CC BY
22ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА
ЖИДКОСТИ И СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ В НЕРАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ
Д. А. Полежаев
Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Изучается устойчивость осесимметричной границы раздела между жидкостью и сыпучей средой во вращающемся горизонтальном цилиндре при модуляции скорости вращения. Внимание уделяется случаю, когда угловая скорость вращения меньше циклической частоты колебаний. Обнаружено, что межфазная граница неустойчива к возникновению рельефа в виде регулярных холмов. В начальной фазе развития неустойчивости пространственный период рельефа определяется толщиной вязкого слоя Стокса вблизи песчаной подложки, что позволяет предположить, что возникновение рельефа является следствием развития в жидкости квазистационарной неустойчивости слоя Стокса.
Ключевые слова: жидкость, сыпучая среда, вращение, модуляция скорости вращения, рельеф, устойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Волны на поверхности неглубоких водоемов создают в воде колебания, и вблизи песчаного дна могут инициировать появление возмущений в виде квазистационарного рельефа. Особенностью динамики такого рельефа является его способность к перемещению под действием течений подобно тому, как перемещаются дюны в пустынях под действием ветра [1, 2]. Меняющая форму песчаная
©Полежаев Д. А., 2019 БО1: 10.24411/2658-5421-2019-10910
подложка приводит к изменению течений жидкости и условий для судоходства, а также влияет на условия жизни придонных экосистем.
Несмотря на большое внимание исследователей к проблеме возникновения и миграции донных образований (см., например, [3-5]), природа этих эффектов остается не до конца выясненной. В связи с техническими трудностями проведения полевых экспериментов активно проводятся лабораторные исследования динамики донных образований. Поверхностные волны, являющиеся источником возмущений в естественных водоемах, имитируются в лабораторных условиях с помощью волновых туннелей [6], волновых танков [2, 7, 8], осциллирующих [9, 10] или неравномерно вращающихся полостей [11, 12].
Изучение устойчивости песчаной подложки к возникновению рельефа в лабораторных экспериментах и полевых условиях показывает, что песчаные дюны формируются почти сразу после обеспечения условий мобильности частиц [11, 13]. Подвижность частиц определяется совместным действием вязкой сдвиговой силы, стремящейся переместить частицу вдоль межфазной границы, и прижимной силы - веса частицы, которая удерживает ее на месте. Отношение этих сил называют числом Шильдса в, критическое значение которого при возникновении мобильности у частиц равно приблизительно 0.05 [14]. В лабораторных и полевых экспериментах вычисление в затруднено из-за возникновения в жидкости турбулентных течений, в которых существенным и неконтролируемым образом увеличивается сдвиговая вязкая сила.
Известно, что в естественных условиях пространственный период песчаного рельефа может изменяться от нескольких сантиметров до нескольких метров и зависит от скорости колебательного движения жидкости и амплитуды колебаний [15]. Однако во вращающихся полостях жидкость испытывает действие силы инерции, так что результаты, полученные в случае поступательных колебаний жидкости, могут быть к ним неприменимы. Таким образом, динамика поверхности песчаного дна во вращающемся горизонтальном цилиндре с жидкостью при модуляции скорости вращения является интересным объектом для исследования.
В нашем исследовании эксперименты проводятся в горизонтальном неравномерно вращающемся цилиндре, скорость которого изменяется со временем по закону /с = /г (1 + е8ш2р¡оссг), где /г -средняя скорость вращения, /шс - частота азимутальных колеба-
ний, е = (0 10СС/ - амплитуда модуляции скорости вращения ((0 - амплитуда угловых колебаний). В экспериментах с неравномерно вращающимся цилиндром [11] было проведено подробное исследование устойчивости границы раздела между жидкостью и сыпучей средой в области, когда скорость вращения /г больше частоты колебаний жидкости /0С . В нашей работе обсуждаются устойчивость межфазной границы и пространственный период рельефа в области Ш,С < 1.
