CC BY
13НАЧАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ РЕЛЬЕФА НА МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЕ В МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ С ЖИДКОСТЬЮ И СЫПУЧЕЙ СРЕДОЙ
В.В. Дьякова1, Д.А. Полежаев2
'Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29
2Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Обсуждаются результаты поисковых экспериментов по изучению устойчивости границы между жидкостью и кольцевым слоем сыпучей среды во вращающемся горизонтальном цилиндре. Обнаружено, что при уменьшении скорости вращения изначально осесимметричная межфазная граница становится неустойчивой к появлению рельефа в виде холмов с гребнями, параллельными оси вращения. Наблюдения показывают, что форма холмов меняется в течение оборота цилиндра - они имеют большую высоту на опускающейся стенке и малую - на поднимающейся стенке. Предположительно, появление холмов обусловлено развитием неустойчивости Кельвина - Гельмгольца: под действием гравитационной силы тяжелая сыпучая среда сжижается и вращается со скоростью, отличной от скорости вращения цилиндра.
Ключевые слова: жидкость, сыпучая среда, вращение, неустойчивость Кельвина - Гельмгольца.
ВВЕДЕНИЕ
Образование рельефа на межфазной границе во вращающихся или совершающих вращательные колебания полостях активно изу-
© Дьякова В.В., Полежаев Д.А., 2021 DOI: 10.24412/2658-5421-2021-10-66-75
чается в течение нескольких десятилетий. В зависимости от взаимной ориентации оси вращения и гравитационной силы межфазная граница испытывает различные виды неустойчивости [1-6]. В предлагаемой работе рассматривается случай, когда ось вращения ориентирована горизонтально. В такой геометрии ранее была обнаружена неустойчивость межфазной границы к появлению квазистационарного рельефа в виде холмов. Так, в [4] изучено образование рельефа на границе между сыпучей средой и жидкостью под действием бегущих поверхностных волн. В [5] обнаружена и изучена потеря устойчивости межфазной границы в неравномерно вращающемся (либрирующем) цилиндре. В [6] показано, что образование рельефа в рассмотренных задачах происходит вследствие колебаний жидкости вблизи межфазной границы. В экспериментах с трехфазной системой поверхностные бегущие волны создают колебания жидкости вблизи неподвижного кольцевого слоя сыпучей среды. В опытах с либрирующим цилиндром, напротив, сыпучая среда колеблется относительно равномерно вращающейся жидкости. В обоих случаях в жидкости возникает вязкая сила, под действием которой частицы поверхностного слоя сыпучей среды становятся подвижными и участвуют в формировании холмов. Общей чертой указанных задач является также быстрое вращение цилиндра, что позволяет пренебречь действием силы тяжести по сравнению с действием центробежной силы инерции.
В нашей работе рассматривается относительно медленное равномерное вращение цилиндра, при котором сыпучая среда образует кольцевой слой и вращается вместе с жидкостью (рис.1). Наблюдения показывают, что при монотонном уменьшении скорости вращения кольцевой слой в конечном итоге теряет устойчивость, и сыпучая среда под действием силы тяжести опускается на дно цилиндра. Однако существует достаточно узкий диапазон значений скорости вращения, в котором на межфазной границе существует квазистационарный рельеф в виде холмов с гребнями, параллельными оси вращения (рис.1 б, в). Такая неустойчивость межфазной границы обнаружена впервые; в работе приводятся начальные сведения об условиях существования рельефа и его форме, а также обсуждаются возможные причины его возникновения.
1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
В экспериментах используется прозрачная цилиндрическая кювета длиной Ь = 2.2 см и внутренним диаметром Б = 14.4 см; ось вращения совпадает с осью цилиндра и ориентирована горизон-
тально. Цилиндр приводится во вращение шаговым двигателем, который управляется цифровым генератором ZETLab. Цифровой генератор позволяет плавно изменять скорость вращения цилиндра в диапазоне f = 0 - 3об/с.
Подробное описание экспериментальной установки можно найти в работе [7].
