CC BY
38
12(24) - 2009
Финансы предприятия
МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ДЕНЕЖНОЙ НАЛИЧНОСТЬЮ С УЧЕТОМ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
А. Г. МНАЦАКАНЯН,
доктор экономических наук, профессор, ректор
E-mail: info@bief. ru В. И. РЕШЕЦКИЙ,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры финансового менеджмента E-mail: golimay@mail. com Балтийский институт экономики и финансов,
г. Калининград
Анализируется в общем случае модель Баумоля — То-бина, связанная с управлением денежной наличностью. Используется метод дисконтированных денежных потоков для долгосрочного финансового планирования. Получено трансцендентное уравнение, которое может быть решено точно только численными методами. Получены некоторые приближенные аналитические решения этого трансцендентального уравнения. Показано, что известные решения Баумоля — Тобина непосредственно следуют из нашего трансцендентального уравнения как частный случай очень низких процентных ставок. Дается детальный анализ управления денежной наличностью в детерминированном случае.
Ключевые слова: модель Баумоля — Тобина, экономический, прогноз, денежный, поток, перпетуитет, аннуитет, оценка, дисконтирование, ликвидность, метод Ньютона, экстремум.
В экономике, финансах капитал принято разделять на два вида: основной и оборотный. Практическая польза от такого разделения состояла в том, чтобы развить соответствующие оптимальные методы управления этими капиталами. Однако цель или задача этих методов одна — максимизировать стоимость компании, которая представляет собой сегодняшнюю стоимость всех будущих доходов этой компании. В методах управления оборотным
капиталом эта цель просматривается не столь явно, а потому ее часто упускают из вида.
Как уже отмечалось нами в работе [6], в модели Баумоля — Тобина не учитывалось в полной мере дисконтирование денежных потоков, а оптимальное управление денежной наличностью ограничивалось перспективой в один условный период (например, один год) [1—5, 7, 10, 11, 12]. Справедливости ради следует отметить, что в силу исторических причин в моделях Вильсона, Баумоля — Тобина и некоторых других было маловероятно корректное использование метода дисконтирования будущих денежных потоков, так как этот метод еще не был столь разработан и широко известен, как сегодня. Кроме того, в те времена не была широко доступна компьютерная техника, и точный подход был мало пригоден из-за сложности соответствующих расчетов.
Наиболее существенным недостатком было то, что неверно оценивалась стоимость затрат, связанных с управлением денежной наличностью, что было доказано в работе [6]. Возможно, это обстоятельство позволяло менеджерам пренебрежительно относиться к оптимизации управления наличностью.
Оказалось, что в действительности эти затраты значительно выше, чем считалось ранее. Эта
изначально допущенная ошибка неоднократно повторилась в учебной и научной финансовой литературе [1—7, 10—12]. Данная работа является непосредственным продолжением статьи [6].
Корректное применение методики дисконтирования позволяет относительно просто решить данную проблему и выбрать более оптимальную технологию управления наличными деньгами, а также понять, что собой в действительности представляет модель Баумоля — Тобина. Эта оптимальность проявит себя с течением времени, и тем заметнее, чем больше время, в течение которого предполагается управлять этой наличностью. То есть в данном случае проблема управления денежной наличностью имеет стратегический характер, как и капитальные вложения.
Метод дисконтирования (то есть приведение к текущей стоимости) дает те же результаты, что и метод расчета будущей стоимости, то есть метод приведения всех денежных потоков к будущему [8, 9]. Поэтому, минимизируя дисконтированные затраты, мы тем самым минимизируем общие будущие затраты за длительный промежуток времени. Игнорирование дисконтирования при оптимизации дает только сиюминутный успех при снижении затрат с неясными последствиями.
Потребность в денежной наличности испытывает не только население, но и различные компании, владеющие значительными денежными средствами. Поэтому оптимальное управление денежной наличностью с учетом длительной перспективы развития для этих компаний жизненно необходимо. Принцип этого управления остается таким же, как и для населения, но возможности, как правило, значительно шире.
