Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

А.А. Замышляееа, А.В. Юзеева

THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM FOR THE BOUSSINESQ - LOVE EQUATION

A.A. Zamyshlyaeva, A. V. Yuzeeva

Рассматривается начально-конечная задача для уравнения Бусси-неска - Лява, моделирующего продольные колебания балки. Проводится редукция к абстрактной начально-конечной задаче для уравнения собо-левского типа второго порядка. Получены теоремы об однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое пространство, M,N-функции, дифференциальные уравнения на графах, начально-конечная задача

We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesq - Love equation by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain theorems about the unique solvability of such problems.

Keywords: the Sobolev type equations, the phase space, the M,N-functions, the differential equations defined on graphs,the initial-finish value problem

Введение

Пусть 11 и $ - банаховы пространства, операторы L,M Е £(U, 5) (т.е. оба линейны и непрерывны). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа

Lu = Мщ (1)

Вектор-функцию и Е С1(М;Я) назовем решением уравнения (1), если при подстановке в уравнение она обращает его в тождество. Решение и = u(t) уравнения (1) назовем решением задачи Коши, если оно вдобавок удовлетворяет условию

и(0) = щ, (2)

где щ £ 11 - некоторый, вообще говоря, произвольный вектор.

Если существует оператор L~l Е £(#,11), то уравнение (1) тривиально редуцируется к уравнению

й = Su, (3)

где оператор S — L~~lM Е C(ii) по построению. Как нетрудно показать, единственное решение задачи (3), (2) существует при любом векторе щ Е 11 и имеет следующий вид

u(t) = игт, (4)

где оператор-функция U* G С1 (М; £(Д)) задается рядом Тейлора

34

1л

00 ск+к

ut=n Ч- ®

к=О

Поскольку оператор S G £(1I), то его спектр &(S) ограничен. Значит, существует контур 7 = {/i G С : |/i| = г}, ограничевающий круг, содержащий спектр. Нетрудно видеть, что оператор-функция (5) может быть представлена следующим образом:

ut = éîJ R^s)efA'd^

7

где R^S) — (/il —S)-1 - резольвента оператора S. Данный подход к решению задачи (1), (2) может быть распространен и на случай необратимого оператора L. Мы будем использовать теорию и методы, разработанные в [1], хорошо проявившие себя в работах [2-5]. Следуя [1], введем в рассмотрение L-резольвентное множество

рь(М) = {ц G С : OiL - M)-1

и L-спектр aL(M) = С\pL(M) оператора M. Оператор M называется (L, а)-ограниченным,

если

За G М+ V/i G С (|/i| > а) (/х G pL(M)).

Понятие (L, сг)-ограниченного оператора оказалось слишком широким для однозначной разрешимости задачи (1), (2); обычно вместо него используется понятие (L^p)-ограниченного оператора, где число р G NU{0} равно порядку полюса L-резольвенты {¡jlL—M)"1 оператора M в точке ос (при р = 0 в точке оо - устранимая особая точка).

Итак, пусть оператор M (Х,р)-ограничен. Тогда существует контур 7 С С, ограничивающий область, содержащую L-спектр оператора М. Аналогично (6) построим оператор-функцию

Ut = éif (7)

7

где R^(M) = {¡jlL — M)~lL - правая L-резольвента оператора M. В случае необратимости оператора L, но при условии (L,^-ограниченности оператора М, существует единственное решение задачи (1), (2), но не для всех щ G il , а только для тех, которые лежат в подпространстве Я1 = imU°.

В [1] исследование задачи (1), (2) удалось распространить на неполное уравнение собо-левского типа второго порядка

Av = Bv, (8)

где операторы А, В G £(2J, ©), Ю и 0 - банаховы пространства, причем оператор В (А,р)-ограничен. Единственное решение v G С°°(М; 93) задачи Коши

v(0)=vuv(0)=v0 (9)

для уравнения (8) представимо в виде

v(t) = V?«1 + VqVq, (10)

где пропагаторы V^k = 0,1, имеют следующий вид:

= j в)'1 Aetltd^k = ОД- (")

Здесь контур 7 Е С ограничивает область, содержащую Л-спектр оператора В; а начальные значения г^ Е ш!^0 = ¡тУ0°, к = 0,1, где ш!^0 = ¡т70° - подпространство в ЯЗ. Абстрактный результат иллюстрирован начально-краевой задачей для неполного уравнения Буссинеска - Лява

(А - А)уи = а2Ау,

моделирующего продольные волны в упругой балке без учета поперечной инерции.

Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для полного уравнения Буссинеска - Лява

(А - ДК = а2Аюг + Р2Аь, (12)

моделирующего продольные волны в упругой балке с учетом поперечной инерции. Термин <начально-конечная задача» появился совсем недавно, и отражает он тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временного промежутка [0,Т], а другая часть - в конце. Первоначально такая задача называлась «задачей сопряжения» или «задачей Веригина» и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в таком контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [4].

В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных М, ТУ-функций [5]. В п.2, следуя [4], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.З посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (12).

1. Вырожденные М, ]¥-функции

Пусть Ш и 0 - банаховы пространства, операторы А, Во Е £(11; 0). Обозначим через В пучок операторов (Бх,Бо).

Определение 1. Множества рА(В) = {/¿ЕС : (р2А - рВ\ - В0)~1 Е £(0;11)} и аА(В) = С\рА(В) будем называть А-резольвентным множеством и А-спектром пучка В.

Заметим, что множество рА(В) всегда открыто, поэтому Л-спектр аА(В) пучка (В) всегда замкнут.

Определение 2. Оператор-функцию ЯА(В) = (р2 А — рВ\ — Во)~1 с областью определения рА(В) будем называть А-резольвентой пучка В.

А-резольвента пучка В всегда аналитична в своей области определения.

Определение 3. Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора А (или просто полиномиально А-ограниченным), если

За Е М+ Ур Е С (\р\ > а) (1$(В) Е £(0;Ш)).

Если существует оператор А^1 Е £(0;ОЗ), то пучок В полиномиально Л-ограничен.

1

Если кег Лр|( р| кег В к) ф {0}, то пучок В не будет полиномиально ^-ограниченным.

к=0

Зафиксируем 7 = {р Е С : \р\ = г > а} - контур, ограничивающий круг, содержащий оА(В). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок В полиномиально

А-ограничен, то можно потребовать, что

= (Л)

7

Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор А~1 Е £(0; Ш), то условие (А) выполняется; а если оператор А = О и существует оператор В^1 Е £(0;ЗД), то нет.

Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:

7 7

Лемма 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А). Тогда операторы Р Е £(0) и £ £(0) — проекторы.

Положим

53° = кегР, 0° = кег(3, Ш1 = кР, 01 = ип(5- Из леммы следует, что Ю = Ю° Ф Ш\0 = 0° е 01. Через Ак обозначим сужение оператора А (В\) на Юк, к, I = 0,1.

Теорема 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А). Тогда действия операторов расщепляются: ({) Ак е£(Юк]<5к), к = 0,1; (и) Вк е£(Юк;0к), к,1 = 0,1;

существует оператор (Л1)"1 Е £(©1;231); (т) существует оператор Е £(0°;Ш°);

Теперь рассмотрим полное уравнение соболевского типа второго порядка

Ад = ВХЬ + В0у. (13)

Вектор-функцию V Е С2(Е;53) назовем решением уравнения (13), если оно обращает (13) в тождество. Решение V = уравнения (13) называется решением задачи Коши

ЦО)=уии(0)=у0, (14)

если оно удовлетворяет (14).

Определение 4. Оператор-функцию V* Е С°°(М; £(0)) будем называть пропагатором уравнения (13), если для любого V ЕЮ вектор-функция = У1и будет решением этого уравнения.

Рассмотрим семейства операторов

7

- Вг^Ч^е м.

7

Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (13). Причем если контур 7 С рА(В) и ограничивает область Г, такую, что аА(В) П Г = 0, то в силу теоремы Коши V* = Уд = О при всех и утверждение очевидно.

Определение 5. Семейства : Ж —)> £(11) называются семейством вырожденных

М, N-функций уравнения (13), если

(г) М* и И* — пропагаторы уравнения (13); (и) М° = N° = О; М° = № = Р.

