Экспериментальное изучение рельефа на поверхности сыпучей среды в неравномерно вращающемся горизонтальном цилиндре с жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения..., 2019

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РЕЛЬЕФА НА ПОВЕРХНОСТИ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ В НЕРАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ С ЖИДКОСТЬЮ

К.А. Власова1, В.В. Дьякова2, Д.А.Полежаев1

1Лаборатория вибрационной гидромеханики,

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Изучается квазистационарный регулярный рельеф на границе раздела между жидкостью и сыпучей средой в неравномерно вращающемся (либрирующем) горизонтальном цилиндре. Проведено систематическое экспериментальное исследование пространственного периода и высоты регулярного рельефа в зависимости от частоты и амплитуды колебаний жидкости, диаметра частиц сыпучей среды и ее количества. Обнаружено, что пространственный период рельефа полностью определяется амплитудой колебаний жидкости. Исключение составляет случай, когда толщина слоя сыпучей среды недостаточна для формирования рельефа нужного размера. Управляющим параметром для определения относительной высоты рельефа является критерий мобильности.

Ключевые слова: жидкость, сыпучая среда, рельеф, либрации.

ВВЕДЕНИЕ

Песчаное дно в неглубоких водоемах зачастую неровное - на его поверхности наблюдаются холмы, которые возникают из-за бегущих по поверхности воды волн. Волны генерируют в воде колебания, которые проникают в толщу воды, достигают поверхности

© Власова К.А., Дьякова В.В., Полежаев Д.А., 2019 БО1: 10.24411/2658-5421-2019-10911

песчаной подложки и приводят в движение песчинки. В естественных условиях волны на поверхности воды нерегулярные, поэтому песчаный рельеф на дне водоемов имеет сложную структуру, изменяющуюся с течением времени. Наряду с полевыми исследованиями песчаного рельефа проводится большое количество лабораторных экспериментов, в которых частота и амплитуда колебаний жидкости контролируются [1—4].

В лабораторных экспериментах рельеф формируется, как правило, вследствие поступательных колебаний жидкости (или воздуха) вблизи неподвижной сыпучей среды или, напротив, при поступательных колебаниях контейнера с сыпучей средой относительно неподвижного воздуха. В предлагаемой работе используется иной метод создания условий для формирования рельефа: эксперименты проводятся в неравномерно вращающемся (либрирующем) горизонтальном цилиндре, полностью заполненном жидкостью и сыпучей средой (рис. 1). Под действием центробежной силы инерции тяжелая сыпучая среда образует кольцевой слой, который движется вместе с цилиндром. Жидкость вовлекается в колебательное движение только в тонких вязких пограничных слоях как вблизи стенок цилиндра, так и вблизи поверхности сыпучей среды. Остальной объем жидкости вращается равномерно. Таким образом, в системе отсчета, связанной с сыпучей средой, жидкость совершает колебания подобно тому, как вода осциллирует вблизи песчаного дна в природных водоемах.

При изучении структурообразования на песчаной подложке под действием осциллирующих потоков жидкости обсуждается широкий круг вопросов: механизм возникновения рельефа, геометрические размеры образующихся холмов, временная динамика песчаных дюн. В нашем исследовании внимание уделяется изучению пространственного периода и высоты квазистационарных холмов. Результаты исследования условий возникновения рельефа в неравномерно вращающемся (либрирующем) цилиндре обсуждаются в [5, 6], временная динамика - в [5].

Из наблюдений и лабораторных экспериментов известно, что во многих случаях пространственный период рельефа 1 на песчаном дне линейно возрастает с увеличением амплитуды колебаний Ь , но не чувствителен к изменению частоты колебаний [2, 7, 8]. В обобщающем результаты многочисленных полевых и лабораторных экспериментов исследовании [9] показано, что линейная зависимость пространственного периода от амплитуды колебаний жидкости характерна только для малых и умеренных амплитуд, а управ-

ляющим параметром для пространственного периода является критерий мобильности у: с возрастанием интенсивности колебаний (при увеличении у) относительный пространственный период 1Ь уменьшается. Высота ] холмов также зависит от амплитуды колебаний [10, 11] и, следовательно, связана с пространственным периодом. Во многих экспериментах отношение ] 1, которое можно рассматривать как параметр, описывающий форму песчаного холма, мало изменяется. Это означает, что песчаные холмы в этих экспериментах геометрически подобны. В [9] показано, что изменение геометрической формы рельефа происходит только при больших числах Шильдса, когда течение жидкости размывает вершины песчаных холмов, уменьшая их высоту.

