CC BY
62
¡Выпуск 4
4. Саушев А. В. Определение совокупности настраиваемых элементов автоматизированной системы управления / А. В. Саушев // Электрооборудование и АСУ судов, гидротехнических сооружений и портов: сб. науч. тр. Ленингр. ин-та водного транспорта. — Л.: ЛИВТ, 1982.
5. Саушев А. В. Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2010. — Вып. 1 (5).
6. Саушев А. В. Построение областей работоспособности технических систем водного транспорта на основе алгоритмов дискретного поиска / А. В. Саушев // Речной транспорт (XXI век). — М., 2012. — № 2.
7. Саушев А. В. Аналитический и поисковый методы параметрической оптимизации технических систем по критерию запаса работоспособности / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2011. — Вып. 3 (11).
8. Саушев А. В. Построение целевой функции при поиске оптимального решения / А. В. Саушев // Морской вестник. — СПб., 2012. — № 3 (43).
9. Саушев А. В. Метод и алгоритмы параметрического синтеза электротехнических систем по критерию запаса работоспособности / А. В. Саушев // Информационные технологии. — М., 2012. — № 12.
10. Саушев А. В. Аналитический метод назначения допусков на параметры динамических /
А. В. Саушев // Информатика и системы управления. — Хабаровск, 2012. — № 3 (33).
УДК 621.3.053.4 Е. Н. Андрианов,
канд. техн. наук, профессор, СПГУВК;
В. В. Сахаров,
д-р техн. наук, профессор, СПГУВК
А. Г. Таранин,
ст. преподаватель, НГМА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова
МОДАЛЬНЫЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СУДОВЫХ МЕХАНИЗМОВ MODALLY DAMPED PARAMETRIC METHOD FOR SHIP CONSTRUCTIONS
Рассматривается модальный метод параметрического демпфирования колебаний динамической системы, реализуемого средствами пассивного управления. Приводятся модели оценки параметров элементов конструкции, обеспечивающие заданный спектр собственных частот при апериодическом переходном процессе.
The modal method of parametric damping for dynamic system oscillations is considered. Models for parameter estimation of mechanical construction are presented. The models secure specified spectrum of internal frequencies under aperiodic transient process.
Ключевые слова: модальное управление, оценка параметров, демпфирование колебаний, спектр матрицы, переходный процесс, собственные значения.
Key words: modal control, parameter estimation, damping oscillation, matrix spectrum, response, eigenvalues.
Теория демпфирования колебаний сложных конструкций и динамических систем, изучаемая на протяжении нескольких столетий, продолжает по-прежнему привлекать внимание широкого круга специалистов, что объясняется необходимостью решения большого числа задач, возникающих в самых различных областях знаний и технических приложений [6, р. 169-182]. Теория демпфирования колебаний играет фундаментальную роль в изучении устойчивости механических структур, а также в электроэнергетических системах, квантовой механике, моделях экономических, экологических, социальных и других систем.
С появлением мощных средств обработки информации произошли кардинальные изменения в области моделирования динамики систем [4, р. 64-72]. Практическое использование методов теории управления, оптимизации и идентификации позволило на качественно новом уровне оценивать параметры конструкций. Особый интерес в связи с этим представляют методы и средства модального синтеза, а также их использование для получения требуемых эксплуатационных характеристик технических систем.
