CC BY
58Конвективные течения.... Вып. 2
РОЛЬ СЛОЯ СТОКСА В ОБРАЗОВАНИИ СТРУКТУР НА ПОВЕРХНОСТИ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
В .Г. Козлов1, 2, А.А. Иванова1, П. Эвеск2
1 Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
2 Центральная школа Парижа, Франция
Анализируется роль вязкого слоя Стокса, в частности роль его устойчивости, в процессах массопереноса и формирования структур на поверхности сыпучей среды, вблизи которой жидкость совершает гармонические колебания. Показано, что наряду с генерируемыми слоями Стокса осреднен-ными потоками, участвующими в процессе переноса песка и формирования рельефа, важную роль играет специфическая квазистационарная неустойчивость. Последняя проявляется во взрывообразном развитии вихрей в определенной фазе колебаний и обеспечивает необходимую подвижность сыпучей среды на начальном этапе развития рельефа.
ВВЕДЕНИЕ
Высокочастотные осцилляции вязкой жидкости около твердых границ сопровождаются формированием вязких слоев Стокса, особенностью которых является наличие сдвиговых осциллирующих течений высокой интенсивности, что определяет важную роль слоев Стокса в вибрационной гидромеханике - осредненной конвекции жидкости, вызванной ее колебаниями. Так, в случае неоднородности слоев Стокса вдоль поверхности, вследствие нелинейных эффектов в них генерируется осредненная завихренность, это приводит к возбуждению движения как внутри слоев, так и далеко за их пределами [1]. Явление хорошо известно и получило название “акустические течения” [2]. Примеров осредненных течений, интенсивность которых может достигать значительной величины, много. К ним относятся и струи, возбуждаемые вибрирующими в
© В.Г. Козлов, А.А. Иванова, П. Эвеск, 2005
несжимаемой жидкости телами, и течения в полостях, совершающих непоступательные вибрации, и придонные потоки жидкости в прибрежной полосе, вызываемые колебаниями жидкости под действием пробегающих по поверхности водоема волн.
Сдвиговый характер течения определяет неустойчивость слоев Стокса. Проблема устойчивости привлекает внимание исследователей последние полвека [3-7], устойчивость имеет немаловажное значение в тепло- и массопереносе вблизи границ.
В настоящей работе обсуждается влияние устойчивости слоев Стокса на массоперенос и структурообразование. Появление рельефа на поверхности сыпучей среды (к примеру, дна водоема) в результате колебаний жидкости, вызванных пробегающими по поверхности волнами, хорошо известно [8, 9]. Природа этого достаточно сложная, но определяющая роль здесь отводится слоям Стокса, возникающим вблизи дна. В определенных случаях важна их устойчивость, которая зависит от вносимых возмущений [6, 10]. При колебаниях жидкости вблизи дна возмущения вносятся песочной шероховатостью.
Одновременно в процессе формирования пространственных структур принимают участие и другие механизмы, как-то: вибрационное гидродинамическое взаимодействие между собой частиц сыпучей среды и акустические течения - осредненные потоки, которые генерируются в слоях Стокса в условиях их фазовой или пространственной неоднородности.
Важно, что сам процесс формирования рельефа связан с возможностью изменения поверхности в результате перемещения сыпучей среды. Таким образом, на первое место выходят гидродинамические силы, действующие на частицы песка и приводящие к их отрыву от покоящейся основной массы.
1. ОЖИЖЕНИЕ
Остановимся на обзоре и анализе работ, посвященных проблеме ожижения сыпучей среды. Начнем с описания сил, действующих на частицы песка в стационарном потоке вблизи поверхности, которые обеспечивают их подвижность, необходимую для перемещения. Перенос твердых тяжелых включений потоком жидкости является естественным явлением (перенос осадков потоками жидкости и газа, дюнообразование) и одной из важных технологических проблем, встречающихся в различных процессах, в частности, при гидространспорте сыпучих сред. Этот вопрос освещен в книгах
[11-13] и большом количестве статей, в основном в случае стационарных или однонаправленных течений.
