О решении дискретной игры распределения ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.832.2

В. В. Морозов, К. Д. Шалбузов2

О РЕШЕНИИ ДИСКРЕТНОЙ ИГРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ*

Рассматривается дискретная антагонистическая игра прорыва нападения через пункты, обороняемые защитой (игра Блотто). Описывается алгоритм поиска решения игры в смешанных стратегиях, который обобщается на игры с бюджетными ограничениями. В частных случаях получены явные формулы для значения игры и оптимальных стратегий.

Ключевые слова: игра распределения ресурсов, игра Блотто, матричная игра, модель Гросса, модифицированное отсечение Гомори, линейное диафантово уравнение.

1. Введение. Непрерывные игры распределения бесконечно делимых ресурсов изучались многими авторами. Отметим следующие работы. Блэккет [1] дал общее определение игры и исследовал игровую модель выбора маршрута поставки ресурса. Явные формулы решений в смешанных стратегиях построены для моделей Гросса [2], Гермейера [3] и более общей модели [4]. Дискретная матричная игра распределения штучных ресурсов в общем случае имеет матрицу больших размеров. Способ построения приближенного решения дискретной игры указан в [5]. В последнее время интерес к играм распределения ресурсов возрос в связи с задачами охраны объектов. В данной работе предлагается алгоритм поиска решения дискретной игры, состоящий в поочередном решении задач линейного программирования (ЗЛП) и минимизации дискретных сепарабельных выпуклых функций.

2. Постановка задачи. Пусть А и В — положительные целые числа, определяющие количество средств нападения и защиты, распределяемых по п пунктам в соответствии со стратегиями х = (х\,... ,хп) и у = (?/1,...,уп). Обозначим I = {1,...,п}. Определим непрерывную антагонистическую игру Г = (X, У, .Р(ж, у)), в которой множества стратегий X и У нападения и защиты (первого и второго игрока) имеют вид

1= же

= А, Хг 0 щ G I У = <j у G

iei

iei

а функция выигрыша нападения Р(х,у) = /1(^1,1/1) + ... + /п(жп,уп) задает суммарный эффект ее взаимодействия с защитой на всех пунктах.

Предположим, что каждая функция неотрицательна и непрерывна на [О, А] х [О, В], не убывает и выпукла по ж*, обращается в нуль при хц = 0, не возрастает и выпукла по у^. Например, функции /г(хг,Уг) = У^г{хг — ^гУг)+ перечисленным требованиям удовлетворяют3. В этом случае будем говорить о модели Дрешера, предложившего в [6] следующую интерпретацию функций /¿. Коэффициент //г > 0 определяет количество средств нападения, которое может уничтожить одна единица средств защиты на г-м пункте, а множитель Аг > 0 задает величину ущерба, наносимого единицей средств нападения, прорвавшегося на этом пункте. При /х* = 1 V? € I получаем модель Гросса [2], а при А* = 1 щ ^ I — модель Гермейера [3]. Далее без потери общности будем предполагать, что в модели Дрешера А1 ^ ... ^ Ап, а в модели Гермейера /¿1 ^ ... ^ /хп.

Дискретная игра Г' = (X', У, Р(х, у)) получается из игры Г при дополнительном предположении, что компоненты стратегий игроков являются целыми числами. Множества X' и У могут содержать большое число стратегий. Поэтому в общем случае стандартный прием сведения решения матричной игры к ЗЛП не применим.

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: vmorosovQmail.ru

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: kamil.shalbuzovQgmail.com

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 14-01-91163 ГФЕН_а.

3 Введем обозначения. Для действительного числа а пусть = тах(а,0); [оJ и {а} — его целая и дробная части; [а] — наименьшее целое Ь ^ о; а = 0, если а целое. Через НОД(о1,..., ап) обозначим наибольший общий делитель целых чисел о 1,... ,ап- Для каждого i £ I определим вектор е1 £ R™, у которого г-я компонента равна единице, а остальные нулевые. Для множества ./ С / обозначим через eJ сумму векторов е*, г £ J. Пусть convX — выпуклая оболочка множества X С R™.

