CC BY
69Занимательная наука
МОДУСЫ КАТЕГОРИЧЕСКОГО
СИЛЛОГИЗМА
Высказывания, которые содержат некоторую информацию, представляют собой суждения. Категорическое высказывание - это суждение, в котором утверждается или отрицается наличие какого-то признака рассматриваемого предмета. Имя предмета Б, о котором говорится в категорическом высказывании, называется субъектом, а имя признака Р - предикатом. И субъект, и предикат являются элементами категорического высказывания, которые могут быть распределены или не распределены.
Будем говорить, что Р распределен в Б или Б распределен в Р, если соответственно Р полностью расположен в Б или Б полностью расположен в Р. Если Б и Р пересекаются, будем говорить, что они не распределены. В случае если Б и Р не пересекаются, будем говорить, что они распределены. Наглядно распределение терминов можно показать, используя круги Эйлера (рис. 1).
Рис. 1. Распределение предмета (Б) и предиката (Р) с помощью кругов Эйлера. а - Р распределен в Б; Ь - Б распределен в Р; с - Р и Б не распределены; б - Р и Б распределены.
Ю. С. Антонов,
кандидат физико-математических наук
Категорические высказывания могут быть связаны между собой в следующих отношениях: подчиненные, противоречащие, противные и подпротивные. Графически это можно показать, используя логический квадрат (рис. 2).
Если одно из двух противоречащих высказываний ( БаР и БоР; БеР и Б1Р) истинно, то второе обязательно ложно, и наоборот.
Противные и подпротивные высказывания не являются противоречащими. Противные высказывания (БаР и БеР) могут быть ложными, но не могут быть одновременно истинными. В нашем примере оба высказывания ложны. Однако если в качестве субъекта возьмем слово «ры бы», а в качестве предиката фразу «дышат жабрами», то БаР будет истинным высказыванием, а БеР -ложным.
Подпротивные высказывания не могут быть одновременно ложными, но могут быть истинными. В нашем примере это так. В то же время, если опять в качестве субъекта возьмем слово «рыбы», а в качестве предиката фразу «дышат жабрами», то Б1Р будет истинным высказыванием, а БоР -ложным.
Подчиненными являются высказывания БаР и Б1Р, а также БеР и БоР. Причем общее высказывание является подчиняющим, а частное - подчиненным. Истинность подчиняющего влечет истинность подчиненного, а из ложности подчиненного следует ложность подчиняющего.
Категорические высказывания разделяются на следующие типы суждений:
а - общеутвердительное суждение, структура которого: «все Б есть Р» (например, «все змеи ползают »);
I - частноутвердительное суждение, структура которого - «некоторые Б есть Р» (например, «некоторые птицы лет ают »).
е - общеотрицательное суждение, структура которого - «все Б не есть Р» или «ни один Б не есть Р» (например, «все киты не есть рыбы»).
о - частноотрицательное суждение, структура которого - «некоторые Б не есть Р» (например, «некоторые жидкости не есть мет аллы»).
В классической логике типы категорических высказываний принято обозначать в сокращенном виде: БаР, Б1Р, БеР, БоР. Рассмотрим пример категорических высказываний с одинаковыми субъектом и предикатом: «все спортсмены являют ся чемпионами» (БаР); «некоторые спортсмены являют ся чемпионами» (Б1Р);
«все спортсмены не являют ся чемпионами» (БеР); «некоторые спортсмены не являются чемпионами» (БоР).
БаР
ПРОТИВНЫЕ
БеР
ш л
X X
ш
X
X §
\П
\Р
\О
\Т
.И
\В Е V
ОР
ОХР
У ^ Е \Ч
т/ \А
О/
р/ Xй \Е
И
И Н Е Н
Н Ы
Е
Б1Р
ПОДПРОТИВНЫЕ
БоР
Рис. 2. Логический квадрат , отражающий отношения между кат егорическими высказываниями.
Логика категорических высказываний является самой старой логической теорией. Со времен Аристотеля она практически не менялась. В современной логике она носит название традиционной. Понятно, что из любого категорического высказывания можно сделать некоторое умозаключение. При этом исходное категорическое высказывание носит название посылки, а полученное категорическое высказывание называется заключением.
