О многообразии полугрупп бинарных отношений с операцией прямоугольного замыкания Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Elton Е../., Gruber М. J., Brown S. J., Goetzmann W. N. Modem portfolio theory and investment analysis. N. Y.: Wiley, 2003.

2. Vasicek O. A note on using cross-sectional information in Bayesian estimation on security betas // J. of Finance. 1973. № 28. C. 1233 - 1239.

УДК 519.4

Д. А. Бредихин

О МНОГООБРАЗИИ ПОЛУГРУПП БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЗАМЫКАНИЯ

Обозначим через Rel(X) множество всех бинарных отношений, заданных на базисном множестве X. Относительно операции умножения отношений о множество Re/(X) образует полугруппу (Re/(X), о), называемую полугруппой бинарных отношений. Рассмотрение полугрупп отношений занимает одно из центральных мест в современной теории полугрупп. Наряду с операцией умножения на множестве Rel(X) могут быть заданы ряд других операций, играющих важную роль в теории отношений. Ряд таких операций был рассмотрен в фундаментальной работе В. В. Вагнера [1], посвященной общей теории бинарных отношений.

В общем случае множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними, образует алгебру (Ф, Q), называемую алгеброй отношений. Таким образом, исследование полугрупп бинарных отношений с дополнительными операциями может проводиться в рамках общей теории алгебр отношений. Основы алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [2, 3]. Обзор некоторых результатов в этом направлении можно найти в [4, 5].

Обозначим через Ä{Q} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношения с операциями из Q. Пусть Q{Q} — квазимногообразие и K{Q} -многообразие, порожденное классом Ä{i2}. Согласно А. Тарскому, одной из основных проблем при изучении алгебр отношений является проблема описания их свойств, выразимых на языке тождеств. Эта проблема фактически сводится к изучению многообразий V{Q}. Представляет также интерес изучение квазимногообразия ß{Q}.

Нами будет рассмотрена операция прямоугольного замыкания бинарных отношений [1]. Бинарное отношение peRe/(A') называется прямоугольным, если р = АхВ для некоторых подмножеств /i,ßcÄ'. Множество всех прямоугольных отношений образует систему замыканий на Re/(X). Соответствующую операцию замыкания обозначим через S. За-

метим (см. [1]), что прямоугольное замыкание S(p) бинарного отношения р € Rc/lY) может быть явно выражено в следующем виде:

S(p) = pr]pxpr2p,

где prß = {xe X \(3у){х,у)£р) и рг2р ~{хеХ: (Зу){х,у) е р} - первая и вторая проекции отношения р. Отсюда, в частности, легко следует, что операция прямоугольного замыкания является диофантовой, то есть может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка, содержащей в своей записи лишь операцию конъюнкции и кванторы существования [6, 7]. Этот факт позволяет применить к классу S} полугрупп отношений с операцией прямоугольного замыкания общую теорию многообразий и квазимногообразий алгебр отношений с диофанто-выми операциями [6, 7, 8].

Основной результат статьи формулируется в следующей теореме, в которой, в частности, находится базис тождеств многообразия К {о, S}.

ТЕОРЕМА. Класс S} полугрупп отношений с операцией прямоугольного замыкания не является квазимногообразием, то есть Ä{o, S) # Q{о, S}. Квазимногообразие Q{°, 5} не является многообразием, то есть Q{°, S} V{o, S}. Многообразие V{o, S} конечно базируемо. Алгебра (А, ■,') типа (2,1) принадлежит многообразию V{o, S} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим тождествам:

(xy)z = x(yz), (х'У =х', хх'х = (хх)', хх' =хх'х', хх' - хх'х', х'х = х'х'х, х'х'х' = х'х', (ху' )* = ху', (х'у)* = х'у, x'yx'zx'= x'zx'yx', хух'ух' = хух\ х'ух'ух'= х'ух', х'ух'ух = х'ух, х'ух'ух' = х'ух', xyxzx'yx' = xyxzx', x'yxzx'yx' = x'yxzx', x'yx'zxyx = x'zxyx, x'yx'zxyx' = x'zxyx'. В связи с результатом, сформулированным в этой теореме, естественно возникают следующие проблемы.

Проблема 1. Найти базис квазитождеств квазимногообразия Q{°,S}.

Проблема 2. Найги элементарную систему аксиом для класса

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 3 - 197.

2. Tarski А. On the calculus of relations //J. Symbolie Logic. 1941. Vol. 6. P. 73 - 89.

3. Tarski A. Some methodological results conceming the calculus of relations // J Symbolie Logic. 1953. Vol. 18. P. 188 - 189.

4. Schein В. M. Representation of reduets of Tarski relation algebras // Coli. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. Vol. 54. P. 379-394.

5. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions // Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. Vol. 54. P. Ill- 124.

6. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1993. № 3. С. 23 - 30.

7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 29 - 41.

8. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594 - 595.

УДК 519.83

Л. М. Брэгман, Т. Т. Брэгман, И. Н. Фокин

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТРАТЕГИЙ В КОМБИНАТОРНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГРАХ

Данная статья посвящена исследованию матричных игр, в которых стратегии игроков имеют комбинаторную природу. Рассматривается возможность представления оптимальных стратегий игроков в таких играх в мултипликативном виде. Устанавливается необходимое и достаточное условие существования в них оптимальных стратегий игроков, допускающих представление в указанном виде. Соответствующие стратегии определяются относительно небольшим числом параметров.

Рассмотрим игру Г, в которой множество X = {Х],Х2,---,Х }

L

(Xj е R ) есть множество чистых стратегии первого игрока, а множество

Y = {У1,У2,...,Уд}} (Yj е К' ) есть множество чистых стратегий второго игрока. Пусть H является к х / -матрицей. Определим выигрыш первого игрока как {XhHYJ ), если игроки используют свои чистые стратегии X, и

Y J соответственно. Предполагается, что векторы X¿ (Yj) являются неотрицательными и для всех 1 <j<k (1 </</) существует X¡, у которого Xtli] > 0 ( [У] >■ 0 Игра Г является матричной игрой с матрицей выигрышей А, которая может быть представлена в виде произведения:

А = XHY,

где X есть рх к -матрица, у которой векторы X¡ являются строками, a Y есть / ж q -матрица, у которой векторы Yj являются столбцами.

Такая схема удобна для игр, в которых множество стратегий имеет комбинаторную структуру, поэтому мы называем такие игры комбинаторными матричными играми. В таких играх числа р и q гораздо больше, чем числа к к I. Примерами комбинаторных матричных игр являются размещения двумя игроками п предметов между п отделениями, в которых стратегиями игроков являются перестановки п чисел; игровые задачи рас-