Мощность подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 10. 2012. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 621.039.519.2

А. Г. Головкина, И. В. Кудинович, Д. А. Овсянников

МОЩНОСТЬ ПОДКРИТИЧЕСКОГО ОДНОРОДНОГО РЕАКТОРА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭНЕРГИИ НЕЙТРОНОВ ВНЕШНЕГО ИСТОЧНИКА

Введение. Реактор, управляемый ускорителем, может рассматриваться в качестве перспективного источника ядерной энергии, обладающего повышенной безопасностью. В подкритическом реакторе (коэффициент размножения активной зоны кэф < 1) исключена возможность возникновения неконтролируемой цепной реакции деления, при этом высокий уровень мощности обеспечивается за счет интенсивного дополнительного (внешнего) источника нейтронов, генерируемых при облучении мишени из тяжелых элементов высокоэнергетическим пучком заряженных частиц [1]. Значение кэф выбирается из соображений ядерной безопасности, а интенсивность внешнего источника нейтронов, зависящая от энергии и тока пучка заряженных частиц, ограничивается техническими возможностями ускорителя. Одной из задач оптимизации характеристик под-критического реактора, управляемого ускорителем, является получение максимальной мощности реактора при заданных коэффициенте размножения активной зоны и интенсивности внешнего источника нейтронов. Цель данной работы - определение мощности подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.

В общем случае стационарное пространственно-энергетическое распределение потока нейтронов Ф(г, Е) в подкритической активной зоне с внешним источником нейтронов описывается линейным неоднородным уравнением [2]

Головкина Анна Геннадьевна — студентка магистратуры факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Д. А. Овсянников. Количество опубликованных работ:

4. Научные направления: математическое моделирование, численные методы, методы оптимизации. E-mail: [email protected].

Кудинович Игорь Владиславович — кандидат технических наук, начальник сектора Центрального научно-исследовательского института им. акад. А. Н. Крылова. Количество опубликованных работ: 52. Научные направления: математическое моделирование, физика ядерных реакторов. E-mail: [email protected].

Овсянников Дмитрий Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 210. Научные направления: математическое моделирование, методы оптимизации, физика и техника ускорителей, оптимизация динамики пучков заряженных частиц. E-mail: [email protected].

© А. Г. Головкина, И. В. Кудинович, Д. А. Овсянников, 2012

M Ф(г, E) = -MfФ(г, E) - q(r, E), r е V, ET < E < Ef,

(1)

с граничным условием

Ф(^,E)=0, rs е S,

где М - линейный оператор переноса, замедления и поглощения нейтронов; М^ - линейный оператор, определяющий источник нейтронов деления; д(т, Е) - интенсивность внешнего источника нейтронов; V - область размножающей системы; 5 - экстраполированная граница системы; Е - энергия нейтронов; Ет - энергия тепловых нейтронов, находящихся в тепловом равновесии с веществом активной зоны; Ef - энергия, с которой рождаются нейтроны при делении ядер топлива.

Коэффициент размножения активной зоны не зависит от интенсивности внешнего источника, и для определения кэф используется уравнение квазикритического реактора

МФо(г,Д) = -^М,Фо(г,Д),

Фо(гз,Е) = 0, тз е Б. ()

Физически квазикритическая формулировка задачи для подкритического реактора без внешнего источника нейтронов означает фиктивное изменение источника нейтронов деления в 1 /кэф раз, что обеспечивает поддержание нейтронного потока в стационарном состоянии [3].

Уравнение (2) можно представить следующим образом:

1 кэф

М Ф0(г, Е) = -М{Ф0(г, Е) - эфМ£Ф0(г, Е). (3)

кэф

В частном случае, если пространственно-энергетическое распределение внешнего источника имеет вид

1к

9реп(г,Д) = —-^МгФ0(г,Д),

кэф

где Ф0(т, Е) - решения однородного уравнения (3), определяемое с точностью до постоянного множителя, то источник называется «реперным» [2].

