Модифицированный метод последовательной частотно-динамической конденсации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Модифицированный метод последовательной частотно-динамической конденсации

В.А. Игнатьев

1. Введение

Решение задачи о свободных колебаниях конструкций с конечным числом степеней свободы при расчете по методу перемещений или методу конечных элементов в перемещениях сводится к решению уравнения

[к-ш]\г)=ъ, (1)

где К - матрица жесткости конструкции,

М - матрица масс,

А = со1, со - круговая частота колебаний.

Решение уравнений (1) сводится к решению полной алгебраической проблемы собственных векторов (СВ) и собственных значений (СЗ) и (СВ):

\К-Ш\ = 0. (2)

При больших порядках матриц К и М решение полной проблемы прямыми методами во многих случаев практически невыполнимо.

Поэтому решается обычно имеющая большое практическое значение частичная (неполная) алгебраическая проблема СВ и С3,т.е. находится нужное количество частот свободных колебаний нижней части полного спектра частот колебаний.

С учетом выбора главных и второстепенных степеней свободы уравнение (1) представляется в виде:

К к.

К. к.

-л

мг м.

Мг

м.

= 0

(3)

где Г - индексы, относящиеся к главным степеням свободы системы,

5 - индексы, относящиеся к второстепенным степеням свободы.

Метод статической конденсации основан на допущении о пренебрежимости силами инерции по направлениям второстепенных степеней свободы.

В этом случае 7 7

и уравнение (3) конденсируется к основным степеням свободы и принимается вид

о

где К„=К„—К„К„ К„ (5)

" ТТ ТГ Г8 Я» ЗГ \ >

- статически конденсированные к главным степеням свободы матрицы жесткости и масс системы.

Практика применения этого метода показала два основ-

100

ныхего недостатка: достаточно высокая точность вы числен и и только первых нескольких (обычно 2-3) собственных частот и необходимость обращения матрицы Kss, имеющей, как правило, очень высокий порядок.

2. Метод последовательной частотно-динамической конденсации.

Метод последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК) позволяет значительно увеличить количество вычисляемых с заданной степенью точности частот нижней части полного спектра и частично устранить второй недостаток метода статической конденсации (МСК).

Основная идея этого метода последовательной ЧДК состоит в разделении всех степеней свободы системы на главные и второстепенные, разделении последних на несколько групп и их раздельной последовательной ЧДК к главным степеням свободы.

Таким образом, конденсация одной большой динамической системы сводится к раздельной последовательной ЧДК нескольких относительно небольших подсистем.

Конденсационные добавки к матрице массМ„,и есть тот вклад, который вносят исключаемые второстепенные степени свободы каждой подсистемы в общую динамическую характеристику системы. Учитывая эти добавки, получаем итоговую редуцированную (конденсированную) систему, которая по динамическим характеристикам будет близка к исходной.

3. Модифицированный метод последовательной ЧДК для задач в форме метода перемещений.

Алгоритм и технику этого метода покажем на примере одномерной системы - балки с точечными массами, т.е. системы с п степенями свободы (рис. 1, а).

1-й этап. Все /?-степеней свободы рассматриваемой системы (рис. 1, а) подразделяются на главные - г и второстепенные s (рис. 1, б). Количество главных степеней свободы - N равно назначаемому количеству собственных значений из всего спектра п, которые нужно определить с требуемой степенью точности (рис. 1, в).

Bees второстепенных степеней свободы подразделяются в свою очередь Hat групп (slis2i...ist) - рис. 1,6. Количество степеней свободы в них может быть различно.

Главные степени свободы выбираются таким образом, чтобы наиболее полно (с качественной стороны) описать соответствующие определяемой части спектра частот формы колебаний системы.

Расположение каждой из групп второстепенных степеней свободы должно позволять при их последовательном учете в

2011

расчете уточнять форму колебаний редуцированной системы.

2-й этап. В основной системе метода перемещений (рис. 2, а) выполняется статическая конденсация матрицы жесткости исходной системы с п степенями свободы к главным степеням свободы - 1\,..., Тл,..., и для этой конденсированной системы с массами, связанными с главными степенями свободы (рис. 2, б), решается полная проблема СЗ и СВ

А,Я,,...,ЯЛГ и со

Пк)\к = \,2,...,

(б)

(7) соот-

N

Кп.-Шп. = 0,

соответствующая частотному уравнению

Ес-^кЬо-

и находятся N собственных значений ветствующих им собственных векторов У1 - СВ, / = 1,2,...,Ж - СВ).