Лемма 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А). Тогда существует единственное семейство вырожденных М, N-функций уравнения (13), причем

Мг = V?, Ы1 = VI

Теорема 2. Пусть выполнены условия предыдущей леммы. Тогда при любых г^ Е Ш1, к = 0,17 существует единственное решение задачи (13), (Ц), представимое в виде: г>(£) — Мги г+ИЧо.

2. Абстрактная начально-конечная задача

Пусть ЗД и 0 - банаховы пространства, операторы Л, В^Во £= £(11; 0). Рассмотрим полное уравнение соболевского типа второго порядка

АЪ = ВхЬ + В0и. (15)

Если пучок В = (1?1,1?о) полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из леммы 2, существует единственное семейство вырожденных М, Л^-функций уравнения (15), гарантирующих однозначную разрешимость задачи (15), (16). Пусть выполнено следующее условие:

А-спектр пучка В аА(В) = а о {В) \^оА(В), причем

&А{В) "ф- 0, к — 0,1; и существует контур 70 С С, ^^

ограничивающий область Го С С такую, что

ГоП<т£(В) = а£(В), ГоП^(5)=0.

Тогда существует следующий оператор:

Ро = цВ${В)Айц € £(Ш).

70

Потребуем выполнение еще одного условия

I В.£(В)<1ц = О. (А0)

70

Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (А), (В), (Ао). Тогда Ро - проектор, причем Р0Р = РРо = Ро-

Построим оператор Р\ — Р — Ро Е £(Ш). В силу леммы 2.1 оператор Р\ - проектор, причем Р0Рг = Р\Ро — О. Возьмем произвольные векторы уЦ, г^, г;^, Е 23. Решение

у = уравнения (15) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (15), если оно удовлетворяет следующим условиям:

р0(«(о) - «?) = о, р0(«(о) - = 0;

Рх(«(Т) - ^) = о, РМТ) - «Л = 0. ^

Заметим, что если сг^В) = 0, то Р\ = О и Ро = Р. Тогда задача (16) для уравнения (15) превращается в задачу (13), (14).

Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:

М° = Ьг I ^ 1 6 Ж'

70

^ = / - е М.

70

Оба семейства хоть и не являются семейством вырожденных М, 7У-функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (и)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.

Лемма 4. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (5), (Ао).

Тогда

(г) М0 и Щ - пропагаторы уравнения (15); (п)М° = ^ = О,М° = М° = Р0.

Далее, возьмем произвольное число Т Е И и построим следующие семейства операторов М\ = Мг~т - м1~т, N1 = Ыг~т -

Лемма 5. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (Л), (Я), (Ао). Тогда

(г)М[ иЩ - пропагаторы уравнения (15); (%%)М1 = Щ = О = Л^ = Рь

Теорема 3. Пусть выполнены условия предыдущей леммы. Тогда для любых

23, Л; = 0,1, существует единственное решение V = г>(£) задачи (15), (16), которое к тому

же имеет следующий вид:

у(г) = + м^ + + . (17)

Заметим, что если Т = 0, то задача (16) превращается в задачу (14).

3. Начально-конечная задача

для уравнения Буссинеска - Лява

Пусть Ос1п- ограниченная область с границей <90 класса С°°. Введем в рассмотрение пространства 23 = {г? Е И7"! (О) : у(х) = 0, х Е 50} иб = ¿2(0). Простанство 03 — банахово с нормой

р п п

\м% = \ (ух„х, + Е +

^ к,1=1 к—1

а пространство б — гильбертово со скалярным произведением (*,•). Формулой

п р

(Ьи,т) = / £ ЗД,

зададим оператор Ь : Ю б. Справедлива

Теорема 4. [6]Оператор Ь £ £(11; ©); его спектр о{Ь) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —сю.

Обозначим через {А^} множество собственных значений оператора занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через (рк - множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле б. Положим А = А — Ь,В\ = а{Ь — А7), Дг = (3(Ь — А"). Имеет место

Теорема 5. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:

(г) А $ {А*;};

(и) (А е {А*}) А (А ф А');

(Иг) (А е {Аа;}) А (А = А') А (А ф А").

