Murakkab konstruktiv shakldagi yupqa magnitelastik plastinalarning nochiziqli deformatsiyalanish jarayonlarini matematik modellashtirish Текст научной статьи по специальности «Математика»

MURAKKAB KONSTRUKTIV SHAKLDAGIYUPQA MAGNITELASTIK

PLASTINALARNING NOCHIZIQLI DEFORMATSIYALANISH JARAYONLARINI MATEMATIK MODELLASHTIRISH

MATHEMATICAL MODELING OF NONLINEAR DEFORMATIO PROCESSES OF THIN MAGNETELASTIC PLATES OF COMPLEX

CONSTRUCTIVE FORM

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ ТОНКИХ МАГНИТОУПРУГИХ ПЛАСТИН СО СЛОЖНОЙ КОНСТРУКТИВНОЙ ФОРМЫ

Safarov Shohruh ALFRAGANUS UNIVERSITY

Raqamli texnologiyalar dotsenti PhD

ORCID: 0000-0001-7816 - 4409

Annotatsiya. Maqola Gamilton-Ostrogradskiy variatsion tamoyili asosida murakkab konstmktiv shakldagi yupqa magnitelastik plastinalaming geometrik nochiziqli deformatsiyalanish jarayonining matematik modeli ishlab chiqish va hisoblash tajribalarini o'tkazishga bag'ishlanadi. Bunda Kirxgof-Lyav gipotezasidan foydalanib uch o'lchovli matematik model ikki o'lchamli ko'rinishga o'tkazildi. Kinetik va Potensial energiya hamda tashqi kuchlar bajargan Ishning variatsion ko'rinishlarini aniqlashda Koshi munosabatlari, Guk qonuni, Lorens kuchi va Maksvell elektromagnit tenzor ko'rinishidan foydalanildi. Magnitelastik plastinaning deformatsion kuchlanish holatiga elektromagnit may don ta'sirlari ko'rildi, natijada ko'chishga nibatan boshlang'ich va chegaraviy shartlarga ega bo'lgan, xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi ko'rinishidagi matematik model hosil bo'ldi. Tenglamani yechish uchun R-funksiya, Bubnov-Galerkin, Nyumark, Gauss, Gauss, kvadratlar, va Iterasiya sonli usullaridan foydalanib hisoblash algoritmi ishlab chiqildi. Hisoblash tajribalari magnit elastik plastinaning turli mexanik holatlari, chegaralari qattiq mahkamlangan, bir tomoni shamir ikkinchi tomoni erkin holatida hisoblash tajribalari o'tkazilib sonli natijalar olindi. O'takazilgan hisoblash natijalarining qiyosiy tahlillari keltirildi.

Kalit so'zlar: Gamilton-Ostrogradskiy tamoyili, Bubnov Galerkin, Koshi munosabatlari, Guk qonuni, Maksvell elektromagnit tenzori, R-funksiya, Gauss, Iterasiya.

Abstract. The article is devoted to the development of a mathematical model of the process of geometric nonlinear deformation of thin magnetoelastic plates of a complex structural shape based on the Hamilton-Ostrogradsky variational principle, and conducting computational experiments. In this case, the three-dimensional mathematical model was transferred to a two-dimensional view using the Kirchhoff Liav hypothesis. Cauchy's relationship, Hooke's law, Lawrence's force and Maxwell's electromagnetic tensor were used to determine kinetic and potential energy and work done by external forces. The effects of the electromagnetic field on

Л'] *■*« >MTFRNAJ104Al DAY О-

MATHEMATICS

• MARCH 14

the deformation stress state of the magnetoelastic plate were observed, as a result, a mathematical model was created in the form of a system of differential differential equations with initial and boundary conditions for displacement. To solve the equation, a calculation algorithm was developed using the R-function, Bubnov-Galerkin, Newmark, Gaussian, Gaussian squares, and Iteration number methods. Calculation experiments were carried out in various mechanical states of the magneto-elastic plate, its borders were tightly fixed, one side was hinged and the other side was free, and numerical results were obtained. A comparative analysis of the results of the calculations was presented.

Keywords: Hamilton-Ostrogradsky principle, Bubnov Galerkin, Cauchy relation, Hooke's law, Maxwell's electromagnetic tensor, R-function, Gauss, Iteration.

