N-TARTIBLI O‘ZGARMAS KOEFFISIENTLI BIRJINSLI BO‘LMAGAN CHIZIQLI DIFFERINSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING ZAMONAVIY METODLARI Текст научной статьи по специальности «Математика»

Open access journal

www.in-academy.uz

N-TARTIBLI O'ZGARMAS KOEFFISIENTLI BIRJINSLI BO'LMAGAN CHIZIQLI DIFFERINSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING ZAMONAVIY METODLARI

1Muhammadieva Maftuna Akbar qizi 2Ahmadullaeva Sabina Radiqovna

1O'zbekiston-Finlandiya pedagogika insituti Matematika va informatika kafedrasi asistenti 2O'zbekiston-Finlandiya pedagogika insituti talabasi Telefon: +998(99)-759-72-22 Email: [email protected]

ARTICLE INFO

Received: 30th January 2024 Accepted: 07th February 2024 Online: 08th February 2024

KEY WORDS Differinsial, xarakteristik

tenglama, koeffisient, xususiy yechim, bir jinsli, karrali, uzluksiz funksiyafunksiya

ABSTRACT

Ushbu maqola differinsial tenglama faninining n-tartibli o'zgarmas koefflsientli birjinsli bo'lmagan chiziqli differinsial tenglamalarni yechishning zamonaviy usullarini o'rganishga bag'ishlangan. Shuningdek , maqolada o'quvchilarni matematik va fizik flkrlashini va tasavvurini rivojlantirishda n-tartibli o'zgarmas koeffisientli birjinsli bo'lmagan chiziqli differinsial tenglamalarni yechishning zamonaviy metodlari atroflicha o'rganilgan. Ushbu maqola o'rganuvchilarga nisbatan yaxshiroq tushunish va yaxshi natijalarga erishishgayordam beradi.

KIRISH

O'zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyevning 2020 yil 7 maydagi № PQ-4708 qarori asosida «Matematika sohasida ta'lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risida"gi qarorida o'quv jarayoni va uni takomillashtirishda axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat hayotiga, kishilarning turmush tarziga, umumiy o'rta ta'lim maktablari, o'rta maxsus, kasb-xunar ta'limi va oliy ta'lim muassasalari o'quv jarayoniga jadallik bilan olib kirish g'oyasi ilgari surilgan. [1,5]

Tahlil va natijallar

Ushbu maqola differinsial tenglamalar fani dasturida keltirilgan n-tartibli o'zgarmas koeffisientli birjinsli bo'lmagan chiziqli differinsial tenglamalarni yechish usullari bo'limi bo'yicha mavzuga doir nazariy ma'lumotlar hamda misollar qamrab olgan. U Oliy ta'lim muassasalarining "Matematika va Fizika" ta'lim yo'nalishida tahsil olayotgan talabalar uchun mo'ljallab yozilgan. Maqola yuqorida sanab o'tilgan mavzuga oid qisqacha nazariy ma'lumotlar bayon qilingan. Ularga doir misollar keltirilgan. Misol va masalalarni sharhlab, ularni yechib ko'rsatishdan ko'zlangan, maqsad differinsial tenglamalar kursidan olingan nazariy bilimlardan misol va masalalarni yechishda foydalana olish ko'nikmasini shakllantirishdir. Talabalar namuna sifatida yechib ko'rsatilgan masalalarda qo'llanilgan usullardan foydalanib mustaqil bajarishlari uchun misollar keltirilgan. Ma'lumki n-tartibli o'zgarmas koeffisientli birjinsli bo'lmagan chiziqli differinsial tenglamalarni yechish usullari orasida o'xshash va farqli jihatlari mavjud. Maqolada keltirilgan ma'lumotlarda differinsial

www.in-academy.uz

tenglamalarga xos bo'lgan usullar alohida ta'kidlab o'tilgan. Maqolani o'qish jarayonida talabalar o'zlarining differinsial tenglamalar , fizika va matematika fanlaridan olgan bilimlarini to'ldiradilar. [2.6]

Bir jinsli differinsial tenglama aoyn + aiy(n-1 + ... +any = 0 (1)

tenglamaga n - chi tartibli o'zgarmas koeffisientli birjinsli differensial tenglama deyiladi.Bu yerda

a0, a1, a2,.........ano'zgarmas sonlar.