В общем случае инвестор может вложить свои денежные средства не только в банковские депозиты, но и более доходные активы, такие как акции или недвижимость. В этих случаях ряд инвесторов также могут быть заинтересованы в регулярной продаже некоторой доли своих активов, чтобы периодически получать с них доходы (обналичивать вложения), например для текущих расходов. В этих случаях встает та же проблема оптимального обналичивания вложенных средств, что и в случае с банковскими депозитами.
Другой менее тривиальный пример, где появляется схожая проблема, связан с выплатами дивидендов по акциям некоторой акционерной компанией, например паевым фондом. Такая компания должна решать ту же задачу оптимального обналичивания вложенных ранее средств. То есть
практическое использование оптимального управления денежной наличностью не ограничивается только банковскими депозитами, а значительно шире. Но в данной работе мы будем следовать классическому подходу Баумоля — Тобина, основанному на вложениях в банковские депозиты [3—5, 7—12].
Предположим, что ежегодная потребность компании (или домашнего хозяйства, гражданина) в денежной наличности составляет S0 руб. Все деньги этой компании хранятся на сберегательном счете в банке и приносят некий процентный доход.
Переходя к более типичному и общему случаю, начнем со второй составляющей общих затрат, которая обсуждалась в статье [6], с учетом отмеченных в ней недостатков. Пусть как и раньше S0 — сумма, необходимая для сделок в течение одного планового периода Т0 (одного года или шести месяцев, например).
Предположим, что компания или гражданин планирует снимать деньги со счета в банке N раз в течение каждого условно единичного времени Т0. Следовательно, при каждом таком снятии менеджер компании будет изымать сумму, равную S0/N, а в течение времени tТ0 количество таких изъятий будет равно tN, где t — число периодов, каждый из которых равен Т0. Пусть стоимость каждого посещения банка и снятие наличных денег равна Р, тогда номинальная (без учета фактора времени) стоимость всех затрат, связанная с посещениями банка и снятием денег, в течение времени t будет равна РШ. Однако здесь не учтен фактор времени.
Оценим теперь эту стоимость методом дисконтирования, то есть приведем или пересчитаем эти затраты будущего на сегодняшний момент. В итоге получим:
Р Р
РУ = Р + -
1 +
+
Р
я (т) [1+я (т)]:
- +...+
(1)
[1+я (т г
где было учтено, что первое посещение банка имело место в момент времени t = 0, а каждое последующее посещение происходило через равные промежутки времени Т = Т0/N (аннуитетная схема платежей [8, 9]). Соответственно норма дисконтирования Я = Я (Т) в выражении (1) относится к этому промежутку времени Т и определяется через банковскую ставку R0 = ^(Т^ соотношением [8, 9]:
Я(Т)=[! + Я0 (Т0)]т -1
(2)
Отметим, что величины R, N и Тпока неизвестны, и задача состоит в определении оптимальных значений этих величин, которые являются эндогенными параметрами управления.
Последовательность (1) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, которая легко упрощается к виду:
РК2 = Р +
Р
Я
1 -
1
(Т)[ [1+Я0 (Т0)]'
(3)
что представляет собой дисконтированную стоимость авансового аннуитета [8, 9].
Перейдем теперь к определению дисконтированных затрат, связанных с потерей процентного дохода по банковскому вкладу. Первое снятие денег произойдет в момент времени I = 0, сумма, которая при этом будет регулярно сниматься, равна S = S0/N. Эти равновеликие изъятия наличности с банковского счета будут происходить через равные промежутки времени Т, как и посещение банка. То есть через период Т сумма S будет израсходована полностью. После этого будет снята очередная сумма S и вновь израсходована за время Т, и так далее [6].