1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки, используемой для изучения устойчивости границы раздела между жидкостью и сыпучей средой, представлена на рис. 1. Полый цилиндр кругового сечения 1 крепится к вертикальному столику 2. Столик при помощи двух шарикоподшипников 3 устанавливается горизонтально на платформе 4. Вращение цилиндра осуществляется при помощи шагового двигателя 5 с блоком управления 6. Ось двигателя и ось вращающегося столика соединены жесткой муфтой 7.
Цифровой генератор типа 7ЕТЬаЬ (не показан на рисунке) управляет шаговым двигателем и позволяет независимо устанавливать скорость вращения /г (во всех экспериментах /г = 4 об/с), частоту колебаний, варьирующуюся в диапазоне /01С = 5 -12 Гц, и модуляцию скорости вращения, которая в различных экспериментах принимает значения в интервале е = 0.04 - 0.14 .
Кювета представляет собой прозрачный плексигласовый цилиндр длиной Ь = 2.2 см и внутренним диаметром Б = 14.4 см. В центре одного из торцов кюветы имеется отверстие для ее заполне-
ния жидкостью и сыпучей средой. В качестве сыпучей среды используются стеклянные шарики диаметром d = 0.09 мм и плотностью posc = 2.53 г/см3. Масса шариков во всех экспериментах остается неизменной и равной 75 г. В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор плотностью p¡ = 1.15 г/см3 и кинематической вязкостью v = 10 сСт.
Фоторегистрация межфазной границы осуществляется через прозрачную торцевую стенку фотокамерой 8 типа Canon EOS 60D и объективом Canon Lens EF 85 mm.
В отсутствие вращения стеклянный песок находится на дне цилиндра. При увеличении скорости вращения песок частично увлекается вращающейся стенкой полости и переходит во взвешенное состояние. По достижении скоростью вращения некоторого значения сыпучая среда под действием центробежной силы инерции образует кольцевой слой толщиной несколько миллиметров (рис. 2 а). Переход частиц из объема жидкости в кольцевой слой занимает несколько минут. После этого задаются колебания цилиндра известной частоты и модуляции, и начинается фотосъемка. Изучаются условия возникновения рельефа и его пространственный период. Типичная продолжительность эксперимента составляет 6-10 часов. Если в течение этого времени на поверхности песка возникает рельеф, то измеряется его пространственный период в начальной фазе развития и в квазистационарном состоянии. Если рельеф не возникает, то модуляция скорости вращения увеличивается примерно на 5 %, и эксперимент повторяется.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
После возникновения кольцевого слоя граница раздела между жидкостью и сыпучей средой становится осесимметричной: жидкость и сыпучая среда совершают твердотельное вращение вместе с цилиндром. При включении азимутальных колебаний с частотой fosc и модуляцией e этот кольцевой слой продолжает двигаться вместе с цилиндром. Жидкость вовлекается в колебательное движение только в тонких пограничных слоях вблизи торцевых стенок цилиндра, тогда как основной объем жидкости продолжает равномерно вращаться со скоростью fr. В системе отсчета, связанной с полостью, жидкость совершает колебательное движение, что может приводить в движение частицы на межфазной границе.
При постоянных значениях скорости вращения fr и частоты колебаний /ос монотонное увеличение модуляции скорости вращения приводит к возникновению пространственно-периодического рельефа на изначально осесимметричной межфазной границе. Это происходит по достижении критического значения параметра е (рис. 2 б-г).
в г
Рис. 2. Фото межфазной границы: /\сс = 7 Гц, е = 0.10, время г = 0, 15, 75 и 450 мин (а-г)
На фотографиях межфазной границы, полученных в течение длительного эксперимента (см. рис. 2), видно, что в начальной фазе
опыта количество песчаных холмов уменьшается с течением времени, пространственный период 1 (угловое расстояние между соседними холмами) монотонно увеличивается. Продолжительность фазы роста песчаных холмов зависит от величины модуляции и может длиться от нескольких минут до нескольких часов: чем больше значение е , тем короче фаза роста. После фазы роста размер и количество холмов остаются неизменными до конца эксперимента.
