Асимптотика стационарных решений системы Рэлея с диффузией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517 955.8 DOI 10.18522/0321-3005-2016-3-13-19

АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ РЭЛЕЯ С ДИФФУЗИЕЙ

© 2016 г. А.В. Казарников, С.В. Ревина

Казарников Алексей Владимирович - аспирант, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воро-вича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: kazarnikov@gmail.com

Ревина Светлана Васильевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, пр. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362000, e-mail: svrevina@sfedu. ru

Kazarnikov Aleksei Vladimirovich - Post-Graduate Student, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: kazarnikov@gmail. com

Revina Svetlana Vasil'evna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Researcher, Southern Mathematic Institute of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: svrevina@sfedu.ru

Для системы Рэлея с диффузией проведен анализ бифуркационного поведения вторичных решений, ответвляющихся от нулевого решения при изменении управляющего параметра, Явно найдены выражения первых членов асимптотики, получены формулы общего члена разложения, когда на границе области выполняются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Изучено качественное поведение стационарных решений в зависимости от краевых условий, численно исследована эволюция стационарных режимов, когда пространственная переменная изменяется на отрезке или в прямоугольнике.

Ключевые слова: система Рэлея, метод Ляпунова - Шмидта, монотонная неустойчивость, стационарные решения, асимптотический анализ, системы реакции-диффузии.

We consider Rayleigh reaction-diffusion system and study the bifurcational behavior of solutions, branching from zero due to the variation of control parameter. It is assumed that Dirichlet boundary conditions or mixed boundary conditions are set on the boundary of spatial domain. First terms of asymptotics are found explicitly, expressions for consecutive terms are derived. The qualitative dependence of solutions on boundary conditions is studied for one-dimensional (interval) and two-dimensional (rectangle) spatial domains. The evolution of solutions is studied numerically.

Keywords: Rayleigh system, Lyapunov-Schmidt reduction, monotonic instability, stationary solutions, asymptotic analysis, reaction-diffusion systems.

Постановка задачи

В настоящее время немало работ посвящено исследованию нелинейных параболических систем, называемых системами реакции-диффузии. Эти системы широко применяются при моделировании химических [1], биологических [2, 3], физиологических [4, 5] и других процессов.

Особый интерес вызывают бифуркации, в результате которых образуются новые решения, служащие математической моделью наблюдаемых в природе пространственно-временных структур [6]. Как правило, такие решения исследуются численно [7-10] или с применением асимптотических методов [11]. В настоящей работе для построения асимптотики стационарных решений применяется

метод Ляпунова - Шмидта в форме, развитой в работах В.И. Юдовича [12, 13].

Классической моделью возбудимой среды является система Фитцхью - Нагумо, возникшая как модель распространения нервного импульса [4, 5]:

=У!Ау + в^ -ау -Р), wt =у2Aw - V + - w3, (1) где V = у( х, t); w = w(x, t); х ей; t > 0, йс Ят - ограниченная область с кусочно -гладкой границей; |е Я - управляющий параметр; а> 0, Р> 0, в > 0,У2 > 0 - фиксированные параметры системы, причем обычно предполагают, что V! < У2 [6].

Положив в (1) а = 0, Р = 0, в = 1, получим систему Рэлея с диффузией

vt =VjAv + w, wt = v2Aw-v + |iw-w

(2)

которую можно рассматривать как бесконечномерный аналог классической системы Рэлея, получающейся из (2) при vj = V2 = 0 . На границе области Q заданы краевые условия Дирихле

v lan = w Isq= 0 (3)

либо смешанные краевые условия, когда на части границы заданы краевые условия Дирихле, а на оставшейся границе - Неймана

v|* = w Isj = 0,£|52 = |W|S2 = 0, S u S2 = 3Q. (4)

Целью данной работы является построение асимптотики стационарных решений системы (2), ответвляющихся от тривиального (нулевого) решения при изменении управляющего параметра |i и фиксированных коэффициентах диффузии 0 < vj < V2 вследствие монотонной потери устойчивости. Колебательная потеря устойчивости рассмотрена в [14]. Случай равных коэффициентов диффузии vj =V2 исследован в [15].