Определим полную интенсивность произвольного внешнего источника нейтронов по формуле

Е{

= / /Ч(т,Е)ЕУ,

П

У Ет

а интенсивность генерации нейтронов деления в подкритической системе - так:

Е1

= J ! М(-Ф(т, Е)йЕс№.

V Ет

Тогда мощность энерговыделения в реакторе равна

V

где Pf - энергия, выделяемая на одно деление ядра топлива; V - среднее количество нейтронов, образующихся в одном акте деления ядра.

В случае реперного источника Qf и Ql связаны соотношением

ОЛ = кэФ (4)

<1/ реп 1 - кэф

В общем случае мощность подкритического реактора зависит не только от интегральной интенсивности, но и от пространственно-энергетического распределения внешнего источника нейтронов. В частности, локализация внешнего источника нейтронов в центре активной зоны позволяет увеличить мощность реактора, благодаря уменьшению утечки нейтронов внешнего источника из активной зоны, также на ценность нейтронов источника влияет их первоначальная энергия. В данной работе аналитически решена задача определения мощности однородного подкритического реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.

Определение размеров подкритического реактора при заданном кэф. Конкретный вид оператора М в (1) и (3) зависит от используемой физической модели переноса нейтронов в активной зоне. Рассмотрим диффузионно-возрастную модель [3], предполагая, что все нейтроны деления рождаются с энергией Ef. В этом случае система уравнений, описывающая однородный квазикритический реактор с постоянным материальным составом активной зоны, имеет вид

Д,- (г г) ЭЛг,т) з{т,т) _ ВтДФт (г) - £атФт (г) + з (г, тт) = 0, (6)

(7)

\ 0

3 (гв,т)=0, (8)

Фт (гв) = 0, гв € (9)

где з (г, т) - плотность замедления нейтронов (скорость перехода нейтронов из области

Е}

Е

энергии больше Е в область энергий меньше Е в единице объема); т(Е) = /

Е

возраст нейтронов; тт = т(Ет); С - среднелогарифмическая потеря энергии нейтрона при столкновении с ядрами среды; - макроскопическое сечение рассеяния; В =

¡щ--коэффициент диффузии; - транспортное макроскопическое сечение; Ь2 =

- квадрат длины диффузии; £а - макроскопическое сечение поглощения; £/т ~ макроскопическое сечение деления ядер топлива тепловыми нейтронами; Фт (г) - плотность потока тепловых нейтронов; ит - среднее количество нейтронов, образующихся в одном акте деления ядра под воздействием нейтрона с энергией Ет. Из физического смысла следует, что

3 (г,т) > (10)

Фт (г) > 0. (10)

Размеры активной зоны при заданном значении кэф определяются из системы уравнений (5), (6) с начальным (7), граничными (8), (9) и дополнительными условиями (10). Представив з(г,т) в виде

3 (г,т)= 3о (г,т) • у (т), (11)

¿т

у (т) = ехр I - I

V (т')

уравнение (5) можно преобразовать:

Шг,г)-^1 = 0 (12)

с начальными и граничными условиями

3о (г, 0)= э (г, 0), (13)

30 (гз,т)=0. (14)

Решение уравнения (12) с однородными граничными условиями (14) имеет вид [4]

3о (г,т) = £ Ъп • рп(т) • фп (г), (15)

п=1

Рп(т) =ехр (-ВПт).

Здесь фп (г) - ортонормированные собственные функции оператора Лапласа, соответ-

п

ствующие волновому уравнению:

Дфп (г) = -ВПфп (г), (16)

фп (гз)=0, (16)

с собственными значениями В^п (т8):

0 <в2 < в| < ... < вп < ....

Любая дважды непрерывно дифференцируемая функция I (г), удовлетворяющая граничным условиям I (гз) = 0, может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по системе ортонормированных собственных функций оператора Лапласа [4]:

I (г) = апФп (г),

п=1

ап = УI (г) • фп (г) ¿V.