Эрозия и перенос частиц сдвиговыми потоками определяется соотношением действующих на частицы сил. Гидродинамическая сила, стремящаяся увлечь частицу диаметром d , находящуюся на поверхности в сдвиговом потоке вязкой жидкости, характеризуется величиной pLVgd2, а сила тяжести, определяющая силу сцепления частицы с поверхностью, пропорциональна произведению (pS — pL)gd3, где g=dv/ dn , g - ускорение свободного падения. Отношение этих сил характеризует параметр, называемый числом Шильда (Shield):
0—(11) (p —1)gd ( )
где p = pS / pL - отношение плотностей включения и жидкости.
Взаимодействие расположенной на поверхности частицы с потоком также зависит от режима ее обтекания, т.е. от отношения сил инерции и вязкости, характеризуемого числом Рейнольдса:
о gd2
ReP =V (1.2)
В некоторых случаях используется отношение этих параметров -число Галилея
Rep
Ga = ——
0
имеющее смысл числа Рейнольдса, рассчитанного по скорости частицы, оседающей в жидкости под действием поля силы тяжести. Во многих практических случаях (при 0 ~ 1) число Рейнольдса, а значит, и параметр Ga много меньше единицы.
Понятно, что увлечение частицы потоком происходит по достижении критического значения параметра Шильда, величина которого определяется сцеплением частиц. Сцепление, в свою очередь, зависит от формы частиц, их распределения по размеру и их упаковки. В зависимости от перечисленного пороговое значение числа Шильда варьируется в широком диапазоне. В [14] для рыхлой упаковки сферических частиц одного размера (сформировавшейся в
результате естественного оседания) получено пороговое значение 00 = 0.04.
Заслуживает внимания существенное уплотнение поверхности сыпучей среды со временем. Это наблюдается в некоторой области значений числа Шильда 00 < 0 < 0*а1. Эрозия со временем прекращается, причем процесс уплотнения происходит необратимо и не чувствителен к изменению направления движения. Явление постепенного уплотнения поверхности сыпучей среды хорошо известно [15, 16]. Трансформация поверхности связана с тем, что потоком в первую очередь захватываются частицы, слабо сцепленные с остальными. Сместившись на некоторое расстояние, частицы падают и задерживаются только в тех местах, где сцепление более высокое. В случае сферических частиц одного размера для сформировавшейся в конце концов “плотной” упаковки в [14] получено пороговое значение 0*aat = 0.12 . При этом число Рейнольдса ReP имеет тот же порядок величины, что и 0, т.е. хоть и не велико, но и не мало. Учитывая, что порог подвижности частиц чувствителен ко многим параметрам, согласие приведенных выше результатов с критическими значениями числа Шильда 0* = 0.17 и 0.26 из работ [17-19] (см. [20]) можно считать удовлетворительным.
Рассматривая этот вопрос, ограничимся обсуждением лишь порога подвижности частиц, причем при малых значениях ReP. Что касается процесса переноса частиц стационарными потоками в надкритической области и связанных с этим эффектами (такими, как образование рельефа), направим читателя к работам [14, 20], в которых имеется обзор и анализ результатов.
При увеличении ReP динамика частиц в сдвиговом потоке качественно изменяется, проявляется это в резком снижении порогового значения параметра Шильда. Так, в [21] при ReP = 4.75 порог уже надкритического явления - формирование рельефа в сдвиговом течении - обнаружен при меньшем значении числа Шильда 0rip = 0.012, при этом указывается на обратно пропорциональную
зависимость порогового значения 0rip от ReP.
Снижение порога захвата частиц потоком (критического значения 0 ) с увеличением ReP связано не только с изменением закона обтекания, а значит, и увлекающей частицу вязкой (drag) силы, но и с проявлением подъемной силы, направленной перпендикулярно направлению потока.
2. ПОДЪЕМНЫЕ СИЛЫ
Кратко остановимся на описании подъемной силы, действующей на частицу в сдвиговых (неоднородных) потоках. В настоящее время это интенсивно исследуется аналитически, экспериментально и методом прямого численного моделирования.