В работе показано, как метод модального синтеза может использоваться для параметрической оценки элементов простых конструкций, с помощью которых реализуется система пассивного управления процессом демпфирования. Для моделирования механических систем обычно применяются матричные дифференциальные уравнения. При отсутствии гироскопических сил модель имеет вид
Мх+Сх+ Кх = /(О
(1)
где X = х(У) — «-мерный вектор переменных состояния, являющийся функцией времени ^ в Я"; матрицы М и К — положительно определенные; матрица С — положительно полуопределенная. Все матрицы действительные и симметрические, размерности («*«), /(О — вектор-функция входных сигналов. Применительно к системам «масса-пружина-демпфер» физическое значение используемых параметров и векторов в формуле (1) следующее: х(0 — положение (перемещение) масс; М — матрица масс; К —матрица жесткостей пружин; С — матрица коэффициентов демпфирования; /() — внешние силы, воздействующие на систему. По методу динамических аналогий для электрических цепей элементы модели (1) обычно связывают со следующими физическими величинами: х(0 = д(0 — зарядом конденсаторов, М — матрицей собственных и взаимных индуктивностей, К — инверсной матрицей емкостей, С — матрицей резисторов, /(0 — напряжениями (токами) внешних источников электроэнергии. Симметрические матрицы, подобные используемым в модели (1), для гидравлических систем могут быть получены с помощью уравнений Лагранжа. С этой целью следует предварительно получить математические выражения для полной кинетической энергии Т, диссипативной функции Q и полной потенциальной энергии V несжимаемой жидкости.
Для моделей с неособенной матрицей М уравнение (1) может быть записано в форме пространства состояний. Введем обозначения: х = х1 X = х2. Тогда получим
d_
dt
х1 х1
= А
х2 х2
+m
(2)
где
А =
0 / 0
1 1 * ¡*! 0 1 II /—ч 1 ■к* < Т |
Характеристическое уравнение системы (2) представим в следующем виде:
Q(k ) =kn+pV'kn-1 + рЪ'кn-2 + ... + p(n - 2)-X2+p(n - 1)-X + pn, (3)
где Pn = [p1, p2, ..., pn] — вектор постоянных коэффициентов.
Уравнение (1) приведено к виду, удобному для численного решения в среде MatLAB с помощью решателей дифференциальных уравнений группы ODE. При заданных начальных значениях
С
Выпуск 4
х0 = [х10 х20]т выполняются условия существования и единственности решения уравнения (2). Заметим, что в случае сингулярной М следует использовать обычные процедуры формирования уравнений состояния с соблюдением корректности вводимых обозначений координат. Приведение к виду, пригодному для численного моделирования систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями п-го порядка, выполняется путем составления соответствующих п вектор-функций первого порядка.
Уравнения (1) и (2) часто используют для моделирования механических структур, состоящих из соединений типовых звеньев, содержащих накопители энергии и элементы демпфирования колебаний. На рис. 1 представлена схема последовательного соединения масс, образующих механическую структуру, в которой могут наблюдаться колебания с различными собственными частотами.
Рис. 1. Структура с четырьмя степенями свободы
Заметим, что аналогичные структуры часто применяются для математического моделирования роботов-манипуляторов различного назначения [3, р. 65-88], моделирования динамики сцепок вагонов, элементов конструкций металлообрабатывающих станков, дробильных машин [2, р. 377-384], динамики мостовых кранов [1] и др.
В общем случае при наличии в структуре п масс модель (рис. 1) представляет собой механическую систему, все элементы которой могут перемещаться горизонтально. Здесь х = [х х .... х]т — вектор состояния, где х. = х() — перемещение 7-й массы относительно точки ее равновесия. Матрицы М, К и С соответственно равны:
К =
М = Ша§([т1, т2, . ,т ]), т > 0, П” 7 7 = 1, ..., П
-Ьй 1 + 0 0 0
— к2 к2+ к3 0 0
"Ье 1 о ... 0 ••• 0
0 0 '. ■. 0
; ; * . *. * . 0
0 0 -К
о о 1 о К+К+1
к 0, Л 7 = 1, ..., п.
4)
Матрица демпфирования формируется следующим образом:
С =
Сі +с2 <м 0 1 0 0 ... 0
~С2 с2+с3+ с6 с3 0 ... ... 0
0 сз + С4 + Су “С4 0 ... 0
0 0 -с4 ■. 0
■. • 1 • ш 0
0 0 * ш * ш -с„
0 0 ^ о > 0, = ., п. 0 ~Сп Сп + Ся+1
(6)
Входные сигналы вводятся с коэффициентами усиления (передачи), приведенными в мат-
рице V:
V > 0,
і = 1.
