
/* = / + 5 + ^ - ^)Ь.
= /2 + 502 + пЕВЫ .
,=«+1
относительное смещение в контактном слое в %-м сечении составит
5« = /* + /* - /1 - /2 = 501 + £ пЕВ^ + 502 + £ ÍFE-BтЬ. 1 2 ' пЕ1В1Н1 ' пЕ2В2Н2
7=1 7=«+1
Обозначим 50 = 501 + 502. Тогда формула получит вид
« п
5« = 50 + £ А1 Fj + £ Л2(FÍ - Fj), (7)
,7 = 1 7=«+1
ЬЬ
где А1 = ^ ^ ,—, Л2 = ^ ^ ,--податливости участка длиной Ь/п
ЕВ1Н1п ЕВ2Н2п первой и второй деталей.
При уменьшении расстояния между точками А и В (см. рис. 4), возникающем в результате нагружения, будет иметь место 50 > 0, при его увеличении — 50 < 0.
Если силу Fí ограничить величиной, при которой в контакте стягиваемых деталей будут возникать только упругие смещения (на каждом участке разбиения выполняется условие (5)), то система из (п + 1) линейных алгебраических уравнений равновесия получит вид [9]
* = £ 0^ (5°+£ + £ ^ -«))
7=1 ' 0 4 к=1 к=7+1 7
После введения обозначения X к виду
v/EpBL 0,5Ra c0en
система приводится
Fi - Fi-! + XU + Л! Y Fj + A2 Y F¿) = XA2Ft(n - i);
¿=1 ¿=¿+1 7 (8)
^п =
Используя систему уравнений можно найти силы ^ в каждом сечении и смещение £0.
Если силу ограничить лишь величиной р/ВЬ, исключающей проскальзывание по всей поверхности контакта, но допускающей возникновение локальных проскальзываний на участках разбиения с номерами г = 1... г1 и г = г2 ... п, то для определения распределения сил с учетом проскальзываний система уравнений (8) видоизменится:
Fi - Fi_ 1 + X U + Ai
Fj
j=1
Fj + A2 Y Fj j = XA2Ft(n - i) (9)
j=i+1 '
при i1 < i < i2;
Fi - Fi-i = p/BL;
n
(10)
F = F+
1 n L t
при г ^ г1; г ^ г2.
Условиям равновесия (9), (10) с учетом локальных проскальзываний удовлетворяют все решения, для которых г1 > г111т и г2 < г211т, но г1 < г2. При г1 = г2 пластины проскальзывают относительно друг друга по всей площади контакта. Положение сечений г111т и г211т определяется методом последовательных приближений. При первом приближении принимаем г*11т = 1, г211т = п. Если для какого-либо г < г*11т выполняется условие т» > р/, то увеличиваем г*11т на единицу. Аналогично определяется г211т (в данном случае последовательно уменьшаем
2lim
Систему уравнений (9), (10) решим методом Гаусса. Принято, что L = 150 мм; z = 5; h = h2 = 15 мм; ширина пластин B = Bi = B2 = = 30 мм; p = 32 и 72 МПа (такие давления на участке контакта размером BL/ z = 900 мм2 может создать болт М10 классов прочности соответственно 6.6 и 10.9); f = 0,2; Ra = 1,25 и 3,5 мкм; е & 1 (поверхности получены фрезерованием); E = 2,1 • 105 МПа; n = 100. Мы решали задачу при нагружении соединения силой = 19200 Н, при которой согласно традиционному расчету по формуле Ft = pfBL/1,5 давление p = 32 МПа обеспечивает несдвигаемость соединения. Рассмотрим первое (со = 2000) и повторные (со = 500) нагружения контакта стягиваемых деталей. Первое нагружение относится к случаю,
Рис. 5. Изменения по длине поверхности контакта при со = 2000 (а, б, в) и 500 (г, д, е) касательных напряжений т% (а, г), смещений 8% в контактном слое (б, д); силы ^е в пластине (в, е):
1 — р = 32 МПа, Яа =1,25мкм; 2 — р = 32 МПа, Яа = 3,5 мкм; 3 — р = 72 МПа, Яа =1,25 мкм; 4 — р = 72 МПа, Яа = 3,5 мкм; 5 — р = 32 МПа (контактный слой абсолютно жесткий)
когда сила Ft постоянна, повторные нагружения имеют место при переменной гармонически изменяющейся силе Ft. Решение системы (8) для абсолютно жесткого контактного слоя, который рассматривался в работах [2-4], можно получить, если принять с0 < 500. В расчете для этого случая нами принято с0 = 1.