Появление подъемной силы (ее часто называют силой Саффмана (БаЗтап) [22], который получил аналитическое выражение для силы, действующей на частицу, движущуюся в сдвиговом потоке в предельном случае медленного относительного движения) связано с проявлением инерционных эффектов. В [23] показано, что подъемные силы специфически проявляются в потоках вблизи стенок, когда между частицей и стенкой происходит вязкое взаимодействие. При этом даже на частицу нейтральной плавучести, т.е. не обгоняющую и не отстающую от потока, вблизи стенки действует сила отталкивания [24, 25] (расчеты выполнены в приближении малого размера частицы относительно расстояния до стенки). В [26] изучается подъемная сила, действующая на сферическую частицу в сдвиговом потоке вблизи плоской границы в зависимости от расстояния до границы (сравнимого с размером частицы) и ее относительной скорости. Расчеты проводятся в приближении, что частица находится в области вязкого взаимодействия со стенкой (во внутренней области возмущения движения). В частном случае, когда частица покоится на поверхности, результаты [26] согласуются с [27], где показано, что отношение подъемной силы к весу частицы характеризуется произведением 0 Квр (при 0 Явр »1.6 подъемная сила уравновешивает силу тяжести). Таким образом, при повышении комплекса 0 Квр (например, Квр) сила реакции опоры, а значит, и
сцепление уменьшаются, что приводит к снижению порогового значения 0 , при котором частица на песчаном дне увлекается потоком. В другом частном случае, когда тяжелая частица перемещается с потоком вдоль горизонтального дна без сцепления, при достижении критического значения 0Явр ~7.5 сила тяжести уравновешивается подъемной силой, при этом частица может переноситься потоком вблизи дна, не задевая его. Разумеется, данное описание имеет качественный характер, поскольку в указанных работах Квр предполагается малым.
Исследование подъемных сил при немалых значениях Квр проводится численными методами. Результаты расчетов [28-31] обнаруживают более сложный характер подъемной силы, в частности, ее
снижение при увеличении Явр, и в то же время подтверждают основные заключения теории Саффмана, согласуясь с ней в предельном случае малых Квр, например, демонстрируют отталкивание
частиц от границ и их перенос в сдвиговых потоках достаточной интенсивности. Очевидно, что подъемная сила играет важную роль в переносе потоком тяжелых включений в горизонтальных каналах, на изучении этих явлений сконцентрированы большие силы. Поскольку эта обширная тема выходит за рамки рассматриваемого вопроса, отправим читателя к указанным выше работам, в которых содержится обзор с необходимыми ссылками.
Используя проведенный выше анализ, рассмотрим осциллирующее движение жидкости с циклической частотой О вблизи состоящего из сыпучей среды дна. Пусть дно имеет ровную поверхность и состоит из сферических частиц, диаметр ё которых мал по сравнению с толщиной слоя Стокса, т.е. рассчитанная по диаметру частицы безразмерная частота соа ° Оё2 П мала. В этом случае шероховатостью дна можно пренебречь, и поле скорости вблизи дна определится выражением:
где Уд - амплитуда касательной компоненты скорости за пределами слоя Стокса (толщина слоя колеблющейся жидкости или ширина канала предполагаются значительно больше толщины слоя Стокса).
В приближении od << 1 к описанию поведения частицы применим квазистационарный подход, отрыв частицы (хотя бы на доле периода) будет происходить, когда число Шильда, рассчитанное по амплитудному значению сдвигового напряжения на границе у=42 V0 / 8, превысит пороговое значение. При этом параметры 0 и Rep (формулы 1.1, 1.2) связаны с Red и od соотношениями;
Необходимым условием формирования рельефа на песчаном дне является переход частиц в подвижное состояние хотя бы на части
3. РЕЛЬЕФ
(1.3)
0
(1.4)
периода, что возможно по достижении критического значения параметра Шильда. К примеру, в типичном для натурного эксперимента случае при частоте колебаний ~0.3 Гц толщина слоя Стокса составляет 3 ~ 1 мм, тогда для частиц кварцевого песка малого размера ё ~ 0.2 мм в воде получается соотношение 0 ~ 4 • 10-4 Кв3 . При увеличении размера частиц это условие становится более жестким (коэффициент пропорциональности уменьшается). Оценки показывают, что при малых Кв3 вязкие силы не способны сдвинуть частицы и обеспечить подвижность верхнего слоя песка, состоящего из не слишком мелких частиц. Из наблюдений [8, 32] следует, что в натурных экспериментах с песком порог возникновения рельефа согласуется с порогом квазистационарной устойчивости пограничного слоя [4] и порогом устойчивости слоя Стокса вблизи гладкой границы при внесении возмущений [6, 33].