Кроме того, колеблющаяся жидкость может подхватывать находящиеся на вершинах холмов частицы и перемещать их между холмами. Такой массоперенос не влияет на размер и форму холмов в квазистационарном состоянии, но является причиной азимутального дрейфа песчаного рельефа. Обсуждение этого интересного физического феномена выходит за рамки данного исследования; с результатами измерений скорости дрейфа песчаного рельефа в неравномерно вращающемся цилиндре в области значений fJ fosc < 1 можно познакомиться в [11].
На рис. 3 приведены результаты измерения пространственного периода рельефа в зависимости от частоты колебаний и модуляции скорости вращения в фазе возникновения рельефа (рис. 3 а) и в квазистационарном состоянии (рис. 3 б). В начальной фазе возникновения рельефа измерение 1 затруднено тем, что холмы нерегулярные и малы по размеру. Это объясняет большую по сравнению со случаем квазистационарного рельефа погрешность измерений.
С точностью до погрешности измерений можно утверждать, что в фазе возникновения пространственный период не зависит от модуляции скорости вращения и увеличивается при уменьшении частоты колебаний цилиндра. В квазистационарной фазе 1 увеличивается с повышением модуляции е при всех частотах колебаний.
Проведенные при различных значениях е эксперименты позволяют также определить условия возникновения рельефа на межфазной границе. Из [11] следует, что в области значений ¡осс//г < 1 данные о пороге устойчивости удобно представлять на плоскости параметров /,(0, где / ° 10СС/ 1г - относительная частота колебаний цилиндра, ( 0 - амплитуда угловых колебаний жидкости вблизи невозмущенной поверхности сыпучей среды, связанная с амплитудой модуляции соотношением е = (0 ¡0СС//г .
Рис. 3. Зависимость пространственного периода рельефа на межфазной границе от модуляции скорости вращения в начальной фазе возникновения рельефа (а) и в квазистационарном состоянии (б) для различных частот колебаний
ъ \ О ]
V, сСт об/с • 10 4.0 а \ й \ ч ^ 5-12
А 10 4.5 □ 3.8 5.0 О 3.8 7.0 - - Фо-/"1-2 — Ф0~/"2 2-4 д 0.30-2 0.25 - 0.50 \
0.01 0.1 1 10
/
Рис. 4. Зависимость амплитуды колебаний жидкости от относительной частоты колебаний в пороге устойчивости поверхности слоя сыпучей среды
На рис. 4 показаны результаты измерений (0 в пороге устойчивости, полученные в области / > 1, и для сравнения приведены данные, ранее полученные авторами для / < 1. В области малых значений относительной частоты колебаний пороговое значение амплитуды колебаний уменьшается по закону (0 ~ /_1'2 (штриховая линия), при переходе в область / > 1 закон убывания становится иным - (0 ~ /-2 (сплошная линия).
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как было сказано выше, в естественных условиях, когда рельеф на песчаной подложке образуется под действием бегущих по поверхности воды волн, пространственный период ЛшМ может принимать значения от нескольких сантиметров до нескольких метров. В [15] предложено классифицировать песчаный рельеф в зависимости от амплитуды колебаний жидкости и ее скорости. Авторы классификации выделяют шесть возможных режимов. Например, когда скорость воды относительно невелика, а гребни песчаных холмов острые и изменяют течение так, что оно становится вихревым и
пространственно-периодическим, период определяется амплитудой колебаний жидкости b и равен 1sand = 4 / 3b (такие песчаные холмы авторы называют orbital ripples). Существуют и такие песчаные холмы, когда пространственный период рельефа не зависит от амплитуды колебаний.
