Монотонная неустойчивость в системе Фитцхью - Нагумо с диффузией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

УДК 517.955.8 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-18-24

МОНОТОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СИСТЕМЕ ФИТЦХЬЮ - НАГУМО С ДИФФУЗИЕЙ

© 2018 г. А.В. Казарников1, С.В. Ревина1'2

1Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия, 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

MONOTONOUS INSTABILITY IN FITZHUGH-NAGUMO REACTION-DIFFUSION SYSTEM

A.V. Kazarnikov1, S.V. Revina1'2

1Southern Mathematical Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia,

2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Казарников Алексей Владимирович - младший научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, пр. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО - Алания, 362000, Россия, e-mail: kazarnikov@gmail.com

Ревина Светлана Васильевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук, пр. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362000, e-mail: svrevina@sfedu.ru

Aleksei V. Kazarnikov - Junior Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, RNO - Alania, 362027, Russia, e-mail: kazarni-kov@gmail. com

Svetlana V. Revina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Researcher, Southern Mathematic Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, RNO - Alania, 362027, Russia, e-mail: svrevina@sfedu. ru

Уравнения реакция - диффузия служат для описания математических моделей явлений различной природы. В настоящей работе рассматривается система Фитцхью - Нагумо с диффузией в случае одной пространственной переменной и краевых условий Неймана. Эта модель представляет собой пространственно-распределенный аналог двухкомпонентной редукции модели Ходжкина - Хаксли распространения нервного импульса в гигантском аксоне кальмара и является классической моделью возбудимой среды. Цель настоящей работы - исследование бифуркационного поведения стационарных решений системы, ответвляющихся от тривиального (нулевого) решения в результате монотонной потери устойчивости. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие монотонной и колебательной потере устойчивости. Методом Ляпунова - Шмидта в форме, развитой в работах В.И. Юдо-вича, явно найдены первые члены разложения вторичных стационарных решений в степенные ряды. Показано, что в системе происходит мягкая потеря устойчивости. Численно исследовано разрушение вторичных стационарных решений при отходе управляющего параметра в область надкритичности. Система аппроксимировалась методом прямых на равномерной сетке, её численное интегрирование проводилось методом Дормана - Принса. Обнаружено, что с ростом значений надкритичности вторичные решения сменяются тьюринговыми структурами.

Ключевые слова: система Фитцхью - Нагумо, метод Ляпунова - Шмидта, монотонная неустойчивость, стационарные решения, асимптотический анализ, системы реакция - диффузия, формирование структур, бифуркации положений равновесия.

The reaction-diffusion equations are widely used as mathematical models ofphenomena of a different nature. In this paper we consider the FitzHugh-Nagumo reaction-diffusion system in the case of one spatial variable and Neumann boundary conditions. This model is a spatially distributed analog of the two-component reduction of the Hodgkin-Huxley model of nerve impulse

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

propagation in the giant axon of squid and is a classical model of an excitable medium. The aim of this paper is to study the bifurcation behavior of stationary solutions of the system branching offfrom a trivial (zero) solution as a result of a monotonic loss of stability. Critical values of the control parameter corresponding to monotonic and oscillatory loss of stability are found. By applying Lyapunov-Schmidt reduction in the form developed in the works of V.I. Yudovich, the first terms in the expansion of the secondary stationary solutions into power series are explicitly found. It is shown that there is a soft loss of stability in the system. The destruction of secondary stationary solutions due to the growth of control parameter values is numerically studied. The system was approximated by the method of lines on a uniform grid, the numerical integration of the system of equations for the method of lines was carried out by the Dormand-Prince method. It is found that with increasing values of supercriticality, secondary solutions are replaced by Turing patterns.

Keywords: FitzHugh-Nagumo system, Lyapunov-Schmidt reduction, monotonic instability, stationary solutions, asymptotic analysis, reaction-diffusion systems, pattern formation, steady state bifurcations.

Постановка задачи

Системы реакция - диффузия находят широкое применение при моделировании химических реакций [1], описании процессов роста и развития биологических популяций [2, 3], исследовании динамики искусственных нейронных сетей [4] и др. В настоящей работе рассматривается система Фитцхью - Нагумо с диффузией

vt = vxvxx + w — av; wt = v2wxx — v + ^w — w3,

(1)

где V = у(х,€) , w = w(x,t) - неизвестные функции; пространственная переменная х Е (0,1); t > 0 - время; ^ Е И - управляющий параметр; а > 0 - фиксированный параметр реакции; у1 >0, у2 >0 - фиксированные коэффициенты диффузии.