Как связано ожижение поверхности песчаной подложки с неустойчивостью слоя Стокса? Объяснение содержится в характере неустойчивости, проявляющейся во взрывообразном развитии вихрей высокой интенсивности в фазе нулевого расхода. При внесении в поток возмущений порог развития таких вихрей определяется ква-зистационарной теорией устойчивости [4]: Яв3 —100, наиболее опасным возмущениям соответствует волновое число к ° 2п8! 1» 0.5 . Развитие вихрей приводит к резкому возрастанию градиентов скорости вблизи поверхности, а значит, и локальных значений параметра Шильда, что сопровождается захватом и переносом частиц. Анализ экспериментальных результатов показывает, что во многих случаях именно неустойчивость пограничного слоя вызывает ожижение верхнего слоя песка, определяя тем самым начало формирования рельефа: при критическом значении числа Рейнольдса на плоской песчаной поверхности сначала формируется рельеф с длиной волны к » 0.5 , которая согласуется с предсказанной квазистационарной теорией устойчивости.
В [34] экспериментально изучается структурообразование на поверхности сыпучей среды, которая совершает гармонические колебания вместе с дном полости в неподвижной жидкости. Опыты проводятся при небольших вибрационных ускорениях, когда силы инерции, действующие на колеблющиеся частицы, не играют принципиальной роли в их ожижении. При критической интенсивности колебаний на изначально плоском дне сначала возникает периодическая система двумерных холмов с относительно коротким пространственным периодом, ориентированных перпендикулярно век-
тору скорости. Со временем рельеф эволюционирует: высота холмов и пространственный период возрастают, сначала медленно, а затем - скачком, и по истечении некоторого времени приходят к стационарным значениям.
Анализ диаграмм развития рельефа, приведенного в [34], свидетельствует, что в начале процесса формирования волновое число рельефа составляет к » 0.5. Это согласуется с наиболее опасным возмущением с точки зрения квазистационарной устойчивости слоя Стокса [4] и экспериментальными результатами [33]. К сожалению, в [34] отсутствует информация о критических параметрах, ниже которых возбуждение рельефа не наблюдается. Однако если предположить, что порог соответствует нижней границе области измерений (наблюдений) рельефа, то этой границе соответствует Яв3 —100 , также согласующееся с результатами [4, 33].
Если в начальный момент возникновение рельефа на песчаном дне связано с потерей устойчивости слоя Стокса, то со временем высота рельефа и интенсивность вихревых структур, взрывообразно развивающихся в фазе нулевого расхода, возрастают. Дальнейшая временная эволюция рельефа, в частности скачкообразное увеличение длины волны [34], по-видимому, связана с переходом к отрывному характеру обтекания холмов. При этом частицы могут находиться в подвешенном (подвижном) состоянии значительную часть периода, и определенный вклад в их перенос могут вносить осред-ненные потоки, возбуждаемые пограничными слоями Стокса вблизи волнистого дна [35] (механизм Шлихтинга), с ростом высоты рельефа интенсивность осредненных потоков возрастает и вклад данного механизма увеличивается. Большой интерес представляет обнаруженная в [34] линейная зависимость длины волны установившегося рельефа от амплитуды колебаний.
Остановимся на случае, когда сыпучая среда на поверхности находится в подвижном состоянии. Это наблюдается в случае слоя сыпучей среды незначительной толщины на гладкой поверхности либо частиц малого размера и небольшой плотности в вязкой жидкости, для которой уже при малых значениях Кв3 выполняется условие захвата частиц сдвиговым потоком. При этом механизм формирования рельефа оказывается другим: в отличие от рассмотренного выше, когда на доле периода сыпучая среда переходит в твердое состояние, перенос частиц во взвешенном состоянии осуществляется осредненными потоками. Теория образования рельефа на песчаном дне под действием поверхностных волн (в ее основу положен перенос сыпучей среды шлихтинговскими потоками вблизи
дна) построена в [36]; там же проводится сравнение с экспериментальными данными [37] и анализируются результаты других авторов.