Стоимость этих расходов определяется потерями процентных доходов, которые можно было бы получать, храня деньги на срочном банковском депозите. Дисконтированная стоимость всех этих расходов на сделки, обусловленных недополученными процентами за время tN, равна 5 5
РК = 5 +
+ -
5
1 + Я (Т) [1 + Я (т)]2
[1 + Я (т)]"
Это выражение по своей структуре аналогично соотношению (1) и представляет собой так же авансовый аннуитет. Суть управления сводится к выбору оптимального числа изъятий N а следовательно, Т и S, так как эти величины взаимосвязаны. Поэтому напишем сразу же соответствующее выражение для этой суммы аналогично (3):
РК = 5 + -
5
Я
!1 -
1
(т)[ [1+Яо (То)]'_
(4)
Это есть выражение для текущей (дисконтированной) стоимости всех сделок за I лет, то есть альтернативная стоимость расходованной наличности. Заметим, что в эту сумму входят не только потери процентного дохода, но и номинал самой суммы израсходованных денег, равный tS0. В этом
легко убедиться, если ставку по депозитам в выражении (4) устремить к нулю [8, 9]. То есть расходы останутся, даже если бы банки не выплачивали никаких процентов, что проигнорировано в модели Баумоля — Тобина, как подробно обсуждалось в работе [6].
Другими словами, формула (4) выражает дисконтированную альтернативную стоимость сделок, где в качестве альтернативы можно рассматривать банковский вклад. Уравнение (4) полезно также для решения вопросов о том, заключать соответствующие сделки или нет. Очевидно, что полезность сделок в их денежном выражении должна быть больше соответствующих денежных затрат (4).
При этом имеется в виду, что это стоимостное выражение полезности также будет приведено к текущему моменту. К примеру, деньги в данном случае могут сниматься менеджером со счета в банке для их реинвестирования, а в домашнем хозяйстве — для вложений в собственное дело (или активы) или для размещения денег в более выгодном банке, инвестиционном фонде, выплачивающем более высокие процентные доходы.
Отметим, что при выводе формул (3), (4) были использованы следующие соотношения для эквивалентных процентных ставок [8, 9]:
[1 + Я(Т)Г = {1 + Я(Т/]} = [1 + Яо (То)]',
где было учтено точное равенство (2). Примечательным в этой замене является то, что отсутствует зависимость от N в правой части, тогда как левая часть этого равенства, казалось бы, зависит от N в показателе степени, а также в функции ставки R = R (Т), согласно выражению (2), так как Т = Т0/N. Такая замена значительно упрощает вычисления в дальнейшем.
Очевидно, что общее время I не зависит непосредственно от N, а является еще одной независимой (эндогенной) переменной, которую менеджер может менять по своей воле. То есть время I так же является параметром финансового управления, то есть эндогенная переменная, которую можно найти.
Здесь можно видеть дальнейшие перспективы развития технологий управления оборотным капиталом. К примеру, это касается планирования оборотных средств, растущих год от года. Однако в этом качестве это время здесь рассматриваться не будет, чтобы не удаляться от модели Баумоля — То-бина, где эта возможность также игнорируется.
Управление временем I — это совершенно другая и более сложная проблема. Насколько нам
+
известно, она никогда не рассматривалась ранее. Как будет ясно из дальнейшего изложения, в действительности в модели Баумоля — Тобина планируются постоянные потребности в наличности на длительную перспективу.
Задача оптимального управления денежной наличностью состоит в том, чтобы минимизировать общую стоимость дисконтированных затрат (3) и (4): min {PV0(N)}, где PV0 (N) = PVl(N) + PV2(N).
Эта общая стоимость затрат PV0 явно зависит от числа «ежегодных» изъятий ^денежной наличности с банковского счета, приносящего процентный доход. Поэтому преобразуем выражения (3), (4) так, чтобы учесть все слагаемые, зависящие от N. В результате непосредственного сложения выражений (3) и (4) получим:
PV0( N) = P + +
0 N
S„ Sn ■ N" + P
1 + (1 + Ro У
, (5)
Заметим, что в качестве независимой эндогенной переменной можно выбрать и величину кассового остатка S = S0/N, тогда выражение для приведенных затрат (5) примет следующий эквивалентный вид:
5 + Р
PV0(S) = P + S + -
1+(1+Ro)"
(1+Ro) -1
(1 + Яо > -1
где для краткости обозначили Я0 = Я0(Т0), учли
равенства S = S0/N и Я (Т) = [1 + Яо (То)]" -1; t — общее количество учтенных периодов, каждый из которых имеет продолжительность Т0.
