Научная статья на тему 'Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява'

Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
452
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА / N-ФУНКЦИИ / НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА / N'-FUNCTIONS / M / THE SOBOLEV TYPE EQUATIONS / THE M / THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Замышляева Александровна Замышляева

Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява. Проводится редукция к абстрактной начально-конечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM FOR NONHOMOGENIOUS BOUSSINESQUE LOVE EQUATION

We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain sufficient conditions about the unique solvability of original and abstract problems.

Текст научной работы на тему «Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява»

УДК 517.9

НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

А.А. Замышляева

THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM FOR NONHOMOGENIOUS BOUSSINESQUE - LOVE EQUATION

A.A. Zamyshlyaeva

Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява. Проводится редукция к абстрактной начальноконечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, MjN-функции,

начально-конечная задача.

We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain sufficient conditions about the unique solvability of original and abstract problems.

Keywords: the Sobolev type equations, the M,N-functions, the initial-finish value problem.

Введение

Рассмотрим уравнение Буссинеска - Лява [1]

(А — A)utt = а(Д — A r)ut + в(Д — А ")и + /, (1)

описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом поперечной инерции и при внешней нагрузке, где параметры А, А', А" € R, а > 0, в > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу.

Задачу Дирихле для уравнения (1) удается в подходящих банаховых пространствах редуцировать к абстрактному уравнению соболевского типа [2]

AV = B\v + B0v + /. (2)

Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для такого уравнения. Термин «начально-конечная задача> появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временного промежутка [0,T], а другая часть - в конце. Первоначально такая задача называлась «задачей

сопряжения> и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхно-

сти. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений

соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [3],[4]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа второго порядка.

В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных М, N-функций [5]. В п.2, следуя [3], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.3 посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (1).

1. Вырожденные М, Ж-функции и задача Шоуолтера — Сидорова

Пусть V и © - банаховы пространства, операторы А, Б\, Во Є С(0; ©). Обозначим через В пучок операторов Ві и Во.

Определение 1. Множества рА(Б) = {ц Є С : (ц2А — цВ1 — В0) 1 Є £(©; V)} и аА(В) = С\рА(В) будем называть А-резольвентным множеством, и А-спектром пучка

В.

Заметим, что множество рА(В) всегда открыто, поэтому А-спектр аА(В) пучка В всегда замкнут.

Определение 2. Оператор-функцию ЯА(В) = (ц2А — цВі — Во)-1 с областью определения рА(В) будем называть А-резольвентой пучка В.

А-резольвента пучка В всегда аналитична в своей области определения.

Определение 3. Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора А (или просто полиномиально А-ограниченным), если

За Є М+ Уц Є С (|ц| >а) ^ (ЯА(В) Є £(©; V)).

Если существует оператор А-1 Є £(©; V), то пучок В полиномиально А-ограничен. і

Если кег АР|( Р| кег Вк) = {0}, то пучок В не будет полиномиально А-ограниченным.

к=0

Зафиксируем 7 = {ц Є С : |ц| = г > а} - контур, ограничивающий круг, содержащий аА(В). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок В полиномиально А-ограничен, то можно потребовать, что

IКА (В)йц = О. (А)

7

Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор А-1 Є С(©; V) или оператор В1 = О (уравнение неполное), то условие (А) выполняется; а если оператор А = О и существует оператор В-1 Є £(©; V), то нет.

Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:

Р = 2- / К0)АЛц, Я = 2—^ цАЕА(В)йц.

і і

Лемма 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А).Тогда операторы Р Є £(©) и ^ Є £(©) — проекторы.

Положим V0 = кег Р, ©0 = кег Я, V1 = ш Р, ©1 = 1ш Из леммы следует, что V = V0 ф V1, © = ©° ф 01. Через Ак (Вк) обозначим сужение оператора А (В^) на Vk, к, I = 0,1.

Теорема 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А).Тогда действия операторов расщепляются:

(г) Ак €С(^к; ©к), к = 0,1;

(гг) Вк € С^к; ©к), к, I = 0,1;

(ггг) существует оператор (А1)-1 € £(©1; V1);

(т) существует оператор (В°)-1 € £(©°; V0).