Для пояснения механизма генерации неоднородного распределения тяжелой взвеси кратко остановимся на описании осредненных течений, генерируемых в слоях Стокса (это известно, [1, 2], и носит название “акустические течения”). Суть заключается в возбуждении в осциллирующем пограничном слое осредненного вихревого течения, вблизи границы направленного из области минимума пульса-ционной компоненты скорости в область, где последняя имеет максимальное значение. При этом на внешней границе слоя движение имеет противоположное направление (не обращается в нуль!). В целом пограничный слой работает подобно ленточному транспортеру и вовлекает в движение жидкость и за своими пределами, возбуждая внешние по отношению к себе течения. При наличии на твердой поверхности возмущений, перпендикулярных направлению колебаний жидкости, непосредственно вблизи поверхности формируются потоки, направленные к гребням. Подробное исследование таких течений в широком интервале безразмерной амплитуды колебаний жидкости, а также обзор работ можно найти в [38].
Вернемся к работе [36]. Понятно, что если частицы не сцеплены с дном и могут перемещаться, то они будут сноситься потоком в область гребня рельефа, наращивая его высоту и тем самым усиливая осредненное течение, интенсивность которого пропорциональна неоднородности пульсационной компоненты скорости. Этот механизм неустойчивости положен в основу исследования [36]: в линейной постановке порог возникновения рельефа определяется из условия, что скорость скатывания частиц с образующейся наклонной поверхности равна скорости увлечения потоком, при этом сами частицы предполагаются свободными. Напомним, что это предположение достаточно сильное и, как показывают оценки, не соответствует большинству практических случаев (на сплошном песчаном дне частицы, как правило, покоятся, и для их отрыва требуются потоки большой интенсивности). Найденные в [36] теоретические пороги, казалось бы, удовлетворительно согласуются с полученными самими авторами экспериментальными результатами. Однако анализ этих экспериментальных результатов показывает, что порог образования рельефа характеризуется традиционным параметром Шильда (рис. 1), т.е. определяется именно порогом ожижения поверхности сыпучей среды под действием сдвиговых напряжений.
Рис. 1. Порог возникновения рельефа по [36] на плоскости параметров: Reg, Fd = 2V0 / ((p-1)gd)1/2 - число Фруда, использованное в [36]. Линия соответствует постоянному значению числа Шильда © = Fd2 / (23/2 Reg) = 0.057, точки 1-3 - Rep ~ 0.6, 2.5, 4
Отметим, что рассматриваемом случае возникновение неоднородного распределения частиц по достижении критического значения числа Шильда наблюдается задолго до порога устойчивости слоев Стокса при Red < 100, что объясняется использованием мелких частиц. В то же время описанный в работе механизм определенно ответственен за формирование неоднородного распределения частиц в надкритической области. На это указывает удовлетворительное согласие длин волн, полученных в эксперименте, с расчетными. Слабонелинейный анализ структуры течений и рельефа, возникающего под действием описанного механизма, дан в [9].
Другой интересный пример вибрационного воздействия на гидродинамические системы с подвижными твердыми включениями, обнаруженный в [39], - формирование регулярных пространственных структур из плотных сферических частиц, расположенных на гладком дне заполненной жидкостью полости, совершающей поступательные горизонтальные колебания. Незначительное количество частиц, лишь частично покрывавших поверхность, их высокая
плотность (частицы изготовлены из бронзы) и гладкое дно обеспечивают подвижность частиц под действием вибраций.