Основные определения

Сведем систему Рэлея (2) к обыкновенному дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве H вектор-функций u = (v, w), компоненты которых принадлежат L2 (Q). Скалярное произведение f = (fb/2) е H и g = (gbg2) еH определяется стандартным образом (f, g) = J [fig! + /2 g 2]dx .

Q

Пусть A(|): H ^ H - линейный оператор, действующий на вектор-функцию u = (v, w), где v, w принадлежат пространству Соболева W22(Q) , по правилу

A(|)u = £>Au + Bu + |Cu .

Здесь A - оператор Лапласа; B =

0 1 -1 0

( 0 01 (4 0 1

С = , ® = I д I. В области определения

оператора А(ц), как обычно, учитываются краевые

условия. Зададим оператор К (а, Ь, с): Н 3 ^ Н по правилу

' 0 ,а2Ъ2с2„

Тогда систему (2) можно записать в операторном виде

и = А(ц)и - К(и,и,и), и е Н. (5)

K (a, b, c) =

Значение параметра ц, при котором собственные значения линейного оператора А(ц) выходят на мнимую ось, будем называть критическим и обозначать цсг . Будем говорить, что в системе Рэлея с диффузией (5) происходит колебательная потеря устойчивости, если оператор А(цсг) имеет пару чисто мнимых собственных значений ст1д(цсг) = ±гю0 . Если у оператора А(цсг) на мнимой оси есть одно нулевое собственное значение ст(цсг) = 0, то в системе имеет место монотонная потеря устойчивости.

Задача на собственные значения

Для исследования устойчивости по линейному приближению нулевого решения системы Рэлея с диффузией рассмотрим линейную спектральную задачу

А(ц)ф = стф. (6)

Известно, что в пространстве Н существует ор-тонормированный базис {е^ к, е2у к , е! = (1,0);

= (0,1), где у к являются собственными функциями скалярного оператора -Д, заданного в области О с соответствующими краевыми условиями -Дук = , а собственные значения образуют

неубывающую последовательность {^ к }+^1. Первое собственное значение Х1 положительно и имеет кратность г = 1 для рассматриваемых краевых условий.

Из (6) находим собственные значения оператора А(ц):

к , , -((У1 2)^к-Ц)((У1 -у2)^к + Ц)2 -4 ст1,2 (Ц) =---,

к = 1,2,....

Тогда условия устойчивости нулевого решения системы (5) можно записать в виде системы неравенств

Ц< (У1 + у 2 к 2^1 к = 1,2,...

Ы к

Если > 1, то в системе (5) происходит монотонная потеря устойчивости нулевого решения; критическое значение параметра ц определяется по

формуле цсг =—1—2^1; при < 1 - колебательная потеря устойчивости, цсг = (У1 + У2)^1. При > 1 собственные функции ф и Ф линейной спектральной задачи и линейной сопряженной задачи определяются как нетривиальные решения уравнений

А(ц сг )ф = 0, А* (Цсг )Ф = 0

и имеют вид 1

ф:

1 + V1X1 ^Vi^i

1 Wx), ф= 1

1 - V1X1 i -ViX

/1л1

x),

причем (фФ) =1 при VlXl ^ 1. Если VlXl = 1, то (ф,Ф) = 0, что соответствует наличию присоединенного вектора. Далее считаем, что VlXl > 1.

Первые члены асимптотики вторичных стационарных решений

Уравнение для нахождения стационарных решений системы (2) имеет вид

- А(|СГ )и = в 2 Си - К (и, и, и), (7)

где в = | - |сг - надкритичность. Стационарное решение и будем разыскивать в виде ряда по параметру в

да

u = Es' u. i=1

(8)

-A(y.cr )из = Cu1 - ^(u1,u1,u1) = f3,

-A(y.cr)u4 = Cu2 -3K(ubu1,u2) = f4 :

-A(icr)u5 = Cu3 -3K(u1,u1,u3)--3K(ubu2,u2) =f5,

(11) (12)

(13)

-A(Mcr)un = Cu„-2 - E 3K(ui1,ui2,u'3) = f„ .(M)

i, +u +u =n

Решения однородных уравнений (9) и (10) имеют вид

и1 =а1ф, и2 =а2ф, а1,а2 е Я .