В п. 3 сформулировано условие, при котором в модели Дрешера значения игр Г и Г' совпадают. Предложен итерационный алгоритм построения решения произвольной игры Г' в смешанных стратегиях. В п. 4 для поиска максиминной чистой стратегии в модели Дрешера используется алгоритм глобального поиска. Минимаксная чистая стратегия ищется с использованием дискретного аналога принципа уравнивания. В п. 5 алгоритм п. 3 применяется для поиска решения игры с бюджетными ограничениями.

3. Решение дискретной игры в смешанных стратегиях. Смешанными стратегиями Р = (Pi-.■■■-,Рг) и q = (qi,...,qi) соответственно первого и второго игрока в игре Г' называются вероятностные распределения на некоторых множествах чистых стратегий {х1,...,хг} С X' и {у1,..., у1} С Y'. Положим

г I

Р(Р,У) = ^PkF{xk,y), у € Y', F(x,q) = J2<ljF(x,yr), х€Х'. k=1 j=1

Тройка (p',q',v'), состоящая из стратегий p', q' и числа v', называется решением игры Г' в смешанных стратегиях, если справедливы равенства

min F(p', у) = v' = max F(x, q). (1)

y£Y' x£X'

При этом p' и q' называются оптимальными смешанными стратегиями первого и второго игрока, а I'1 — значением игры Г'.

При каждом ! G / определим стратегию нападения х^ = Аег, состоящую в концентрированном ударе по г-му пункту. Покажем, что в игре Г любая стратегия х = (xi,..., хп) € X первого игрока до-минируется смешанной стратегией р = {х\/А,..., хп/А), выбирающей хМ^ с вероятностью pi = Xi/A, г € I. Действительно, из выпуклости функции F(x, у) по х следует, что для любой стратегии у € Y справедливо неравенство F(p,y) ^ F(x,y). Поэтому при решении игры Г' в смешанных стратегиях первый игрок может использовать только вероятностные распределения р = (pi, ■ ■ ■ ,рп) £ -Р на множестве \х(г\ г G /}. Отсюда вытекает, что значение игры Г' можно записать как

v' = max min F(p,y). p£P yeY'

Поскольку в игре Г функция выигрыша F(x, у) выпукла по у, ее значение равно

V = min max F{x(yt\y) = max F(x^\y°),

y£Y 1 1

а минимаксная стратегия у0 второго игрока оптимальна (см., например, [3, с. 54]).

Стратегию у° можно найти с помощью принципа уравнивания Гермейера [7]. Сформулируем его для данного случая. Пусть без потери общности fi(A, 0) ^ ... ^ fn(A,0). Тогда, для того чтобы стратегия у0 была минимаксной в игре Г, достаточно выполнения следующего условия: найдутся такое число С и номер к € I, что

fi(A,y°) = C, ¿ = 1,...,*, уг° = 0, i = k + l,...,n, C^fk+1(A, 0). (2)

Если к = п, то последние соотношения отсутствуют. Перебирая к = 1 ,...,п, найдем систему (2), имеющую решение относительно уг°, г G /, и С. При этом С = v.

Заметим, что всегда v' ^ v, поскольку оптимальная смешанная стратегия р° первого игрока в игре Г гарантирует ему выигрыш v в игре Г'. Для модели Дрешера укажем условие, при котором v' = v.

Утверждение 1. Пусть в модели Дрешера игры Г минимаксная стратегия второго игрока yQ G Yi = {у G У| уг < [А/щ\ V« € /}. Тогда v' = v.