(7)
Если в уравнении (1) принять С = 0, то при отсутствии внешних воздействий можно получить модель консервативной системы. Такую модель обычно используют для оценки частот собственных колебаний на начальном этапе исследований или для стартовой оценки, что объясняется простотой вычислительных алгоритмов, базирующихся на ортогональных преобразованиях обобщенной пары матриц (К, М). К наиболее эффективным решениям при спектральном анализе недемпфированных систем следует отнести декомпозицию собственных значений пары матриц (К, М). Если М — неособенная симметрическая матрица, то всегда возможна редукция матриц к диагональному виду:
ФТКФ = ^([^ ц2, .... цД
ФТМФ = I,
где I — единичная и Ф — ортогональная матрицы. Для положительно определенных матриц К и М все элементы ц являются положительными числами, причем этим значениям равны квадраты собственных частот системы. Поэтому
ФТКФ = О2 и ФТМФ = I,
(8)
где О = diag([ю1, ш2, ..., шп]), причем ш. = ц.1/2.
В вычислительной среде Ма1:ЬАВ собственные частоты в недемпфированной системе обычно определяют с помощью функции eig со следующей структурой:
[Ф, Б] = eig(K, И).
Функция возвращает диагональную матрицу Б обобщенных собственных значений и полную матрицу Ф, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами, так что
КФ = МФБ,
и О находится по уравнению (8), согласно которому
Б = ФТКФ.
Решение (1) при условии С = 0 имеет вид
*(/) = Ф
ах • 005(0)5 -Ґ) + Ьх • 3111(0)5 • ґ) а2 • соз(со2 • і) + Ь2 • 8Іп(о)2 • і)
• СОвК • 0 + V 8Іп((Ои-0.
(9)
Выпуск 4
¡Выпуск 4
Столбцы а и Ь в уравнении (9) определяются по формулам:
а = Ф-1х0, Ь = Ф-1 (ёхШ{)=0 .1/ш,
где вектор-столбец собственных частот ш = [diag(D)]1/2. В выражении для Ь используется сомножитель (.1/ш), где точка означает выполнение поэлементного деления. Из уравнения (9) следует, что любое колебание представляет собой суперпозицию гармонических колебаний или собственных мод. Для модально демпфируемых систем должно выполняться равенство
Т1 = Т2, (10)
где Т1 = СК1 И и Т2 = [ИК- С]Т. Тогда диагональными должны быть матрицы ФТМ Ф, ФТК Ф и симметрической ФТС Ф.
Собственные частоты модально демпфированных систем удобно определять по спектру матрицы замкнутой системы согласно (2).
Пассивное демпфирование системы (1) состоит в получении таких расчетных параметров звеньев конструкции (рис. 1), входящих в выражения элементов матриц К и С при заданной матрице И, чтобы спектр А в уравнении (2) отвечал заданным численным значениям. Это типичная инверсная спектральная задача, где производится формирование матриц, обеспечивающих предписанный спектр, который определяет требования к заданному переходному процессу в системе [5, р. 891-914].