Теперь рассмотрим уравнение соболевского типа второго порядка

Ау = В1{) + В0у. (3)

Вектор-функцию у € С2(М; V) назовем решением, уравнения (3), если оно обращает его

в тождество. Решение у = у(Ь) уравнения (3) называется решением задачи Шоуолтера -

Сидорова, если

Р(У(0) — у1) = 0, Р(у(0) — у0) = 0, (4)

Определение 4. Оператор-функцию V* € С^(М; £(©)) будем, называть пропагатором уравнения (3), если для любого V € V вектор-функция у(Ь) = V1V будет решением этого уравнения.

Рассмотрим семейства операторов

V/ = 2- / )Ае^й^, Ь € М,

1

V0 = т^ [ вА(В)(М — в^й^,г € м.

2пг ] ^

Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (3). Причем если контур 7 С рА(В) и ограничивает область Г, такую, что аА(В) П Г = 0, то в силу теоремы Коши V/ = V°t = О при всех Ь € М, и утверждение очевидно.

Определение 5. Семейства М*,№* : М ^ £^) называются семейством, вырожденных М,№-функций уравнения (3), если

(г) М * и N * — пропагаторы уравнения (3);

(И) М0 = № = О; М0 = № = Р.

Теорема 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А). Тогда существует единственное семейство вырожденных М,№-функций уравнения (3), причем

М = V°j, № = VI.

Определение 6. Определим семейство операторов {К^К^} следующим образом:

К = О, К2 = I К1 = Н0, К2 = —Н1 К = К-1Н0, К2 = К-1 — К2-1 Н1,д = 1, 2,...

Определение 7. Точка то называется

(1) устранимой особой точкой А-резольвенты пучка В, если К\ = К2 = О;

——

(и) полюсом порядка р € N А-резольвенты пучка В, если Кр = О, при некотором в, но Кр+ 1 = О, при любом в = 1, 2;

(ш) существенно особой точкой А-резольвенты пучка В, если Кр2 = О при любом р € N.

Замечание 1. В дальнейшем, если пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А) и то является полюсом порядка р € {0} и N его А-резольвенты, будем говорить, что пучок В (А, р)-ограничен.

Теорема 3. Пусть пучок В (А, р)-ограничен. Тогда при любых Ук € V,k = 0,1, существует единственное решение задачи (3), (4), представимое в виде: у(Ь) = МгРу 1 + NгРУ0.

2. Абстрактная начально-конечная задача

Пусть V и © - банаховы пространства, операторы А, В1,В0 € £^; ©). Рассмотрим уравнение соболевского типа

АУ = В1{) + В0 V + /. (5)

Если пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из теоремы 2, существует единственное семейство вырожденных М, N-функций однородного уравнения (5). Пусть выполнено следующее условие:

А-спектр пучка В аА(В) = &А(В) У &А(В), причем ак(В) = 0, к = 0,1; и существует контур 70 С С, ограничивающий область Го С С такую, что Го П *£(В) = аА(В), Го П ^А(В)= 0.

Тогда существует оператор

1 2пі

(B)

Pin = 2-1 pRA(B)Adp Є L(V).

Yo

Потребуем выполнение еще одного условия

A

J R£(B)dp = O. (A°)

Y0

Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть пучок В полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (В), (A°). Тогда Pin - проектор, причем PinP = PPin = Pin.

Построим оператор Pex = P — Pin € L(V). В силу леммы 2 оператор Pex - проектор,

причем PinPex = PeXPin = O. Возьмем произвольные векторы v°, v°, , vT € V. Решение

v = v(t) уравнения (5) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим условиям:

Pex(v(0) — v°) = 0, Pex(v(0) — v°) = 0; (6)

Pin(v(T) — vT) = 0, Pin(v(T) — v°T) = 0. (6)

Заметим, что если аА(В) = 0, то Рех = О и Р^п = Р. Тогда задача (6) для уравнения (5) превращается в задачу (4), (5).

Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:

N*п = 2^/ КА(В)Ае^є м,

70

МІ = ^ / е£0)(М - Б1)е^й^і є м.

70

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Оба семейства хоть и не являются семейством вырожденных М, N-функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (іі)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.