Доказательство. Пусть У®^ = {у ^^,..., у ^ } — множество всех крайних точек множества Y\. Нетрудно показать, что У®^ С Y'. Представим вектор у° как выпуклую комбинацию векторов у^ с коэффициентами q • > 0, j = 1,..., qf + ... + qf = 1. Стратегия yQ и значение v игры Г удовлетворяют при некотором k € I системе

Ai(A — = у, i = l,...,k, у® = 0, i = k + l,...,n, v ^ Ak+iA. (3)

Отсюда следует, что = 0, г = к + 1,..., п, ] = 1,..., /. Определим смешанную стратегию д° второго игрока в игре Г', состоящую в выборе чистой стратегии у^ с вероятностью .7 = 1,...,/. Докажем ее оптимальность в игре Г'. Из системы (3) получим

F(x{i\q°) = <

Е >44i(A - /W ) = ХЛА - NVÏ) = v, г = 1,...,к,

3 = 1

I

^iQ^A = Xi А ^ V, г = к + 1,..., п.

и=1

Следовательно, применяя стратегию q°, второй игрок не позволит первому выиграть в игре Г' больше, чем v. Но оптимальная смешанная стратегия р° в игре Г гарантирует первому игроку выигрыш неменьший v. Поэтому v' = v, что и требовалось доказать.

Замечание. Для нахождения стратегии q° необходимо построить все вершины многогранника Y\. Это можно сделать, используя симплекс-метод для ЗЛП с двусторонними ограничениями на переменные [7, с. 75].

В частных случаях стратегия ç° строится явно. Пусть, например, в модели Гермейера /х* = /х ^ 1 Vï G I, а В ^ п[А/[м\ и п не делит В. Поскольку у® = В/п W € I, условие утверждения 1 выполнено. Положим m = В — п[В/п\. Определим вектор у^ = |_B/n\eJ + e'f1'"''™^. Пусть векторы у(г\ i = 2,..., п, получаются из у^ циклическим сдвигом компонент вправо на i — 1 разрядов. Тогда yQ = (yW + _ _ + y(n))/n, а стратегия д° с равными вероятностями 1/п реализует векторы у(г\ i € I.

Укажем алгоритм поиска решения в смешанных стратегиях произвольной игры Г'.

Шаг 0. Возьмем любое подмножество стратегий второго игрока Y С Y'.

Шаг 1. Найдем решение (p,q,v) матричной игры (F(x^\y))ieI уеу-

Шаг 2. Найдем минимум

W(p) = min F(p,y) = mmS2piF(x(t),y) = F(p,y).

yçy ! yçy !

tel

Если W(p) = v, то для тройки (p,q,v) условие (1) выполнено и (p,q,v) — искомое решение игры Г'. В противном случае W(p) < v и у ^ Y. Добавим стратегию у к множеству Y и перейдем к шагу 1.

Алгоритм сходится за конечное число шагов, поскольку каждый раз, возвращаясь к шагу 1, множество Y увеличивается, а величина v не возрастает. На шаге 2 для минимизации дискретной сепа-рабельной выпуклой функции следует воспользоваться критерием Гросса [7].

4. Поиск нижнего и верхнего значений игры. Положим

W(x) = min F(x, у), Y'(x) = Arg min F(x, y), M(y) = max F(x^, у), у G Y.

y£Y' y£Y' i£l

Помимо решения игры Г' в смешанных стратегиях представляет интерес нахождение нижнего и верхнего значений v' и v', а также максиминной и минимаксной стратегий х* G X' и у* Gl"', определяемых равенствами

V = max W{x) = W(x*), v = min M(y) = М(у*). х£Х' I)£Y'

Функция W в общем случае многоэкстремальна на множестве X. В модели Дрешера для применения метода глобальной максимизации будем использовать неравенство

W(x') - W(x") sC Y1 Xi(x'i ~ x'i)+ Va;'>x" e x- (4)

i£l

Докажем его. Имеем

W(x') - W{x") = F{x', y') - F{x", y") = F{x', y') - F{x', y") + F{x', y") - F{x", y") sC

< F{x',y") - F(x", y") = J^A idx'i - my")+ - (x" - my")+) < J^A ¿(ж- - x")+.

i£l i£l

Правильный симплекс S(A,z) в X с вершинами х-' = z + Ае:', j G I, задается целым числом

А € (О, А] и вектором г = ..., гп), удовлетворяющим следующим условиям: € V? € I. Из неравенства (4) следует, что функция

= А - А,

д{х) = min

iei

= mm jei

W(xj)

A i(xi

iei\{j}

x\)

является верхней мажорантой функции Ш на симплексе в (А, г), причем в вершинах симплекса значения функций Ш ж д совпадают. Максимизация мажоранты д на симплексе <5(Д, г) сводится к решению

злп.