V

Соответственно коэффициенты Ьп в выражении (15) определяются из начальных условий (13)

Ьп = J 3 (г, 0) • фп (г) ¿т,

п

V

а функцию Фт (г), удовлетворяющую однородным граничным условиям (9), можно разложить в ряд:

Фт (г) = £ Ьф • фп (г). (17)

п • п

п=1

Из (6) с учетом (15)-(17) и свойства ортонормированности собственных функций фп (г) можно получить первое уравнение, связывающее коэффициенты Ьп и Ьф:

Вт вп Ьф + £ат Ьф = ЬпРп (тт) Р (тт). (18)

Аналогично из (7) выводим второе уравнение, связывающее указанные коэффициенты:

(19)

Из (18) и (19) следует: либо Ьп = Ьф =0, либо БП удовлетворяет трансцендентному уравнению

кэф =

тпрг + ] Жт)Лт ■

2

аТ

(20)

Из рис. 1 видно, что уравнение (20) однозначно определяет БПП и соответственно

уравнений (18) и (19) можно найти только одну пару

значений

Ьп = 0, Ьф = 0.

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

Г' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |_ ± Л J

А- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1_ 1 Л J

-^- \ \ \ , 1 1 1 1 ' Реактор на тепловых нейт Реактор на быстрых не —]-______ 1 , , , , 1 ,; ; ;-1-Г ;-;-;-1 ¿эф<1 [ронах нитронах 1 ......

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

В„

Рис. 1. Зависимость правой части уравнения (20) от Вп при различном энергетическом спектре нейтронов в активной зоне

Соответственно 3 (г,т) и ФТ (г) обуслoвливаются одной собственной функцией фп. Единственной собственной функцией, удовлетворяющей физическому условию (10), при любом г Е V является фг [4] и, следовательно,

3 (г, г) = р(т)Ьх ехр (-Б2г) • фг (г), Фт (г) = Ьf • фг (г), где Б2 есть решение трансцендентного уравнения (20)

кэф —

2аТ

1 + Ь2Т Б 2

-т)+ [

Нт'Щт')

Ь2 (Т' )2а (т')

^(т'Мт'^т'.

(21)

В теории реакторов собственное значение В2 называется «геометрическим параметром» [3], поскольку оно однозначно определяет граничные размеры активной зоны г^, при которых уравнение Афх (г) = —В2фх(г) с граничным условием ф^г^) = 0 имеет решение. Таким образом, получив Вх из уравнения (21) при заданном кэф, можно найти размеры квазикритического реактора (го). Как известно [4], для бесконечной пластины толщиной го В\ = для бесконечного цилиндра радиуса го - В\ = где /XI = 2.4048 (первый нуль функции Бесселя 7о(г)), для сферы радиуса го - В\ =

Зависимость мощности подкритического реактора от пространственного распределения и энергии внешнего источника нейтронов. В каждый момент времени в реакторе присутствуют нейтроны различных поколений: 1-е поколение -нейтроны источника, 2-е поколение - нейтроны, родившиеся в результате делений ядер под воздействием нейтронов 1-го поколения, к-е поколение - нейтроны, родившиеся в результате делений ядер под воздействием нейтронов к — 1-го поколения. Если реактор находится в стационарном состоянии, интенсивность рождения нейтронов каждого поколения Qk постоянна во времени.

Полную интенсивность генерации нейтронов в реакторе можно представить в виде

Q = ^ Qk, (22)

к=1

или

Q = Qf + Ql,

Qf = Ё Qk . (23)

к=2

В подкритическом реакторе интенсивность рождения нейтронов с увеличением номера поколения убывает:

Як+1 1 Qk

Например, в случае реперного источника ^д^1 = кэф < 1.

Соответственно Q, определяемая бесконечным рядом с положительными членами (22), сходится к конечному значению.

Рассмотрим однородный подкритический реактор с внешним монохроматическим источником нейтронов энергии Ео, интенсивность которого имеет пространственное распределение до (г). В этом случае полная интенсивность источника

Ql = ^ до(г)^.