Рис. 1. Рельеф на поверхности сыпучей среды в либрирующем цилиндре: ^ =0.09 мм, V = 5.2 сСт, /г = 4.5 об/с, = 1.0 Гц, е = 0.25 и к0 = 1.00 см

В нашей работе приведены результаты измерения пространственного периода и высоты рельефа в широком диапазоне частоты и амплитуды колебаний жидкости в опытах с частицами сыпучей среды различного диаметра и проведено сравнение данных с результатами других авторов.

1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯЭКСПЕРИМЕНТА

В экспериментах используется прозрачная цилиндрическая кювета длиной L = 2.2 см и внутренним диаметром D = 14.4 см; ось вращения совпадает с осью цилиндра и ориентирована горизонтально (подробное описание экспериментальной установки приведено в [6]). Вращение цилиндра осуществляется при помощи шагового двигателя, который управляется цифровым генератором ZETLab. Цифровой генератор позволяет независимо устанавливать скорость вращения fr (в экспериментах изменяется в диапазоне от 4 до 7 об/с), частоту азимутальных колебаний f (варьируется в диапазоне от 0.3 до 12 Гц) и амплитуду модуляции скорости вращения e, которая в экспериментах принимает значения от 0 до 0.50.

В качестве сыпучей среды используются стеклянные сферические частицы диаметром d = 0.05, 0.09, 0.18 или 0.36 мм; плотность частиц ps = 2.5 г/см3. Масса сыпучей среды m в экспериментах варьируется от 75 до 250 г, толщина кольцевого слоя сыпучей среды h0 при этом изменяется от 0.49 до 2.00 см. В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые растворы кинематической вязкостью V = 3.3 -10 сСт.

В отсутствие вращения тяжелая сыпучая среда находится в нижней части цилиндра. При медленном вращении стеклянный песок увлекается вращающимися стенками и переходит во взвешенное состояние. В быстро вращающемся цилиндре под действием центробежной силы инерции сыпучая среда равномерным слоем покрывает цилиндрическую стенку, образуя кольцевой слой толщиной h0 . Продолжительность такого переходного процесса составляет несколько минут, после чего задаются необходимые частота f и модуляция e, и начинается фотосъемка. Фоторегистрация межфазной границы осуществляется через торцевую стенку цилиндра; используется фотокамера Canon EOS 60D с объективом Canon Lens EF 85 mm.

В экспериментах обнаружено, что в либрирующем цилиндре на межфазной границе возникает рельеф в виде вытянутых воль оси вращения холмов (см. рис. 1). Целью исследования было измерение высоты и длины холмов в квазистационарном состоянии, когда размеры холмов не изменяются в течение длительного времени. Продолжительность эксперимента составляла от 1 до 10 часов.

По фотографиям межфазной границы проводились вычисления пространственного периода и высоты рельефа. Угловой размер холмов вычислялся по формуле 1г = 2рN , где N - число холмов на межфазной границе. Зная расстояние от оси вращения до поверхности кольцевого слоя песка, а = Я - ^ , можно вычислить пространственный период рельефа 1 = 1га = 2ла^ .

Под высотой холма h понимается радиальное расстояние от его основания до вершины. Высота h измеряется по фотографиям в программе ImageJ: с помощью инструмента Ovalselections сначала проводится окружность через основания холмов, затем - через вершины холмов. С помощью инструмента Measure вычисляются

длины этих окружностей 11 и 12, а затем определяется расстояние между ними по формуле 77 = (11 - 12)/2р .

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В равномерно вращающемся цилиндре динамика жидкости и сыпучей среды определяется совместным действием центробежной силы инерции и гравитационной силы. В медленно вращающемся цилиндре, когда центробежная сила мала по сравнению с гравитационной, сыпучая среда образует почти однородную взвесь во вращающейся жидкости, так что граница раздела между фазами отсутствует. В быстро вращающемся цилиндре центробежная сила инерции превосходит гравитационную силу, и под ее влиянием сыпучая среда образует кольцевой слой вблизи цилиндрической стенки. Жидкость и сыпучая среда вращаются как твердое тело вместе с цилиндром - межфазная граница осесимметричная и невозмущенная. При включении азимутальных колебаний с частотой /1 и угловой амплитудой р0 на межфазной границе возникает квазистационарный рельеф в виде регулярных холмов (рис. 2).

