CC BY
13
5. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions // Coll. Math. Soe. J. Bolyai. 1991. Vol. 54. P. 111- 124.
6. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1993. № 3. С. 23 - 30.
7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 29 - 41.
8. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594 - 595.
УДК 519.83
Л. М. Брэгман, Т. Т. Брэгман, И. Н. Фокин
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТРАТЕГИЙ В КОМБИНАТОРНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГРАХ
Данная статья посвящена исследованию матричных игр, в которых стратегии игроков имеют комбинаторную природу. Рассматривается возможность представления оптимальных стратегий игроков в таких играх в мултипликативном виде. Устанавливается необходимое и достаточное условие существования в них оптимальных стратегий игроков, допускающих представление в указанном виде. Соответствующие стратегии определяются относительно небольшим числом параметров.
Рассмотрим игру Г, в которой множество X = {Х],Х2,---,Х }
L
(X¡ е R ) есть множество чистых стратегии первого игрока, а множество
Y = {У1,У2,...,Уд}} (Yj е К' ) есть множество чистых стратегий второго игрока. Пусть H является к х / -матрицей. Определим выигрыш первого игрока как {XhHYJ ), если игроки используют свои чистые стратегии X, и
Y J соответственно. Предполагается, что векторы X) (Yj) являются неотрицательными и для всех 1 <j<k (1 </</) существует X¡, у которого Xtli] > 0 ( [У] >■ 0 Игра Г является матричной игрой с матрицей выигрышей А, которая может быть представлена в виде произведения:
А = XHY,
где X есть рх к -матрица, у которой векторы X¡ являются строками, a Y есть / ж q -матрица, у которой векторы Yj являются столбцами.
Такая схема удобна для игр, в которых множество стратегий имеет комбинаторную структуру, поэтому мы называем такие игры комбинаторными матричными играми. В таких играх числа р и q гораздо больше, чем числа к к I. Примерами комбинаторных матричных игр являются размещения двумя игроками п предметов между п отделениями, в которых стратегиями игроков являются перестановки п чисел; игровые задачи рас-
пределения дискретных ресурсов, в которых стратегии - это всевозможные распределения заданного числа ресурсов между несколькими участками.
Хотя число чистых стратегий у игроков очень велико, существуют оптимальные смешанные стратегии, которые описываются относительно малым числом параметров. Например, первый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию с не более чем к + 1 положительными компонентами. Существование таких стратегий и метод их нахождения для сепара-бельных игр с нулевой суммой предложены в [1].
Представляет интерес получить оптимальные смешанные стратегии в специальной мультипликативной форме. Такие стратегии также описываются к + 1 параметрами, но мультипликативная форма в некоторых случаях является более удобной, в частности, для случаев имитации стратегий игроков. Цель данной статьи заключается в том, чтобы установить условия существования у игроков оптимальных смешанных стратегий, имеющих мультипликативную форму.
Основной результат для первого игрока заключается в следующем: необходимым и достаточным условием существования у игрока оптимальной стратегии, имеющей мультипликативную форму, является совпадение выпуклой оболочки X с пересечением аффинной оболочки X с неотрицательным ортантом. В частном случае для сумм матричных игр это свойство было установлено в [2]. Техника, используемая для доказательства основных результатов, основана на исследовании задачи о максимизации взвешенной энтропии, теории двойственности и на специальных вариантах теорем о дополняющей нежесткости.
Опишем представление стратегий в мультипликативной форме. Пусть С есть выпуклая оболочка X и О есть выпуклая оболочка У . Тогда игра Г может быть сведена к полиэдральной игре Д, в которой множества С и О являются множествами стратегий первого и второго игроков, а выигрыш первого игрока при стратегиях VеС и -мей равен (у,Н-нг).
Игры Г и Д эквивалентны: если а есть оптимальная смешанная стратегия первого игрока в игре Г, то
(1)
/=1
является оптимальной стратегией этого игрока в игре А, и если V е С есть оптимальная стратегия первого игрока в игре Д , то вектор а, удовлетворяющий условиям
¿а,Х, =Л £а, =1, о, гО, (2)
1=1 /=1
является оптимальной стратегией первого игрока в игре Г .
Метод решения игры Г может быть построен следующим образом. Сначала находятся оптимальные стратегии в игре Д, а затем оптимальные
смешанные стратегии первого игрока определяются из условий (2). Оптимальная смешанная стратегия второго игрока может быть найдена аналогичным образом. Вообще, система (2) имеет не единственное решение. Представляет интерес найти оптимальную смешанную стратегию, которая описывается малым числом параметров.
Особый интерес представляет нахождение такой стратегии первого игрока, которая имеет следующее мультипликативное представление:
(3)
1-1=1
Эта стратегия описывается к + 1 параметрами.
Определение. Будем говорить, что veC имеет представление в мультипликативной форме, если существует вектор а., удовлетворяющий условиям
V V '
(4)
¿а,=1,а,>0,
который может быть представлен в мультипликативной форме (3). В общем случае не все v е С имеют представление в мультипликативной форме.
Дадим понятие полноты множества и приведем главные результаты. Будем говорить, что множество X является полным, если каждый вектор V е С имеет представление в мультипликативной форме. Пусть А = äff (X) о , где R* есть неотрицательный ортант. Основной результат статьи дает следующая
ТЕОРЕМА. Множество X является полным тогда и только тогда, когда А = С.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Bregman L. М., Fokin I. N. On separable non-cooperative zero-sum games // Optimization. 1998. № 44. P. 69 - 84.
2. Брэгман Jl. M, Фокин И. II. О суммах матричных игр // Экон. и мат. методы. 1973. №9. С. 148- 154.