Неоднородные уравнения (11)—(13) имеют решения тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна решению однородного сопряженного уравнения

(15)

(f„ ,Ф) = J (/„Ч + fn®2)dx = 0.

Q

Для уравнения (11) условие разрешимости (15) имеет вид

(Г,, Ф) = а1(Сф, Ф) - а3(К(ф, ф, ф), Ф) = 0 .

Отсюда находим

а, =-

(Сф, Ф)

(1+ V1X1)2

(K (ф, ф, ф), Ф) (V1X1)2||V2||2

(16)

Так как а2 > 0, при |>|СГ существует и устойчива пара нетривиальных стационарных решений [13]. Следовательно, имеет место мягкая поте-

uf =-(A(iv ))-1f3,

а общее уравнения (11) имеет вид u3 =а3ф + up

ря устойчивости тривиального решения: при I < |СГ оно устойчиво, при | > |СГ оно «передает» устойчивость ответвляющимся стационарным решениям.

Так как условие разрешимости уравнения (11) выполнено, то оператор А(|СГ) обратим на подпространстве функций, ортогональных Ф, и частное решение уравнения (11) можно записать в виде

(17)

р

3 ,

где аз пока неизвестна.

Из условия разрешимости уравнения (12) выводим, что а2 = 0. Следовательно, правая часть

4

уравнения при в равна нулю, и решение уравнения (12) будет иметь вид и4 =а4ф . Рассмотрев условие разрешимости уравнения при г5 (13), находим

Подставляя разложение (8) в (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, придем к цепочке уравнений

-А(|сг )и1 = 0, (9)

-А(1сг )и2 = 0, (10)

13

3( K (ф, ф, uf), Ф)

" гсф,Ф; ->2

(18)

где (Сф, Ф) = — > 0, а аз меняет знак на

(П^)2-1

противоположный при смене знака а1.

Предложение 1. В системе Рэлея (2) с краевыми условиями (3) или (4) при переходе параметром | значения |СГ происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. При малых | - |СГ существует пара устойчивых стационарных решений системы

u = +еа 1ф + s3(а3ф + uf) + O(s4), е = ^|-

Mrr

где а1, и р, а 3 определяются формулами (16), (17) и (18) соответственно.

Общий член асимптотики

Для п > 5 уравнение при вп может быть записано в виде (14). По индукции доказывается

Предложение 2. Четные компоненты асимптотического разложения стационарного решения равны нулю: для всякого к е N и2к = 0, а2к = 0 .

Отсюда получаем, что для нечетных п уравнение (14) упрощается

-А(|СГ )ип = Сип-2 - £ 3К(иг1, иг-2, и^) = fn , (19)

¡1 +'2 + ¡3

причем в сумме, стоящей в правой части (19), индексы ¡1,12, ¡з нечетны.

Найдем нечетные члены разложения. Рассмотрим уравнение при вп (19) в случае нечетного

1

L

2

п > 5 . Будем предполагать, что а^, а2, ... , аи-з , и1, и2,. ., ип-2 уже известны.

Предложение 3. Амплитуда ап-2 определяется из условия разрешимости уравнения (19) по формуле

3 (ё п, Ф)

2 (Сф, Ф) ' где

ё п = К (иЬ иЬ и Рп-2) +

+ 2 К(иг1 ,иг2 ); (/1,/2,/з) * (1,1,п - 2),

Ч +'2 +'3 =п

а

n - 2

л о

n-2

при п - 2 степени.

Следствие 1. Частное решение иР (х) уравнения (19) имеет вид

+<» 2 2 иР(х) = 2 (0^1 + ьуе2)/упУу; /уп = (гп(х),е2Уу), (20) У=2

где коэффициенты (а,-; Ъу) определяются по формуле

aj =

bj =VjXjaj, j > 1. (21)

(Xj -Xi)(viv2XjXi -1) Знаменатели в выражениях (21) отличны от ну-

ля, так как

ViV2X jXi > v^2 > 1.

