Набор хромосом как потенциальный источник информации о предстоящем клетке построении последовательности белков (оптимизационная модель картины) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наноэлектроника и квантовые информационные системы

НАНОЭЛЕКТРОНИКА И КВАНТОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ NANOELECTRONICS AND QUANTUM DATA SYSTEMS

Рудерман С.Ю.

Ruderman S. Yu.

доктор технических наук, профессор кафедры «Вычислительная математика и кибернетика» ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», Россия, г. Уфа

Нургаянова О.С.

Nurgajanova O.S.

кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и кибернетика» ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», Россия, г. Уфа

УДК 57.087

НАБОР ХРОМОСОМ КАК ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ О ПРЕДСТОЯЩЕМ КЛЕТКЕ ПОСТРОЕНИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БЕЛКОВ (ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ КАРТИНЫ)

Клетка любого организма представляет собой сложную систему, которая выполняет множество жизненно важных функций. Известно, что число хромосом в клетке у каждого вида свое, объем алфавита сообщений в нуклеиновых кислотах равен 4, алфавита белков - 20. Очевидно, что эти константы носят организационный характер, но какова их природа и от чего они могут зависеть, неизвестно. Одним из решающих факторов является разнообразие возможностей. Желательно, чтобы разнообразие последовательностей белков, которое можно построить, было как можно больше, а «энергетические» затраты на этот процесс как можно меньше, и при этом хотелось бы, чтобы надежность процесса построения была как можно больше. В предлагаемой статье строится и анализируется модель формирования клеткой нужной последовательности белков. Предполагается, что процесс построения очередного белка состоит из 2-х этапов:

1) поиска хромосомы, содержащей код белка;

2) процесса поиска нужного кода в найденной хромосоме (и формирования самого белка).

Предлагаемая постановка задачи позволяет ставить вопрос об оптимальном числе хромосом, которое оказывается равным 23. Тот факт, что в клетке человека наблюдаются именно 23 пары хромосом, позволяет предположить, что предлагаемая конструкция охватывает основные черты наблюдаемой сложной реальности и может помочь при поиске ее физико-химических основ.

Ключевые слова: клетка, белок, белковая последовательность, хромосома, случайный выбор, ДНК, поиск, разнообразие, надежность, ресурс.

108

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Nanoelectronics and quantum data systems

SET OF CHROMOSOMES AS A POTENTIAL SOURCE OF INFORMATION ABOUT THE UPCOMING CONSTRUCTION OF THE CELL PROTEIN SEQUENCES (OPTIMIZATION MODEL)

Cell of any organism is a complex system, which not only performs a number of vital functions, but also a source of information about the organism. It is known that the number of chromosomes in the cell of each type its volume alphabet messages in nucleic acids is 4, the alphabet protein - 20. Obviously, these constants are of an organizational nature, but what are they and what they can depend on is not known. One of the decisive factors is the variety of options.

Desirably, the sequence diversity of proteins which can be constructed as was possible, and "energy" cost of this process as possible and thus it would be desirable to construct the process reliability as large as possible. In this paper constructs and analyzes cell model of the desired protein sequences. It is assumed that the process of building another protein consists of two stages:

1) search the chromosome containing protein code;

2) process of search of the necessary code in the chromosome ( and the formation of protein).

The proposed formulation of the problem allows us to pose the question about the optimal number of chromosomes, which is equal to 23. The fact that in a human cell is observed 23 pairs of chromosomes, suggesting that the proposed design covers the main features of the observed complex reality and can help in the search for her physical and chemical bases.

Key words: cell, protein, protein sequence, chromosome, random selection, DNA, search, diversity, reliability, resource.

Введение

Процесс от момента появления клетки до начала ее деления будем называть временем ее жизни. Исследования, посвященные физико-химическому анализу этого этапа, весьма многочисленны и разносторонни.

В настоящей статье мы сосредоточим основное внимание на одном из аспектов: во время своей жизни клетке предстоит сформировать определенную последовательность белков. Биосинтез белков, как установлено к настоящему времени, требует постоянного обращения к информации, записанной в ДНК. Коды белков, которые предстоит построить, хранятся в ДНК, которые, в свою очередь, находятся в специальных конструкциях, называемых хромосомами.

Для каждого вида многоклеточных организмов характерно определенное количество и структура хромосом, в частности, набор хромосом у человека состоит из 23 пар.