Предполагается, что на концах отрезка заданы краевые условия Неймана:

^1х=0,1 = 0' ^1х=0,1 = 0 . (2)

Система Фитцхью - Нагумо первоначально возникла как модель распространения нервного импульса в гигантском аксоне кальмара [5, 6] и является классической моделью возбудимой среды. Положив в (1) а = 0, получим систему Рэлея с диффузией [7], которую можно рассматривать как бесконечномерный аналог классической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Рэлея. В [7-9] исследовалось бифуркационное поведение системы Рэлея с диффузией.

При всех значениях параметра ц у системы

Фитцхью - Нагумо (1), (2) существует нулевое ре-

1

шение (у0, ш0) = (0,0), а при - еще пара нетривиальных пространственно однородных решений:

(v1, w1); (—v1, —w±), wt = avt, vt =

Целью данной работы является нахождение критических значений управляющего параметра ц, отвечающих монотонной и колебательной потере устойчивости нулевого решения системы Фитцхью - Нагумо с диффузией (1), (2); представлений для вторичных стационарных решений в виде степенных рядов в случае одной пространственной переменной и краевых условий Неймана. Для построения вторичных решений применен метод Ляпунова - Шмидта в форме, развитой в работах В.И. Юдовича [10, 11]. Другой подход, основанный на вариационном принципе, применен к системе реакция - диффузия в [12].

Операторный вид системы

Сведем систему Фитцхью - Нагумо с диффузией (1) к ОДУ в гильбертовом пространстве Н вектор-функций и = (у, w), компоненты которых принадлежат L2(0,T) . Рассмотрим линейный оператор Ла(ц) • Н ^ Н, действующий по правилу

d2

Aa(^)u= -Aou + Bau + цСu, где A0 = и операторы Ba, C,D • R2 ^ R2 заданы матрицами

Br

= (1 1У И2 0)- 0

(3)

В области определения оператора учиты-

ваются краевые условия. Будем предполагать, что оператор задан на множестве й(А0) вектор-

функций и = (у^), Е W22(0,1), удовлетворяющих условиям (2).

Пусть трилинейный оператор К(а, Ь, с): Н X Н X Н ^ Н действует на О(А0) по правилу К (а, Ь, с) = (0,а2,Ь2,с2), где а = (а.1(х,г),а.2(х,г)У, Ь = (Ь1(х,0,Ь2(х,0); С = (С1(х,С),С2(х,ф.

По неравенству Гёльдера для оператора ^(а,Ь,е) справедлива оценка

а

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

||ff(a,b,c)

<

|a2(x,t)|l ||b2(x,t)|l ||c2(x,t)|l

Из теорем вложения Соболева следует, что Ж22 (0,1) с С [0,1], причем вложение вполне непрерывно. Следовательно, справедливо неравенство |№,ь,с)||^<

<М||а2(х,0|1 2||Й2(*,0|| 2||С2(Х,С)|1

W2

/—— а AfcCfc = tfCfc, Ак = ( —1

— у

(7)

Тогда систему (1) можно записать в операторном виде

и = Ла(и)и - ^ (и, и, и); и 6 Я. (4)

Линейный анализ устойчивости

Определение. Критическим значением параметра ц будем называть такое при котором спектр оператора лежит в замкнутой левой

полуплоскости, причем существует хотя бы одно собственное значение ст, лежащее на мнимой оси, и

а Ф 0. При этом, если при ц = цсг на

мнимой оси лежит лишь нулевое собственное значение, то говорят, что имеет место монотонная потеря устойчивости. Если же при ц = цсг на мнимой оси лежит лишь пара комплексно-сопряженных собственных значений ±!^0 Ф 0), то говорят, что происходит колебательная потеря устойчивости.

Для исследования устойчивости по линейному приближению нулевого решения системы Фитцхью -Нагумо с диффузией (4) рассмотрим линейную спектральную задачу

Ла(^)и = сти, и Ф 0. (5)

Известно [13, 14], что в гильбертовом пространстве Н существует ортонормированный базис

(е^к, е2^к}+=°о , где ^ = 1, ^к = ,

к 6 М, являются собственными функциями скалярного оператора - с краевыми условиями (2), отвечающими собственным значениям Як = (я^)2 , причем все Як являются простыми [13].