Tenglamaning xususiy yechimi y = eyx ko'rinishda bo'lib,u a0An + a1An-1+.......+ an = 0 (2)

A — xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lishi kerak .Yechim ko'rinishi (2) xarakteristik tenglamaga bog'liq.

a)(2) Tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va har xil (2) tenglamaning xususiy yechimlari

.,yn = eXnX]

Xn

[yi = eXxX,j2 =

u holda (2) tenglamaning umumiy yechimi

y = CiJi + C2J2........Cnyn = CieXlX+C2eX2X............Cne

Misol:

y" — 3y' + 2y = 0

y = eXx A2 — 3A + 2 = 0

Xarakteristik tenglama ildizlari Ai = 2 ,A2 = 1 buladi. Berilgan tenglamaning xususiy yechimlari yi = e2x ,y2 = ex

U holda tenglamaning umumiy yechimi y = Ciji + C2y2 = Cie2x + C2ex

b) (2) Tenglamaning ildizlari orasida karrali ildiz mavjud Masalan Ai tenglamaning r karrali ildizi bulsin U holda (1) tenglama r ta

yi = eXlX,y2 = xe^1

XtX

,yn = xr ieXlX

ko'rinishdagi xususiy yechimga ega buladi. U holda tenglamaning umumiy yechimi

y = Ciyi + C2V2.....cnyn = CieXlX+C2xeXlX............Cnxr-ieXlX

Misol:

y" — 10y + 25y = 0

Xx

y = e A2 — 10A + 25 = 0 (A — 5)2 = 0

Xarakteristik tenglama ildizi À= 5 bu yerda 5 ikki karrali ildiz sanaladi : r= 2 Tenglamaning xususiy yechimlari

ïb» ^

jBylsl

www.in-academy.uz

y1 = e5x ,y2=xe5x

U holda tenglamaning umumiy yechimi

y = Cxyx + C2J2 = Ci_e2x + C2xeSx c) (2) Tenglamaning ildizlari orasida kompleks ildiz mavjud

Xarakteristik tenglama haqiqiy koeffisientli bo'lgani sababli ildizga qo'shma bulgan son ham ildiz bo'ladi .Bu ildizlar y1 = a+ßi , y2 = a + ßi bo'lsin. (2) tenglamaning A1 va X2 larga kompleks ildizlarga mos xususiy yechimlari y1 = eax cos ßx, y2 = eax sinßx ko'rinishidagi ikkita yechim mos keladi .

U holda tenglamaning umumiy yechimi y = ^1y1 + C2y2 = C1eax cos ßx + C2eax sin ßx buladi. [3]

Misol:

y + 2y +3y = 0

Xx

y = e X2 + 2Ä + 3 = 0

Xarakteristik tenglama ildizlarü12 = 2±V^-12, buladi.

Â12 = —1 ± V2i ildizlarga ega demak

y1 = e-x cosV2x, y2 = e-x sinV2x berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo'lib ; U

holdatenglamaningumumiyechimi

y = C1y1 + C2y2 = C1e-X cos^2x + C2e-X srnjlx

BIR JINSLI BO'LMAGAN CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA

aoyn + aiy(n-1 + ... + any = f(x) (1) tenglamani qaraymiz .Bu yerda

a0, a1, a2,.........ano'zgarmas sonlar. /(x)funksiya x E [a, b] da aniqlangan va uzluksiz

funksiya

Bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi ikkita yechimning algebraic yig'indisidan iborat bo'lib, bunda birinchi qo'shiluvchi berilgan tenglamaga mos bo'lgan birjinsli tenglamaning umumiy yechimidan, ikkinchi qo'shiluvchi esa berilgan tenglamaning bitta xususiy yechimidan iborat buladi .