Положим х(Д) = тах(|_Д/п_|, 1). Назовем стандартным покрытие симплекса 5(Д, г) симплексами Si = Б(А — + х(Д)ег), ! 6 Рассмотрим алгоритм глобальной оптимизации поиска величи-

ны V1. Пусть N — наибольшее текущее значение функции Ш, найденное по некоторому набору точек из X'. В начале алгоритма положим N = тах^ж^),..., Ш(х^)). Будем просматривать симплексы стандартного покрытия множества X, вычисляя в их вершинах значения функции Ш, изменяя N и отбрасывая те симплексы, для которых максимум мажоранты меньше N + е, где константа е > 0 задает точность поиска величины V1 • Среди оставшихся симплексов возьмем симплекс с максимальным значением мажоранты и произведем для него стандартное покрытие и т. д. Вычисления продолжаются до тех пор, пока все симплексы не будут отброшены. Если коэффициенты А¿, //¿, г € I, целые, то при е = 1 после завершения работы алгоритма получаем точное значение V' = N.

Укажем случаи, когда максимин V1 и максиминная стратегия х* известны. Определим на мно-

жестве X функции Т(х) = \_xi/ni\ при /¿1 ^ ... ^ /хп ^ 1

\хп/цп\ и U(x) = \xi/ni]

\xn/fj,n~\. Покажем, что

В\ = max U(ж) = п — 1

х£Х>

А

п

1

Мп

/ij = min Т(х) =

х£Х>

1

1

А

i=2

1)

Действительно, для любого х G X' выполнено неравенство U{x) < и(ги

! ГП- 1) А

11 — 1 г= 1

Гi =

il — 1 = Е

г= 1

" 1

Mг Мп

А ■

и-1 г= 1

где rj — остатки от деления Xi на /х*. Правая часть неравенства достигает максимума при r^ = 1, i = 1,...,п — 1. Отсюда находим В\. Аналогично находится В2.

Утверждение 2. Пусть в модели Гермейера /хп ^ 1. Если В ^ В i, то v' = 0. Если В ^ В2, то v' Л - //.„ И. аг(™' — максиминная стратегия в игре Г'.

Доказательство. Если В ^ В i, то для любой стратегии х G X' защита в состоянии уничтожить все средства нападения, поскольку В ^ U(x). Следовательно, v' = 0. Пусть В ^ В2. Для любой стратегии х G X выполнено неравенство В ^ Т(х). Поэтому найдется такая стратегия у G F', что У% < bïMJ, i G I- Отсюда

W(x) < F(x, у) = " /НУг) = № = W(x^).

iei

iei

Утверждение 2 доказано.

Следующий случай относится к симметричной игре модели Гермейера, в которой = /х, г € где /х ^ 2 — целое число. Для любой стратегии х С X, если В ^ Т(х), то Ш(х) ^ (А — /хБ)+, а при В ^ II(ж) получаем, что Т¥(ж) = 0. Рассмотрим множество = {ж е Х'| Т(ж) < В < 11(х)}. Для каждой стратегии х С Х[ представим ее компоненты в виде х^ = /х|_Жг//х] где г^ € [0,/х), г е Суммируя последние равенства, получим А = /хТ(ж) + г (ж), где г (ж) = Г1 + ... + гп. На множестве Х[ определим функцию д(ж) = В—Т(х). Заметим, что Т(ж)+п ^ II (х). Поэтому ц(х) € [1,п—1]. Прицелом д € [1, п — 1] на множестве (д) = {ж € Х[ \ д(ж) = д} функция г(ж) постоянна и равна г = А — р,(В — д). Поскольку г € [0, п(/х —1)], то отсюда следует, что д € [дг, 91], где д1 = тт(п —1, 1п(ц—1)/ц+В — А/ц\), а д2 = тах(1, |"_В — А//х]). Положим « = г — п|_г/п_|.