Лемма 3. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда

(і) М*п и ^п - пропагаторы уравнения (5);

(т0п = М0п = О^0п = М°п = Ргп.

Далее, построим семейства операторов М\х = МЬ — М*п, ^х = N — Nп.

Лемма 4. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (А), (Б), (Ао). Тогда

(і)М’ех и ^ех - пропагаторы уравнения (5);

(т0х = МОх = о, N0 = М0х = Рех.

Теорема 4. Пусть пучок Б (А,р)-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда для любых Т Є М,-и°,ут Є V, к = 0,1, вектор-функции / = /(і), і Є [0,Т], такой, что /° = (I — Я)/ Є Ср+1([0,Т]; 5°) П Ср+2((0, Т ]; 50), /гп = Ягп / Є С([0,Т]; 5гп), /ех = Яех/ Є С([0,Т];5ех) существует единственное решение V = v(і) задачи (5), (6), которое к тому же имеет следующий вид:

Р й

^2/тз0Л — 1 й ?°/+\ і ц/гЬ—Т„,Т\ и/гЬ „,0 і лтЬ—Т„,Т , дтЬ „,0

(Ш'

v(і) = — ^ К2 (Б° ) 1 (Ц /0 (і) + Т^ + Мех^ + ^гп Т^ + ^х^1 +

q=0

+ I к~х3гШв — і яіп3гШз, (7)

гг гТ

уЬ—в.рехґ„\л„ I Ы—впп/

гп

где К1п = 2П / пА(Б)e|лtйV■, Щ = 2П / еА(Б)Ае^й^ Віх = Щ —

70 7

Заметим, что если Т = 0, то задача (6) превращается в задачу (4).

3. Начально-конечная задача

для уравнения Буссинеска — Лява

Пусть О С Мп - ограниченная область с границей дО класса Сте. Введем в рассмотрение пространства V = {V Є ^|(О) : v(x) =0,х Є дО} и © = І2(О). Простанство V — банахово с нормой

п

ІМІШ = (^ V2кх1 + ^ ^хк + v‘2)йx,

П к,1=1 к=1

а пространство © — гильбертово со скалярным произведением {■, ■). Формулой

п „

{IV, w) = ^ / Vxkхк^йх, V, w Є V,

к=1 п

0

п

зададим оператор Ь : V ^ ©. Справедлива

Теорема 5. [6] Оператор Ь Є С(0; ©), его спектр <г(Ь) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —ж.

Обозначим через [Хк} множество собственных значений оператора Ь, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через рк - множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле ©. Положим А = Х — Ь, Б1 = а(Ь — Х'),Б0 = в(Ь — Х"). Имеет место

Теорема 6. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:

(і) Х Є [Хк};

(ii) (Х Є [Хк} Л (Х = Х');

(iii) (Х Є [Хк}) Л (Х = Х/) Л (Х = Х>/). ^

Тогда при любых а, в Є М\ [0} пучок Б полиномиально А-ограничен.

Доказательство заключается в изучении А-спектра пучка Б. Во всех случаях А-спектр пучка Б составляют решения уравнений

(Х — Хк)^2 + а(Х' — Хк)р + в(Х'' — Хк) = 0, к Є N.

Рассмотрим А-спектр пучка Б в зависимости от ситуации.

(i) аЛ(Б) = (^2 = а(Хк — Х') ^а2(Х' — Хк)2 — 4в(Х — Хк)(Х'' — Хк) : к є N} .

2(Х — Хк)

(ii) ^(Б) = {/4’2 : к Є N\ [I : Х = Хг}№ — ^) : Х = Х^ .

(iii) аЛ(Б) = {^2 : к Є N4* : Х = Хг}} .

Замечание 2. Как нетрудно показать, в случае ( Х Є [Хк}) Л ( Х = Х' = Х'') пучок Б не будет полиномиально А-ограниченным.

Следствие 1. [5] Пусть выполнено условие либо (і), либо (ііі) теоремы 6. Тогда при любых а, в Є М\ [0} имеет место условие (А), причем ж - устранимая особая точка А-резольвенты пучка Б.

