Двухточечная модель кинетики каскадной активной зоны подкритического реактора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.039.519.2 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2

А. Г. Головкина, И. В. Кудинович

ДВУХТОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ КИНЕТИКИ КАСКАДНОЙ АКТИВНОЙ ЗОНЫ ПОДКРИТИЧЕСКОГО РЕАКТОРА*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Предложена математическая модель двухточечной кинетики подкритического реактора с внешним источником нейтронов, которая в отличие от известной точечной модели позволяет учитывать нестационарное пространственное перераспределение нейтронной мощности, особенно характерное для так называемых каскадных активных зон. Каскадные активные зоны предлагается использовать в электроядерных установках с целью повышения мощности энерговыделения системы. Библиогр. 10 назв. Ил. 1.

Ключевые слова: каскадная активная зона, кинетика реактора, двухточечная модель кинетики, электроядерные установки.

A. G. Golovkina, I. V. Kudinovich

TWO-POINT KINETIC MODEL FOR COUPLED SUBCRITICAL REACTOR CORE

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

A two-point kinetics model for subcritical reactor with external neutron source is proposed. In contrast to well-known point kinetics model it makes possible to take into account non-stationary spatial neutronic power redistribution especially typical of so-called coupled reactor cores. Coupled reactor cores are suggested to use in accelerator driven systems in order to increase system power rate. The process of model equations derivation is based on the classical algorithm proposed by L. Usachev for point kinetics and the "method of zones". The equations are obtained also taking into account delayed neutrons. Bibliogr. 10. Il. 1.

Keywords: coupled reactor core, reactor kinetics, two-point kinetic model, accelerator driven systems.

Введение. Гибридные размножающие системы, объединяющие внешний мощный источник нейтронов с подкритическим реактором, являются новым классом ядерных установок. В качестве внешнего источника могут рассматриваться нейтроны, полученные в результате электроядерных реакций при взаимодействии пучка заряженных частиц из ускорителя-драйвера с мишенью из тяжелых элементов. Интерес к установкам такого типа (ЭЛЯУ) обусловлен перспективой применения их для трансмутации долгоживущих радиоактивных отходов, а также созданием ядерных энергетических установок, в которых исключена возможность развития неконтролируемой цепной реакции деления.

Стоимость и массогабаритные показатели ЭЛЯУ в значительной степени определяются характеристиками ускорителя-драйвера. Например, для трансмутации дол-гоживущих трансурановых элементов требуются пучки протонов с энергией 1-2 ГэВ

Головкина Анна Геннадьевна, — ассистент; e-mail: a.golovkina@spbu.ru

Кудинович Игорь Владиславович — кандидат технических наук, доцент; e-mail: igor_ kudinovich@mail.ru

Golovkina Anna Gennad'evna — assistant lecturer; е-mail: a.golovkina@spbu.ru

Kudinovich Igor Vladislavovich — candidate of technical science, associate professor; е-mail: igor_kudinovich@mail.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.673.2013).

и мощностью 10-75 МВт [1, 2]. Пучки заряженных частиц с такими параметрами можно получить только на уникальных больших дорогостоящих ускорителях. В случае использования ускорителя с пониженными параметрами пучка заряженных частиц требуется значительное усиление источника нейтронов в реакторе. Одним из способов усиления является применение каскадной активной зоны [3]. В данной работе рассматривается модель кинетики реактора, позволяющая учесть особенности каскадной активной зоны.

Каскадные активные зоны. Каскадная активная зона (рисунок) состоит из двух секций: размножающей мишени и подкритического бустера с разорванной нейтронной связью между бустером и мишенью. При этом размножающая мишень -первый каскад умножения нейтронов источника, а бустер - второй.

Схема каскадной активной зоны

1 — внутренняя секция; 2 — «вентиль»; 3 — внешняя секция; 4 — пучок заряженных частиц.

Эффективный коэффициент размножения в каскадной активной зоне определяется по формуле [4]

к = т} (к! + А-2 + \/(А-1 - А-2)2 + 4А1А2А12А21^ ,

где

kжiPfiai, kij

(1)

Pfjaj

секции : 1 - размножающая мишень, 2 - бустер; к^ - коэффициент размножения в бесконечной среде с материальным составом, соответствующим г-й секции; Р/а -вероятность нейтронов, рожденных в секции г, поглотиться в секции

Максимальное усиление внешнего источника нейтронов в секционированной активной зоне имеет место в идеализированной системе с полностью разорванной нейтронной связью между бустером и мишенью (к21 = 0). В этом случае для размножающей мишени с реперным источником нейтронов [5] при к = к\ = к2 = 0.98 и кто1 = кто2 = 2.1 можно получить кусил = 27.