Лемма. Предположим, что в модели Гермейера симметричной игры Г' целый коэффициент /х ^ 2, а В € (В2, В1), гс>е константы В\ = п — 1 + — п + 1)//х] и В2 = [(А — (п — 1)(/х — 1))//х_| +

были определены выше. Тогда нижнее значение

г>'(/х) = тах( А — цВ, тах

(п

я)

яУ

Доказательство. Возьмем ж € Х[{ц) и у € У'(х). Тогда найдется такое множество 3 С | ,]\ = д, что

¿е/

Хг

■ И

Хг

Отсюда

Ш(х) = тт .Р(ж, у) = тт ^^

П.

уеУ

(5)

Максимум функции Ш(х) на Х[{ц) достигается на стратегии ж9, для которой вектор остатков от деления на /х равен (гь ..., гп) = [г/п\е1 + е^1''"'^. Чтобы построить стратегию ж9, выберем такие числа Сг € Ъ.! £ I, что с\ + ... + сп = {А — г)//х. Определим ж® = Сг/х + Гг, г € I. При этом, согласно формуле (5), Т¥(ж9) = |_»Уп_|(п — я) + (в — д)+.

Из леммы получаем

Утверждение 3. Если в модели Гермейера наименьший коэффициент /хп целый и г>'(/хп) = = (А — рьпВ)+, то V1 = у'(цп), а ж^ — максиминная стратегия.

Доказательство. Так как в симметричной игре с /х = /хп нижнее значение г>'(/хп) = этот результат достижим и в исходной игре Г'. Он не улучшаем, поскольку эффективность защиты в игре Г' не меньшая, чем в симметричной игре.

Максиминная стратегия ж* также может быть найдена методом динамического программирования [8], позволяющим получать верхние и нижние оценки для г?'.

При поиске минимаксной стратегии у* можно проверять следующее условие:

если у у > 0, то /з(А,уу - 1) > таи/<(А,у<) = /г(Дуг)-

(6)

Если для некоторого вектора у1 условие (6) не выполнено, то следует перебросить единицу с ^'-го пункта на 1-й, затем для полученного вектора у2 вновь проверить условие (6) и т. д. вплоть до его выполнения на некотором шаге к для стратегии ук = у*.

Пример 1. Пусть п = 3, А = 75, В = 15, /XI = /хз = 6, /хг = 5, А1 = 3, Аг = Аз = 2. Тогда (р',д',и') — решение в смешанных стратегиях игры Г', где значение игры у' = 4500/43 и 104.65, р' = = (10/43,18/43,15/43) — распределение на множестве {ж^^ж^ж^}, а д' = (241/344,21/86,19/344) — распределение на множестве {(5,6,5), (11,0,4), (9,6,0)}. Нижнее и верхнее значения игры Г' равны у' = 7 и у' = 110, максиминная и минимаксная чистые стратегии ж* = (1,72,2) и у* = (7,4,4).

5. Игра с бюджетными ограничениями. Пусть в игре Г множества стратегий X и У имеют

вид

X =

<Х ^ад < А, Хг 0 V? € Л, У=\у 5$ Б, ^ ^ 0 V? € Л,

V ; с г ^ V ; с г ^

г£1 ' 4 г£1

где А и В — капиталы первого и второго игрока, используемые для приобретения средств нападения и защиты на г-м пункте по ценам щ и Ь^. Без потери общности будем считать числа А, В, щ, ! £ целыми. Действительно, если они рациональные, то неравенства в определении множеств X и У домножим на общие знаменатели чисел а,. / ^ /. Л и !>,. } е- /. Н соответственно.