Случай одной пространственной переменной

Пусть х е [0,I],I > 0 . Тогда справедлива формула

3

у3 (x) = M\Vl (x) + Ny3i-m (x),

(22)

N

mVM 1 Ьз-

a3-и

Уз-m (x) ,

где коэффициенты аз-т, Ъз-т определяются по формулам (21). Формула (18) для аз примет вид

3 N2

b

а =---

3-m

2 M24M ViXi '

Находим первые члены асимптотики

(23)

u = +е

viX^VM IviXi

Vi( x) + e3

vixi

Vi( x) +

in \

a3-m V b3-m у

V3-m (x)

+ 0(e4):

частное решение неоднородного уравнения

где аз определяется формулой (23). Сформулируем аналог предложения 3 в одномерном случае.

Предложение 4. Если х е[0,1] и на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражениях (19) и (20) компоненты вектор-функций

Яп (х) и иР (х) представляют собой линейные комбинации базисных функций ук с нечетными индексами к не выше п .

Следствие 2. Общий член асимптотики стационарных решений при п > 5 и краевых условиях Дирихле представляет собой линейную комбинацию базисных функций ук с нечетными индексами к не выше п .

Следствие 3. Рассмотрим уравнение (19) в случае нечетного п > 5 . Если х е [0,1] и на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражениях (19) и (20) компоненты вектор-функций

fn (х) и иР (х) представляют собой линейные комбинации базисных функций ук с индексами не

п +1

выше

з 1

где М = —, N = , т = 0 в случае краевых ус-

з 1

ловий Дирихле; М = —, N = , т = 1 в случае

смешанных краевых условий (знак N выбирается в зависимости от краевых условий: плюс, когда на левом конце отрезка задано краевое условие Неймана, и минус - в противном случае). Выражение для а1 примет вид

а 2 = (1 + У^1)2

а1 =-^-.

(У1Х02 м

Применив к правой части уравнения (11) формулу (22), находим и Р

2

Эволюция пространственно-неоднородного стационарного решения системы при увеличении параметра надкритичности е была исследована численно. Применялся метод прямых с аппроксимацией уравнений на равномерной сетке [8, 10]. Численное интегрирование проводилось при помощи метода Дорманда - Принса с автоматическим выбором шага интегрирования по времени. Рассматривались краевые условия Дирихле, параметры системы взяты равными У1 = 0,5,

У2 = 1, Ц = Цсг +е2, ц = цсг +е2 и I = 1. Обнаружено, что при увеличении значений е профиль решения сохраняет синусоидальную форму. Но для значений е> 10 м>(х, /) стремится к П -образному профилю (рис. 1), причем таххе[0 /] | н>(х,/) е , в то время как у(х,/) продолжает сохранять свой синусоидальный профиль.

1

i

1

+

3

m

W 12

10

04

0.8

W

50

10

02

0.4

и/(хде=10 мхл), е=50

а б

Рис. 1. Профиль второй компоненты решения при различных значениях 8

Вследствие симметрии системы (2) относительно замены переменных (~, W) = (-v,-w), для каждого стационарного решения системы существует также решение, получаемое зеркальным отражением соответствующего профиля относительно оси абсцисс.

Случай двух пространственных переменных

Пусть теперь х = (х1, Х2), Х1 е [0, /1], Х2 е [0,/2], /1,2 > 0 . Тогда справедлив аналог формулы (22)

з

У(1,1) (х) = Му(1,1) (х) + Л^(3_т,1) (х) +

+ PV(1,3-m) (x) + QV(3-m,3-n) (x),

(24)

(

где M =

Q =

2J ll

N = +

P = +

и m, n = 0,1 выбираются в зависимо-

2 _ (1 + V1^(1,1))2

а1 =

2

^(щ) М

Применив к правой части уравнения (11) формулу (24), находим и р

N

^a(3-m,1)^

MVM ^b(3-m,1)

V(3-m,1)(x) "

P

m4M

Su-„)a

v b(1,3-„)

v(1,3-„)(x) -

(25)

Q

(

m4M

(3-m,3-n) (3-m,3-n)

\

V (3 - m,3-n )( x),

где коэффициенты a{

(i, j) ' Ь(',j)

определены в (21).