Разрыв нейтронной связи между бустером и мишенью можно осуществить несколькими способами.

1. Каскадная быстро-тепловая активная .зона: внутренняя секция на быстрых нейтронах, а внешняя секция - на тепловых [6]. Нейтронная связь между тепловой и быстрой секциями подавляется за счет размещения на границе между зонами «нейтронного вентиля» - слоя вещества, поглощающего тепловые нейтроны (рисунок). В реальных системах полностью разорвать обратную нейтронную связь не удается из-за наличия во внешней секции нейтронов с относительно высокими энергиями, которые не поглощаются «нейтронным вентилем». Следует также отметить, что в процессе работы ЭЛЯУ в тепловой секции кж значительно изменяется вследствие выгорания топлива и накопления продуктов деления, что приводит к существенному снижению кэф системы.

2. Каскадная активная зона с пороговой размножающей мишенью: во внутренней секции применяется пороговый делящийся материал, например 237 Мр, что позволяет более эффективно разорвать нейтронную связь [7]. Использование трансурановых пороговых делящихся материалов возможно только в трансмутационных установках. В энергетических ЭЛЯУ применение порогового делящегося материала 238и нецелесообразно, так как в этом случае размножающая мишень имеет очень низкое значение кто1.

3. Быстро-быстрая каскадная активная зона: внутренняя и внешняя секции с жестким спектром нейтронов разделены цилиндрическим зазором (его условно можно назвать «геометрическим вентилем»). Нейтронная связь между внешней и внутренней секциями подавляется за счет того, что отношение полных потоков нейтронов между ними пропорционально Д1/Д2 (для сферического случая Д2)

[4].

Постановка задачи. Поле нейтронов в активной зоне реактора с внешним источником нейтронов в общем случае описывается нестационарным уравнением переноса

1дЕ(г,Е, М) = ^ п,г) + МяЕ(г,Е, п,4) + МаИг, Е, п,£) +

V дЬ

+ М{Е(г, Е, п, Ь) + д(г, Е, п, Ь). (2)

Здесь Е(г, Е, п, Ь) - поток нейтронов, энергии которых лежат в единичном интервале около энергии Е и скорости V которых направлены вдоль вектора п(|п| = 1) внутри единичного телесного угла, в точке г в момент времени Ь; пЧЕ(г,Е,п,Ь) - разность числа нейтронов (Е, п), входящих в рассматриваемый единичный объем за одну секунду; М£ - линейный оператор, определяющий источник нейтронов деления, М8 -линейный оператор упругого и неупругого рассеяния, Ма - линейный оператор поглощения; ц(г, Е, п, Ь) - число нейтронов, попадающих в пучок (Е, п) в точке г в момент времени Ь из внешнего, в данном случае электроядерного, источника нейтронов.

Описывающая поток нейтронов функция Е(г, Е, п,Ь) непрерывна, положительна и ограничена во всем объеме реактора, а также удовлетворяет граничному и начальному условиям

Е(гГр, Е, Пвнутр, Ь) = 0, Е(г, Е, п, 0) = Ео(г, Е, п).

Решение нестационарного уравнения переноса (2) в общем случае затруднительно, потому для анализа динамики реактора используются приближенные математические модели. Наиболее известным приближением является модель точечной кинетики [8], в основе которой лежит предположение о возможности разделения переменных в функции Е(г,Е,п,Ь). При этом пространственное распределение д(г,Е,п,Ь)

не связано с распределением Л(г, Е, п,Ь):

Л(г,Е,п,Ь) « р(г,Е,п)^(1). (3)

Однако предположение (3), а следовательно, и модель точечной кинетики не учитывают перераспределение нейтронной плотности по реактору. Динамика каскадной активной зоны, в свою очередь, может характеризоваться нестационарным перераспределением нейтронной мощности между секциями. Особенно сильно оно будет выражено в случае быстро-тепловой каскадной схемы в силу различных времен жизни нейтронов в быстрой (I « 10~7 с) и тепловой (I « 10~4 с) секциях.

В настоящей работе предложена двухточечная модель кинетики реактора, которая может быть использована для описания нестационарных процессов в каскадной активной зоне.

Вывод двухточечных уравнений кинетики. Для вывода этих уравнений применялся метод связанных зон [7].