Обращаясь к процессу формирования белков, можно выделить две задачи, которые должна «решать» клетка:

1) найти нужную хромосому, содержащую код белка;

2) найти нужный код белка в хромосоме.

После отыскания кода белка нужно синтезировать сам белок, что осуществляется в специальных устройствах, называемых рибосомами. В настоящей статье мы рассмотрим только модели поиска

хромосомы и отыскания после этого в последней нужного кода белка.

Поиск хромосомы

Обозначим через n число пар хромосом в клетке. В каждой из них находится ДНК, в которой записано свое количество кодов белка. Предстоит найти ту из n хромосом, в которой записан код нужного белка. Поиск нужной хромосомы будем представлять себе как случайный выбор без возвращения из n возможных до отыскания нужной. На каждом шаге такого предстоящего выбора с вероятностью 1/n будет получена нужная хромосома (известно, что при случайном выборе без возвращения из n элементов безусловная вероятность получить при 7-м извлечении нужный элемент независимо от номера i равна 1/n). Число шагов такого предстоящего поиска представляет собой случайную величину с возможными значениями 1, 2, 3, ..., n. Каждому из этих возможных значений соответствует вероятность 1/n, вследствие чего математическое ожидание числа шагов до отыскания нужной хромосомы равно

, 1 „ 1 „ 1 1 1 . и + 1 /1Ч

1* —ъ2* —1-3- —h... + /z— = —(1 + 2 + ... + п) =-. (1)

п п п п п 2

Каждый акт случайного выбора хромосомы и определение того, найдена ли искомая, требует, как представляется, определенных затрат какого-то ресурса. О возможной физической интерпретации этого ресурса будет сказано дальше, пока же будем предполагать, что каждый шаг описанной выше

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

109

Наноэлектроника и квантовые информационные системы

процедуры случайного выбора обходится в единицу этого ресурса, вследствие чего математическое ожидание этого ресурса, который будет потрачен на поиск нужной хромосомы, имеет вид (1).

Поиск кода белка в хромосоме

После того как будет найдена хромосома, хранящая в себе код нужного белка, предстоит найти этот код.

Известно, что в каждой хромосоме хранится ДНК, в которой содержится, как правило, много кодов белков, поиск нужного из них (кода) требует «энергетических» затрат. Будем предполагать, что «энергетический» ресурс, отведенный на поиск нужной хромосомы и последующий поиск кода белка, расходуется следующим образом. После отыскания нужной хромосомы (на что потребуется расход ресурса, математическое ожидание которого имеет вид (1)) начинается процесс, называемый в теории вероятностей [1] многошаговой игрой на выживание. А именно на каждом шаге имеющийся ресурс с вероятностью V уменьшается на единицу либо с вероятностью V увеличивается на единицу. Процесс такого случайного изменения ресурса продолжается до тех пор, пока ресурс либо восстановится до значения, которому он был равен после окончания работы с предыдущей хромосомой (что будет означать «победу» в игре, т. е. код нужного белка будет найден), либо ресурс, имевшийся для работы с данной хромосомой, достигнет значения 0 (что будет означать «поражение» в игре, т. е. код нужного белка в этом случае не будет найден; и будем предполагать, что вся нужная цепочка белков в этом случае не будет построена, а это означает, что длина нужной цепочки белков будет равна 0).

В следующем разделе процессы поиска каждой нужной хромосомы и отыскания в ней соответствующего кода белка будут рассмотрены совместно, и в итоге окажется возможным сформулировать задачу об оптимальном числе хромосом.

Оптимизационная модель поиска хромосом и последующего отыскания в каждой из них кода белка

Общее число пар хромосом будем по-прежнему обозначать символом n. Число белков, которые клетке предстоит синтезировать, обозначим L. Разнообразие возможных вариантов выбора из n хромосом, нужное при создании последовательности L белков, составляет nL. Желательно, чтобы величина K=nL была как можно больше.

Для увеличения K при заданном L нужно увеличить n, но если n - растет, то возрастает и математическое ожидание ресурса, необходимого для

отыскания нужной хромосомы, имеющее вид (1).

Обозначим общий ресурс, которым обладает клетка для отыскания последовательности кодов белков, через B. При заданном L первоначальный

ресурс, приходящийся на поиск хромосомы и рабоВ

ту с ней, составляет х = —.

Итак, будем предполагать, что процесс поиска каждой из хромосом и последующего поиска в ней кода белка протекает следующим образом.