Абстрактный. Статья посвящена разработке математической модели процесса геометрического нелинейного деформирования тонких магнитоупругих пластин сложной структурной формы на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского и проведению вычислительных экспериментов. В этом случае трехмерная математическая модель была переведена в двумерный вид с помощью гипотезы Кирхгофа-Лиава. Соотношение Коши, закон Гука, сила Лоуренса и электромагнитный тензор Максвелла использовались для определения кинетической и потенциальной энергии и работы, совершаемой внешними силами. Рассмотрено влияние электромагнитного поля на деформационно-напряженное состояние магнитоупругой пластины, в результате создана математическая модель в виде системы дифференциально-дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями перемещения. Для решения уравнения был разработан алгоритм расчета с использованием методов R-функции, Бубнова-Галеркина, Ньюмарка, Гаусса, Гауссовых квадратов и итерационного числа. Проведены расчетные эксперименты при различных механических состояниях магнитоупругой пластины, ее края жестко закреплены, одна сторона шарнирная, другая свободная, получены численные результаты. Представлен сравнительный анализ результатов расчетов.

Ключевые слова: принцип Гамильтона-Остроградского, Бубнов Галеркин, соотношение Коши, закон Гука, электромагнитный тензор Максвелла, R-функция, Гаусс, итерация.

KIRISH

Bugungi kunda elektromagnit maydonlarning elektr o'tkazuvchanlik va magnitelastiklikning nochiziqli nazariyalari, xususan ikki yoki undan ortiq fizik maydonlarning o'zaro bog'liqlik nazariyalariga asoslangan ilmiy tadqiqotlar yuqori sur'atlarda rivojlanmoqda. Yupqa magnitelastik konstruktiv elementlar mashinasozlik, samolyotsozlik, kemasozlik va inshootlar qurish obe'ktlarining muhim tarkibiy elementlarini tashkil etadi.

\ ^^^

68 Alfraganus xalqaro ilmiy jurnal * iP

Jahon va yuztimizning ko'plab olimlari yupqa elektro'tkazuvchan jismlarning magnitelastik deforaiasiyalanish jarayonlari ustida ko'plab tadqiqotlar olib borishgan. Xususan, D.I.Bardzokas, S.A.Ambarsumyan, G. Ye. Bagdasaryan, M.V.Belubekyan X.A.Raxmatulin, V.K.Kobulov, B.Kurmanbaev, Sh.A.Nazircn T.Yuldashev, A.A.Xoljigitov, R.Sh.Indiaminov, F.M.Nuraliev kabi olimlari shular jumlasidandir. O'rganilgan adabiyotlar tahlili shuni ko'rsatadiki, elektromagnit maydon ta'siridagi elektr o'tkazuvchan murakkab konstruktiv shakldagi magnitelastik yupqa plastinalaming geometrik nochiziqli deformatsiyalanish jarayonlarini matematik modellashtirish muammolari hozirgi kungacha yetarli darajada o'rganilmagan. Bu esa qo'yilgan masalaning qanchalik muhim va uning ustida tadqiqotlar o'tkazish dolzarbligini belgilaydi.

MATEMATIK MODEL ISHLAB CHIQISH

Gamilton-Ostrogradskiy variatsion tamoyili asosida magnitelastik plastinanig geometrik nochiziqli deformatsiyalanish jarayonining matematik modelini ishlab chiqildi [1]. Kirxgoff-Lyav gipotezasi yordamida uch o'lchovli matematik model, ikki o'lchovli ko'rinishga o'tkazildi. Koshi munosabati va Guk qonuni yordamida geometrik nochiziqli tenzor deformasiyasi olindi.

Koshi munosabatiga ko'ra olingan geometrik deformatsiyalanishning umumiy ko'rinishi quyidagicha [4].

nochiziqli

= S

du ôx

_ ô w 1 dw _ ôw

zô—7 +--ô—;

ôx 2 ôx ôx

„ Ç.ÔV Ç.Ô W 1 ÔW „ÔW

OS = ô--zô—7 +--ô— ;

ôy ôy 2 ôy ôy

„ 0 du 0 dv , ô2w ôw 0 ôw ôw ,, dw Ô£x = ô—+ ô--2 zô-+ — ô— + — ô—.

ôy ôx ôxôy ôx ôy ôy ôx

Lorens kuchi hamda Maksvell elektromagnit tenzor ko'rinishidan foydalanildi [2] magnitelastik plastinaning elektromagnit maydon kuchlar ishlab chiqildi. Natijada elektromagnit maydon kuchlari ta'sirida geometrik nochiziqli deformasiyalanish jarayonini ifodalovchi matematik model ishlab chiqildi [9].