Рассмотрим умозаключения, полученные с использованием логического квадрата. Из высказывания «не-которые спортсмены не являют ся чемпионами» следует заключение: «неверно, что все спортсмены являют ся чемпионами» (БоР, БаР). Из высказывания «все тигры - хищники» следует заключение: «неверно, чт о некоторые тигры не хищники» (БаР, БоР). Так как противные высказывания не могут быть одновременно истинными, то из истинности высказывания «все млекопитающие позвоночные» следует заключение: «неверно, что все млекопитающие не являются позвоночными» (БаР, БеР). Правда, из исходного категорического высказывания можно получить и такое заключение: «неверно, что некоторые млекопитающие не являются позвоночными». Но это заключение было бы получено не из закона противности логического квадрата, а из закона противоречия. Оба подпротивных высказывания не могут быть ложными. Поэтому из ложного высказывания «некоторые коровы - хищники» следует истинное заключение: «некоторые коровы - не хищники» (Б1Р, БоР). Из истинности подчиняющего высказывания следует истинность подчиненного. Поэтому из истинности высказывания «все воробьи лет ают » следует истинность заключения: «некоторые воробьи лет ают » (БаР, Б1Р).
Некоторые умозаключения можно сделать, используя обращение.
Обращение - умозаключение, пост роенное пут ем соответ ствующей перемены мест т ерми-нов Б и Рв исходном кат егорическом высказывании.
Обращения бывают двух видов: простые (случай с и с1) и с ограничением (случай а и Ь) (см. рис. 1).
— - В простом обращении меняются местами Б и Р. В обращении с ограничением происходит не только обмен Б и Р, но и слово «все» меняется на слово «некоторые», и наоборот.
Суждение БаР - общеутвердительное. Здесь возможны оба вида обращений. Из высказывания «все квадраты - равносторонние прямоугольники» следует умозаключение: «все равносторонние прямоугольники - квадраты» (Б=Р). Из высказывания «все дельфины -млекопитающие» следует умозаключение: «некоторые млекопитающие - дельфины».
Суждение БеР - общеотрицательное. В кругах Эйлера - это случай С. Поэтому обращение простое. Из истинности «все коровы не хищники» следует истинность заключения: «всехищники не коровы».
Суждение Б1Р - частноутверди-тельное. Возможны оба вида обращения. Если Б и Р не распределены, то обращение простое. Из утвержде-
ния «некоторые мастера спорт а - лыжники» следует: «некоторые лыжники - мастера спорта». Если Б распределен в Р или Р распределен в Б, то обращение должно быть с ограничением. Из истинности утверждения «некоторые музыканты являются композиторами» следует истинность умозаключения: «все композит о-ры - музыканты».
Суждение БоР - частноотрицательное. Его обращать нельзя.
Рассмотрим умозаключения, полученные с помощью превращения.
Превращение - умозаключение, в котором предикат «Р» меняет ся на «не Р», а утверждение - на отрицание утверждения.
При этом если предикат Р или исходное утверждение отрицательны, то мы получаем два отрицания, которые взаимно исключают друг друга. Отрицание из предиката можно переводить в связку. Так, «Б есть не Р» эквивалентно суждению «Б не есть Р».
Превращения и обращения можно комбинировать.
Рассмотрим случай, когда мы имеем два категорических высказывания.
Кат егорический силлогизм - это вид дедуктивного умозаключения, построенного из двух кат егорических высказываний. Эти высказывания являются посылками. Построенное на этих посылках категорическое высказывание и является заключением. Один из терминов, называемый средним, в двух начальных посылках должен быть общим. Предикат заключения называется большим термином, субъект заключения - меньшим термином. Посылка, в которой участвует предикат заключения, называется большей, а посылка, в которой участвует субъект заключения, - меньшей. Рассмотрим пример.
«все кенгуру (М) есть сумчатые млекопитающие (Р)» «эт о животное (Б) есть кенгуру (М)» «эт о животное (Б) есть сумчат ое млекопитающее (Р)»
Первое из двух начальных высказываний этого силлогизма - большая посылка, второе высказывание -меньшая посылка.
Если мы будем обозначать субъект заключения через Б, а предикат заключения через Р, то в зависимости от положения среднего термина в посылках получим четыре фигуры категорического силлогизма, которые схематически изображены на рис. 3.