Замечание 3. В случае (іі) теоремы 6

1

2П- / 5-/(( Х — Хк)^2 + а(Х' — Хк)№ + в(Х'' — Х к)) 1 {■, рк) ркй^ 7 к=1

V ^к) = о,

л7=л а(Х - Хк) и поэтому условие (А) не выполняется.

Итак, в силу теоремы 6 и следствия 1 в случаях (1), (ш) пучок В (А, 0)-ограничен. Поэтому построим семейства вырожденных М,И-функций уравнения (2):

М = X, ^ - ^ (;фк) рк,

N г = / ук( Х - Хк) + а( Х - X к)

к= V ( Х — Хк )(рк— »к)

+** )Хк 1 {■-) **

где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что Х = Хк. Кроме М, N-функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы Р и Ріп. Построим проектор Р:

{I, если выполнено (і);

I — {■, Рк) Рк, если выполнено (ііі).

Л=Лк

Для построения проектора Ріп выберем область Г0 С С, содержащую конечное множество точек А-спектра аЛ(Б) и такую, что дГ (')аЛ(Б) = 0. Как нетрудно видеть, область Г0 можно выбрать такой, что дГ = 70 - контур. По рецептам п.3 построим проектор

Po = £ ) vk■

Здесь {Л^ = aA(B) П|Г0, Л\ = Лk, где к такое, что \k = Л.

Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (2). В цилиндре Q х (0, T), T € R+ рассмотрим уравнение

(Л - A)vtt = а(Д - X)vt + в(Д - Л> + f (t), (8)

выберем произвольно векторы v0, vT € V, к = 0,1. Решение v = v(t) уравнения (8) назовем решением начально-конечной задачи, если

Pex(v(0) - v0) = 0, Pex(v(0) - v0) = 0; (9)

Pm(v(T) - vj) = 0, Pm(v(T) - vj) = 0. (9)

Здесь Pex = P - Pin.

По рецептам п.2 построим вырожденные Min, N^-функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов K элементов множества {Лк}. Тогда

т, ,t ST^ e^kt - e^kt / V

Min = „1 _ „2 b Pk) Pk,

k€K „k „k

N = ( ук(Х - Хк) + а(Х - Хк) „1 *+

* ^ (Х - Хк)(у2 - у2)

+* ^а -у- )Хк 1 «*) <-к) -к.

Теперь в силу теоремы 4 и следствия 1 имеет место

Теорема 7. При любых а, в € М\ {0} и Х € М таком, что выполнено условие либо (г), либо

(ггг) теоремы 6, и любых Т € М+,у0, € V, к = 0,1, существует единственное решение

задачи (8),(9), которое к тому же имеет вид (7).

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и поддержку в работе.

Литература

1. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.

2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

3. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.

4. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программированием - 2011. - №17 (234), вып. 8. - С. 113-114.

5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит. технологии. - 2003. - Т. 8, № 4. - С.45 - 54.

References

1. Uizem J. Lineynye i nelineynye volny [Linear and nonlinear waves]. Moscow, Mir, 1977.

2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo: VSP, 2003.

3. Zagrebina S.A. On Showalter - Sidorov problem [O zadache Shouoltera - Sidorova] Izvestiya vuzov. Matematika, 2007, no. 3, pp. 22 - 28.

4. Manakova N.A., Dylkov A.G.Optimal control of solutions of initial-finish problem for the linear Sobolev type equations [Optimal’noe upravlenie resheniyami nachal’no-konechnoy zadachi dlya lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa] Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie~>, 2011, no. 17 (234), vyp. 8, pp. 113 - 114.

5. Zamyshlyaeva A.A. The phase spaces of a class of linear sobolev type equations of the second order [Fazovye prostranstva odnogo klassa lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa]. Vychislitel’nye tekhnologii, 2003, vol. 8, no. 4, pp.45 - 54.

Алена Александровна Замышляева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Россия, г. Челябинск), [email protected].

Alyona Aleksandrovna Zamyshlyaeva, Candidate of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor, Department «Equations of Mathematical Physics>, South Ural State University (Russia, Chelyabinsk), [email protected].

Поступила в редакцию 30 августа 2011 г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.