(1) Tenglamaning umumiy yechimi y = ybirjinsli + Vxususiy

№ O'ng tomon ko'rinishi Xarakteristik tenglama ildizlari Xususiy yechim ko'rinishi

1. n- chi darajaliko'phad 0 son xarakteristik tenglama ildizi emas yi = Pm(x) m-chi darajali to'la ko'phad

0 son xarakteristik tenglama- ning s-karrali ildizi yi = xsPm(x)

üb»

JSyiK

www.in-academy.uz

2. Д ( у-л^ах a son xarakteristik tenglama ildizi emas У1 = Px(x)eax

a son xarakteristik tenglamaning s-karrali ildizi У1 = xsPx(x)eax

3. Ат(х) cos ßx + Вт(х) sin ßx Ат(х), Вт (x) mosravishda nchiva k-chi darajaliko'phadlar ±ßi son xarakteristik tenglama ildizi emas y1 = Pr(x) cos ßx +Qr(x) sin ßx r = max(m, k) Pr(x),Qr(x) r-chi darajali ko'phadlar

±ßi son xarakteristik tenglama ning s-karrali ildizi У1 = xs(Pr(x) cos ßx +Qr(x) sin ßx)

4. eax(Am(x) cos ßx + Bm(x) sin ßx) a ± ßi son xarakteristik tenglamaning ildizi emas a ± ßi son xarakteristik tenglamaning s-karrali ildizi у 1 = eax(Pr(x) cos ßx +Qr(x) sin ßx) y1 = xseax(Pr(x) cos ßx +Qr(x) sin ßx)

Bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamaning xarakteristik tenglama ildizlari va xususiy yechim ko'rinish jadvali. [3] Misol 1 : Tenglamaning umumiy yechimini toping y"' + 3y" = x2 — 6 Bir jinsli tenglama y"' + 3y" = 0 dan iborat .Xarakteristik tenglama ildizlarini topamiz. y = eÄX almashtirish olamiz

X3 + 3Л2 = 0Ä12 = 0 ,Ä3 = —3 va bundan kelib chiqadiki y1 = e0x, y2 = xe ,y3 = e va umumiy yechimi

У = С1У1 + С2У2 + сзУг = Ci + C2X + c3e- 3x. Berilgan tenglamaning xususiy yechimini topamiz

0 - xarakteristik tenglamaning ikki karrali ildizi, demak, s = 2. Tenglama o'ng tomoni 2 chi darajali ko'phad, m = 2. Jadvalning 1 bandining ikkinchi qismiga ko'ra

y1 = x2(ax2 + bx + c) = ax4 + bx3 + cx2 yi = 4ax3 + 3bx2 + 2cx

1 1

. . . . —3x , 4 3 2

У = С1У1 + С2У2 + сзУз = Ci + C2X + Сзе Yi*3 —

Misol 2 : Tenglamani yeching

y" — 4y = xe2x + (5x2 + 2x)e3x Berilgan tenglamaning o'ng tomoni

www.in-academy.uz

f1(x) = x^2x,f2(x) = +(5x2 + 2x)e3x funksiyalar yig'indisidan iborat bo'lgani uchun ikkita yordamchi tenglamani qaraymiz

y — 4y = xe2x (1) y" — 4y = (5x2 + 2x)e

3x I

Bir jinsli tenglama y" + 4y = 0 dan iborat .Xarakteristik tenglama ildizlarini topamiz y = eÀX almashtirish olamiz

A2 —4 = 0Ä1 = 2 X2 = —2 y 1 = e2x, y 2 = e-2x y = + C2y2 = C1e2x + C2e-2x. Berilgan tenglamaning xususiy yechimini topamiz