Согласно наблюдениям за межфазной границей в неравномерно вращающемся цилиндре, в области f > 1, как правило, наблюдаются песчаные холмы с острой вершиной. Кроме того, как видно на рис. 2, в определенной фазе колебаний вблизи некоторых холмов возникает отрывное течение, уносящее частицы с песчаных гребней. Можно предположить, что пространственный период такого рельефа определяется амплитудой колебаний жидкости, т.е. 1sand ~ b . Амплитуда b связана с j0 соотношением b = j0a , где a - расстояние от оси вращения до невозмущенной поверхности сыпучей среды. Однако во вращающемся цилиндре азимутальное течение жидкости испытывает действие силы Кориолиса, которая пропорциональна скорости вращения цилиндра fr, амплитуде j0 и частоте колебаний fosc жидкости вблизи межфазной границы. Комбинация этих параметров образует амплитуду модуляции скорости вращения e = j0 f0SJfr и позволяет предположить, что именно e является параметром, определяющим пространственный период рельефа, т.е. l ~ e.
На рис. 5 показана зависимость безразмерного пространственного периода песчаного рельефа от амплитуды колебаний. Экспериментальные результаты, полученные при различных частотах колебаний, хорошо согласуются между собой за исключением частоты fosc = 5 Гц. Причина этого рассогласования остается невыясненной.
Перейдем к обсуждению пространственного периода рельефа в начальной фазе его существования. Согласно данным на рис. 3 а, период l не зависит от модуляции скорости вращения, однако увеличивается с уменьшением частоты колебаний. Наблюдения за межфазной границей показывают, что формированию холмов на поверхности слоя сыпучей среды предшествует возникновение вихревых потоков жидкости в определенной фазе колебаний. Течения становятся видимыми благодаря тому, что подхватывают стеклянные частицы и перемещают их вдоль межфазной границы.
Появление вихрей на доле периода в колеблющейся жидкости характерно для развития квазистационарной неустойчивости в вязком пограничном слое Стокса [16].
Рис. 5. Зависимость безразмерного пространственного периода рельефа от амплитуды колебаний жидкости. Сплошная линия соответствует значению 1 / е = 1.7 , обозначения см. на рис. 3 б
Рис. 6. Волновое число рельефа в начальной фазе его развития в зависимости от модуляции скорости вращения. Сплошная линия -среднее значение волнового числа к8 = 0.58. Обозначения соответствуют рис. 3 а
Наиболее опасными для развития квазистационарной неустойчивости являются возмущения с волновым числом к3° 2к8/ Лшпй » 0.5, где 3 = (у/р/0!С )1/2 - толщина вязкого слоя Стокса. Согласно результатам измерений, волновое число не зависит от модуляции скорости вращения, и его среднее значение составляет к3 = 0.58 (рис. 6), что согласуется с предсказаниями квазистационарной теории неустойчивости.
Согласно теории квазистационарной неустойчивости, в канале с гладкими стенками вихревое течение возникает по достижении критического числа Рейнольдса Яе °ыосс8/у» 100, где ыосс - амплитуда скорости колебательного движения жидкости, Ь - амплитуда колебаний. Для сравнения полученных результатов об устойчивости межфазной границы с предсказаниями квазистационарной теории неустойчивости представим результаты рис. 4 на плоскости параметров Яе,е (рис. 7). Число Рейнольдса рассчитывается по формуле Яе ° 2я/о<0а3 / V , где а - расстояние от центра цилиндра до межфазной границы.
На графике видно, что межфазная граница испытывает неустойчивость и при значении Яе ^ 100, что, на первый взгляд, не согласуется с выводами квазистационарной теории неустойчивости. Однако в экспериментальной работе [17] показано, что критическое значение числа Рейнольдса значительно понижается, если стенки канала имеют шероховатость. В нашем исследовании жидкость совершает колебания вблизи межфазной границы, которую образуют стеклянные шарики, так что граница не является гладкой. Степень шероховатости межфазной границы можно оценить по отношению толщины вязкого слоя Стокса к диаметру стеклянных шариков. Вычисления показывают, что отношение толщины вязкого слоя к диаметру частиц во всех экспериментах невелико, а именно 3/й < 10 .