По результатам расчетов построены графики (рис. 5) изменения по длине соединения касательных напряжений т« (а, г), смещений 5« в контактном слое (б, д), силы Fi в пластине (в, е).
Из анализа графиков рис. 5, а и г следует, что наибольшие касательные напряжения создаются по краям соединения. При силе Ft = 19200 Н отмечается срыв упругого смещения в контактном слое, причем зона срыва упругого смещения увеличивается с уменьшением в контакте давления и параметра Да, при р = 32 МПа и Да = 1,25 мкм (кривые 1) она составляет около 45 % длины соединения.
Смещения в средней части соединения (рис. 5, б и д) имеют упругий характер, а в зоне срыва упругого смещения складываются из упругих смещений и смещений при проскальзывании. Смещения
Рис. 6. Зависимость произведения ¿пр • р от давления р в контакте при со = 500:
1 — Яа = 1,25 мкм; 2 — Яа = 3,5 мкм; 3 — контактный слой абсолютно жесткий
увеличиваются с уменьшением давления и увеличением параметра Ла. Наибольшее суммарное смещение 5тах на краях поверхности контакта (при Ь = 0 и Ь = 150 мм) достигает 6 мкм при р = 32 МПа и Ла = 3,5 мкм (кривые 2); оно складывается из упругого смещения 2 мкм и смещения при проскальзывании 5пр = 4 мкм.
Значение силы по длине поверхности контакта (см. рис. 5, в и е) нелинейно возрастает, причем имеет место отклонение от линейной зависимости, тем большее, чем больше жесткость контактного слоя, т.е. с увеличением давления и уменьшением параметра Ла.
Согласно работе [10] повреждения контактирующих поверхностей, вызванные фреттинг-коррозией, пропорциональны в первом приближении амплитуде смещения при проскальзывании контактирующих поверхностей и давлению в контакте. На рис. 6 построены расчетные зависимости от давления произведения наибольшего смещения 5пр на давление р при с0 = 500. Из анализа этих зависимостей следует, что опасность повреждений, вызванных фреттинг-коррозией, снижается с повышением давления р в контакте и с увеличением параметра Ла. В некоторых работах по фреттинг-коррозии утверждается, что повышение давления в контакте, наоборот, повышает опасность повреждения соединений. Оказывается (см. рис. 6, кривая 3), что этот вывод был бы справедлив, если контакт стягиваемых деталей был бы абсолютно жестким, но реально такого контакта не существует.
Первые отечественные экспериментальные исследования рассеяния энергии колебаний в плоских стыках при их нагружении изгибающим моментом проведены Д.Н.Решетовым и З.М.Левиной. Результаты исследований изложены в работе [11]. Авторы полагали, что для оценки суммарного рассеяния энергии колебаний и комплексного сравнения узлов машины нужно оперировать работой Ш за цикл, рассеянной в соединении, хотя обычно [2, 4] при рассмотрении конструкционного демпфирования основной характеристикой рассеяния энергии считается относительное рассеяние ^ энергии (иначе называемое коэффициентом поглощения или коэффициентом демпфирования), равное отношению работы Ш, рассеянной в соединении за цикл, к энергии П колебания. Далее экспериментальные исследования [11] были продолжены в работе [12], где установлено, что при упругих свободных тангенциальных колебаниях относительное рассеяние
Рис. 7. Зависимости от давления р в контакте соединяемых деталей (при со = 500) работы W сил трения за цикл (а), относительного рассеяния ф энергии при Р = 19200 Н (б) и Р = 11200 Н (в) (1, 2,3 - см. рис. 6)
ф энергии в сухом (без смазки) стыке составляет 0,09... 0,17 для контактирующей пары сталь (точение или шлифование) — чугун (точение или шабрение) и понижается с увеличением давления р в контакте.