Формула (18) для а 3 примет вид

3 (ь(3-т,1)N2 + ь(1,3-п)р2 + ь(3-т,3-п)б2)

а3 =---

2 v1x(1,1) м24М

Первые члены асимптотики имеют вид

1 Г 1х

(26)

u = +е

v1X(11)yfM lvV1^(1,1)

+ s3

■(1,1)'M V

( 1 ^

v(1,1)( x) ±

а3

Vv1x(1,1) у

v(1,1)(x)

+ ui

+ O(s4),

сти от краевых условий, аналогично случаю одной пространственной переменной. Формула для а1 принимает вид

2

где и р и а3 определены в (25) и (26) соответственно. Сформулируем аналог предложения 3 для двумерного случая.

Предложение 5. Если х = (Х1, Х2), Х1 е[0,/1], Х2 е [0, /2] и на границе прямоугольника заданы краевые условия Дирихле, то в выражениях (19) и (20) компоненты вектор-функций fn (х) и ир (х) представляют собой линейные комбинации базисных функций у (к .к ) со значениями мультииндек-

са, не превосходящими (п, п) .

Следствие 4. Общий член асимптотики стационарных решений при п > 5 и краевых условиях Дирихле представляет собой линейную комбинацию базисных функций к2) со значениями мульти-

индекса, не превосходящими (п, п) .

Следствие 5. Рассмотрим уравнение (19) в случае нечетного п > 5 . Если х1 е [0, /1], х2 е [0, /2], и на

2

2

2

3

2

2

2

1

3

одной из границ прямоугольника заданы краевые условия второго рода, а на остальной части границы -первого рода, то в выражениях (19) и (20) компоненты вектор-функций fn (х) и иР (х) представляют собой линейные комбинации базисных функций У(к к2) со значениями мультииндекса, не превосхо-

. п + 1. дящими (п,-) .

2

Для численных экспериментов были выбраны те же значения параметров, что и в случае одной пространственной переменной. Система рассматривалась на единичном квадрате (^ = 1, /2 = 1). Результаты численных экспериментов полностью аналогичны случаю одной пространственной переменной (рис. 2).

0.12

w(x,t), £=10

в

Рис. 2. Профили компонент ре] Литература

1. Schnakenberg J. Simple chemical reaction systems with

limit cycle behaviour // J. of Theoretical Biology. 1971. Vol. 81. P. 389-400.

2. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis // Philo-

sophical transactions of the Royal Society of London. Series B. 1952. Vol. 237, № 641. P. 37-72.

3. Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and

biomedical applications. Springer-Verlag, 1993. P. 71-98.

4. Fitzhugh R. Impulses and physiological states in theoretical

models of nerve membrane // Biophysical J. 1961. № 1. P. 257-278.

1.2

w(x,t), £=1

б

шя при различных значениях s

5. Nagumo J.M. An active pulse transmission line simulating

nerve axon // Proceedings of the IRE. 1962. Vol. 50. P. 2061-2070.

6. Cross M., Greenside H. Pattern formation and dynamics in

nonequilibrium systems. Cambridge, 2009. 553 p.

7. Загребнева А.Д., Говорухин В.Н., Сурков Ф.А. Бифурка-

ции в модели активный хищник - пассивная жертва // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2014. Т. 22, № 3. С. 94-106.

8. Кругликов М.Г., Цибулин В.Г. Анализ модели сосущест-

вования популяций, конкурирующих на пространственно-неоднородном ареале // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2015. № 2. С. 56-64.

9. Загребнева А.Д., Тютюнов Ю.В., Сурков Ф.А., Азов-

ский А.И. Численная реализация модели таксис - реакция - диффузия, описывающей динамику системы хищник - жертва // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2010. № 2. С. 12-16.

10. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Релаксационные

колебания и диффузионный хаос в реакции Белоусова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 8. С. 1400-1418.

11. Ward M.J. Asymptotic methods for reaction-diffusion systems: past and present // Bulletin of Mathematical Biology. 2006. Vol. 68. P. 1151-1167.

12. Юдович В.И. Исследование автоколебаний сплошной

среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36, № 3. С. 450-459.

13. Юдович В.И. Пример потери устойчивости и рождения

вторичного течения жидкости в замкнутом сосуде // Мат. сб. 1967. Т. 74, № 116. С. 565-579.

