CC BY
181
УДК 536.331
НАГРЕВ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ ИМПУЛЬСНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
АН. Александров, Е.В. Голубев
В работе рассматривается решение уравнения теплопроводности в пространстве, ограниченном двумя параллельными плоскостями. Решение задачи, учитывающее проникновение оптического излучение в вещество и время релаксации теплового потока, получено в виде интегрального представления для осесимметричного распределения интенсивности. Получена оценка для максимальной избыточной температуры для распределения интенсивности в виде гауссовой функции в пределе бесконечно малой толщины скин-слоя.
В металлах поглощение света обусловлено взаимодействием его с электронами. Возбужденные электроны взаимодействуют с фононами решетки, а также с другими электронами и передают им свою энергию [1]. Среднее время между соударениями электронов (время релаксации электронной подсистемы) в проводнике составляет 10~14-1(Г13 с [2, 3]. Установление же локального равновесия, когда можно говорить о равенстве температур электронной и фононной подсистем (т.е. о термодинамической температуре вещества), происходит за время порядка tr «1041 с [2, 4].
Можно считать, что световая энергия мгновенно переходит в тепло для импульсов лазера с модуляцией добротности (и более длительных), однако, в случае поглощения пикосекундных импульсов это допущение оказывается неверным [3]. Закон теплопроводности Фурье должен быть заменен более общим соотношением, которое называется уравнением Каттанео [5]. Согласно [6, 7], уравнение Каттанео учитывает, что тепло распространяется не бесконечно быстро, а с некоторой конечной фазовой скоростью, которая называется скоростью распространения теплового возмущения. Это позволяет описывать реальную ситуацию в случае высокоинтенсивного и нестационарного процесса нагрева, при которой тепловой поток устанавливается в среде не мгновенно, а характеризуется конечным временем релаксации.
В отечественной научной литературе первое упоминание о времени релаксации теплового потока и конечной скорости распространения теплового возмущения было сделано A.B. Лыковым [7] в 1967 году. Проблеме распространения теплового возмущения посвящено огромное количество работ в отечественной и зарубежной печати (см., например, обзоры [8-10]).
Теория теплопроводности, описывающая процесс быстрого нагрева и охлаждения металла, должна учитывать реальный характер изменения теплофизических свойств материала. Это приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Кроме того, источник теплоты, вследствие изменения поглощательной способности с температурой, дополнительно вносит нелинейность в дифференциальные уравнения. Согласно данным, представленным в [3], при поглощении лазерного импульса длительностью 1 мкс в стали и в меди, коэффициент поглощения изменяется в 5 раз по сравнению с начальным, что приводит к поглощению в мишени большей части энергии оптического импульса.
В данной работе будем рассматривать нагрев излучением однородной пластины, находящейся в равновесном состоянии, учитывая перенос теплоты теплопроводностью и пренебрегая теплоотдачей других видов. Будем предполагать, что физические параметры среды при нагревании не изменяются и фазовых переходов не происходит.
Выберем цилиндрическую систему координат, вдоль оси z которой распространяется импульсное излучение с распределением интенсивности I(r,t). Бесконечная пластина, поглощающая излучение, занимает область г е [0,h], где h - толщина пластины. Будем считать, что стенки пластины тепло не проводят, а в объеме пластины действуют тепловые источники, плотность которых подчиняется закону Бугера-Ламберта. Распределение избыточной температуры T(r,z,i) является решением уравнения теплопроводности с граничными условиями [6]
д2Т 1 ВТ д2Т
— +--+ —.
дг г дг дг'
+ (1 -Я)
И
д!{г,1)
а/
. 1 ЭТ (- д2Т а дг а дг
Я,
эг
дг
О, (1)
2=0, И
где г - расстояние от оси г, Я - коэффициент отражения, д - коэффициент поглощения, \ - теплопроводность, (г - время релаксации теплового потока, I - время, а - коэффициент температуропроводности среды.