Приведем стационарное уравнение переноса нейтронов в подкритической системе с внешним источником нейтронов:

0 = -пУ^(г , Е, п) + М8Л> , Е, п) + Ма^(г, Е, п) + Мг, Е, п) + д(г, Е, п). (4)

В силу линейности уравнения (4) его можно записать как систему

0 = -пЧр1(г, Е, п) + М8^1(г, Е, п) + МаА(г, Е, п) + Мп^г, Е, п) + q(г, Е, п), 0 = -п^2(г, Е, п) + М3^(г, Е, п) + МаА(г, Е, п) + М£2^(г, Е, п). (5)

Здесь общее решение Е(г, Е, п) = Я1(г, Е, п) + Е2(г, Е, п), а линейный оператор М£ представим в виде суммы М£ = М^ +М(2, где операторы М/1, М/2 и М/ определены на непересекающихся областях V/1 и V/2, V/ = V/1 и V/2 соответственно.

В нестационарном случае уравнение (2) можно привести к форме следующей системы:

1 дЛ (г Е п Ь)

--1и ' = -ПУЛ (г, Я, п,*)+мвл(г,Е, П^)+Мал(г, Е, П,г) +

V дЬ

+ МпЛ(г, Е, п, Ь) + МпЛг(г, Е, п, Ь) + q(г , Е, п , Ь), = -пУ^2 (г, Е, п, Ь) + М8Л (г, Е, п, Ь) + Ма^2(г, Е, п, Ь) +

+ МйЛ (г, Е, п, Ь) + МоЛ (г, Е, п, Ь), (6)

Я (г, Е, п, Ь) = Л (г, Е, п, Ь) + Л (г, Е, п, Ь), Л1(г, Е, п, Ь) « Л (г, Е, п)^(Ь),

Л2(г,Е,п,Ь) « Л(г,Е,п)^(Ь), (7)

в результате снимается допущение (3).

Запишем систему уравнений, сопряженных (6):

1 Е, п, г)

V т

при этом

О = пУЯ1+(г, Е, п) + М+1,1+(г, Е, п) + М+1,1+(г, Е, п) + —Е, п),

к1

О = Е, п) + М+Ё2+(г, Е, п) + М+Ё2+(г, Е, п) + Ё2+(г, Е, п), (8)

к2

где М+ - линейный оператор переноса нейтронов, сопряженный с М8 в смысле

Лагранжа, для которого верно равенство ^М+Е+,Е^ = , М8Е^. Скалярное

произведение (А, Б) = / ¿У / ¿п / ¿ЕЛ ■ В, М+ = Ма, М+ = Мп, М+ = Ми, а коэффициенты к\ и к2 определяются формулой (1).

Функции Р+ (г,Е, п) и Р2++ (г,Е, п) непрерывны, положительны, ограничены во всем объеме реактора и удовлетворяют граничным условиям

Р+ (Ггр, Е, ИВнеш) = 0, Р+ (тГр, Е, ИВнеш) = 0.

Следуя классической процедуре вывода уравнений точечной кинетики [8], домно-жим уравнения системы (6) на ^+(г, Е, п) и р+ (г, Е, п) соответственно, а уравнения системы (8) - на ^!(г, Е, п, Ъ) и Е2(г, Е, п, Ъ), вычтем соответствующие уравнения систем (6) и (8), проинтегрируем результат по объему, углу и энергии, а также выполним разделение переменных (3) в каждом из уравнений. В результате получим уравнения

(Е, и), ^^ ^ = (т*, Е, и), МпрЛГ, Е, и)) +

+ (Ъ) (Е+ (г, Е, п), Mf Е(г, Е, п)) + (р+(г, Е, п), д(г, Е, п,Ъ)) ,

Е, и), ^^ ^ = Е, и), М/2#2(г, Е, и)) +

+

+ ^1(г)^р2+(г, Е, п), Mf2А (г, Е, п)

Стоит отметить, что здесь ^\(г, Е, п) и ^(г, Е, п) - решения системы (4)-(5). Вводя новые обозначения

(р+(т,Е,п),р^т,Е,п)/Ы) _

к = ^-1-V, ¿ = 1,2,

^+(г, Е, п), М„Ъ(г, Е, п)

(г, Е, п),д(г, Е,п,Ъ))

ЯП) = —т^т-г-

ЦЕ+ (г, Е, п), Mf Е(г, Е, п))

Е+(г, Е, п), Mf2Р1 (г, Е, п)^ ^Е+(г, Е, п), М/^(г, Е, п)

е12 — ТТ-Г-Г' £21 —

21

^+(г, Е, п), М/2^2(г, Е, п)) ^+(г, Е, п), М/1Л(г, Е, п)

имеем окончательно уравнения модели двухточечной кинетики в общем виде

,, = ~;--;— + <£'2 (*)!- +<?(*), ,, = ~;--;— + <£>1 (*)-;-• (9)

аъ /1 к1 /1 аъ /2 к2 /2

Уравнения модели двухточечной кинетики с учетом запаздывающих нейтронов. Исходя из физических особенностей ядерного реактора, в общем случае в уравнениях кинетики рассматриваются мгновенные и запаздывающие нейтроны. Мгновенные нейтроны испускаются непосредственно при делении ядер топлива, а запаздывающие появляются через некоторое время при радиоактивном распаде

осколков деления (так называемые ядра-предшественники запаздывающих нейтронов). В зависимости от среднего времени запаздывания выделяются 6 групп запаздывающих нейтронов [9].