В диффузионно-возрастном приближении система уравнений, описывающая перенос нейтронов к-го поколения в активной зоне, имеет вид при к =1

Т1 = т — то,то = т (Ео),

л -1 / N др1 (г,п) (г,п)

А' (г'Т1) д^ = (24)

Вт АФТ (г) — £„т ФТ (г) +31 (Чпт) = 0, (25)

31 (г, 0) = до (г), 31 (г, тг) = 0 при тг < 0,

31 (гя, тг) = 0,

ФТ (гя) = 0;

(26) (27)

при к > 1

Вт АФТ (г) - 2аТ ФТ (г) + 3к (г, тт) = 0, (29)

тт

/ (г,0) = (г) + I (30)

о

3 к (гя,т)=0, (31)

ФТ (гя) = 0, гя Е (32)

Учитывая, что все нейтроны деления рождаются с возрастом т = 0, соответственно при к > 1

Як = 13к (г, 0)сЬ. (33)

у

Разложим до (г), 3к (г,т) и ФТ (г) по собственным функциям фп (16):

до(г) = 53 Сп Фп,

п=1 , ч

(34)

Сп = до (г) • Фп (г) ¿г,

п

У

ж

Зк(г,т) = ^2 Ьknфn,

п=1 ж

ФТМ = £ Ьф(к)фп.

п=1

Выполнив преобразования, аналогичные (11)—(14), из (29) с учетом (15), (17) и свойства

ортонормированности собственных функций можно получить связь между коэффи-

Ак) ,ф(к) „ циентами разложения Ьп , Ьп и Сп:

при к =1

Ь^ = Сп, (35) ,Ф(1) _ сп ехр (-ВЦтт - т0)) ср {тт)

°п — 752 п I V ' V -1

Бп Вт + 2аТ

при к > 1

Ъ™ = + ъГ1) (37)

о

(Ъат + Вт В2)

где

ехр(-В^-го)), Л=1, , I еХР( т{(

еХР( "/ {~Ь*(т>)<1т>) )> М1-

Значения коэффициентов ъПк) и могут быть найдены из рекуррентных соотно-

шений (35)-(38) (Сп определяется из (34)), что позволяет установить функции 3к(г,т) и ФТ(г).

Интенсивность генерации нейтронов деления рассчитывается в соответствии с (23), (33) по формуле

то / V

В случае, если внешний источник нейтронов имеет пространственно-энергетическое распределение вида д(г,т) = /(т) • до (г),

ТТ

Qf = J Qf (то)/(то)3,то.

о

В качестве критерия, характеризующего эффективность усиления внешнего источника нейтронов с произвольным пространственно-энергетическим распределением в подкритическом реакторе, можно использовать отношение интенсивностей генерации нейтронов деления для заданного и реперного источников одинаковой интегральной интенсивности:

кугжл — () / (I

^QW \Q1^ реп

С учетом (4) выражение для кусил имеет вид

гь•

усил кэф V <51

Усиление мощности в однородных активных зонах различной геометрии.

Рассмотрим однородные активные зоны различной геометрии (плоскую, цилиндрическую, сферическую) с внешним источником единичной интегральной интенсивности, равномерно распределенным в области с размером ао/2 < го (рис. 2), с площадью Бо (таблица).

Рис. 2. Пространственное распределение интенсивности внешнего источника нейтронов

Характеристики однородных активных зон различной геометрии

Параметр

Плоская активная зона

{-го < г < го)

Цилиндрическая активная зона

(О < г < г о)

(ВПГ)

л/тгго^^п)

¿4

Сферическая активная зона

(О < г < гр)

Фп (Г ) Вп

Сп Г0

So

90

7г(2П— 1)

2г0

Впу/го

7Г

а 1

а

Г j

^п О«- )

/В1

1

Г\/27ГГ0

81п(Вп Г )

ТУП

ГО

^ ^ 2

/В1

Степень локализации источника в центре активной зоны характеризуется относительным размером а = ао/(2го).