Известно, что на малых расстояниях колеблющиеся под действием силы инерции частицы взаимодействуют друг с другом [40-42]. Осредненное взаимодействие в области низких безразмерных частот (при вязком взаимодействии частиц) имеет характер притяжения частиц в направлении вибраций и отталкивания в направлении, перпендикулярном вибрациям. Сила взаимодействия может достигать значительной величины. Так, в [42] обнаружена вибрационная стабилизация нижней границы сыпучей среды, оседающей в заполненном жидкостью вертикальном канале, под действием интенсивных вертикальных вибраций; при этом сыпучая среда оседает в виде занимающего все сечение канала блока со скоростью значительно меньшей, чем в отсутствие вибраций. Такого рода взаимодействие частиц между собой в определенных случаях (при высокой концентрации, когда они находятся в непосредственной близости друг к другу), несомненно, может привести к описанному в [39] эффекту. Можно предположить, что данный механизм взаимодействия частиц является ответственным за перераспределение частиц в экспериментах [43].
Заключение. Обсуждается роль вязкого слоя Стокса в процессах массопереноса и формирования структур на поверхности сыпучей среды, вблизи которой жидкость совершает гармонические колебания. Сделан вывод, что наряду с осредненными потоками, генерируемыми слоями Стокса и участвующими в процессе переноса песка и формирования рельефа, важную роль играет квазистационарная неустойчивость, которая проявляется во взрывообразном развитии вихрей в определенной фазе колебаний и обеспечивает необходимую подвижность сыпучей среды на начальном этапе развития рельефа.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ-Урал 04-01-96055).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.
2. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Т. 2. Ч. Б. М.: Мир,
1969. 420 с.
3. Сергеев С.И. О колебаниях жидкости в трубах при умеренных числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 1. С. 168170.
4. Kerczek C.Von, Davis S.H. Linear stability theory of oscillatory Stokes layers // J. Fluid Mech. 1974. 62. Pt 4. P. 753-773.
5. Hall P. The linear stability of flat Stokes layers // Proc. Roy. Soc. London, 1978. A 359. № 1697. P. 151-166.
6. Козлов В.Г. Об устойчивости высокочастотного осциллирующего течения в каналах // Конвективные течения / Перм. гос. пед. ин-т. Пермь, 1989. С. 60-68.
7. Hall P. On the instability of Stokes layers at high Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2003. V. 482. P. 1-15.
8. Vincent G.E. Contribution to the study of sediment transport in a horizontal bed due to wave action // Proc. 6 Conf. of Coastal. 1957. P. 326-335.
9. Vittory G., Blondeux P. Sand ripples under sea waves. Pt 2. Finite-amplitude development // J. Fluid Mech. 1990. V. 218. P. 19-39.
10. Blondeux P., Vittory G. Wall imperfections as a triggering mechanism for Stokes - layer transition // J. Fluid Mech. 1994. V. 264. P. 107-135.
11. Bagnold R.A. The physics of blown sand and desert dunes. Methuen. London, 1941.
12. Sleath J.F.A. Sea bed mechanics. Wiley, 1984.
13. YalinM.S. River Mechanics. Pergamon Press. Oxford, 1992.
14. Charru F., Mouilleron H., Eiff O. Erosion and deposition of particles on a bed sheared by a viscous flow // J. Fluid Mech. 2004. V. 519. P. 55-80.
15. Chin C.O., Melville B.W., Raudkivi A.J. Streaming armouring // J. Hydraul. Engng. 1994. V. 120. P. 899-918.
16. Raudkivi A.J. Loose boundary hydraulics. A.A. Balkema. Rotterdam, 1998.
17.Mantz PA. Incipient transport of fine grains and flakes by fluid -Extended Shields diagram // J. Hydr. Div. ASCE. 1977. V. 103. P. 601-615.
18. White S.J. Plane bed thresholds of fine grained sediments // Nature.
1970. V. 228. P. 152-153.
19. Yalin M.S., Karahan E. Incepient of sediment transport // J. Hydr. Div. ASCE. 1979. V. 105. P. 1433-1443.
20. Charru F., Mouilleron-Arnould H. Instability of bed of particles sheared by a viscous flow // J. Fluid Mech. 2002. V. 452. P. 303-323.
21. Betat A., Frette V., Rehberg I. Sand ripples induced by water shear flow in an annular channel // Phys. Rev. Letters. 1999. V. 83. P. 8891.