В процессе отыскания первой хромосомы используется каждый из ресурсов, отведенных для всех хромосом. Поэтому после отыскания хромосомы, в которой хранится код первого белка, каждый из L одинаковых ресурсов станет равным

x — Yx =---Yb где Y1 - случайная величина с мате-

L

матическим ожиданием (1).

После отыскания хромосомы, в которой хранится код первого из L белков, начинается поиск 1-го кода белка, который представляет собой игру на выживание, исходом которой является либо знаВ

чение первоначально отведенного ей ресурса х = —

L

, что означает победу в игре, т. е. отыскание кода первого белка, либо значение ресурса 0, что означает поражение в игре, итогом чего является последовательность белков длины 0.

В случае победы в игре, связанной с поиском 1-го кода белка, ресурс, который отводится для поиска 1-го кода белка, выбывает из игры. В дальней-

if Y

шем процессе участвуют ресурсы---1Ь имеющие-

L

ся для работы по поиску 2-й, 3-й, ..., L-й хромосом.

После отыскания 2-й нужной хромосомы и соответствующего кода белка в ней, если он окажется успешным, ресурс для поиска каждой из оставшихся

хромосом станет равным----Y^— Y2, где Y Y2 - слу-

L

чайные величины с математическим ожиданием (1).

После отыскания i-й по счету хромосомы для отыскания в ней i-го кода белка ресурсы для отыскания /-го, z+1-го, ., L-го кодов белков станут равными-----Y, —Yi —... — Y. Успешное отыскание /-го

L 1 2 ‘

кода белка эквивалентно завершению симметричного случайного блуждания, начавшегося в точке

( ^ ^1 ( /-1 Л

jc ~/Yk , на поглощающем экране

^ к=1 ) ^ к=\ У

другой поглощающий экран находится в точке 0. Вероятность успешного окончания игры равна [1]:

110

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Nanoelectronics and quantum data systems

-In

тельности L белков представляет собой цепочку со-

к=1

бытий АА .А^.

г-1

-In

(2) Выше было сказано, что если какой-то из кодов

белка не будет найден, то длина всей цепочки кодов k=\ будет равна 0. Поэтому полная группа несовмест-

Не надо забывать, что в нашей задаче Y1, Y2, ..., ных событий состоит из цепочек А А А А1А2А3, Y- случайные величины. Успешное отыскание кода ..., А А ..А AL, AL, АА. AL. i-го белка представляет собой случайное событие, Учитывая, что Y Y2, ..., YL - случайные величи-

которое обозначим А.. Построение всей последова- ны, вероятность получить цепочку АА . AL равна:

P(AjA2... Al)=M

rx-Y, x-Y,-Y2 x-Y,-Y2-...-Yl^

x-Yx

x~Yl~Y1 -...-Yl_x

= 1-

n +1 L

(3)

где M - символ математического ожидания:

M

= М

f л + 1 L\ л (12 + 1

= 1-М

1V 2

х)

х)

(4)

Так как возможные значения количества най- Пусть Z - случайная длина цепи белков, кото-денных кодов белков есть 0 и L, то математическое рая будет построена. Возможные значения Z - 0 и L. ожидание разности между L и случайной длиной Их вероятности:

цепи, являющееся характеристикой ненадежности процесса построения сообщений, равно:

'и + Л L\n +1) п +1 In3

AL = L

2 В

2 В

In3 п

P(Z=L)=P(A1A2...Ai)=1-

л + 1 L

(5) P(Z=0)=1-P(A1A2...Ai)=\-\+—(6)

Математическое ожидание Z равно:

M(Z)=0-P

и + 1 L

xj

+L

1-

и + 1 L

х)

= L-L

и + 1 L . 2 х)

и + 1 L

— J-/ * •

2 х

(7)

Интересующая нас характеристика ненадежности процесса построения последовательности кодов белков равна:

AL = M(L-Z) = L-M(Z) = L-L +

Гп + 1 Ь2Л

и + 1 I? _(и + 1)1п3^ 2 В ~ 25 In3 и '

(8)

Укажем три оптимизационные задачи относи- обращает в минимум величину тельно величины п, имеющие все одно и то же ре- п + ^ (9)

шение. Найти число хромосом п, которое: 1п п

1) при заданных B и K обращает в минимум AL; где п - целое положительное число. Значения (9)

2) при заданных B и AL обращает в максимум при возможных целых положительных п представ-

разнообразие K; лены в нижеследующей таблице, из которой видно,

3) при заданных K и AL обращает в минимум B. что минимум (9) достигается при п - 23.