/

d2u SAL dN

df ôx ôy ô2v ÔNm ÔN.

- + N+R+q+T= 0,

-ph — +

ôt2 ôy

-^- + Ny + Ry+qy+Tz}.=0,

uÔ2w Ô2Mxx S2 M Ô2M

-ph—^ +-т^ + 2 y

ôxôy ôy

УУ ~к T d2w лт ô2w лг d¿w

— + N -+ N -+ N -

xx ôx2 ^ Ôy2 "

G)

ôxôy

ÔN_ dN

ôx ôy

ôw ôx

ôy ôx

ôw ôy

- + N_ + R_+q_+T__ = 0.

Boshlag'ich shartlar va chegaraviy shartlar:

.•V "v ¡НТРНМАЛОЧА- DAYOP

■•/••■•.'MATHEMATICS

MARCH 14

ph — Su

dt

— 0, ph — Sv

dt

— 0, ph — ôw

dt

= o.

(К, + К* + NTx ) Su\x = 0, (Nv + NPy + А^) ¿v| = О,

Д Ж çdw

Mхх8 — дх

= О, M S —

* ду

А 14 S5™

= 0 ,м s —

ду

А » Л

= О, M S —

^ дх

= 0,

К + Nry + Nryy И = К + + ^ )Н , =

ôw ôw dM дМ„, N,r — + К — - ^^--^ + N0_ + NT.

** дх v ду дх ду

' Р: ' Txz

dw dw дМ„, дМ„, N — + N —--z---s- + Nf_ + NT

n ду v дх ду дх '

ôw

Sw

= 0,

= 0.

bu yerda N^, N^, N^ - plastinaning qalinligi bo'yicha normal va urunma kuchlari. Mxx, M yy, M xy - plastinaning egilish va buralish momentlari, p- jism zichligi, h- plastina qalinligi, Rx, Ry, Rz,Nx,Ny,Nz - hosil bo'luvchi hajm kuchlari, 4x>4y>4z>Tzx>Tzy>Tzz-sirt kuchlari, Txx,Txv,TxzJ}y,Tyz,Tzx,- hosil bo'luvchi kontur kuchlari.

Masalani sonli yechishning hisoblash algoritmi

1-rasm. Tenglamani yechishning hisoblash algoritmi.

YUPQA MAGNITELASTIK PLASTINANING CHEGARAVIY MASALASINIITERASIYA USULI BILAN YECHISH BOSQICHLARI

Plastina o'rta sirtining x,y,z koordinata o'qi bo'ylab egilishi Iterasiya usuli bilan aniqlanadi. Bunda murakkab shakldagi yupqa plastina o'rta sirtining koordinata x,y,z о'qi bo'ylab ko'chish nuqtalarini ui(x, y, z),v. (x, y, z), w (x, y,z) topish quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi [6,7,8,9]:

Alfraganus

xalqaro ilmiy jurnal * 7

Iterasiya qadami dastlab /" = 0 da: u0= 0, v0 = 0 ga teng deb olinadi. Tenglamaning uchinchi qismidagi w0(x,y) - qiymati topiladi. Bunda tengmaning o'ng tomonidagi barcha hadlar shartli ravishda 0 qiymatga teng deb olinadi, natijad tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

s2Mjw0) | 2d2Mjw0) | g2M,K) = g дх2 дхду ду2

buyerda Qz=-{Nz + qz)

Iteratsiya qadami / = 1 bo'lganda tenglamalar sistemasining (1) birinchi ikkinehi qismidan ?/,, v, - topiladi.

Eh +

, S'IL

(1-

h H H dVi

4П

Ehv h

д и, I Eh h тт ,

д и, Í Eh h тт, -L + —-г +-H;

ph—5!- +

et2

(i-И)

Eh h(lll+Hl)

411 " '

2(1 +v) 4П У)ду2 ^ 2(1 +v) 4П

= a-Sx(w0) + Fx(w0X

ду

d\ дхду

(3)

(1-й)

4П

д\ ду1

Eh -Дн:

2(1 +v) 4П

д\ дх2

Evh ^ Eh h (l-v2) + 2(l + v) + ffl r

d2ul "дх2

— H H -—H H ^ = Q - S (w0 )+F (w0 ),

4П r ■ дх2 4П ■ ду2 1 - y 0

bu yerda

SM =

Eh

^ d2w dw dw d2w ^

2(1--)