Решение задач такого класса основывается на инверсной спектральной теории динамических систем [7]. Практическое использование этой теории позволяет в целом ряде случаев получать оценки параметров систем по заданному спектру. Поскольку спектр определяет переходный процесс в динамической системе, выбранные параметры элементов конструкций фактически обеспечивают пассивное управление процессом демпфирования. Пассивное управление эквивалентно параметрическому синтезу модальной системы с заданными динамическими свойствами. Модальный метод синтеза систем является одним из наиболее мощных и теоретически проработанных методов, что является основанием для результативного его применения в задачах параметрической оценки элементов конструкций. Управление осуществляется свободными составляющими движения в переходном процессе, которые в линейных системах однозначно определяются спектром матрицы замкнутой системы. В структуру этой матрицы входят согласно уравнению (2) элементы, содержащиеся в И, К и С, в соответствии с уравнениями (3)-(5). В зависимости от предъявляемых к системе требований можно задать такой спектр матрицы, который обеспечивает колебательный или апериодический переходный процесс при заданном быстродействии. Поскольку коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы однозначно определяются корнями характеристического уравнения и параметрами элементов конструкций, дальнейшие преобразования должны сводиться к решению системы алгебраических уравнений, составленных с учетом структуры коэффициентов полинома, значения которых заданы модами. Требуемое распределение корней, численно равное спектру матрицы замкнутой системы, выбирается с использованием различных низкочастотных фильтров: Баттерворта, Чебышева, Бесселя и др. Наиболее просто определяются коэффициенты характеристического полинома с биномиальным распределением корней. Кратные корни, задаваемые биномом Ньютона, позволяют исключить колебания системы в переходном процессе, придать ему монотонный вид, а для расчета дают возможность принять стандартную линейную форму полинома, допускающую масштабирование коэффициентов во времени при сохранении вида переходного процесса. Биномиальное распределение корней можно рекомендовать к применению в тех случаях, когда не требуется высокое быстродействие системы. Отметим, что спектр может задаваться различными способами, используемыми в теории управления. К ним можно отнести получение полиномов путем минимизации квадратичных критериев качества и критериев, обеспечивающих минимум интегральной ошибки, что также дает возможность приблизить реакцию системы на единичный входной сигнал к идеальной по быстродействию.
Рассмотрим динамическую систему с четырьмя степенями свободы (рис. 1), представленную моделью (2) в пространстве состояний с известными параметрами: т1 = т2 = т3 = т4 = 1;
к = к = 10 000; к = 5000; к. = к = 20 000; с = С = С = 10; с., = 8; с = С = 6; сй = 2.
12 ’ 3 ’45 ’145 ’2’37’6
Матрицы М, К и С сформируем по формулам:
М = ^([1 1 1 1]);
кх +к2 -к2 0 0
1 ю к2 + к3 — къ 0
0 -К к3+к4 -К
0 0 ~К к4 +к,
с=
с,+с2 -с2 0 0
— с2 с2+съ+ — с3 0
0 — с3 с3 + с4 + с7 -с4
0 0 -с4 с4+с5
Математическую модель системы согласно (2) представим уравнением
у = А-у + Ь1-/1+Ь2-/2, где А — блочная матрица, состоящая из А1 , А2 и А3:
А =
А
А% А3
(11)
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
Л =
2-104 104 0 0
104 —1.5-104 5 • 103 0
0 5-103 -2.5-104 2-104
0 0 2-104 ■^г О 1-Н 1
ОО 00 т-Н 1 о о
8 -16 6 0
А3 =
5 0 6 -22 10
о о 10 -20
Выпуск 4
Система с четырьмя степенями свободы
Рис. 2. Переходный процесс в системе с четырьмя степенями свободы
b = [0 0 0 0 1/ml 0 0 0]г
b2 = [0 0 0 0 0 1/m2 0 0]T,
f1 и f2 — силы, приложенные соответственно к массам ml и m2 (рис. 1). Для решения (10) зададим начальные условия:
у0 = [1 0.5 -0.2 0.3 0.1 0.2 0.25 0.10]т .
Переходный процесс при f = f = 0 представлен на рис. 2.
Спектр матрицы A определим по формуле
5 = eig A,
OMEGA = abs(s)
Q = OMEGA([1, 3, 5, 7]).
В результате
Q =[ю1 ю2 ю3 ю4]Г = [ 232.4759 , 167.5591, 72.2322, 112.3888]T .
Теперь воспользуемся соотношениями (8) для оценки Q в недемпфированной системе (11). Применение функции [Ф, D] = eig(AT, M) приводит к следующим оценкам:
Ф =
-0.4854 0.4182 0.7674 -0.0233
-0.7175 0.3085 -0.6195 0.0794
-0.4331 -0.6899 0.0846 -0.5739
-0.2490 -0.5040 0.1419 0.8148
Согласно (9) векторы коэффициентов а и b имеют численные значения:
а = [-0.8322 0.5592 0.4834 0.375б]г,
¿ = [-0.0045 -0.0011 -0.0001 -0.0002]г.