Для рассматриваемой расчетной схемы соединения авторами настоящей статьи получены расчетные зависимости работы сил трения за цикл от давления:
п
2р!БЬ ^ ^
№ =-—-, (11)
п
где 8ирг — смещение при проскальзывании в г-м сечении соединения, вычисленное по системе уравнений (9), (10). Принято, что сдвигающая сила гармонически изменяется от до нуля. На рис.7,а построены эти зависимости для со = 500. Из рис. 7 следует, что работа сил трения в соединении понижается с повышением давления и с увеличением параметра Яа.
Расчет относительного рассеяния энергии может быть выполнен по формуле
ф = №/П, (12)
где № — работа сил трения за цикл, вычисленная по выражению (11); П = С(ДЬ/2)2/2 — энергия колебания; С ^ ^/ДЬ — приведенная
п
продольная жесткость соединения; ДЬ = 81 + Ах ^^ — удлинение
г=1
соединения под действием силы 81 — смещение в первом сечении; Ах — податливость единичного участка первой детали; ¥г — сила в г-м сечении. Результатами расчетов по формуле (12) явились графики зависимости ф от давления при разных значениях сдвигающей силы, т.е. при разных амплитудах деформаций, приведенные на рис. 7, б и в.
Рис.8. Резьбовое соединение винтами
Анализ графиков позволяет заключить, что относительное рассеяние энергии убывает с повышением давления и увеличением параметра Да; величина ф изменяется в более широких пределах (0,03... 0,57), чем принималось ранее, и возрастает с увеличением амплитуды деформации. И то и другое можно объяснить тем, что мы рассматриваем соединение, в котором возникают не только упругие касательные деформации контакта, но и локальные проскальзывания.
Если в пластине нарезано г резьбовых отверстий и к пластине притягиваются накладки винтами, завертываемыми с обеих сторон в пластину (для этого случая вариант сечения Б-Б (см. рис. 1) представлен на рис. 8), смещение ^ в контактном слое создает изгиб-ные напряжения в винте.
Если принять, что при смещении имеет место параллельное перемещение оси головки винта относительно оси резьбового отверстия в пластине, то наибольшие изгибные напряжения а в крайних винтах соединения можно оценить по формуле
= 0,5(^1 + ¿2 = 2,9Е^тах а 0,Ы3 (¿1 + /¿2 )2, (3)
где ^ = 3Е1(0,55тах)/[0,5(/1 + /2)]3 — сила, создающая прогиб винта 0,55тах на половине его рабочей длины; д и I = пд4/64 — диаметр и момент инерции поперечного сечения винта. При 5тах = 0,006 мм (см. кривую 2 на рис. 9) зазор между стержнем винта и отверстием, обычно равный 0,5 мм, полностью не выбирается, а напряжение достигает значения 41,2 МПа. Если имеет место переменное нагружение соединения сдвигающей силой, то изгибные напряжения в винте будут также переменными. Амплитуда напряжений указанного значения способна существенно снизить сопротивление усталости винтов.
Выводы. 1. Решена задача учета касательной податливости контактного слоя соединяемых деталей при расчете соединения, нагруженного сдвигающей силой.
2. Существующий расчет резьбового соединения (формулы (1), (2)) обеспечивает несдвигаемость стягиваемых деталей, но не гарантиру-
Рис. 9. Зависимость наибольшего суммарного (упругого и при проскальзывании) смещения 5mш от давления р в контакте при со = 500 (1, 2,3 — см. рис. 6)
ет отсутствия в контактном слое соединяемых деталей зон локального проскальзывания. Длина этих зон в многорядных болтовых соединениях может достигать 45 % длины поверхности контакта.
3. Длина зоны локального проскальзывания уменьшается с увеличением как силы затяжки болтов, так и параметра Ra. Чтобы избежать появления зон локального проскальзывания и возникновения фреттинг-коррозии в соединении, следует, варьируя параметрами p, Ra, L, f, обеспечивать выполнение условия (5) в системе уравнений (9), (10) на всех участках контакта соединяемых деталей.