Таким образом, относительно тонкий пограничный слой, возможно, является причиной уменьшения критического числа Рей-нольдса. Проверка этого предположения потребует проведения дополнительных исследований с более вязкими жидкостями.
Наконец, рассмотрим возможные причины возникновения излома кривой зависимости амплитуды колебаний жидкости от относительной частоты колебаний в пороге возникновения рельефа: вблизи значения / = 1 зависимость <0 ~ /~1,2 изменяется на <р0 ~ /-2 (см. рис. 4).
10
0.01 ---
1 10 100 1000 Яе
Рис. 7. Зависимость амплитуды колебаний жидкости от числа Рейнольдса в пороге возникновения песчаного рельефа. Обозначения соответствуют рис. 4
Аналогичный результат был обнаружен ранее в экспериментах [12] при изучении влияния инерционных волн на устойчивость межфазной границы в длинном неравномерно вращающемся цилиндре. Инерционные волны возбуждаются во вращающейся и осциллирующей вдоль оси вращения жидкости, если безразмерная частота колебаний / < 2 [18]. В [12] показано, что в цилиндре с модулированной скоростью вращения инерционные волны возбуждаются в области, где торцевые стенки примыкают к кольцевому слою сыпучей среды, и распространяются в объем жидкости вдоль характеристических поверхностей в форме конусов. Направление распространения волн по отношению к оси вращения определяется безразмерной частотой колебаний а = arcsm(/ / 2). В зависимости от относительной длины цилиндра и относительной частоты колебаний волна, распространяющаяся из области соединения торцевой и цилиндрической стенок кюветы, сталкивается сначала с торцевой стенкой или межфазной границей. Когда инерционная волна отражается от межфазной границы, в вязком слое Стокса возбуждается колебательное движение, которое может приводить в движение частицы сыпучей среды и тем самым способствовать возникновению рельефа. Авторы предположили, что влияние инерционных волн на устойчивость межфазной границы значительно, если пер-
вое отражение происходит именно от межфазной границы, когда энергия волны не успевает рассеяться при отражении от торцевых стенок.
В нашей работе частота изменяется в пределах / = 1.25 - 3 . Так как инерционные волны существуют только в случае / < 2, имеет смысл рассматривать интервал значений 1.25 < / < 2 . Тогда угол между направлением распространения волны и осью вращения изменяется в диапазоне 40° < а < 90° . В коротком цилиндре с относительной длиной Ь/В = 0.15 инерционная волна для попадания на межфазную границу должна распространяться под углом а < агйап(Ь / В) = 8 Таким образом, во всех экспериментах инерционные волны перед тем, как отразиться от межфазной границы, испытывают многократные отражения от торцевых стенок и, скорее всего, не влияют на появление песчаных холмов. В коротком цилиндре первое отражение инерционных волн от межфазной границы произойдет только при / » 0.28. Но на рис. 4 вблизи этого значения / не наблюдается изменения зависимости <0(/). Так что вопрос о физической природе излома пороговой кривой вблизи / = 1 остается открытым.
Заключение. Проведено экспериментальное исследование устойчивости границы раздела между жидкостью и сыпучей средой во вращающемся горизонтальном цилиндре при модуляции скорости вращения для /ос//г > 1. Показано, что межфазная граница неустойчива к появлению рельефа в форме регулярных холмов. Измерения пространственного периода в начальной фазе развития рельефа показали, что 1 определяется толщиной вязкого пограничного слоя вблизи межфазной границы. Это позволяет предположить, что возникновение рельефа связано с развитием квазистационарной неустойчивости осциллирующего пограничного слоя. Для подтверждения гипотезы необходимо провести дополнительные эксперименты с более вязкими жидкостями. В квазистационарном режиме существования рельефа его пространственный период определяется модуляцией скорости вращения цилиндра. Обнаружено, что в пороге устойчивости межфазной границы амплитуда колебаний жидкости изменяется по закону <0 ~ /~2, в то время как в области /г > 1 зависимость имеет вид <0 ~ /~1,2.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 18-71-10053.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Blondeaux P., Foti E., and Vittori G. Migrating sea ripples // Eu-rop. J. Mech.-B/Fluids. 2000. Vol. 19 (2). P. 285-301.