14. Казарников А.В., Ревина С.В. Возникновение автоколе-

баний в системе Рэлея с диффузией // Вестн. ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. 2016. Т. 9, № 2. С. 16-28.

15. Kazarnikov A.V., Revina S.V., Haario H. Numerical and

asymptotical analysis of Rayleigh reaction-diffusion system // Numerical algebra with applications: Proceedings of Fourth China-Russia Conference. 2015. Rostov-on-Don, С. 114-119.

References

1. Schnakenberg J. Simple chemical reaction systems with

limit cycle behavior. J. of Theoretical Biology, 1971, vol. 81, pp. 389-400.

2. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis. Philo-

sophical transactions of the Royal Society of London. Series B, 1952, vol. 237, no 641, pp. 37-72.

3. Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and

biomedical applications. Springer-Verlag, 1993, pp. 71-98.

4. Fitzhugh R. Impulses and physiological states in theoretical

models of nerve membrane. Biophysical J., 1961, no 1, pp. 257-278.

5. Nagumo J.M. An active pulse transmission line simulating

nerve axon. Proceedings of the IRE, 1962, vol. 50, pp. 2061-2070.

6. Cross M., Greenside H. Pattern formation and dynamics in

nonequilibrium systems. Cambridge, 2009, 553 p.

Поступила в редакцию

7. Zagrebneva A.D., Govorukhin V.N., Surkov F.A. Bifurkatsii

v modeli aktivnyi khishchnik - passivnaya zhertva [Bifurcations in a predator model active - passive victim]. Izv. vuzov. Prikladnaya nelineinaya dinamika, 2014, vol. 22, no 3, pp. 94-106.

8. Kruglikov M.G., Tsibulin V.G. Analiz modeli

sosushchestvovaniya populyatsii, konkuriruyushchikh na prostranstvenno-neodnorodnom areale [Analysis of the model of coexistence of populations, competing in a spatially inhomogeneous areal]. Ekol. vestn. nauch. tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva, 2015, no 2, pp. 56-64.

9. Zagrebneva A.D., Tyutyunov Yu.V., Surkov F.A., Azovskii

A.I. Chislennaya realizatsiya modeli taksis - reaktsiya -diffuziya, opisyvayushchei dinamiku sistemy khishchnik-zhertva [The numerical implementation of the model taxis -reaction - diffusion, describing the dynamics of predator-prey system]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki, 2010, no 2, pp. 12-16.

10. Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Relaksatsionnye

kolebaniya i diffuzionnyi khaos v reaktsii Belousova [Relaxation oscillations and diffusion chaos in the Belousov reaction]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki, 2011, vol. 51, no 8, pp. 1400-1418.

11. Ward M.J. Asymptotic methods for reaction-diffusion sys-

tems: past and present. Bulletin of Mathematical Biology, 2006, vol. 68, pp. 1151-1167.

12. Yudovich V.I. Issledovanie avtokolebanii sploshnoi sredy,

voznikayushchikh pri potere ustoichivosti statsionarnogo rezhima [The study of self-oscillations of a continuous medium, arising from the loss of stability of the stationary mode]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1972, vol. 36, no 3, pp. 450-459.

13. Yudovich V.I. Primer poteri ustoichivosti i rozhdeniya

vtorichnogo techeniya zhidkosti v zamknutom sosude [An example of loss of stability and generation of a secondary flow in a closed vessel]. Mat. sb., 1967, vol. 74, no 116, pp. 565-579.

14. Kazarnikov A.V., Revina S.V. Vozniknovenie avtokolebanii

v sisteme Releya s diffuziei [The emergence of self-oscillations in a system with Rayleigh diffusion]. Vestn. YuUrGU. Mat. modelirovanie i programmirovanie, 2016, vol. 9, no 2, pp. 16-28.

15. Kazarnikov A.V., Revina S.V., Haario H. Numerical and

asymptotical analysis of Rayleigh reaction-diffusion system. Numerical algebra with applications. Proceedings of Fourth China-Russia Conference. Rostov-on-Don, 2015, pp. 114-119.

20 мая 2016 г.