10

0.1 1 10 100 Ь, см

Рис. 3. Зависимость периода квазистационарного рельефа от амплитуды колебаний жидкости

В [6] показано, что появление рельефа обусловлено квазистационарной неустойчивостью течения жидкости в вязком пограничном слое вблизи сыпучей среды. В начальной фазе существования рельефа его пространственный период определяется толщиной слоя Стокса 3 = П/ж^ )1/2. Длина и высота холмов не остаются постоянными и монотонно увеличиваются, достигая квазистационарного значения в течение нескольких минут или часов.

На рис. 3 представлены результаты измерения пространственного периода 1 от амплитуды колебаний жидкости вблизи поверхности сыпучей среды Ь . Независимо от скорости вращения и частоты колебаний пространственный период квазистационарного рельефа увеличивается с повышением амплитуды колебаний. Экспериментальные данные, полученные с использованием стеклянных шариков различного диаметра, хорошо согласуются между собой и подчиняются закону 1 Ь1/2.

Рис. 4. Зависимость высоты рельефа от амплитуды колебаний

Отклонение от общей закономерности наблюдается в области больших амплитуд колебаний в экспериментах с относительно тонкими слоями сыпучей среды - увеличение 1 с повышением Ь

замедляется или полностью останавливается. В этой же области значений амплитуды колебаний наблюдается расслоение экспериментальных данных в зависимости от толщины сыпучего слоя.

На рис. 4 показана зависимость высоты установившихся холмов от амплитуды колебаний. С увеличением амплитуды Ь (и пространственного периода рельефа) высота холмов растет и достигает предельного значения ] = 0.6 - 0.8 см при Ь > 10 см.

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В качестве параметров, управляющих размерами холмов на песчаной подложке, как правило, используют критерий мобильности (шоЫШупишЬег) у и число Шильдса в [9]:

y = (2p/b)2

(p- 1)(2р/)2 ad

q = 2nflbv

(p- 1)(2p/ )2 dad

В лабораторных исследованиях [2, 4, 9] показано, что при относительно небольших скоростях колебательного движения жидкости пространственный период пропорционален амплитуде колебаний и не зависит от частоты колебаний:

о 4,

Л=-b. (3.1)

3

В таких условиях холмы достаточно высокие и имеют острые вершины; в пространстве над холмами наблюдаются изолированные вихри, подобные тем, что можно видеть на рис. 1.

Сравнение экспериментальных данных, представленных на рис. 3, с уравнением (3.1) показывает, что результаты измерений пространственного периода холмов во вращающемся цилиндре не согласуются с данными, полученными при поступательных колебаниях жидкости [2, 4, 9].

На рис. 5 представлены результаты измерений пространственного периода на плоскости безразмерных параметров b/a, 1¡b . Экспериментальные данные, полученные в экспериментах с жидкостя-

ми различной вязкости, с частицами различного диаметра и в широком диапазоне частоты и амплитуды колебаний, хорошо согласуются между собой и подчиняются условию:

Я» 0.75 Г -1

Ь I а

Рис. 5. Зависимость безразмерного пространственного периода квазистационарного рельефа от относительной амплитуды колебаний жидкости. Обозначения соответствуют рис. 3

Отклонение от общей закономерности наблюдается только в случае, когда жидкость совершает колебания с большой амплитудой, а толщина кольцевого слоя сыпучей среды невелика, к0 << Я . Можно предположить, что пространственный период холмов в таких условиях ограничен количеством сыпучей среды, и их размер определяется главным образом толщиной к0.

Помимо пространственного периода важным геометрическим параметром также является высота холмов. В обзоре [9] проанализированы результаты измерений различными авторами высоты холмов, образующихся на песчаной подложке под действием коле-

баний жидкости. Автор обзора разделяет холмы, образующиеся в лабораторных условиях, когда колебания жидкости контролируемы и регулярны, и песчаные холмы, наблюдаемые в естественных условиях, когда генерирующие колебания жидкости волны являются нерегулярными. Показано, что в лабораторных условиях относительная высота рельефа 77/Ь уменьшается при увеличении критерия мобильности у :

7 1/2 (3.2)

- = 0.275 - 0.022у . Ь

Результаты вычислений высоты холмов, образующихся в неравномерно вращающемся цилиндре, удовлетворительно согласуются с расчетами по формуле (3.2) (рис. 6).