С учетом запаздывающих нейтронов уравнение (2) можно представить следующим образом [10]:

I Е, п, ¿) = Е^ д ^ + Е; п ^ + МаЯ(г, Е, п, ¿) +

+ (1 " Е, п, + ]Г А^г, + ./(г, Е, п, 4), (10)

i=1

= Е, п, - А^г, 4).

Здесь М]? = -—а Хполн(-Е') - полный спектр энергий нейтронов деления

Хполн(Е)

в реакторе; С^(г,Ь) - концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов г-й группы, Аг, с-1, - постоянная распада г-й группы (г = 1, 6), - доля запазды-

6

вающих нейтронов г-й группы, причем в = вi. Функции х(Е) и хДЕ) описывают

i=l

нормированный на единицу спектр энергий соответственно мгновенных и запаздывающих нейтронов г-й группы. При этом стационарное уравнение (4) остается неизменным.

Повторяя изложенные рассуждения, заменяем (10) эквивалентной системой

- М) = -ПУЛ (г, Е, п, + М8 Л (г, Е, п, + Ма Л (г, Е, п, +

V дЬ

+ (1 - е, п,*) + (1 - /зо^мр^Сг, е, п,*) +

+ ^ ^Си(г, Ь)xi(Е^(г,Е,п,Ь),

i=l

= Е, п,*) + /ЗнМР£Л(г, Е, п,*) - А<Сц(г, 4), (И)

- = -пУЛ (г, Е, п, ¿) + М8 Л (г, Л п, + Ма Л (г, Л п, +

V дЬ

+ (1 - /32)М|) МР л (Г, л п, + (1 - /32)^МР л (Г, л п, + ]Г А<Си(г, *)*(£),

i=1

= /?2»мр£ Л (г, л + /32»мр£ Л (г, я, - кС2{(г,г).

Система сопряженных уравнений для (11) в этом случае будет иметь вид 0 = пУЛ+(г, Е, п) + М+Л+(г, Е, п) + М+Л+ (г, Е, п) +

1 / 6 X

+ ^ ((1-/?1 )х(Д) + Х>ш(Д)) мр+л+(г,лп),

=1

0 = пУЛ2+(г, Е, п) + М+Л+(г, Е, п) + М+Л+ (г, Е, п) +

+ ^ (а - /?2)х(Д) + ^ Е, п).

Применяя процедуру, использованную при выводе уравнений (9), с учетом разделения переменных (7), получим систему уравнений двухточечной модели кинетики с учетом запаздывающих нейтронов

¿г V

¿си (г) вЭФ

-#*) ^ + (£21 - +Е ^ад)+да),

¿1

¿г

¿г 2 V к2

С (г) _ вЭФ

вэф ¿1

к=

к

2 ! ~т_--Ь (£12 - И\2

вэф

1э

¿г ¿э

Параметры в уравнении (12) определяются по следующим формулам:

(12)

эф

кИ

к ± I = 1,2, г = 1,6,

, V

к = 1,2,

¿=1

4^

+ 1м_я.^ ^ д. ]

4тг у

¿=1

М(к Р1 ^

4^

¿=1

4^

Скг(г) —

к ^1=1/2, г = 1,6,

/г = 1, 2, г = 1,6,

¿=1

4^

д(г) —

^^(Г, е, п,^

((1-/31)4?

4^

¿=1

4^

Стоит отметить, что в общем случае коэффициенты размножения &1 и кэ также зависят от времени в силу процессов выгорания топлива в реакторе, а также сечений Уlf, £а, - от температуры топлива.

Заключение. В работе предложена двухточечная модель кинетики активной зоны реактора, которая в отличие от известной точечной модели позволяет учитывать нестационарные пространственные эффекты, возникающие в каскадных активных зонах реактора.

¿

к

Литература

1. Abderrahim H. Ait, Galambos J., Gohar Y. e. a. Accelerator and target technology for accelerator driven transmutation and energy production: Report U. S. Department of Energy, 2010. 23 p.