В каждой из этих трех задач искомое значение п

n 2 3 5 9 12 17 20 21 22 23 24 25 26

И + 1 In3 и 9,09 3 1,44 0,94 0,85 0,79 0,780 0,779 0,778 0,776 0,778 0,25 0,78

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

111

Наноэлектроника и квантовые информационные системы

Тот факт, что в клетке человека наблюдаются именно 23 пары хромосом, позволяет предположить, что предложенная модель содержит основные черты фактически сложной реальности и может помочь при поиске ее физико-химических основ.

Остановимся теперь на вопросах реалистичности допущений модели. Предположение о случайном выборе без возвращения из имеющихся хромосом до отыскания той из них, которая содержит код нужного белка, выглядит физически естественным. Последующее поведение ресурса, отведенного для поиска кода белка в хромосоме («игра на выживание», когда этот ресурс, подобно уровню замка от вертикальной застежки-молнии, понизившись при поиске хромосомы на случайную величину, после этого, случайно колеблясь, повышается до исходного уровня (для закрытия «застежки»)), может показаться неестественным [2]. Особо загадочным для наблюдателя нашего обычного «макроскопического» мира может показаться дискретное изменение ресурса на каждом шаге на плюс-минус единичную порцию (с вероятностями ').

В «микроскопическом», квантовом мире подобные изменения не являются «неестественными». В частности, электрон обладает спином Д с которым связан магнитный момент - вектор, проекция которого на направление внешнего магнитного поля является случайной величиной, с двумя одинаковыми по абсолютной величине, но обладающими противоположными знаками значениями. Если спин экранирован от внешнего магнитного поля, то вероятности этих значений одинаковы и равны каждая '.

Возможная интерпретация «ресурса» - проекцией магнитного момента специальной системы спинов на выделенные направления была предложена в [4] при анализе моделей образования сообщений в белках. Можно предположить, что система спинов, о которой идет речь, является составной частью некоторой структуры, подобной обнаруженным экспериментально в органических магнетиках [3]. В последних радикалы с атомами углерода, имеющими неспаренные электроны, приобретают фиксированную упорядоченную ориентацию благодаря связывающему влиянию располагающихся между ними катионов щелочного металла. Неспаренные электроны в радикалах взаимодействуют между собой через посредство катионов металла, создавая значительный суммарный магнитный момент.

Если справедлива гипотеза, что «ресурс» в принятой модели связан с магнитным моментом специальной системы спинов, то особый интерес

должна представлять его зависимость от внешнего постоянного магнитного поля. Знание этой зависимости позволило бы целенаправленно влиять на указанную систему, магнитный момент которой, в свою очередь, влияет на эффективность синтеза последовательности белков.

Мы выдвигаем гипотезу, что в основе положительного действия соответствующего постоянного магнитного поля на состояние организмов лежит процесс, количественное описание которого было дано в [2] при описании синтеза белка, а также в настоящей статье при описании построения клеткой нужной последовательности белков.

Механизм «болезни» и «лечения» (на клеточном уровне) выглядит при этом так. Наличие в клетке «загрязняющих» веществ, от которых ей в силу каких-то причин не удается избавиться, приводит к уменьшению внутреннего магнитного момента. Скомпенсировать недостающее значение магнитного момента можно, поместив клетку в соответствующее постоянное магнитное поле. Восстановление в нем магнитного момента до нужной величины приведет к нормализации синтеза белков и нужной последовательности белков. Величина внешнего магнитного поля, которая способна оказать целебное воздействие, определяется тем значением магнитного момента клеточной среды, которое нуждается в восстановлении.

При достаточно большой величине внешнего магнитного поля индуцированный момент может стать слишком большим, что приведет к существенному замедлению как белкового синтеза [4], так и нужной последовательности белков.

Этот вывод представляет интерес для онкологии [5]: если воздействие на раковые клетки сильным магнитным полем индуцирует в них большой магнитный момент, то в итоге затормозится синтез как каждого из белков [6], так и нужной последовательности белков (проблема, которой посвящена настоящая статья).

Клетка каждого представителя многоклеточных организмов содержит свое (характерное для вида) число хромосом, в ДНК которых записаны коды белков. Так, у пчелы и голубя - 8 пар, бабочки - 190, медведя - 37, мухи - 6, огурца - 12, кролика -22, гориллы, картофеля - 24, лошади - 32.