В качестве сыпучей среды используются сферические гранулы ионообменной смолы Lewatit S 1567 диаметром d = 0.61 мм с плотностью pm = 1.33 г/см3. В экспериментах сыпучая среда образует кольцевой слой вблизи цилиндрической стенки, его толщина во всех экспериментах одинаковая и равна h = 1.7 см. В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор кинематической вязкостью v = 3 сСт.
В быстро вращающемся цилиндре под действием центробежной силы инерции сыпучая среда равномерным слоем покрывает цилиндрическую стенку. При понижении скорости вращения сыпучая среда сжижается, и на ее поверхности возникает рельеф. С целью изучения временной динамики и геометрических характеристик рельефа производится фото и видеосъемка межфазной границы с помощью установленной напротив торцевой стенки цилиндра фотокамеры Canon EOS 60D с объективом Canon Lens EF 50 mm и скоростной видеокамеры CamRecord CL600*2 с объективом AF-S Nikkor 50mm.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В равномерно вращающемся цилиндре динамика жидкости и сыпучей среды определяется совместным действием центробежной силы инерции и гравитационной силы. В зависимости от скорости вращения можно определить три режима движения жидкости и сыпучей среды. При быстром вращении, когда отношение силы тяжести к центробежной силе инерции мало, т.е. Г = g/(4жaf2) « 1 , жидкость и кольцевой слой сыпучей среды совершают твердотельное вращение вместе с цилиндром (a = R - h -расстояние от оси вращения до поверхности кольцевого слоя сыпучей среды). Вращательная динамика различных многофазных систем в указанном пределе подробно изучена в работах [4] (воздух -жидкость - сыпучая среда), [5] (жидкость - сыпучая среда) и [8] (воздух - жидкость).
В другом предельном случае, Г » 1, сила тяжести играет определяющую роль, так что тяжелая сыпучая среда находится в ниж-
ней части цилиндра. Результаты изучения течения однофазных и многофазных сред в медленно вращающихся контейнерах достаточно подробно описаны в [9].
В случае, когда Г ~ 1, в центре цилиндра свободная от частиц жидкость вращается со скоростью /, а насыщенная жидкостью сыпучая среда ожижается: под действием гравитационной силы тяжелые частицы на опускающейся стенке цилиндра движутся быстрее чистой жидкости, а на восходящей - медленнее. Подвижные частицы верхних слоев сыпучей среды участвуют в формировании рельефа на межфазной границе в виде холмов с гребнями, параллельными оси вращения.
Рассмотрим подробнее динамику межфазной границы при различных значениях скорости вращения. В начале эксперимента цилиндр приводится в такое быстрое вращение, что Г « 1. При этом частицы под действием центробежной силы инерции образуют кольцевой слой с осесимметричной поверхностью (рис.1 а). При меньшей скорости вращения на поверхности сыпучей среды можно заметить небольшие холмы (рис.1 б). Сначала холмы образуются вблизи верхней точки цилиндра - в окрестности этой точки сила тяжести нормальна к границе раздела и направлена вглубь жидкости. Образующиеся холмы вращаются вместе с цилиндром, и в течение одного оборота их форма существенным образом изменяется. Так, около опускающейся стенки (справа на рис.1) изначально симметричные склоны становятся несимметричными - гребни холмов опускаются быстрее, чем их основания. По мере приближения к нижней точке цилиндра размеры холмов уменьшаются. Это связано с тем, что вблизи указанной точки сила тяжести и центробежная сила инерции сонаправлены, и стремятся удержать частицы на поверхности кольцевого слоя жидкости.
При дальнейшем уменьшении скорости вращения холмы существуют уже на всей поверхности межфазной границы (рис.1 в), а их размеры увеличиваются. Интересно, что склоны холмов на поднимающейся (левой) стенке несимметричны - частицы в гребнях холмов поднимаются медленнее, чем частицы у их оснований из-за действия силы тяжести.