2. Nifenecker H., David S., Loiseaux J. M. e. a. Basics of accelerator driven subcritical reactors // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A. 2001. Vol. 463, N 3. P. 428-467.

3. Эйвери P. Теория связанных реакторов // Труды второй междунар. конференции по мирному использованию атомной энергии, состоявшейся в Женеве в 1958 г.: Избр. докл. иностр. ученых. М.: Атомиздат, 1960. Т. 3. С. 321-340.

4. Golovkina A., Kudinovich I., Ovsyannikov D. Power of ads with low-energy accelerator and fissionable target // Problems of Atomic Science and Technology. 2013. Vol. 86, N 8. P. 328-332.

5. Головкина А. Г., Кудинович И. В., Овсянников Д. А. Мощность подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. Вып. 2. С. 13-24.

6. Алексеев П., Игнатьев В., Коляскин О. Каскадный подкритический реактор повышенной безопасности // Атомная энергия. 1995. Т. 79, вып. 5. С. 327-337.

7. Селиверстов В. Умножение нейтронов внешнего источника в каскадных подкритических системах с односторонней нейтронной связью // Атомная энергия. 1996. Т. 81, вып. 5. С. 378-390.

8. Усачев Л. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реактора и теория возмущений // Материалы Междунар. конференции по мирному использованию атомной энергии, состоявшейся в Женеве 8-20 августа 1955 г. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 5. С. 598-606.

9. Кипин Д. Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов / пер. с англ. В. П. Ковалева, Б. П. Максютенко; под ред. В. А. Кузнецова. М.: Атомиздат, 1967. 428 c. (Kipin G. R. Physics of nuclear kinetics.)

10. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов / пер. с англ.; под ред. В. Н. Артамкина. М.: Атомиздат, 1974. 494 c. (Bell G., Glasstone S. Nuclear reactor theory.)

References

1. Abderrahim H. Ait, Galambos J., Gohar Y. e. a. Accelerator and target technology for accelerator driven transmutation and energy production: Report U. S. Department of Energy, 2010, 23 p.

2. Nifenecker H., David S., Loiseaux J. M. e. a. Basics of accelerator driven subcritical reactors. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A., 2001, vol. 463, no. 3, pp. 428-467.

3. Avery R. Theory of coupled reactors. Proc. of the Second Intern. Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy (Geneva). Selected Reports by Scientists from Abroad. Мoscow, Atomizdat Publ., 1960, vol. 3, pp. 321-340. (in Russ.)

4. Golovkina A., Kudinovich I., Ovsyannikov D. Power of ads with low-energy accelerator and fissionable target. Problems of Atomic Science and Technology, 2013, vol. 86, no. 8, pp. 328-332.

5. Golovkina А., Kudinovich I., Ovsyannikov D. Moshhnost' podkriticheskogo odnorodnogo reaktora v zavisimosti ot prostranstvennogo raspredelenija i jenergii nejtronov vneshnego istochnika [Subcritical homogeneous reactor power rate subject to space distribution and energy of the external neutron source]. Vestn. of St. Petersburg University. Se^s 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2012, issue 2, pp. 13-24. (in Russ.)

6. Alekseev P., Ignatiev V., Kolyaskin O. Kaskadnyj podkriticheskij reaktor povyshennoj bezopasnosti [Conception of the cascade subcritical enhanced safety reactor]. Atomic energy, 1995, vol. 79, issue 5, pp. 327-337. (in Russ.)

7. Seliverstov V. Umnozhenie nejtronov vneshnego istochnika v kaskadnyh podkriticheskih sistemah s odnostoronnej nejtronnoj svjaz'ju [Multiplication of external source neutrons in subcritical cascade systems with one-directional neutron coupling]. Atomic energy, 1996, vol. 81, issue 5, pp. 378-390. (in Russ.)

8. Usachev L. Uravnenie dlja cennosti nejtronov, kinetika reaktora i teorija vozmushhenij [Neutron importance equation, reactor kinetics and perturbation theory]. Proc. of the First Intern. Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy (Geneva). Мoscow, Academy of science USSR Press, 1958, vol. 5, pp. 598-606. (in Russ.)

9. Kipin G. R. Fizicheskie osnovy kinetiki yadernyh reaktorov [Physics of nuclear kinetics]. Мoscow, Atomizdat Publ., 1967, 428 p. (in Russ.)

10. Bell G., Glasstone S. Teoriya yadernyh reaktorov [Nuclear reactor theory]. Per. s angl.; pod red. V. N. Artamkina. Мoscow, Atomizdat Publ., 1974, 494 p. (in Russ.)

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.