3-й этап. Увеличим число главных степеней свободы, включив в их число второстепенные степени свободы группы и выполним статическую конденсацию матрицы жесткости исходной системы к редуцированной системе с увеличенным числом главных степеней свободы и

^ = N + 5,.

Для этой системы с массами, связанными с увеличенным числом степеней свободы г^, называемой первой парциальной системой, решается, как и в п. 2 полная проблема СЗ для частотного уравнения

[с]&,,}=о-

т.е. находятся

# А1) я(1) я(1) я(1)

(8)

(9)

4-й этап. Выполним частотно-динамическую конденсацию масс группы ^ парциальной системы г (рис. 1, г) к

главным степеням свободы /;./\.....(рис. 1, в) на основе

эквивалентности редуцированной системы с N степенями свободы и парциальной системы с Ы + степенями свободы по первым N собственным значениям из нижней части спектра (9). Эти условия эквивалентности при подстановке в (7) могут быть записаны для каждого из собственных векторов в следующем виде:

К* V = Я{1) М*{1)У

Здесь ^„конденсированная к главным степеням свободы матрица жесткости исходной системы, входящая в выражение (6,7)

лк1 - к-е собственное значение для первой парциальной системы,

т, т2

111

Шп

а) я-©-©-©-©-©-©^—©-©-©-©-©-©-©-©-

А

а

б)

С&2 Г] £§2 С8| £83 Г^ £82 £8| £83 Г^ €82 С8|

—©—©—Ц—©—©-©—^—©—©—©—®—©—©—©-

В)

а

Г!

—е—^

ее, —©-

ее.

-©-

ее, —©-

Рис. 1 О)

6) л?

/77777

е)

Рис. 2

ев!

еэ!

2011

101

Ук - конденсированный собственный вектор уравнения

(6)' чп

М подлежащая определению конденсированная к

гг

главным N степеням свободы матрица масс первой парциальной системы.

Система уравнений (10) может быть записана в виде одного матричного уравнения:

¡ЛГхЛГ)(/|7хЛГ) (ЛГхЛ') [ШЫ)

(11)

гдеМ = торов уравнения (б),

матрица собственных век-

М=

V Л^ V

Л(1) V 1

'^к=Ыу N>1

Из (11) находим конденсированную к главным степеням свободы матрицу масс первой парциальной системы:

И" ЦкЫМ1

(12)

Следовательно, матрица конденсационных добавок от первой парциальной системы к матрице масс главных степеней свободы: #

АМГГ =МГГ -Мгг . (хз)

Аналогично находятся матрицы конденсационных добавок от остальных парциальных систем.

Суммируя добавки от всех £ парциальных систем, находим полную конденсированную к главным степеням свободы матрицу масс:

[МГ]=М;+Х(ам:)

(14)

1=1

Решая уравнение

(15)

находим собственные значения и собственные векторы системы конденсированной к главным N степеням свободы.

Для получения конденсированной к главным степеням свободы матрицы жесткости М>гут быть использованы два варианта:

- алгоритм Гаусса в блочной форме в случае, когда имеется матрица жесткости всей конструкции,

- алгоритм метода подконструкций (суперэлементов) [1,2,4], основанный на раздельном формировании матриц жесткости подконструкций и их поэтапном объединении с одновременным исключением второстепенных степеней свободы

4. Модифицированный метод последовательной ЧДК для задач в форме метода сил.

Решение задачи о свободных колебаниях систем с конечным числом степеней свободы при расчете по методу сил сводится к решению уравнения

[Ш-ЛЕ]{1Г}= О, (16)

где 3 - матрица податливости системы,

М - матрица масс,

Л =

1

со - круговая частота колебаний.

со

При разделении степеней свободы системы на главные и второстепенные (рис. 1, б) уравнение (16) может быть записано в виде,аналогичном (3):

М,

м.

м

■Л Е

(лхл)

0. (17)

К 8Г.

А -м*г м*

(пхп) (их л)

Полагая отсутствие масс и соответствующих сил инерции по направлениям второстепенных степеней свободы (рис. 1, в), получаем из (17) уравнение

[<ис-А£,]{гЛ=о (и)

Решив соответствующую этому частотному уравнению полную проблему СВ и СЗ

¡¿„М^-ЛЕ^ О, (19)

найдем N собственн ых значений Л^ и соот-

ветствующие им собственные векторы

Включим в число главных группу ^ второстепенных степеней свободы (рис. 1, г). Для этой парциальной системы с числом степеней свободы гх = А^-Ь^ с частотным уравнением

к А,

решим полную проблему СЗ и СВ:

\8ГГМГГ -ЛЕ 1 = 0.