Область значений скорости вращения, внутри которой наблюдаются регулярные холмы, узкая и составляет доли оборота в секунду. При уменьшении скорости вращения от 1.8 до 1.6 об/с большая часть сыпучей среды переходит в ожиженное состояние (граница ожиженного слоя хорошо видна на рис.1г), при этом холмы становятся нерегулярными или разрушаются. При дальнейшем умень-
шении скорости вращения рельеф исчезает, а частицы переходят во взвешенное состояние (рис.1 д). При остановке цилиндра сыпучая среда занимает положение в нижней части цилиндра (рис.1 е).
На рис.2 приведены результаты измерения пространственного периода рельефа в интервале значений скорости вращения, в котором наблюдаются регулярные холмы. Видно, что при уменьшении скорости вращения пространственный период увеличивается. Азимутальная длина холмов на опускающейся стенке несколько больше, чем на поднимающейся. На графике приведены данные о пространственном периоде, осредненном по всей длине межфазной границы.
Рассмотрим теперь возможные причины возникновения рельефа. Поскольку жидкость и ожиженная сыпучая среда вблизи межфазной границы движутся с различными скоростями, можно предположить, что в экспериментах наблюдается неустойчивость Кельвина - Гельмгольца. Данный тип неустойчивости на границе между жидкостями наблюдается, когда
2 2 „ А "А|
(И1 _ и2)2 -^ (2.1)
АА 2ж
где и12 - скорости гидродинамических сред 1 и 2 вблизи межфазной границы, а12 - плотности этих сред, Я - пространственный
период рельефа на межфазной границе.
Формула (2.1) применима для случая, когда две жидкости двигаются друг относительно друга в поле силы тяжести. В рассматриваемой задаче нормально межфазной границе действует центробежная сила инерции, так что уравнение (2.1) следует переписать в виде
22 А — А
(и1 -и2)2 —^-2жа/Я. (2.2)
АА
Уравнение (2.2) позволяет по известным значениям скорости и плотности вычислить пространственный период рельефа и сравнить его с длиной наблюдаемых холмов.
д е
Рис.1. Фотографии границы между жидкостью и сыпучей средой в равномерно вращающемся цилиндре при / = 3.0, 2.0, 1.8, 1.6, 1.5 и 0
об/с (а - е, цилиндр вращается по часовой стрелке)
В рассматриваемых экспериментах неустойчивость развивается на границе между чистой (свободной от частиц) жидкостью и насыщенной жидкостью сыпучей средой. Параметры р1 и и1 можно определить экспериментально: плотность чистой жидкости, измеренная ареометром, составляет р1 = 1.10 г/см3, а скорость жидкости вблизи межфазной границы и1 = 2яfa. Плотность насыщенной
жидкостью сыпучей среды можно оценить из следующего соотношения:
Рг =Рт (1 - Р) + АР, (2.3)
где Р - пористость ожиженной сыпучей среды.
2
0.5 -1-'-'-
1.5 1.7 1.9 2.1 2.3
/об/с
Рис.2. Зависимость пространственного периода регулярного рельефа от скорости вращения цилиндра
Известно, что пористость случайной упаковки твердых сферических частиц в спокойном состоянии равна Р = 0.4 (см., например, [10]). В ожиженном слое частиц пористость увеличивается. Предполагая, что во всех радиальных сечениях сыпучей среды находится одинаковое количество частиц, можно оценить пористость в различных точках межфазной границы. Измерения показывают, что на опускающейся стенке пористость может достигать значения
Р = 0.8 . Будем использовать данное значение для оценки плотности. Тогда, в соответствии с (2.3) р2 = 1.15 г/см3.
Скорость пористой среды и2 в лабораторной системе отсчета можно вычислить, измеряя угловое положение наблюдаемых холмов как функцию времени. Предварительные измерения показали, что скорость холмов зависит от азимутальной координаты: на опускающейся стенке холмы двигаются быстрее цилиндра, на поднимающейся - медленнее. При скорости вращения цилиндра / = 1.9 об/с среднее значение скорости относительного движения на опускающейся и поднимающейся стенке равно \и1 - и2 \ ~ 2.5 см/с.