Eh

дх ' дх ду дхду ^ d2w dw dw d2w ^

2(l-v»)

ду ду дх дхду

Eh d'w д w (2 + v) ду2 дхду

Eh d2w d2w (2 + v) дх2 дхду

, Qx=Nx + qx+Tzx, , Qy=Ny+qy+Tzy,

s

/

х - дх - -2 НуН. d2w дхду +ВД ô2w Ф2 '

Fy(Wo) = н н "2 HxHz d2w дхду ô2w sy2

Tenglamalar sistemasining (4) uchinchi qismidan w, - qiymatlari topiladi.

dt2 дх2 дхду я,;2 V У X) Яг2

öy2

дхду

-(н;-н2)

dN^u^Wv) dw0 dN^,(Mj, Vj, w0) 5w0 dN^v,, w0) ôw0 dN^u^w,) dw{

----1_ _|----J----J---

Hv ¿-S-v- Wi ? ✓H-v- Hi ? Hi ? ^v Wi ?

ôx

ôx

ôx

ду ду

дх

ду

+ F__{ul,vl

"v m-q',.'.'--•..•. DAY, '■■V*..'MATHEMATICS

MARCH 14

bu yerda Fz(w0) = -(//;-Hl)^+4HxHy-H^,

ox ■ dxdy dy

Tenglamalar sistemasini (1) iteratsiya usuli bilan yechishning umumlashgan ko'rinishi quyidagi formula (5,6) orqali ifodalangan:

, d2u ph—+

8t2

—H H

4n v ox

, d2v.

ph—T- +

dt-

Eh h(u2y+ul)

(l-v2) 4Ü

Ehv h (l-v2)~4n

Eh

d\ dx2

Eh +JL

2(l + v) 4n

d2v.

d2u

2(l + v) 411

a2v,. dxciy

dy2

(5)

(l-v2)

4n

a2v. 3/

£7, _ + Ah

2(1 +v) 4n

5 v.

cbr

■f+

Evh Eh h TT, - +-- +— H;

(l-v2) 2(1 +v) 411 x

d\ dx2

411

va

¿y

,fi2w, d2Mn(w,) „S2Mp(w;) S2M„(w)

fix

fixfiy

ay2

v y x> dx2 x } fixfiy

-{Uy-Rx)irT = V:-N11K'' ) ITl1 + 22 (",> , ) —-f + iV12 (ut, V,, ) —+

v y > dy dx dy dxdy ^

| dN^u^v^w^) dwt_x | dN^u^v^w^) dw^ | dN22(»,v , wil) dwt l |

fix fix

,) fiw, ,

qv fix

+ rz+Fz(Mi,vi),

fiy

fix fiy

Iteratsiya qadami \ui -uj X|<s, |v. -v^,\<s, |w. - wM|<mazkur shart bajarilguncha davom etadi. Bu yerda i-belgilangan xatolik {s = 0.0001).

HISOBLASH TAJRIBALARI VA TAHLILLARI

Harakat tenglamasidagi (1) noma'lumlarni koeffisientlarini aniqlash uchun, Bubnov - Galerkin variatsion usuli, Gauss kvadratlar, Gauss, Nyumark, hamda Iteratsiya sonli usullari birgalikda qo'llaniladi. Jumladan magnitelastik yupqa plastinaning OZo'qi bo'ylab ko'chish koeffisientlari u:(x,y),v:(x,y),wi(x,y) aniqlanadi.

Murakkab konstruktiv shakldagi sohaning analitik tenglamasi, V.L.Rivachevning R-funksiya usuli yordamida qurildi [3,6]. Hisoblash tajribalari o'tkazishda nosimmetrik murakkab konstruktiv shakl (2-rasm) qurib olindi. Elastik plastinaning chegaralari (to'rt tomoni) qattiq mahkamlangan.

R-flmksiya yordamida nosimmetrik bo'lgan murrakab soha (1-rasm) uchun chegaraviy tenglamasi qurildi. Mazkur nosimmetrik murakkab shakldagi

| 72 Alfraganus xalqaro ilmiy jurnal * iP

magnitelastik plastinaning (2-rasm) tashqi kuchlar ta'siri ostida koordinata o'qi bo'ylab egilishining sonli natijalar hamda gi'afik tasviri 3-rasmda keltirilgan.