Рис. 6. Зависимость безразмерной высоты рельефа от критерия мобильности. Обозначения соответствуют рис. 4

О форме холмов можно судить по величине геометрического параметра 71. В [9] проанализированы данные о высоте и длине холмов, полученные разными авторами в экспериментах с жидко -

стью, совершающей поступательные колебания относительно сыпучей среды, и получена зависимость между относительной высотой холмов 77/1 и числом Шильдса в :

7 = 0.182 - 0.24в3/2. (3.3)

1

На рис. 7 представлены результаты вычислений геометрического параметра 77/1 для наблюдаемых в экспериментах холмов и данные расчетов по формуле (3.3).Экспериментальные результаты хорошо согласуются с данными, полученными другими авторами в опытах по изучению песчаных дюн при поступательных колебаниях жидкости.

Рис. 7. Зависимость крутизны холмов от числа Шильдса. Сплошная линия - результаты расчетов по формуле (3.3). Обозначения соответствуют рис. 4

Заключение. Проведено подробное экспериментальное исследование квазистационарного рельефа на границе раздела между жидкостью и сыпучей средой в неравномерно вращающемся (либ-рирующем) цилиндре в широком интервале значений частоты и

амплитуды колебаний жидкости и диаметра частиц. Показано, что пространственный период рельефа зависит только от амплитуды колебаний жидкости при условии, что количество сыпучей среды достаточно для формирования холмов. Также показано, что высота рельефа уменьшается с повышением критерия мобильности. Форма рельефа характеризуется отношением высоты рельефа к его пространственному периоду. Обнаружено, что относительная высота холмов уменьшается с увеличением числа Шильдса, что хорошо согласуется с данными о форме холмов, образующихся на межфазной границе между жидкостью и сыпучей средой при поступательных колебаниях.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 18-71-10053.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Bagnold R.A. Motion of waves in shallow water. Interaction between waves and sand bottoms // Proc. Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1946. Vol. 187 (1008), P. 1-18.

2. Stegner A. and Wesfreid J.E. Dynamical evolution of sand ripples under water // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60(4). R3487.

3. Rousseaux G., Kruithof J., Jenffer P., and Wesfreid J.E. Oscillation-induced sand ripples in a circular geometry // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78(1). 016302.

4. Pedocchi F. and Garcia M.H. Ripple morphology under oscillatory flow: 2. Experiments // J. Geophys. Res.: Oceans. 2009. Vol. 114 (C12).

5. Dyakova V., Kozlov V., and Polezhaev D. Oscillation-induced sand dunes in a liquid-filled rotating cylinder // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94(6). 063109.

6. Полежаев Д.А. Экспериментальное изучение устойчивости границы раздела между жидкостью и сыпучей средой в неравномерно вращающемся горизонтальном цилиндре // Конвективные течения... Вып. 9. Пермь: ПГГПУ, 2019. С. 124138.

7. Dumas S., Arnott R.W., and Southard J.B. Experiments on oscillatory-flow and combined-flow bed forms: implications for interpreting parts of the shallow-marine sedimentary record // J. Sediment. Res. 2005. Vol. 75(3). P. 501-513.

8. Miller M.C. and Komar P.D. Oscillation sand ripples generated by laboratory apparatus // J. Sediment. Res. 1980. Vol. 50(1), P. 173182.

9. Nielsen P. Dynamics and geometry of wave-generated ripples // J. Geophys. Res.: Oceans. 1981. Vol. 86(C7). P. 6467-6472.

10. Pedocchi F., Garcia M.H. Ripple morphology under oscillatory flow: 1. Prediction // J. Geophys. Res.: Oceans. 2009. Vol. 114 (C12).

11. Nelson T.R., Voulgaris G., and Traykovski P. Predicting wave-induced ripple equilibrium geometry // J. Geophys. Res.: Oceans. 2013. Vol. 118(6), P. 3202-3220.

EXPERIMENTAL STUDY OF THE RELIEF ON THE SURFACE OF GRANULAR LAYER IN UNEVENLY ROTATING HORIZONTAL CYLINDER FILLED WITH LIQUID

K.A. VLASOVA, V.V. DYAKOVA, D.A. POLEZHAEV

Abstract. A quasistationary regular relief is studied at the interface between liquid and granular medium in an unevenly rotating (librating) horizontal cylinder. A systematic experimental study of the spatial period and the height of the regular relief is carried out depending on the frequency and amplitude of fluid oscillations, the particle diameter of the granular medium, and its amount. It was found that the spatial period of the relief is determined by the amplitude of fluid oscillations until the thickness of the granular layer is enough to form the hills of desired size. The mobility number is found to be the governing parameter of the relative height of the bed form.

Key words: fluid, granular medium, bed forms, libration.