В результате прямого преобразования Фурье по времени (*) и Бесселя по радиальной координате (~) согласно формулам [11]
1 00 2ТГ}
ии
( Аг,0))^(Аг)Хс1А
ехр^ ¡ОЛ)сЫ,
(2)
где 0) - частота, X - параметр преобразования, У0 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, подстановки данного представления в исходное уравнение, получаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для образа распределения температуры:
д2Г
дг2
д2 , (г<*>'
а
а
Т* + i6)tr)F(Я,со)ехр(-]цг), -Лд
дТ
дг
= 0.
(3)
2=0 ,И
где г и введено для краткости обозначение А = 1 - К. Его решение, удовлетворяющее ус-
ловию равенства нулю плотности теплового потока на поверхностях пластины, имеет вид:
Т (Л, г, а>)
А/л(\ + 1со 1Г )Г (А, со) е^+е'*9*
2 V?
Ар(1 + 1б#г)Г(Л9а>)
А*
Рае
+
¡ле
2ЯвД
дгд
Р/,,2+Це
+
(4)
где + ¿бо/а-ггсо2/а.
Действительная часть выражения (2) определяет температурное поле в пластине. Выражение (4) для образа температурного поля имеет достаточно общий вид и учитывает распределение тепловых источников по объему пластины, а также время релаксации теплового потока. На практике встречается случай поглощения импульсного оптического излучения в пластине из материала с высоким значением проводимости. Такие вещества являются сильнопоглощающими средами
и тепловыделение происходит вблизи поверхности пластины. При Ру/сй^ »1, где /0 - характерное время ввода энергии в среду (длительность импульса), можно использовать приближенное выражение для образа температурного поля:
АМ(1 + 1Шг)Г(Л,ау) еРс>(2~И)+е
Нт Т =
А*
-АД*-*)
(5)
2 А? е"* -е
При расчете величины избыточной температуры 7\г3г^) для значений времени И » л/а/ можно использовать приближение полупространства, которое получается из (4) переходом к пределу бесконечной толщины пластины
НтТ (Л, г, су)
/?—»00
А(1 + Шг)Г(А,а))
Л*
Ра М
(6)
Расчет поля избыточной температуры проводился методами численного интегрирования в переменных, нормированных на параметры лазерного излучения и среды:
¿0 Ч л/^о Ш0
где 7?0 - радиус лазерного пучка на поверхности пластины. Распределение интенсивности в лазерном импульсе с полной энергией Ж взято в виде функции Гаусса, как наиболее часто реализуемой на практике:
Физика
1(г,0 = /Дг)■ 1,(0, 1г(г) = ехр(-г2/^2), /до = ^ ехр(-;2Д02). (8)
Я*\] ЯКф/д
Расчетные зависимости распределения температуры по глубине пластины толщиной А = 1 мм в различные моменты времени представлены на рис. 1. Длительность падающего светового импульса ¿о=15 не, энергия }¥= 1 мДж, радиус Ко — 1 мм. В расчеты заложены параметры железа [12]: а = 1,78-10-' м/с2, ^ - 70 Вт/м°С. Условно полагалось, что коэффициент поглощения А — 1, т.е. вся энергия оптического импульса выделяется в виде тепла. На рисунке показано температурное поле при различных значениях времени релаксации теплового потока и фиксированной длительности лазерного импульса: пунктирные линии соответствуют случаю тг = 0, сплошные -тг= 1. Как показывают расчеты, при тг < ОД использование уравнения теплопроводности гиперболического типа для описания процесса нагрева металла оптическим импульсом не является оправданным, поскольку распределение температуры с точностью до 1% совпадает с распределением, рассчитанным с помощью классического уравнения теплопроводности параболического типа. При тг > 1 в расчетных зависимостях наблюдаются отклонения от закона Фурье, согласно которому тепловые потоки в неравномерно нагретой среде направлены из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой [13].