Как и выше, игра Г' получается из игры Г в предположении, что компоненты стратегий игроков являются целыми числами. Чтобы применить алгоритм п. 3 поиска решения в смешанных стратегиях игры Г', необходимо существенно сократить множество стратегий X' первого игрока. Будем говорить, что стратегия ж' € сотX' доминирует стратегию ж" € X', если х\ ^ ж" V? € I и ж' ф ж". Пусть Хтах — множество всех недоминируемых стратегий из Х\ а Хех4 — множество крайних точек выпуклой оболочки сопуХтах. Из монотонности и выпуклости функций /г по переменным Xi следует, что первый игрок может ограничиться стратегиями из множества Хех1\

Займемся построением множества Хех1\ Сделаем несколько упрощающих предположений. Пусть й = НОД(а1,..., ап). Если й не делит А, то А можно уменьшить до ближайшего целого А', кратного <1,

с сохранением множества стратегий X'. После этого обе части неравенства а\Х\ +... + апхп ^ А' можно сократить на (1. Поэтому без потери общности будем считать, что 4 = 1. Кроме того, предположим, что каждый коэффициент щ ф 1 и не делит другой коэффициент а,:1. В самом деле, пусть, например, аг = ка2, к € Ж. Обозначим Х?** = Хтах П Х[, где Х[ = {х б Х'\ хх = 0}, а — множество крайних точек выпуклой оболочки сопуХ™ах. Тогда Хех1; = Х®х1; и {(хЦк, 0, ж|,..., ж* )| (х2, ■ ■ ■, ж*) € и к делит х2}. Итак, множество Хех4 строится по множеству Х®х1\ Дальше будем считать, что 1 < а\ < ... < ап.

Теперь займемся вопросом разрешимости уравнения

в целых неотрицательных числах (или более коротко: в В [9] показано, что при А > а\а2 — а,1 — а2 уравнение а\Хг + а2х2 = А имеет решение в Отсюда вытекает

Утверждение 4. Если при некоторых г ф ] из I выполнено неравенство А > а^а,:1 — щ — а,:1, то уравнение (7) разрешимо в

Чтобы установить критерий разрешимости в в общем случае, рассмотрим задачу

Эта задача использовалась в [10] для построения модифицированного отсечения Гомори. Там же предложен и эффективный алгоритм ее решения. Заметим, что минимум в задаче (8) равен {А/а,п} + m*, где m* G Z+. Из неравенств 1 < а\ < ... < ап следует, что {щ/ап} = a,i/an, i G 1\{п}. Отсюда получаем

Утверждение 5. Для того чтобы уравнение (7) было разрешимо в Z+, необходимо и достаточно, чтобы т*п ^ [А/ап\. Если {х\,...,ж*— оптимальное решение задачи (8), то (жI,... ,ж*_1; \_А/а,п\ — m*) — решение уравнения (7) с максимальной п-й компонентой.

Обозначим через Ха симплекс, состоящий из всех неотрицательных решений уравнения (7), а через Х'А — соответствующее множество целых решений. Рассмотрим алгоритм построения множества X|xt крайних точек выпуклой оболочки сошгХ'А.

Пусть А* — наибольшее из чисел a^aj — а^ — ai ф j. При А > А* на всех ребрах симплекса Ха существуют точки из множества Х'А. Для каждого ребра [(А/а^ег, (А/а^е^) симплекса Ха строим на нем крайние точки xi:' и х^ из ХеАь, имеющие соответственно максимальные г-ю и j-ю компоненты. При этом компонента xj равна наименьшему числу ж j G Z+, удовлетворяющему сравнению {aj/ai}xj = {А/ai}, а хг/ = (А — Аналогично определяется точка х:'г. Для каждого i G I

пусть hi — наименьшая из величин х\\ j G Д{г}, a Ai = .А — «¿(/ц + 1). Просматриваем все симплексы XAt = {ж G Ха\ Xi ^ hi + 1}, близкие к вершинам (А/а^ег симплекса Ха- Если Л, > Л". то по аналогии с предыдущим построением определяем на ребрах симплекса точки из X|xt С X|xt и симплексы, близкие к вершинам симплекса Ха^ • В противном случае перебором строим все множество X|xt. Процесс продолжается до полного просмотра всех возникающих симплексов и завершается построением множества Xext.