Berilgan tenglamanda (1) a=2 xarakteristik tenglamaning bir karra ildizi bo'ladi (s=1) Ko'rsatgich funksiyaning koeffisienti esa birinchi darajali ko'pxaddan iborat (m=1).Jadvalning ikkinchi qismiga ko'ra xususiy yechimi y1 = x(ax + b)e2x = (ax2+bx)e2x y'1 == (2ax+b)e2x +2e2x(ax2+bx)

y!' = 2ae2x + 2(2ax+b)e2x + 4e2x(ax2+bx) + 2(2ax+b)e2x ko'rinishida bo'ladi . uni (1) tenglamaga olib borib qo'yamiz 4ae2x + 2(2ax+b)e2x + 4e2x(ax2+bx) — 4(ax2 +bx)e:

8a = 1 a = -8

Bundan y1 = (^x2 —■1>x)e2x

1

2a + 4b = 0 b = —— 16

Yordamchi tenglamaning a= 3 xarakteristik tenglamaning ildizi emas . Ko'rsatgichfunksiyaning koeffisienti esa birinchi darajali ko'p xaddan iborat (m=2).Jadvalning ikkinchi bandining birinchi qismiga ko'ray2 = (ax2 + bx + c)e3x.

y2' = (2ax + b)e3x + 3(ax2 + bx + c)e3x y2" = 2ae3x + 3(2ax + b)e3x + 3(2ax + b)e3x + 9(ax2 + bx + c)e3x ko'rinishida bo'ladi .uni (2) tenglamaga olib borib qo'yamiz . 2ae3x + 6(2ax + b)e3x + 9(ax2 + bx + c)e3x — 4(ax2 + bx + c)e3x = (5x2 + 2x)e3x 2a + 12ax + 6b + 5ax2 + 5bx + 5c = 5x2 + 2x

5a = 5 a = 1

12a + 5b = 2 b = —2

2a + 5b + 5c = 0 c = 2 bundan

y2 = (x2 — 2bx + 2)e

3x

Umumiy yechim

c1e2x + c2e 2x — i^1x2 ß2X + (x2 — 2bx + 2)e

2x

y = d e2X

3x

ko'rinishiga ega ekanligini hosil qilamiz .

XULOSA: Differinsial tenglama fanini o'qitishda an'anaviy uslublardan yuz o'girmagan holda ularni zamonaviy yo'llar orqali bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalarni yechishni elementar usullarga bog'lagan holda tadbiq etdik.Pedagogik mahorat va kerakli

«

www.in-academy.uz

formulalardan unumli foydalanib matematika ta'limi mazmunini takomillashtirish imkoniyatini ko'rsatdik Matematika ta'limida (aniq va tabiiy fanlar yo'nalishi bo'yicha) foydalanish mumkin bo'lgan darsliklar, metodik qo'llanmalar va bir qancha bajarilgan ilmiy tadqiqotlar tahlil qilinib, matematikani zamonaviy metodlar va elementar yo'llar bilan o'qitishni takomillashtirish muhim omillardan biri ekanligi asoslandi.

References:

1. O'zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyevning 2020 yil 7 maydagi № PQ-4708 qarori asosida «Matematika sohasida ta'lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risida"gi qarori. Uzbekistan.

2. SH.R.Sharipov.Oddiy differinsial tenglamalar .Toshkent "O'qituvchi"1992

3. Ya.Muxtorov,A.Soleev. Differensial tenglamalar bo'yicha misol va masalalar. SamDU o'quv-uslubiy Kengashining 2010-yil

4. Ya. Muxtorov., F.R.Tursunov., D.S.Shodiyev «Differensial tenglamalar» fanidan o'quv -uslubiy majmua. - Samarqand: SamDU nashri, 2010. - bet.

5. Esirgapovich, Karshiboev Shavkat. "IMPROVING THE METHODOLOGY OF USING SOFTWARE IN ORGANIZING VIRTUAL LABORATORY COURSES IN PHYSICS." International Journal of Pedagogics 3.11 (2023): 17-26.

6. Farhodovna A. M. et al. Pedagogical Bases of Teaching Physics //Journal of Pedagogical Inventions and Practices. - 2023. - Т. 16. - С. 67-70.