2-rasm. Murakkab konfiguratsiyali magnitelastik nosimmetrik yupqa plastina chegaralari qattiq mahkamlangan holatidagi tasviri

Ю = (/i A f2 ) A /3 A /4

bu yerda

2 a 2b 2 r 2 r

Hisoblash tajribasida geometrik va mexanik parametrlari quyidagicha keltirilgan:

a = \, b = \,ax =0.5,a6 =0.55,h = 0.01, rx = 0.1 ,r2 = 0.1 v = 0.3, q = 1,

Hx =Hy =Hz =10кЭ,Е = 10п H / m2.

1-jadval

Elektromagnit may don Elektromagnit maydon

У kuchlar ta 'sir kuchlar ta 'sir

X qilmagandagi w(x,y,t) qilgandagi w(x,y,t)

funksiya qiymatlari funksiya qiymatlari

-1 0 0 0

-0.95 0 0,00009 0,00011

-0.9 0 0,00030 0,00038

-0.85 0 0,00027 0,00037

-0.8 0 0,00012 0,00019

-0.75 0 0,00003 0,00005

-0.7 0 0 0

-0.3 0 0 0

-0.25 0 0,00002 0,00002

-0.2 0 0,00007 0,00009

-0.15 0 0,00015 0,00019

-0.1 0 0,00025 0,00030

-0.5 0 0,00033 0,00040

0 0 0,00039 0,00047

0.5 0 0,00041 0,00050

0.1 0 0,00038 0,00047

"»*« m-q',.'.'--•..•. DAY, MATHEMATICS

MARCH 14

0.15 0 0,00033 0,00040

0.2 0 0,00025 0,00030

0.25 0 0,00016 0,00020

0.3 0 0,00009 0,00011

0.35 0 0,00003 0,00004

0.4 0 0,00001 0,00001

0.45 0 0 0

0.65 0 0 0

0.7 0 0,00001 0,00001

0.75 0 0,00005 0,00007

0.8 0 0,00011 0,00017

0.85 0 0,00018 0,00029

0.9 0 0,00020 0,00032

0.95 0 0,00010 0,00012

1 0 0 0

w(x,y,t), x[-l;l],y=0, t=0.2 -Mex + Mar -----Mex

0,0005 -0,000* N A F / v\-/fi002 / / J \\ /'0,0001

N \ \ \

\ // \ \\ / /

\ // \

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 X 0,2 0,4 0,6 0,8 1

3-rasm. Murakkab konfiguratsiyali magnitelastik nosimmetrik yupqa plastina chegaralari qattiq mahkamlangan holatidagi koordinata o'qidagi grafik tasviri

Xulosa qiliy aytganda elektro'tkazuvchan yupqa plastinaga mexanik kuchlar ta'siri hamda mexanik kuchlarga magnit maydon kuchlar ta'siri ham qo'shib hisoblash ishlari olib borildi (1 -jadval, 3-rasm), va hisoblash tajribalar xulosasi shuni ko'rsatadiki ularning o'zaro farqi 18.4% ni tashkil qildi [10].

Mazkur 1-rasmdagi murakkab shakldagi magnitelastik plastinaning (Oy) o'qi

bo'ylab egilishini sonli natijalari (2-jadval) va grafik tasviri (4-rasmda) keltirilgan.

2-jadval

y X Elektromagnit maydon kuchlar ta 'sir qilmagandagi w(x,y,t) funksiya qiymatlari Elektromagnit maydon kuchlar ta 'sir qilgandagi w(x,y,t) funksiya qiymatlari

-1 0 0 0

-0.9 0 0.0002 0.0002

Alfraganus

xalqaro ilmiyjurnal

0.0010

0.0012

0.0019

0.0023

0.0022

0.0027

0.0018

0.0022

0.0013

0.0016

0.0008

0.0010

0.0005

0.0007

0.0004

0.0005

0.0003

0.0004

0.0004

0.0005

0.0005

0.0007

0.0008

0.0010

0.0013

0.0016

0.0018

0.0022

0.0022

0.0027

0.0019

0.0023

0.0010

0.0012

0.0002

0.0002

w(x,y,t), y[-l; 1],x=0, t=0.5

-----Мех -Mex+Mer

4-rasm. Murakkab konfiguratsiyali magnitelastik nosimmetrik yupqa plastina chegaralari qattiq mahkamlangan holatidagi koordinata o'qidagi grafik tasviri

Taj riba natijalariga ко'ra elektro'tkazuvchan yupqa plastinaga mexanik kuchlar ta'siri hamda mexanik kuchlarga magnit may don kuchlar ta'siri ham

qo'shib hisoblash ishlari olib borildi (2-jadval, 4-rasm) va hisoblash tajribalar xulosasi shuni ko'rsatadiki ularning o'zaro farqi 18.7% ni tashkil qildi.