4. Если не удается избежать возникновения зон локального проскальзывания, то снизить повреждения, вызванные фреттинг-коррозией, можно как повышая силу затяжки болтов, так и увеличивая параметр Ra.
5. Растягивающая сила по длине соединения возрастает нелинейно, что указывает на неравномерность распределения сдвигающей нагрузки, приложенной в зоне расположения каждого из болтов. Эта нагрузка больше по краям поверхности контакта. Неравномерность распределения сдвигающей нагрузки возрастает как с увеличением силы затяжки болтов, так и с уменьшением параметра Ra.
6. Работа сил трения (демпфирующая способность) соединения за цикл может быть оценена по формуле (11) и убывает с увеличением как силы затяжки болтов, так и параметра Ra.
7. Относительное рассеяние энергии ф может быть оценено по формуле (12) и убывает с повышением давления, увеличением параметра Ra и уменьшением амплитуды сдвигающей силы.
8. Если в пластине нарезаны резьбовые отверстия и к пластине притягиваются накладки винтами, завертываемыми с обеих сторон в пластину, суммарные смещения, найденные из уравнения (7), позволяют оценить по формуле (13) изгибные напряжения в винтах и прогнозировать их сопротивление усталости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Детали машин: Учеб. для вузов / Л.А. Андриенко, Б.А. Байков, И.К. Ганулич и др.; Под ред. О.А. Ряховского. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. -520 с.
2. П а н о в к о Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.
3. ФеодосьевВ. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. - М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950. - 243 с.
4. Б и д е р м а н В. Л. Прикладная теория механических колебаний. - М.: Высш. шк., 1972.-416 с.
5. И в а н о в А. С., Измайлов В. В. Расчет контактной деформации при конструировании машин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2006. -№ 8. - С. 3-10.
6. И в а н о в А. С. Нормальная, угловая и касательная контактные жесткости плоского стыка // Вестник машиностроения. - 2007. - № 7. - С. 34-37.
7. И в а н о в А. С. Толщина контактного слоя // Вестник машиностроения. - 2006.
- № 12. - С. 21-23.
8. Ито,Тойода,Нагата. Распределение давления на поверхности раздела в болтовом фланцевом соединении. Конструирование и технология машиностроения // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. В. -1979.-№2.-С. 116-123.
9. И в а н о в А. С., Е р м о л а е в М. М. Работа соединения, нагруженного сдвигающей силой // Межвуз. сб. науч. тр. Механика и физика процессов на поверхности и в контакте твердых тел, деталей технологического и энергетического оборудования / Под ред. Н.Б. Демкина. Вып. 2. - Тверь: ТГТУ, 2009. - С. 4-9.
10. Уолтерхауз Р. Б. Фреттинг-коррозия: Пер. с англ. - Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1975. - 272 с.
11. РешетовД. Н., Л е в и н а З. М. Демпфирование колебаний в деталях станков // Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов.
- М.: Машгиз, 1958. - С. 45-86.
12. П а л о ч к и н С. В., Г е н к и н Д. А., Решетов Д. Н. Демпфирование в стыках при тангенциальных колебаниях // Изв. вузов. Машиностроение. - 1983.
- № 3. - С. 27-30.
Статья поступила в редакцию 2.06.2009
Александр Сергеевич Иванов родился в 1938 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1961г. Профессор кафедры "Основы конструирования машин" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 140 научных работ в области контактной жесткости неподвижных соединений деталей машин, конструирования и надежности машин.
A.S. Ivanov (b. 1938) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1961. Professor of "Basics of Constructing of Machines" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 140 publications in the field of contact rigidity of immovable joints of parts of machines, constructing and reliability of machines.
Михаил Михайлович Ермолаев родился в 1988 г. Студент факультета "Машиностроительные технологии" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор пяти научных работ в области контактной жесткости неподвижных соединений деталей машин.
M.M. Yermolaev (b. 1988) — student of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 5 publications in the field of contact rigidity of immovable joints of parts of machines.