Таким способом находятся множества ... ,XeA*ai+l. Отметим, что симплекс Ха-Л1 рассма-

тривать не нужно, поскольку каждая точка ж G Xa~(1i доминируется точкой (х,\ + 1, х2,..., хп) G Ха-В каждом из множеств XeA^i отбрасываются точки, доминируемые выпуклыми комбинациями точек из множеств X|xt,... ,XeA*i+1. Оставшиеся недоминируемые точки образуют множество Xext.

Минимизация на шаге 2 алгоритма из п. 3 сводится к задаче целочисленного линейного программирования, для которой можно использовать метод ветвей и границ.

Пример 2. Пусть п = 3, Ai = 5, \2 = Аз = 4, /хi = 2, = 5, /хз = 3,

(7)

У^ (ai/an)xi min, ¿еД{п}

У^ {ailan}xi - {А/ап} = 0, Xi Js 0, Xi G Z, i G I\{n}. iei\{n}

(8)

X = {ж G Ж31 2ж1 + Зж2 + 5ж3 < 179}, Y = {y G Ж3 | Vl + 2y2 + 3y3 < 55}.

Здесь

Xext = {(1,59,0), (88,1,0), (2,0,35), (87,0,1), (0,3,34), (0,58,1), (89,0,0), (0,1,35)}

(p',q',v') — решение игры Г', где р' = (14/47,19/47,14/47) — распределение на множестве {(1,59,0), (2,0,35), (89,0,0)}, q' = (148/470,314/1175,977/2350) — распределение на множестве {(26,6,24), (33, И, 0), (43,6,0)}, a v' = 4497/47.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Blaekett D. W. Some Blotto games // Naval Research Logistic Quarterly. 1954. 1. N 1. P. 55-60.

2. Gross O., Wagner R. A Continuous Colonel Blotto Game. U.S. Air Force Project RAND. Research Me-morandum-408. 1950.

3. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр. М.: МАКС Пресс, 2008.

4. О тарышев В. Ф. Смешанные стратегии в одном обобщении задачи Гросса // ЖВМиМФ. 1973. 13. № 1. С. 59-70.

5. Beale Е. М. L., Heselden G. P. М. An approximate method of solving Blotto games // Naval Research Logistic Quarterly. 1962. 9. N 2. P. 65-79.

6. Дрешер M. Стратегические игры. Теория и приложения. М.: Советское радио, 1964.

7. Васин А. А., Краснощекое П. С., Морозов В. В. Исследование операций. М.: Издательский центр "Академия", 2008.

8. Randolph Р.Н., Swinson G. Е. The discrete max-min problem //Naval Research Logistic Quarterly. 1969. 16. N 3. P. 309-314.

9. Green Т. M. Linear diophantine equation with non-negative parameters and solutions // The Fibonacci Quarterly. 1968. 6. N 2. P. 177-184.

10. Шалбузов К. Д., Морозов В. В. Об одной модификации метода Гомори //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2012. № 1. С. 3-9.

Поступила в редакцию 05.11.13

ON SOLUTION OF BLOTTO MATRIX GAME

Morozov V. V., Shalbuzov K.J.

The article considers a zero-sum discrete resource allocation game. An algorithm for finding a solution in mixed strategies is developed. It also applied to games with budget constraints. In special cases explicit formulas for solutions are obtained.

Keywords: recourse allocation game, Blotto matrix game, matrix game, Gross model, modified Gomory cut-off, linear diophantine equation.