Тогда при любых а, /3 £ М\ {0} пучок В = (В\,В2) полиномиально А-ограничен.

Доказательство заключается в изучении А-спектра пучка В. Во всех случаях Л-спектр пучка В составляют решения уравнений

(А - Хк)р2 + а(Хг - Хк)р + (3{\п - Хк) = 0, к £ N.

Рассмотрим А-спектр пучка В в зависимости от ситуации.

(■) <И(в) = Ь» _

[ 2(А - Хк)

(и) аА(В) = А = А,}}и {м = ^ I ^ :■ А = А,} .

(Ш) аА(В) = [ц];2 : к € М\ {/ : А = А/}} .

Замечание 1. Как нетрудно показать, в случае (А £ {А&}) А (А = А; = А") пучок В не будет полиномиально ^-ограниченным.

Следствие 1. [5]Пусть выполнено условие либо (г), либо (т) теоремы 5. Тогда при любых а,/3 Е М\ {0} имеет место условие (А).

Замечание 2. В случае (и) теоремы 5

1 г 00

2- / Е((А -+а(д/ -+- А*))-1 <•> =

7 к=1

и поэтому условие (А) не выполняется.

Итак, в силу теоремы 5 и следствия 1 в случаях (¿), (Ш) пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А). Поэтому построим семейства вырожденных М,7У-

ЛГ

функций уравнения (12). В случае (1) получим соответственно

мг = V'—1-2- (•, щ) <рк,

= V' (Ук^ - хк) + - Ы р,Ъ , ц2к(Х-Хк)+а{Х' -Хк) аД

+ (А -ХкМ-,1)

где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что Л = А&. Кроме М, ЛГ-функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы Р и Ро- Построим проектор Р:

I, если выполнено

I — (•, {рь) (рк, если выполнено (ш). \=\к

Для построения проектора Ро выберем область Го С С, содержащую конечное множество точек Л-спектра сгд(В) и такую, что дТо(~)а^(В) = 0. Как нетрудно видеть, область Го можно выбрать такой, что <ЭГо = 70 - контур. По рецептам п.З построим проектор

4

Здесь {Х{} = {А, е аЩ : ^2 € а*(В), Хк ф л} .

Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (12). Пусть О С Жп - ограниченная область с границей 50 класса С°°, Т Е М+. В цилиндре О х (О, Т) рассмотрим уравнение

(Л - А)уи = а(А - А'Н + /3(Д - Л")«. (18)

Вектор-функцию V € С2((0,Т); 03) будем называть решением уравнения (18), если она удовлетворяет интегральному тождеству

[ и(Х - &)юийх = [ и(а(Д - Л>* +/3(Д-Л'»Ас

при любом векторе и Е Я. Теперь выберем произвольно векторы г^, Е 53, к = 0,1. Решение V = у(1) уравнения (18) назовем решением начально-конечной задачи, если

Р0(гКО)-«?) = 0, РоШ - «§) = 0; РгЩТ) - = 0, РгНТ) - у?) = О,

тч _ п Р. _ „д^ _ о (19)

Здесь Рх=Р-Р0.

По рецептам п.2 построим вырожденные Мо, ЛГо-функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов Я элементов множества {А^.}. Тогда

М0 = X/ —1 _ 2 (•> <Рк) 4>к, кея ^к Н

N,

= Mfc(A-Afc) + Q!(A/- Afc) ^{ (А-А

/i(A-AQ + a(A'-At) «Д

Теперь в силу теорем 3, 5 и следствия 1 имеет место

Теорема 6. При любых а,/3 6 М\ {0} и А Е К таком, что выполнено условие либо (г), либо(т) теоремы 4-2, и любых Т Е М+, г^, Е ЗД, & = 0,1, существует единственное решение задачи (18), (19), которое к тому же имеет вид (17).

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и поддержку в работе.

Литература

1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

2. Келлер, А.В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А.В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2009. - Т.16, вып. 2. - С.345 - 346.

3. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н.А. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. -С. 1185 - 1192.

4. Загребина, С. А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22 - 28.

5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболев-ского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит, технологии. - 2003. -Т. 8, № 4. - С.45 - 54.

Кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 5 марта 2010 г.