Рис. 1. Распределение температуры по глубине: 1 - г = 0; 2 - г = 3; 3 - г = 20. Сплошная линия - тг = 1, пунктир - т> = 0
Рис. 2. Зависимости температуры от времени: 1 = 0; 2-/ = 2;3-/ = 4;4-/ = 6. Сплошная линия - т> = 1, пунктир - т>= 0
Приведенные результаты расчета при у = 50 показывают, что изменение температуры достаточно велико только для приповерхностных слоев: / < 8 при т ~ 3 (что соответствует 4 мкм при полностью поглощенном оптическом импульсе). Обобщенные зависимости температуры от безразмерного времени г представлены на рис. 2. Характер кривых зависит от глубины^, которая в этом случае является параметром. На поверхности полупространства (% = 0) температура быстро возрастает, достигает максимума и затем уменьшается. На глубине (х > 0) изменение температуры носит менее ярко выраженный экстремальный характер, значение температуры в максимуме меньше и достигается он позже.
Использованные в работе исходные выражения (2) и (4) достаточно сложны для анализа и расчета параметров поля избыточной температуры. Поставим задачу упростить выражения и получить практически пригодные выражения для оценки температурного эффекта воздействия импульсного излучения. Отношение глубины проникновения тепла за время действия импульса к
радиусу лазерного пучка может характеризовать радиальные утечки тепла. При » л/апоперечным распространением тепла (направления, параллельные поверхности) можно пренебречь [14], и профиль распределения температуры повторяет профиль распределения интенсивности в оптическом импульсе для значений параметра г рг. В случае несфокусированного импульсного оптического излучения условие рг »1 выполнено для большинства металлов. При построении приближенного решения будем считать значение времени релаксации теплового потока пре-
небрежимо малым по сравнению с длительностью оптического импульса и толщину пластинки к много большей чем глубина проникновения тепла за время действия импульса. В этом приближении распределение избыточной температуры по глубине и радиальный профиль можно найти независимо.
Распределение температуры по глубине Т (гудовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности и граничному условию:
дТ
-f + A-ii/i(t)exp(-/iz) = -—f-dz Xq a dt
7 ~ ~X
о.
(9)
z=0
Решение ищем с помощью интегрального преобразования Фурье по времени. В безразмерных величинах (7) получаем
ТЛх,т)
ГГГ К<*>
2 ттЯМ J
\ + iSlr
<г0 -со
ъщ>(-Х-М) ехр (-ух) № Г
exp(i^z)d^.
(10)
Выражение для поперечного профиля распределения температуры получим из уравнения теплопроводности [13], записанного в декартовых координатах х, у
дХ дХ \дт» „
+
"П _
дх ду a dt
= 0
и начального условия, описывающего распределение температуры на поверхности полупространства в начальный момент времени:
/ 2 2 > * +/
TT1(x,y,t = 0) = Q\p
v
(12)
Решение уравнения (11), согласно [13, 15], получается из начального условия (12) с помощью формулы Пуассона (^ >0):
TAx>y,t)
1 00
4 nat
(х-и)2 +(y-vf Aat
Tr(u,v,t -Q)dudv.
(13)
После вычисления повторного интеграла, который преобразованием подынтегрального выражения сводится к произведению двух табличных интегралов из [16], и перехода к цилиндрической системе координат, в безразмерных переменных получаем:
Т„(т]9т) =
ехр
Ч
(1 + 4Г/Р,)-1]
(14)
1 + 4 т/рг
Приняв временную форму оптического импульса (8) и выделяя действительную часть выражения (10) получаем окончательное выражение для распределения избыточной температуры в полупространстве, выраженное через безразмерные переменные (7):
где
в =
Тх 0(Х,Т)=[
ехр(-^4/4-^/л/2) 1 + £4//
Txi(Z,T)
ехР irYX) °ГехР(~ W4) cos(£r)
2Г
Г/г
2f nJ 1 + Г/Г
Физика
Для металлов безразмерный коэффициент поглощения у принимает значения по порядку величины от 0,1 (лазерный импульс пикосе-кундной длительности) до 100 (наносекунд-ный импульс). Как видно из рис. 3 (зависимость 1) величина в является хорошей оценкой для значения максимальной избыточной температуры в среде Гтах, обусловленного действием оптического импульса с гауссовой временной формой. При у> 10 погрешность такой оценки не превышает 8% поскольку отношение Ттах/в стремится к значению 1,07618 при уменьшении толщины скин-слоя до нуля. Значение времени ттах, соответствующее Т= Гтах, в этом случае, составляет 0,5409.