22. Saffman P.G. The lift on a small in a slow shear flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 385-400.
23. Cox R.G., Brenner H. The lateral migration of solid particles Poiseuille flow: 1. Theory // Chemical Enginearing science. 1968. V. 23. P. 147-173.
24. Ho B.P., Leal L.G. Inertial migration of rigid spheres in two dimensional unidirectional flows // J. Fluid Mech. 1974. V. 65. P. 365-400.
25. Vasser P., Cox R. The lateral migration of spherical particle in two dimensional shear flows // J. Fluid Mech. 1976. V. 78. P. 385-413.
26. Chekurat P., McLaughlin J.B. The inertial lift on a rigid sphere in a linear shear flow near a flat wall // J. Fluid Mech. 1994. V. 263. P. 1-
18.
27. Leighton LA., Acrivos A. The lift on a small sphere touching a plane in the presence of a simple shear flow // Z. Agnew. Math. Phys. 1985. V. 36. P. 174-178.
28. Chekurat P., McLaughlin J.B., Dandy D.S. A computational study of the inertial lift on a sphere in a linear shear flow field // Int. J. Multiphase flow. 1999. V. 25. P. 15-33.
29. Patankar NA., Joseph D.D., Wang J., ets. Power law correlation for sediment transport in pressure driven channel flows // Int. J. Multiphase flow. 2002. V. 28. P. 1269-1292.
30. Joseph D.D., Ocando D. Slip velocity and lift // J. Fluid Mech. 2002. V. 454. P. 263-286.
31. Feng Z.G., Michaelides E.E. Equilibrium position for a particle in a horizontal shear flow // Int. J. Multiphase flow. 2003. V. 29. P. 943957.
32. Collins J.I. Inception of turbulence of the bed under periodic gravity waves // J. Geophys. Res. 1963. V. 68. № 21. P. 6007-6014.
33. Козлов В.Г. Устойчивость периодического движения жидкости в плоском канале // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 6. С. 114-118.
34. Stegner A., Wesfreid J.E. Dynamical evolution of sand ripples under water. Physical review E. 1999. V. 60. № 3. P. R3487-3490.
35. Tetsu-Hara and Chiang C. Mei. Oscillating flows over periodic ripples // J. Fluid Mech. 1990. V. 211. P. 183-209.
36. Blondeux P. Sand ripples under sea waves. Pt 1. Ripple formation // J. Fluid Mech. 1990. V. 218. P. 1-17.
37. Blondeux P., Sleath G.FA., Vittory G. Experimental data on sand ripples in an oscillatory flow // Rep. 01/88. 1988. Inst. Hydraulies. University of Genoa.
38. Hara T., Mei C.C. Oscillating flows over periodic ripples // J. Fluid Mech. 1990. V. 211. P. 183-209.
39. Wunenburger R., Carrier V., Garrabos Y. Periodic order induced by horizontal vibrations in a two-dimensional assembly of heavy beads in water // Phys. Fluids. 2002. V. 14. P. 2350-2359.
40. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. I. Axisymmetrical case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33. P. 344-357.
41. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. II. Three dimensional case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33. P. 487-502.
42. Kozlov V.G., Chigrakov A.V., Ivanova AA., Evesque P. Granular matter sedimentation in tilted channel filled with liquid and subject to longitudinal vibration // Convective flows... / Perm. State Pedag. Un-ty. Perm, 2003. P. 215-230.
43. Reis PM., Mullin T. Granular segregation as a critical phenomena // Phys. Rev. Letters. 2002. V. 89. P. 244301(1-4).
ROLE OF STOKES LAYER IN PATTERNS FORMATION ON THE SURFACE OF GRANULAR MEDIUM
V.G. Kozlov, A.A. Ivanova, P. Evesque
Abstract. The role of viscous Stokes layer, in particular, the role of its stability in the processes of mass transfer and patterns formations on the surface of granular matter when liquid makes harmonious oscillations is analyzed. It is shown that alongside with mean streams generated by Stokes layers (responsible for carrying the sand and relief formation) the specific quasisteady instability plays an important role. The last manifest itself in burst excitation of whirlwinds in the definite phase of oscillation and provides the necessary mobility of granular matter at the initial stage of relief formation.