После подстановки всех переменных величин в уравнение (2.2) получим, что теоретическое значение ЛКГ и 0.5 см, что удовлетворительно согласуется с длиной Ли 1см наблюдаемых в эксперименте холмов (см. рис.2). Таким образом, можно предположить, что эффект образования рельефа на межфазной границе обусловлен неустойчивостью Кельвина - Гельмгольца.
Заключение. Экспериментально обнаружен новый гидродинамический эффект - возникновение рельефа на границе между чистой жидкостью и ожиженной сыпучей средой в медленно вращающемся горизонтальном цилиндре. Под действием силы тяжести тяжелые частицы сыпучей среды вблизи изначально осесиммет-ричной межфазной границы приходят в движение относительно жидкости и участвуют в образовании холмов с гребнями, ориентированными параллельно оси вращения. Можно предположить, что разрыв между скоростями движения чистой жидкости и ожиженно-го слоя сыпучей среды провоцирует развитие неустойчивости Кельвина - Гельмгольца и, как следствие, формирование рельефа. Первоначальная оценка показывает, что пространственный период рельефа совпадает по порядку величины с длиной наблюдаемых холмов. С целью дальнейшего изучения нового эффекта запланированы эксперименты с частицами другого размера и плотности с жидкостями различной вязкости.
Работа выполнена при финансовой поддержке правительства Пермского края (проект Научных школ С26/1191).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Ivanova A.A., Kozlov V.G. Sand-fluid interface under vibration
// Fluid dynamics. 2002. Vol. 37(2). P. 277-293.
2. Betat A., Frette V., and Rehberg I. Sand ripples induced by water
shear flow in an annular channel // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83(1). P. 88-91.
3. Rousseaux G. et al. Oscillation-induced sand ripples in a circular
geometry // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78(1). P. 016302.
4. Dyakova V., Kozlov V., and Polezhaev D. Pattern formation inside a
rotating cylinder partially filled with liquid and granular medium // Shock and vibration. 2014. Vol. 2014. 841320.
5. Dyakova V., Kozlov V., and Polezhaev D. Oscillation-induced sand
dunes in a liquid-filled rotating cylinder // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94(6). P. 063109.
6. Polezhaev D. The geometry of sand ripples in a uniformly rotating
and librating horizontal cylinder // Microgravity Sci. Technol. 2020. Vol. 32. P. 807-816.
7. Полежаев Д.А. Экспериментальное изучение устойчивости гра-
ницы раздела между жидкостью и сыпучей средой в неравномерно вращающемся горизонтальном цилиндре // Конвективные течения... Вып. 9. Перм. гос. гум.-пед. ун-т. Пермь, 2019. С. 124-138.
8. Иванова А.А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во
вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. №4. С. 98-111.
9. Seiden G., Thomas P.J. Complexity, segregation, and pattern forma-
tion in rotating-drum flows // Reviews of Modern Physics. 2011. Vol. 83(4). P. 1323.
10.Mueller G.E. Numerically packing spheres in cylinders. Powder technology. 2020. Vol. 159(2). P. 105-110.
INITIAL RESULTS OF STUDYING THE PATTERN FORMATION AT THE INTERFACE BETWEEN A LIQUID AND A GRANULAR MEDIUM IN A SLOWLY ROTATING CYLINDER
V.V. Dyakova, D.A. Polezhaev
Abstract. The results of initial experiments to study the stability of the interface between a liquid and annular layer of a granular medium in a rotating horizontal cylinder are discussed. It was found that at low rotation the initially axisymmetric interface becomes unstable to the pattern formation in the form of hills with ridges parallel to the rotation axis. Observations show that the hill shape changes during the revolution of the cylinder - the hills are high on the descending wall and small on the ascending one. Presumably, the appearance of hills is due to the Kelvin-Helmholtz instability. Under the action of the gravitational force, a heavy granular medium liquefies and rotates at a speed different from the cylinder rotation rate.
Key words: fluid, granular medium, rotation, Kelvin - Helmholtz instability.