Будем разыскивать собственные функции оператора (и) в виде рядов по базису пространства Я

и = ЙГоС^к(х). (6)

Подставляя (6) в (5) и приравнивая коэффициенты при соответствующих членах, получим набор линейных систем

1 ) к = 0,1,2,...

Собственные значения оператора Ла(ц) имеют вид стк =1Гг(Ак)±1^г(Ак)2- 4Яес(Ак) , и лежат строго в левой полуплоскости тогда и только тогда, когда выполнены условия

ГГГ(Ай) = -Яй(У1+У2)-Й+^<0, (8 )

ШеС(Ал) = (ЯйУ1 + а)Яйу2 — (ЯйУ1 + а)^ + 1 > 0, к = 0,1,2,...

Очевидно, что при ц < 0 неравенства (8) выполняются. Следовательно, критическое значение параметра цсг неотрицательно. Для определения цсг введем в рассмотрение функции /1 (Я) и /2 (Я) вещественного аргумента Я > 0.

1

/1Ш = Я(У1 + У2) + а; /2 (а) = ЯУ2 + Рассмотрим также функцию ^ = = тт(/!(А),/2(А)). Тогда цсг может быть определено по формуле = min ^(Я) . Функция

/1 (Я) монотонно возрастает при Я > 0 , причем /1(0) = я. Функция /2(Я) монотонно убывает при Я 6 [0, Ят^], где Ят[П = — — + 1 , и монотонно

VI

возрастает при Я > Ят;п . Функции /1 (А) и /2(Я) имеют единственную точку пересечения Яеч =

VI VI

Лемма 1. Пусть у1 < у2 . Тогда существует

единственное Я = Я0 =0, цсг = ^(Я0). Если

а < 1, то в системе (4) происходит колебательная

потеря устойчивости нулевого решения и цсг = а,

в противном случае возникает монотонная потеря 1

устойчивости и = —.

Случай а = 1 является вырожденным (существует присоединенный вектор) и далее в работе не рассматривается.

Лемма 2. Пусть у1 > у2. Тогда для а < а1,

2Vv7V^2 ,Л\ г

где а1 = у —, в системе (4) происходит колебательная потеря устойчивости нулевого решения и цсг = а. При а1 < а < 1 в системе возникает колебательная потеря устойчивости, если 3к : /2(Як) < /1 (0) и цсг = а. В противном слу-

1

чае = Л,коУ2 + ^ ^ + в и в системе (4) происходит монотонная потеря устойчивости нулевого решения. При а > 1 в системе происходит только монотонная потеря устойчивости.

Заметим, что критическое значение параметра ц в случае колебательной потери устойчивости определяется по формуле цсг = а .В этом случае

^(<,2)1 1 ,„ п

-^-|*"=1"сг = 2 Ф 0 . Для случая монотонной потери устойчивости

Mcr = ^k0V2 +

'|u=ucr

(ViAfc0+a)

Ф 0, причем

(у1Я^ + а) — 1 > 0 , так как в этом случае Як0 > Яеч. Таким образом, выполняется требование трансверсальности пересечения мнимой оси.

L

2

6

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Бифуркационное поведение стационарных решений

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

При а > 0 в системе (1) может возникать монотонная потеря устойчивости, что невозможно в предельном случае системы Рэлея с диффузией при а = 0 [9]. Применим метод Ляпунова - Шмидта для нахождения ответвляющихся от нуля стационарных решений системы (4). Заметим, что если к0 = 0, то от нуля ответвляется пара пространственно однородных стационарных решений, в противном случае вторичные решения неоднородны по пространственной переменной х. В дальнейшем будем считать, что к0 >0.

Лемма 3. Пусть существует такое натуральное число к0, что F(Äko) есть точка минимума F(Ä), т.е. ) = min F(Ä). Предположим, что

^ко > ^еа и выполняется неравенство

Чsq Уэ Ф

(9)

2 *

Тогда в системе Фитцхью - Нагумо с диффузией (4) происходит монотонная потеря устойчивости нулевого решения и критическое значение параметра ц определяется по формуле

ßcr = ^k0v2 +

^koVi+a'

(10)

причем нулевое собственное значение оператора Аа(Ц) - простое.

Доказательство. По условию Ак > ^ец. Тогда

А(Лко) > Г2&к0), Ое^АъХ^ = 0, ТгМ^г = 0, ТгМ^ = * 0,

Ке(а1,2) < 0 при к * к0 и в системе (4) происходит монотонная потеря устойчивости нулевого решения. Критическое значение параметра ц определяется по формуле (10).