! 11 11 г\ |

Здесь матрицы и Мщ

(20)

получаются окаймлением

матриц^ и Мпэлементами из матриц 8 иМ, относящимися к второстепенным степеням свободы группы Найдя для (26) собственные значения

М

Р #

, выполним, как и в раз-

деле 3, частотно-динамическую конденсацию масс группы ^ парциальной системы г^ (рис. 1, г) и главным степеням свободы г1?г2,...,г^ на основе эквивалентности системы с N степенями свободы и парциальной системы с + ^ степенями свободы по первым N старшим собственным значениям из верхней части спектра для парциальной системы. Эти условия, как и (10), могут быть записаны в виде уравнения

(ЛГхАГ) (ЛГхЛО

(21)

где \У] = = матрица собствен-

ных//) (ЛГхЛГ)

ных векторов уравнения (18),

[лг]=Шу^ЛгУ^-Лл.А.

(ЛГхЛг)

Из (21) находим конденсированную к главным степеням свободы матрицу масс первой парциальной системы

(22)

102

2011

и матрицу конденсационных добавок к матрице массМ^от масс группы второстепенных степеней свободы

ДМ*(1)=М*(1)-М . (23)

ГГ ГГ ГГ 4 '

Аналогично находятся матрицы конденсационных добавок от остальных парциальных систем. Суммируя добавки от конденсации масс всех t парциальных систем, получим полную конденсированную к главным степеням свободы матрицу масс

кГЬ^+ЁК?)) («>

Решив уравнение '"-1

\5„М^-ХЕ,\ = 0, (25)

найдем собственные значения и собственные векторы конденсированной к главным степеням свободы системы.

Заключение

Численные расчеты с использованием предлагаемого модифицированного метода показали, что он позволяет получать решение неполной алгебраической проблемы собственных значений и собственных векторов с требуемой точностью и одновременно существенно уменьшить затраты машинного времени за счет более эффективного и экономичного, с точки зрения количества операций, использования памяти и организации параллельных вычислений.

Литература

1. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов, Издательство Саратовского университета, 1982.

2. Ignatiev V.A., Sokolov O.L. Thin-walled cellular structures. Methods for theïr analysis. A.A. Balkema / Rotterdam / Brookfield, 1999.

3. Игнатьев B.A., Макаров A.B. Решение полной алгебраической проблемы собственных векторов и собственных значений для задач динамики и устойчивости методом частотно-динамической конденсации. М., ФГУП НИЦ «Строительство», Строительная механика и расчет сооружений. 2005, №1. С.14-20.

4. Фиалко С.Ю. Прямые методы решения системы линейных уравнений в современных M КЗ-комплексах. С.Ю. Фиалко. М.: Изд-во СКАД СОФТ, 2009.

Literatura

1. Ignatiev V.A. Reduktsionnye rnetody rascheta v statïke i dinamike plastinchatykh sistern. Izd. Sara-tovskogo un-ta, Saratov, 1982,142s.

2.IgnatievV.A.,MakarovA.V. Reshenie polnoyalgebraicheskoy problerny sobstvennykh vektorov i sobstvennykh znacheny dlya zadach dinamiki i ustoychivosti metodom chastotno-dïnarnicheskoy kondensatsïï. Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheny. №lb FGUP NITs «Stroitelstvo», M., 2005,s. 14-20.

3. Fialko S.Yu. Pryarnye metody resheniya sistern lineynykh uravneny v sovremennykh M KE-kompleksakh. Izd-vo SKAD SOFT, M., 2009.

The Modified Method of Consecutive Freguence-Dynaic

Condensation. By V.A.Ignatyev

The paper sets forth the modification of the sequential frequency-dynamic condensation method earlier suggested by the author in [1] and developed in the works [2, 3]. The modified method is more efficient and allows increasing the productivity of the solution of incomplete algebraic EV and EV problem through the reduction of all the operations with matrices of larger dimension to a sequence of operations over small matrices.

The numerical computations applying the suggested modified method showed, it allows obtaining the solution of incomplete algebraic eigenvector and eigenvalue problem with required accuracy and simultaneously reducing the machine time costs through more efficient and economical, from the viewpoint of the number of operations, use of memory and through the organization of parallel computations.

Ключевые слова: неполная алгебраическая проблема собственных векторов и собственных значений, частотно-динамическая конденсация, матрица жесткости, матрица податливости, матрица масс.

Key words: incomplete algebraic eigenvector and eigenvalue problem, frequency-dynamic condensation, stiffness matrix, flexibility matrix, mass matrix.

2 2011 103