Диагональная матрица В содержит элементы:
В = ахав ([0.5217 1.2624 2.8072 5.4087} 104)
и, следовательно, вектор собственных частот, используемых в формуле (9) для генерирования х(0, равен
О = [72.2298 112.3576 167.5464 232.5657]г,
что соответствует спектру А в уравнении (11), если А3 = 0.
Модальный метод параметрического демпфирования применим для оценки конструктивных параметров элементов динамической системы с двумя степенями свободы, полученной путем декомпозиции и упрощения исходной схемы (рис. 1). Модель, состоящая из последовательного соединения двух тележек с различными массами, представлена на рис. 3.
Рис. 3. Система с двумя степенями свободы
Данная модель может быть применена при исследовании механизма передвижения тележки мостового крана с гибким подвесом груза. Раскачивание груза обычно происходит при пуске и торможении крана. В процессе моделирования принято считать, что частота колебаний груза относительно крана существенно ниже частоты упругих колебаний крановой металлоконструкции и трансмиссии механизма передвижения, что позволяет маятниковые колебания груза рассчитывать в предположении абсолютной жесткости крана [1].
Демпфирование следует обеспечить с помощью надлежащего выбора элементов конструкции к1, к2, с1 и с2. Уравнения динамики системы (рис. 3) с двумя степенями свободы согласно (2)-(6) имеют вид
х(і) =
0 0 1 0
0 0 0 1
-К К “Сі
щ щ щ т1
-К -(к,+к2) — (с^ + с2 )
т2 т2 т2 т2
' 0 ' ' 0
0 0
х(ґ) + 1 '/і + 0
тх 1
0 т2
•Л,
(12)
Выпуск 4
¡Выпуск 4
где /1 и/ — силы, приложенные соответственно к массам т и т Выбор элементов конструкции выполним при численных значениях параметров т1 = 4 и т2 = 6.
Характеристическое уравнение динамической системы (11):
2(Х) = X4 + р\ • X3 + р2 • X2 + рЪ • X + рА, (13)
где Р4 = [р1 р2 р3 р4] — вектор постоянных коэффициентов.
Образуем этот вектор по заданному спектру выбранного низкочастотного фильтра, соответствующего порядку п. Например, для бинома Ньютона седьмого порядка с кратными корнями ^ = Х2 = ... =^7 = -1 вектор коэффициентов характеристического полинома Р7 равен
Р7 = [р1 р2 р3 р4 р5 р6 р7] = [7 21 35 35 21 7 1].
Если, например, корни заданного характеристического полинома устойчивой системы должны быть равны элементам вектора г:
г = [-0.2 -1.7 -0.03 -0.12 -0.05 (-0.15 + /*0.04) (-0.15 -;*0.04)]г,
содержащего пару комплексно-сопряженных корней, то коэффициенты характеристического полинома должны быть равны
Р7(г) = [2.4000 1.3852 0.3592 0.0485 0.0034 0.0001 0.0000].
Для четвертого порядка, соответствующего (13), вектор коэффициентов полинома
Р4 = [р1 р2 р3 р4] = [4 6 4 1]. (14)
Заметим, что заданным коэффициентам однозначно равны коэффициенты характеристического полинома, представленные в терминах элементов механических конструкций, то есть
ВД = I - А),
где I — единичная матрица.
Для динамической системы (12), приведенной на рис. 3, коэффициенты полинома (13) получим с помощью функций символьной математики:
р1 = (с1 + с2)/т2 + с1/т1,
р2 = (к1 + к2)/т2 + к1/т1 - е1А2/(т1* т2) + (с1*(с1 + с2))/(т1* т2),
р3 = (с1*((к1 + к2)/т2 - с1А2/(т1* т2)))/т1 --(с1*(к1/т1 - с1А2/т1А2))/т2 + (к1*(с1 + с2))/(т1* т2) --(с1*к1)/(т1* т2),
(15)
р4 = к1*((к1 + к2)/т2 - с1А2/(т1* т2))/т1 --(с1*((с1*(к1/т1 - с1А2/т1А2))/т2 + (с1*к1)/(т1* т2)))/т1 +
+(с1*((с1*(к1/т1 - с1А2/т1А2))/т1 + (с1*к1)/т1А2))/т2 -
-(к1*(к1/т1 - с1А2/т1А2))/т2.