Докажем простоту нулевого собственного значения а = 0 оператора Аа(цсг), т.е. единственность соответствующего ему собственного вектора (с точностью до умножения на скалярную величину) и отсутствие присоединенных векторов.

Рассмотрим оператор Аа(цсг). Будем разыскивать собственный вектор ф в виде ряда (6). Получим последовательность линейных систем (7) для определения неизвестных коэффициентов ск. Определители матриц Ак в данном случае имеют вид

Оег(Ак) = у1(Лк — Лко)((лко +£)х Заметим, что условие

{¿к0 = 0 эквивалентно ус-

ловию Ъ(Лк) = Ъ(Лко). Не теряя общности, будем предполагать, что Хко < Лт1П. Тогда при Лк < Хко выполняется неравенство > . Из

условия (9) и определения к0 получаем, что Ъ(А-к) > Ъ(А-к0) при к > к0 . Следовательно, с учетом простоты Лк в одномерном случае [13] получаем, что Ое1(Ак) обращается в нуль только при к = к0 и ск = 0 при к * к0. Собственный вектор ф можно записать в виде

<Р = С<Р(у1Ако + а)^о(х),С<Р*°-

Покажем, что не существует другого линейно независимого собственного вектора для данной задачи. Допустим противное. Тогда, не теряя общности, можно предположить, что (ф, ф) = 0. Разложим ф в ряд (6). Получим, что при к * ко Эе1(Ак) >0 и ^ = 0, а коэффициенты вектора связаны соотношением йко = (у1Лко)й^о. С другой стороны, из условия ортогональности (ф, ф) = 0 вытекает, что (ф, <р) = скод,ко + скойко = 0.

С учетом того, что ско = (у1^^)с'ко, получаем соотношения для йко и йко : йко = —

Тогда коэффициенты ^и ^^ должны одновременно удовлетворять соотношениям

¿ко = ЫЛко)^ ¿ко = ^^ко)^ откуда вытекает, что ^ = = 0.

' К-о Ко

Аналогичными рассуждениями можно показать, что у сопряженного оператора А*а(^сг) существует единственный (с точностью до умножения на скалярную величину) собственный вектор Ф, Аа(р^сг)Ф = 0, который представим в виде

Ф = Сф(-М1ко-а)^ко(х), СФ*0.

Заметим, что (ф, Ф) = С<рСФ(1 — у1;Лко) * 0 при Хко > Аец. Отсюда вытекает отсутствие присоединенных векторов.

Выполним нормировку собственных функций ф и Ф. Получим

* = АкУ11+а + 1(ЛкУ1 + ")1рко(х1

ф =

-XkoVi-a+l \—АкоУ1

1

а

Фko(x)•

Рассмотрим систему (4) и введем замену переменных

—Ла(^сг)и = е2Си — ^(и, и, и), (11)

где £ = ц — цсг. Будем разыскивать и в виде ряда по целым степеням параметра е

и = П=1гкЩ. (12)

i

i

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Подставляя (12) в (11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим цепочку уравнений

(13)

е1: — Ла(^сг)и1 = 0, ^a(Mcr)U2 = 0,

£

(Сф,Ф) =

CMfco+g)

CMfto + a+1)CMfco + a-1)

> 0,

(^(ф,ф,ф),ф) =

(viAfco + a)

(viAfco + a+l) (viAfco + a-1)

2 _ (СУ,Ф)

2

> 0.

Отсюда находим, что ^ =

¿2

> 0 и вто-

1 (К-(<р,<р,<р),Ф) ричные решения ответвляются от нуля при

ц > цСг.

Из выполнения условия (Сф, Ф) > 0 следует, что вторичные решения устойчивы относительно малых возмущений [11]. Формула для имеет вид

V3V2(AfcoVi+a+l)Vi

3(AftoVi+a)

(14) можно записать в виде и3 = ^3ф + м3,

= /3, где и^ = (Й^)фзл0(*).

Коэффициенты а3р, Ь3р задаются формулами __/з2(УА0+ар_

= (Мк + «)азр, (17)

причем знаменатель в (17) отличен от нуля в силу того, что ЯЙ0 > Яеч.

Из условия разрешимости для уравнения (15) находим, что = 0 . Тогда /4 = 0 , и2 = 0 и и4 = ^4ф. Условие разрешимости для уравнения

(16) имеет вид (/5, Ф) = 2(Я*оУ1+а)^ + ¿3п = 0.