2. Faraci C., Foti E. Evolution of small-scale regular patterns generated by waves propagating over a sandy bottom // Phys. Fluids. 2001. Vol. 13 (6). P. 1624-1634.
3. Петров А.Г., Потапов И.И. О развитии возмущений песчаного дна канала // Докл. РАН. 2010. Т. 431, № 2. С. 191-195.
4. Charm F., Andreotti B., and Claudin P. Sand ripples and dunes // Ann. Rev. Fluid Mech. 2013. Vol. 45. P. 469-493.
5. CarterR.W.G. Coastal environments: an introduction to the physical, ecological, and cultural systems of coastlines // Elsevier. 2013. 617 p.
6. Dumas S., Arnott R.W., and Southard J.B. Experiments on oscillatory-flow and combined-flow bed forms: implications for interpreting parts of the shallow-marine sedimentary record // J. Sediment. Res. 2005. Vol. 75 (3). P. 501-513.
7. Lacy J.R., Rubin DM, Ikeda H., et al. Bed forms created by simulated waves and currents in a large flume // J. Geophys. Res.: Oceans. 2007. Vol. 112 (C10). P. 1-18.
8. Davis J.P., Walker D.J., Townsend M., Young I.R. Wave-formed sediment ripples: Transient analysis of ripple spectral development // J. Geophys. Res.: Oceans. 2004. Vol. 109 (C7). P. 1-15.
9. Иванова А.А., Козлов В.Г. Граница раздела песок - жидкость при вибрационном воздействии // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 2. С. 120-138.
10. Rousseaux G., Caps H., and Wesfreid J.E. Granular size segregation in underwater sand ripples // Europ. Phys. J. E: Soft Matter and Biological Physics. 2004. Vol. 13 (2). P. 213-219.
11. Dyakova V., Kozlov V., and Polezhaev D. Oscillation-induced sand dunes in a liquid-filled rotating cylinder // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94 (6), 063109.
12. Дьякова В.В., Субботин С.В. Влияние инерционных волн на устойчивость границы раздела «жидкость - сыпучая среда» в либрирующем цилиндре // Конвективные течения. Вып. 8. Пермь: ПГГПУ, 2017. С. 66-79.
13. Rousseaux G. et al. Oscillation-induced sand ripples in a circular geometry // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78 (1), 016302.
14. Nielsen P. Coastal Bottom Boundary Layers and Sediment Transport. World Scientific, Singapore. 1992. Vol. 4. 340 p.
15. Pedocchi F., Garcia M.H. Ripple morphology under oscillatory flow: 1. Prediction // J. Geophys. Res.: Oceans. 2009. Vol. 114 (C12). P. 1-16.
16. Von Kerczek C., Davis S.H. Linear stability theory of oscillatory Stokes layers // J. Fluid Mech. 1974. Vol. 62 (4). P. 753-773.
17. Козлов В.Г. Устойчивость периодического движения жидкости в плоском канале // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 6. С. 114-118.
18. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л: Гидроме-теоиздат, 1975. 304 c.
EXPERIMENTAL STUDY OF THE STABILITY OF THE INTERFACE BETWEEN LIQUID AND GRANULAR MEDIUM IN A HORIZONTAL CYLINDER WITH MODULATED ROTATION RATE
D.A. Polezhaev
Abstract. The stability of an axisymmetric interface between liquid and granular medium in a horizontal cylinder with modulated rotation rate is studied. The focus is on the domain where rotation rate is less than frequency of oscillations. It is found that the interface is unstable to the growth of the relief in the form of regular hills. In the initial phase, the spatial period of the relief is determined by the thickness of viscous Stokes layer near the sandy bottom. So, the appearance of the relief is a consequence of the development of the quasistationary instability of viscous boundary layer.
Key words: liquid, granular medium, rotation, modulation of rotation rate, relief, stability.