Murakkab konstruktiv shakldagi magnitelastik yupqa plastinaning geometrik nochiziqli deformatsiyalanish jarayonlarini ifodalovchi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi ko'rinishidagi matematik model ishlab chiqildi. Matematik modeldagi nomaTum bo'lgan koeffisientlarni toppish uchun hisoblash algoritmi ishlab chiqildi. Murakkab konstruktiv shakldagi magnitelastik yupqa plastinalarning elektromagnit kuchlar ta'sirida geometrik nochiziqli deformatsiyalanish jarayonlari chegaralari qattiq mahkamlangan sharnir mahkamlangan shartlar asosida matematik modelning nomaTum koeffisientlari topildi. Olingan sonli natijalar yupqa plastinkaga elektromagnit maydon kuchlari ta'sirini o'rganilib, ularning qiyosiy tahlillar keltirildi. O'tkazilgan tajriba natijalari shuni ko'rsatadiki magnit maydon kuchlarning yupqa magnitelastik plastinalarga ta'siri kichik bo'lsada mavjudligi aniqlandi. Bu esa plastinaning deformatsiyalanish jarayoniga bevosita ta'siri borligini isbotlaydi.

1. Kabulov V.K. Algorithmization in the theory of elasticity and deformation theory of plasticity Tashkent Science 1966. - P. 392 .

2. Ambartsumyan S.A., Belubekyan M.V. Some problems of electromagneto elasticity of plates. - Erevan: 1991.- P 144.

3. Kurpa L.V. Metodom R-funksi dlya resheniya lineynwx zadach izgiba i kolebaniy pologix obolochek. Xarkov NTU XPI 2009. 391 - S.

4. Leybenzon L.S. Kurs teorii uprugosti. Moskva 1977. - S. 272. (17- S ).

5. Nuraliev F.M., Safarov Sh.Sh., Artikbaev M.A. Deformatsiyalangan mangnitelastik plastinaning matematik modeli va hisoblash algoritmi. Informatika energetika muammolari Tashkent 5/2020. C 38-49.

6. F. Nuraliev and Sh. Safarov, "Computational algorithm for calculating magnetoelastic flexible plates of complex configuration," 2019 International Conference on Information Science and Communications Technologies (ICISCT), Tashkent, Uzbekistan, 2019, pp. 1-4. DPI: 10.1109/ICISCT47635.2019.9011903

7. F. Nuraliev, S. Safarov and M. Artikbayev, "A computational algorithm for calculating the effect of the electromagnetic fields to thin complex configured plates," 2020 International Conference on Information Science and Communications Technologies (ICISCT), 2020, pp. 1-4, DPI: 10.1109/ICISCT50599.2020.9351447

8. F. Nuraliev, S. Safarov and M. Artikbayev, "Solving the problem of geometrical nonlinear deformation of electro-magnetic thin plate with complex configuration and analysis of results," 2021 International Conference on Information Science

XULPSA

FPYDALANILGAN ADABIYPTLAR

Alfraganus

xalqaro ilrniy jurnal

and Communications Technologies (ICISCT), 2021, pp. 01-05, DPI: 10.1109/ICISCT52966.2021.9670282

9. Nuraliev F.M., Aytmuratov B.Sh., Safarov Sh.Sh., Artikbayev M.A. Mathematical modeling of geometric nonlinear processes of elastic thin plates of complex configuration // Scientific journal «Problems Computational and Applied Mathematics» № 1 https://scholar.google.com/citations7view op=view citation&hl=en&user alk wscAAAAJ&citation_for_view=jalkwscAAAAJ:9yKSN-GCB0IC

10.F. Nuraliev, S. Safarov, M. Artikbayev and A. O.Sh, "Calculation Results of the Task of Geometric Nonlinear Deformation of Electro-magneto-elastic Thin Plates in a Complex Configuration," 2022 International Conference on Information Science and Communications Technologies (ICISCT), Tashkent, Uzbekistan, 2022, pp. 1-4,. DOI: 10.1109/ICISCT55600.2022.10146920