Пытаясь понять причины отличия этих количеств от оптимального числа 23, к которому приводит предлагаемая модель формирования последовательности кодов белков, мы вынуждены пересмотреть что-то в допущениях с целью объяснить большое разнообразие возможных ответов. Размышляя на эту тему и желая сохранить наибо-

112

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Nanoelectronics and quantum data systems

лее существенное в сделанных допущениях, мы пришли к выводу о возможности отказа для разных видов от допущения о случайном выборе без возвращения из набора хромосом до отыскания нужной. Предположим, что этот выбор без возвращения является «пристрастным», так что математическое ожидание числа шагов до отыскания нужной хромосомы равно не п+ (как это наблюдается при

случайном выборе), а равно величине an + в, где а и в характеризуют «пристрастие» вида при поиске нужной хромосомы.

Если для клетки человека численная характеристика ненадежности процесса оказалась равна Аг и + 1 1п3^

AL =-------=, то теперь, как мы предполагаем,

2 ВЦп она равна:

(ап + Р)

In3 is:

(9)

Число хромосом n, характеризующее рассматриваемый вид, является величиной, которая обращает (9) в минимум, а коэффициенты а и в отражают степень «пристрастия» вида при поиске хромосомы.

Подставив в (9) вместо n фактическое число наблюдаемых хромосом в клетке n мы приходим к задаче отыскания такого соотношения между a и

й с- ап + Р

в, которое обращает в минимум величину ------

Дальнейший анализ, связанный с учетом физикохимических особенностей клетки, может, как представляется, помочь при обдумывании происходящих в ней процессов.

Список литературы

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 1 [Текст] /В. Феллер; пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 528 с.

2. Рудерман С.Ю. Об оптимальных размерах алфавитов и возможной причине их наблюдаемости в природе [Текст] / С.Ю. Рудерман, И.А. Соломещ //

Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1999. - Том 6. - Выпуск 2.

3. Дирак П.А.М. Пути физики [Текст] / П.А.М. Дирак. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 88 с.

4. Рудерман С.Ю. Задача выбора объема алфавита сообщений в биополимерах и статистическая термодинамика [Текст] / С.Ю. Рудерман, И.А. Соломещ // Башкирский химический журнал. - 1996.

- Т. 3. - № 5-6. - С. 37-44.

5. Лоренс Р. Магнитотерапия. Альтернативный метод облегчения боли [Текст] / Р. Лоренс, П. Дж. Рош, Д. Плоуден; пер. с англ. С. Евтушенко.

- М.: КРОН-ПРЕСС, 1998. - 234 с.

6. Sei-Hum Jang, Ruth Ann Bertsch, James E. Jackson, Bart Kahr // Mol. Crystanol Liquid Cryst. -1992. - V. 211. - P. 289.

References

1. Feller V. Vvedenie v teoriju verojatnostej i ejo prilozhenija. V 2-h tomah. T. 1 [Tekst] /V. Feller; per. s angl. - M.: Mir, 1984. - 528 s.

2. Ruderman S.Ju. Ob optimal'nyh razmerah alfavitov i vozmozhnoj prichine ih nabljudaemosti v prirode [Tekst] / S.Ju. Ruderman, I.A. Solomeshh // Obozrenie prikladnoj i promyshlennoj matematiki. -1999. - Tom 6. - Vypusk 2.

3. DirakP.A.M. Puti fiziki [Tekst] / P.A.M. Dirak. - M.: Jenergoatomizdat, 1983. - 88 s.

4. Ruderman S.Ju. Zadacha vybora ob#ema alfavita soobshhenij v biopolimerah i statisticheskaja termodinamika [Tekst] / S.Ju. Ruderman, I.A. Solomeshh // Bashkirskij himicheskij zhurnal. - 1996. -Т. 3. - № 5-6. - S. 37-44.

5. Lorens R. Magnitoterapija. Al'ternativnyj metod oblegchenija boli [Tekst] / R. Lorens, P. Dzh. Rosh, D. Plouden; per. s angl. S. Evtushenko. - M.: KRON-PRESS, 1998. - 234 s.

6. Sei-Hum Jang, Ruth Ann Bertsch, James E. Jackson, Bart Kahr // Mol. Crystanol Liquid Cryst. -1992. - V. 211. - P. 289.

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

113