Приближенное выражение (15) может быть использовано для оценки величины эффектов, связанных с поглощением оптических импульсов длительностью большей времени релаксации теплового потока вещества (для металлов порядка 10 пс). Максимальная избыточная температура в полупространстве пропорциональна максимальной интенсивности первичного излучения и это объясняется пренебрежением тепловыми потоками в направлениях, параллельных поверхности, в процессе поглощения.
В заключении выясним область определения полученных выражений (2) и (4) по длительности оптического импульса, качественно рассмотрев уравнение теплопроводности (1) и его решение. Анализ решения уравнения теплопроводности, записанного в виде интегрального представления (2) невозможен, однако на основании данных расчета можно сделать следующие выводы. В области малых частот (írco<^l) получаем зависимости, согласующиеся с выводами теории распространения тепла, положения которой основаны на законе Фурье. В этом случае уравнения (2) и (4) описывает необратимый процесс релаксации теплового возмущения. В пределе больших частот (trco^> 1) гиперболическое уравнение теплопроводности описывает обратимый процесс, при котором температурные возмущения распространяются с конечной скоростью.
Для больших частот выражение (4), вообще говоря, неприменимо. Согласно [17], необходимо учитывать тепловые потоки высших порядков, каждый из которых характеризуется своим временем релаксации, или использовать двухтемпературную модель нагрева среды как это сделано, например, в [1, 18]. Следовательно, область определения полученных выражений ограничивается длительностью оптического импульса порядка времени релаксации теплового потока.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, в рамках технического задания №01.09.04Ф.
Литература
1. Анисимов С.И., Имас Я.И., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. - М.: Наука, 1970. - 272 с.
2. Григорьев Б.А. Импульсный нагрев излучениями. Т.1. - М.: Наука, 1974. - 320 с.
3. Рэди Дж. Действие мощного лазерного излучения. - М.: Мир, 1974. - 486 с.
4. Миркин Л.И. Физические основы обработки материалов лучами лазера. - М.: Издательство Московского университета, 1975. - 384 с.
5. Carlo Cattaneo «Sulla conduzione de calore». Atti del Semin. e Mat. Fis. Univ. Modena, 1948.
3.3.
6. Григорьев Б.А. Импульсный нагрев излучениями. Т.2. - M.: Наука, 1974. - 728 с.
7. Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.
8. Joseph D.D., PreziosiL. Heat waves//Rev. Mod. Phys. - 1989.-V.61.-№l.-P.41-73.
9. Joseph D.D., Preziosi L. Addenum to paper «Heat waves» // Rev. Mod. Phys. - 1990. - V.62. -№2.-P.375-391.
Рис. 3. Максимальная относительная температура для различных значений коэффициента поглощения
10. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics 11 Rep. Prog. Phys. -1988. - V.51. -P.l 105-1179.
11. Диткин B.A.> Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -М.: Физматгиз, 1961.-524 с.
12. Таблицы физических величин: Справочник. / Под ред. И.К. Кикоина. - М.: Атомиздат, 1976.- 1005 с.
13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. -736 с.
И.Аполлонов В.В., Прохоров A.M., Хомич В.Ю., Четкин С.А. Термоупругое воздействие импульсно-периодического излучения на поверхность твердого тела // Квантовая электроника. -1982. - Т. 9. - № 2. - С.343-353.
15.Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высш. шк., 1985.-480 с.
16. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1973. -228 с.
17.Dedeurwaerdere Т., Casas-Vazquez J., Jour D. and Lebon G. Foundations and applications of a mesoscopic thermodynamic theory of fast phenomena // Phys. Rev. E. - 1996. - V.53. - №1. - P.498-506.
18.Анисимов С.И., Капелиович Б.Л., Перельман Т.Л. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов // ЖЭТФ. - 1974. - Т. 66. - Вып.2. - С.776-781.
Поступила в редакцию 21 марта 2005 г.