Приведенные уравнения составлены с учетом топологии механической структуры, представленной на рис. 3, которая не изменяется. Это позволяет использовать уравнения (15) для демпфирования системы, удовлетворяющей различным модам.
Модальный синтез выполним для полинома, заданного вектором (14), соответствующим n = 4. В результате получим систему алгебраических уравнений:
р\ = Л-,р2 = 6\рЪ = А',рА = \. (16)
Произведем подстановку в (14) численных значений m и m Решение (16) можно выполнить как средствами Maple, так и в инструментарии Symbolic Toolbox среды MatLAB. В последнем случае воспользуемся решателем
S = solve(p1, p2, p3, p4)
при символьных переменных k1 k2 m1 m2 c1 c2. Из полученных четырех решений выберем два с действительными положительными числами. Приведем их в полном формате.
Первое решение:
c1 = 4.2372084277351518224295001338832; c2 = 13.406978930662120443926249665292; k1 = 1.292664893844434594452150594994; k2 = 18.566296736521625906658759811338.
Второе решение:
c1 = 5.3627915722648481775704998661168; c2 = 10.593021069337879556073750334708; k1 = 7.4265186946086503626635039245354; k2 = 3.2316622346110864861303764874851.
Нетрудно убедиться, что подстановка первого и второго решения в уравнение (12) обеспечивает параметрическое демпфирование с заданным спектром ^ = ^4= -1. Переходный про-
цесс в системе с параметрическим демпфированием, реализованным модальным методом, приведен на рис. 4, где символами T1 и T2 обозначены перемещения тележек как реакции на единичный входной сигнал.
Переходный процесс в динамической системе
Рис. 4. Переходный процесс в системе с пассивным демпфированием
Выпуск 4
¡Выпуск 4
В заключение отметим, что модальный метод и полученные модели могут использоваться для оценки поведения механических систем в широком диапазоне вариации конструктивных параметров (демпфирующих элементов, жесткостей пружин, масс тележек и др.) путем реализации пассивного демпфирования. Важным также является возможность их применения для моделирования систем с нелинейными характеристиками элементов структур, подверженных воздействию входных сигналов и внешних возмущений, имеющих случайный характер. Модальный метод пассивного демпфирования может использоваться для синтеза робастных систем с реализацией процедур фильтрации для ослабления влияния внешних возмущений на поведение системы. Так, влияние входной помехи/2 может быть существенно уменьшено в рассматриваемой структуре с помощью /1 средствами смешанного ц-синтеза робастных систем, а также выполнен выбор параметров сложных конструкций методом Монте-Карло.
Список литературы
1. Лобов Н. А. Динамика грузоподъемных кранов / Н. А. Лобов. — М.: Машиностроение, 1987. — 160 с.
2. Cho D. W. A new time-domain multiple input modal analysis method / D. W. Cho, K. F. Eman,
S. M. Wu // Trans. of the ASME. — 1987. Nov. — Vol. 109.
3. Colgate J. E. Robust control of dynamically interacting systems / J. E. Colgate, N. Hogan. // International Journal of Control. — 1988. July. — Vol. 48, № 1.
4. The role of digital modeling and simulation in power engineering education / M. Kezunovic
[et al.] // IEEE Transactions on Power Systems. — 2004. Febr. — Vol. 19, № 1.
5. Lancaster P. Inverse problems for damped vibrating systems / P. Lancaster, U. Prells // J. of
Sound Vibration. — 2005. — Vol. 283.
6. Truhar N. Ancient algorithm for damper optimization for linear vibrating systems using Lyapunov equation / N. Truhar // J. Comp. Appl. Math. — 2004. — Vol. 172.
7. Veseliс K. Damped oscillations of linear systems — a mathematical introduction / K. Veselic. Springer, 2011. — 202 p.