Следовательно, ß3 = —

(^fcoVi+«+1 )Ьзр

Первые

2(Я^0+а)

члены разложения вторичных стационарных решений в степенной ряд определяются соотношениями

^(х) = ±£2

^ 2V3(AfcoVi+a:+l) 3(AftoVi+a)

cos(fffc0x) ±

| g3 ( _ (AfcoV1+a+l)fo3P

^(Я^+а)

+а3р cos(3refc0x)) + 0(е4),

cos(nfc0x)+

4

(18)

w

(х) = ±£-V3(l к v1 + а + 1) cos(refc0x) ±

■ ^а(Мсг)и3 = СиА - Ц4, и1) = /3, (14)

- ^а(^сг)и4 = Си2 - 3^(иА, иА, и2) = /4, (15)

- ^а(Мсг)и5 = Си3 - 3^(иА, иА, и3) --3^(и1,и1,и2). (16)

Последовательно решим уравнения (13)-(16). Решения однородных уравнений (13) имеют вид

и2 = ^Р = Я^,У1 + а + 1 (^коу1 + ^(Х). Условие разрешимости для уравнения (14) имеет вид & (Сф, Ф) - (^(ф, ф, ф), Ф) = 0, где

. Частное решение уравнения

±£3(-^(Я^1+а+1)Ьзр^№х)+

+Ь3р cos(3яfc0x) + 0(е4).

Теорема. Пусть выполняются условия леммы 3.

Тогда найдется дгг = + -—1— такое, что при

2 Я^г^+а

ц < цсг нулевое решение системы Фитцхью -Нагумо с диффузией (4) асимптотически устойчиво. При ц = цсг в системе происходит мягкая монотонная потеря устойчивости нулевого решения. При малых е = ц — цсг > 0 существует пара устойчивых стационарных решений системы. Первые члены разложения вторичных стационарных решений в степенной ряд имеют вид (18).

Для исследования разрушения вторичных стационарных решений системы (4) при возрастании значений е были проведены вычислительные эксперименты. Для всех экспериментов рассматривался случай а = 1. Коэффициенты диффузии выбирались равными у1 = 1, у2 = 10-2; у1 = 1, у2 = 10-4 и у1 = 1, у2 = 10-5. Для всех рассматриваемых значений параметров выполнено неравенство (9). Численное решение строилось для различных значений надкритичности £. Начальные данные задавались формулами (18); уравнение (4) аппроксимировалось методом прямых на равномерной сетке; численное интегрирование системы уравнений метода прямых проводилось методом Дормана - Принса. Было обнаружено, что для £ < < 1 вторичные решения сохраняют свой профиль (рисунок). При увеличении £ вторичные решения сменяются тьюринговыми структурами. Далее, с ростом £ решения стремятся к равновесиям (3).

Заключение

В работе проведено исследование бифуркационного поведения стационарных решений системы Фитцхью - Нагумо с диффузией в случае одной пространственной переменной и краевых условий Неймана. Получены условия, при которых в системе возникает монотонная и колебательная потеря устойчивости нулевого решения. Найдены критические значения параметра ц. Для нахождения вторичных стационарных решений применен метод Ляпунова - Шмидта в форме, развитой в работах В.И. Юдовича. Установлено, что в системе происходит мягкая потеря устойчивости, и приведены явные выражения для первых членов разложения вторичных стационарных решений в степенной ряд, численно исследовано разрушение вторичных режимов.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

Вторая компонента решения w(x,t) при различных значениях коэффициентов диффузии и надкритичности е / The second component w(x,t) of the solution at different values of diffusion coefficients and subcritical value е

Литература

1. Jiang W., Wang H., Cao X. Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay // arXiv. 2018. URL: https://arxiv.org/abs/1803.00164 (дата обращения: 30.08.2018).

2. Castillo J.A., Sanchez-Garduno F., Padilla P. A Turing-Hopf bifurcation scenario for pattern formation on growing domains // Bulletin of Mathematical Biology. 2016. Vol. 78, № 7. P. 1410-1449.

3. Епифанов А.В., Цибулин В.Г. О динамике ко-симметричных систем хищников и жертв // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9, № 5. С. 799-813.

4. Zhao H., Huang X. Turing instability and pattern formation of neural networks with reaction-diffusion terms // Nonlinear Dynamics. 2014. Vol. 76, № 1. P. 115-124.

5. FitzHugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane // Biophysical J. 1961. Vol. 1, № 6. P. 445-466.

6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon // Proceedings of the IRE. 1962. Vol. 50, № 10. P. 2061-2070.

7. Казарников А.В., Ревина С.В. Асимптотика стационарных решений системы Рэлея с диффузией // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 191. С. 13-19.

8. Казарников А.В., Ревина С.В. Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией // Вестн.

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. 2016. Т. 9, № 2. С. 16-28.

9. Казарников А.В., Ревина С.В. Бифуркации в системе Рэлея с диффузией // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27, № 4. С. 499-514.

10. Юдович В.И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36, № 3. С. 450-459.

11. Юдович В.И. Пример потери устойчивости и рождения вторичного течения жидкости в замкнутом сосуде // Мат. сб. 1967. Т. 74, № 116. С. 565-579.

12. Коротких А.С. Стационарные точки уравнения «реакция - диффузия» и переходы в стабильные состояния // Вестн. ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. 2017. Т. 10, № 1. С. 125-137.

13. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М. : Высшая школа, 1977. 431 с.

14. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

References

1. Jiang W., Wang H., Cao X. Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay. arXiv. 2018. Available at: https://arxiv.org/abs/1803.00164 (accessed 30.08.2018).

2. Castillo J.A., Sanchez-Garduno F., Padilla P. A Tu-ring-Hopf bifurcation scenario for pattern formation on growing domains. Bulletin of Mathematical Biology. 2016, vol. 78, No. 7, pp. 1410-1449.

3. Epifanov A.V., Tsibulin V.G. O dinamike kosim-metrichnykh sistem khishchnikov i zhertv [On the dynamics of cosymmetric systems of predators and victims]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie. 2017, vol. 9, No. 5, pp. 799-813.

4. Zhao H., Huang X. Turing instability and pattern formation of neural networks with reaction - diffusion terms. Nonlinear Dynamics. 2014, vol. 76, No. 1, pp. 115124.

5. FitzHugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane. Biophysical J. 1961, vol. 1, No. 6, pp. 445-466.

6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon. Proceedings of the IRE. 1962, vol. 50, No. 10, pp. 2061-2070.

7. Kazarnikov A.V., Revina S.V. Asimptotika statsionarnykh reshenii sistemy Releya s diffuziei [Asymp-totics of stationary solutions of the system of the Rayleigh diffusion]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2016, No. 1, pp. 13-19.

8. Kazarnikov A.V., Revina S.V. Vozniknovenie avtokolebanii v sisteme Releya s diffuziei [The emergence of self-oscillations in the Rayleigh system with diffusion]. Vestn. YuUrGU. Mat. modelirovanie i programmirovanie. 2016, vol. 9, No. 2, pp. 16-28.

9. Kazarnikov A.V., Revina S.V. Bifurkatsii v sisteme Releya s diffuziei [Bifurcations in the system of the Rayleigh diffusion]. Vestn. Udmurtskogo un-ta. Matematika. Mekha-nika. Komp'yuternye nauki. 2017, vol. 27, No. 4, pp. 499-514.

10. Yudovich V.I. Issledovanie avtokolebanii sploshnoi sredy, voznikayushchikh pri potere ustoichivosti statsionarnogo rezhima [The study of self-oscillations of a continuous medium arising from the loss of stability of a stationary regime]. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1972, vol. 36, No. 3, pp. 450-459.

11. Yudovich V.I. Primer poteri ustoichivosti i rozh-deniya vtorichnogo techeniya zhidkosti v zamknutom sosude [An example of the loss of stability and the birth of a secondary fluid flow in a closed vessel]. Mat. sb. 1967, vol. 74, No. 116, pp. 565-579.

12. Korotkikh A.S. Statsionarnye tochki uravneniya «reaktsiya - diffuziya» i perekhody v stabil'nye sostoyaniya [Stationary points of the reaction-diffusion equation and transitions to stable states]. Vestn. YuUrGU. Mat. modelirovanie i programmirovanie. 2017, vol. 10, No. 1, pp. 125-137.

13. Mikhlin S.G. Lineinye uravneniya v chastnykh pro-izvodnykh [Linear equations in partial derivatives]. Moscow: Vysshaya shkola, 1977, 431 p.

14. Mikhailov V.P. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Partial differential equations]. Moscow: Nauka, 1976, 391 p.

Поступила в редакцию /Received_31 августа 2018 г. /August 31, 2018