I II III IV
X Р М М Р Р / М
8-\ 8- М М -8 8
Рис. 3. Схематические фигуры категорического силлогизма.
По схеме I построен силлогизм:
«все жидкости (M) теплопроводны (P)» «вода (S) - жидкость (M)» «вода (S) - теплопроводна (P)»
По схеме II построен силлогизм:
«все ужи (P) - пресмыкающиеся (M)» «это животное (S) не является пресмыкающимся (M)» «эт о животное (S) не являет ся ужом (P)»
По схеме III построен силлогизм:
_ «все бамбуки (M) цвет ут один раз в жизни (P)» «все бамбуки (M) - многолетние растения (S)» «некот орые многолетние раст ения (S) цвет ут один раз в жизни (P)»
По схеме IV построен силлогизм:
«все киты (P) - млекопитающие (M)»
«ни одно млекопитающее (M) не есть рыба (S)» «ни одна рыба (S) не есть кит (P)»
Разновидности фигур, отличающихся харак-т ером посылок и заключений, называют ся модусами категорического силлогизма. Используя всевозможные посылки и заключения, можно получить 256 модусов. Только 24 из них являются правильными. Правильные модусы носят названия:
фигура I: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront;
фигура II: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros;
фигура III: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison;
фигура IV: Bramanlip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, Camenos.
В каждом из этих названий содержатся три гласных буквы. Они указывают, какие категорические высказывания используются в модусе. Первая гласная обозначает вид высказывания большой посылки, вторая и третья гласные соответственно обозначают вид меньшей посылки и заключения. В качестве примеров мы рассмотрели модусы Barbara, Baroco, Darapti, Camenes.
Для того чтобы получить правильный силлогизм, надо соблюдать следующие правила:
1) в первой фигуре большая посылка должна быть общей, меньшая - утвердительной;
2) во второй фигуре большая посылка должна быть общей, а одна из посылок и заключение - отрицательны;
3) в третьей фигуре меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение - частным;
4) четвертая фигура общеутвердительных заключений не дает (если большая посылка утвердительная, то меньшая посылка должна быть общей, а если одна из посылок отрицательная, то большая посылка должна быть общей);
5) средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок;
6) термин распределен в заключении тогда и только тогда, если он распределен в посылке;
7) из двух отрицательных посылок нельзя получить заключение;
8) из двух частных посылок нельзя получить заключение;
9) если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным;
10) если одна из посылок частное, то и заключение должно быть частным.
Соблюдение этих правил и приводит к указанным выше правильным модусам.
В обычных рассуждениях нередки силлогизмы, в которых одна из посылок или заключение выражаются не явно. Такие сокращенные силлогизмы называются энтимемами. Например: «скупость заслуживает порицания, как и всякий порок». Эта энтимема содержит в себе силлогизм:
«все пороки заслуживают порицания»
«скупость - порок» «скупость заслуживает порицания»
Данный силлогизм представляет собой правильный модус Barbara.
Рассмотрим энтимему «ни одно жирное животное не может бегать быст ро. Некоторые бегущие быстро животные - гончие». Из этих высказываний не явно следует заключение: «некоторые гончие не жирные». Если к исходным высказываниям присоединить заключение, получим модус Fresison. Заключение могло иметь вид: «некоторые гончие худые». Чтобы правильно оценить рассуждение с сокращенным силлогизмом, энтимему надо восстановить в полный силлогизм.
Предлагаю вниманию читателей журнала следующие задачи. Восстановите до полного силлогизма следующие энтимемы и установите их правильность:
1) «все судьи хорошо знают законы, а этот человек - судья»;
2) «это, несомненно, какая-то кислота, так как именно кислоты оказывают такое действие на металлы»;
3) «некоторые свидетели дают ложные показания, а он свидетель»;
4) «сохраняющие самообладание не вспыльчивы, значит, этот юноша не сохраняет самообладания»;
5) «выступающий допустил нарушение закона тождества, так как он произвел подмену понятия».
Лит ерат ура
1. Гетманова А.Д. Логика. - М.: Новая школа, 1995. - 415 с.
2. Ивин А.А. Логика. - М.: Просвещение, 1996. -206 с.
3. Яшин Б.Л. Задачи и упражнения по логике. -М.:Гуманит . изд. центрВЛАДОС, 1996. -226с.