Явные выражения фп, Бп, Сп, го, 5о, до для активных зон различной геометрии приведены в таблице.

Вероятности различных видов взаимодействия ядер с нейтронами (сечения поглощения, деления, рассеяния) и их отношения зависят от энергии нейтрона. Например, на рис. 3 представлена зависимость отношения для и235 в зависимости от летаргии

^а

и = 1п поглощенного нейтрона. Таким образом, энергетический спектр нейтро-

нов в реакторе определяется материальным составом активной зоны (соотношением концентраций ядер топлива и замедлителя).

В данной работе рассматривались активные зоны с различным материальным составом и разным энергетическим спектром нейтронов (рис. 4): на быстрых нейтронах (с топливом и235, без замедлителя), на промежуточных нейтронах (отношение концен-

траций ядер замедлителя (С12)

и топлива

(И235) рс/р5 = 5000) и на

тепловых нейтро-

нах (рс/р5 = 40 000).

Локализация внешнего источника в центре активной зоны при Ео — Еу позволяет увеличить мощность реактора по сравнению со случаем равномерного распределения источника по всей активной зоне в 2.8, 3.6 и 4.5 раза в случае плоской, цилиндрической и сферической активных зон соответственно (рис. 5).

Вп а

1 а

сое

Вп 2

2

2

3

Рис. 3. Зависимость ^ для U235 от энергии нейтронов Нейтроны: I - быстрые, II - промежуточные, III - тепловые (то же для рис. 4).

Рис. 4- Нормированная плотность потока нейтронов Ф0 I J Фо ¿Е

\Ет

в активных зонах с разным материальным составом 1 - РС/Р5 = 0; 2 - рс/Р5 = 5000; 3 - рс/ Р5 = 40 000.

E

f

а

б

Рис. 5. Зависимость коэффициента усиления от степени локализации внешнего источника нейтронов с энергией Е0 = Ef для активных зон различных геометрий и материального состава при кэф = 0.98 а - Рс/Р5 = 0, б - рс/Р5 = 5000, в - рс/Р5 = 40 000.

Активные зоны: 1 - сферическая, 2 - цилиндрическая, 3 - плоская.

Усиление мощности в значительной степени зависит от энергии нейтронов внешнего источника и материального состава активной зоны. Из рис. 6 видно, что в случае внешнего источника тепловых нейтронов в цилиндрической активной зоне с рс/ръ = 40 000 значение кусил в 4 раза больше, чем для случая внешнего источника промежуточных нейтронов в активной зоне без замедлителя.

Рис. 6. Зависимость коэффициента усиления от летаргии нейтронов внешнего источника для цилиндрической активной зоны различного материального состава Обозначения см. рис. 4.

Заключение. В работе аналитически решена задача определения мощности под-критического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника. Приведены результаты расчетов мощности для активных зон различных геометрии и материального состава, которые показали, что локализация внешнего источника быстрых нейтронов в центре активной зоны позволяет увеличить мощность реактора по сравнению со случаем равномерного распределения источника по всей активной зоне в 4.5 раза.

Литература

1. Герасимов Л. Н., Кудинович И. В., Струве В. П., Свистунов Ю. А. Малогабаритная энергетическая электроядерная установка: возможные технические решения // Изв. РАН. Энергетика. 2005. № 2. С. 3-16.

2. Селиверстов В. В. Умножение нейтронов внешнего источника в каскадных подкритических системах с односторонней нейтронной связью // Атомная энергия. 1996. Т. 81, вып. 5. С. 378-390.

3. Фейнберг С. М, Шихов С. Б., Троянский В. Б. Теория ядерных реакторов: в 2 т.: учебник для инж.-физ. и энерг. спец. вузов. М.: Атомиздат, 1978. Т. 1. 397 с.

4. Полянин А. Д., Вязьмин А. В., Журов А. И., Казенин Д. А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998. 368 с.

Статья принята к печати 28 февраля 2012 г.