Величина Nявляется независимой переменной в математическом смысле, но зависимой с точки зрения финансового менеджмента, так как это параметр управления. Эта переменная зависит от воли и желаний менеджера (эндогенная переменная), который управляет денежной наличностью, решая, какое количество денег и как часто их следует снимать со счета в банке. Меняя N, менеджер может найти минимум дисконтированной стоимости общих затрат (5).
Все остальные переменные в выражении (5) являются зависимыми от N, исключая t. Время t по своей логике должно быть равно времени жизни компании. При создании компаний их срок жизни не указывается в уставе и обычно в соответствии с законом считается равным бесконечности. В типичных ситуациях это подтверждается на практике [9] непрерывным ростом капитала в мире с течением исторического времени. Этот капитал может трансформироваться в разные формы (виды) бизнеса, переходить от одного собственника к другому, но он не исчезает (как материя), а, напротив, преумножается. Компании, которые когда-то выпускали плети для лошадей, сегодня могут производить программное обеспечение для компьютеров. Зачастую на практике срок t = 50 и более лет можно считать равным бесконечности.
Это уравнение также можно использовать для поиска оптимальных решений по управлению денежной наличностью.
Уравнение Мнацаканяна — Решецкого (УМР)
Начнем с более подробной финансовой интерпретации модели Баумоля — Тобина. То есть обсудим условия, к которым приспособлена данная модель, поскольку ряд этих условий не был отмечен ранее.
С нашей точки зрения, наиболее серьезным и распространенным заблуждением является гипотеза о правомерности ограниченного по времени планирования в финансах. Например, в модели Баумоля — Тобина принимается план потребностей в наличности на один период (обычно один год). Такой метод анализа получил довольно широкое распространение из-за своей кажущейся простоты. Но в действительности он позволяет решить совсем иную проблему, а не ту, что была заявлена.
Недоразумение состоит в том, что такой «одно-периодный» план по-прежнему остается бессрочным. Этот факт очень важно понимать. Легко видеть, что оптимальные решения по однопериодному плану будут в точности совпадать с оптимальными решениями по следующему бессрочному плану.
Для краткости назовем однопериодный план — планом А, а бессрочный план — планом В. Согласно финансовому плану В компания будет нуждаться в наличных деньгах в размере S0 в течение первого периода, а в течение второго, третьего и т. д. периодов потребности в наличности составят нуль руб. Согласно модели Баумоля — Тобина оптимальные решения для плана А и В будут совпадать. Но вряд ли план А действительно предусматривал нулевые потребности в наличности после первого периода. Как правило, такой прогноз потребностей в наличности на отдаленное будущее считается малодостоверным, а потому не составляется.
Однако такой изолированный план А невозможен на практике, и в действительности здесь принимается план В, с его нулевыми потребностями в
наличности в отдаленном будущем. Следовательно, осознанные прогнозы совершенно необходимы, в противном случае за вас их сделает сам математический аппарат дисконтирования в виде плана В, а это не то, что нужно.
Как уже отмечалось, время жизни компании t игнорируется в модели Баумоля — Тобина. Чтобы не сильно отдаляться от данной модели, рассмотрим один частный, но наиболее важный случай, когда t ^ да . Есть все основания, и не только чисто формальные, полагать, что именно этот случай соответствует модели Баумоля — Тобина.
Действительно, в этой модели оптимизация проводится относительно только одного года (или периода). Строго говоря, такая оптимизация годится только для компаний со сроком жизни в один год. Если же иметь в виду реальный случай, то необходим бессрочный прогноз [9], о чем уже говорилось выше. Важно понять, что учет потребностей в наличности на срок в один плановый период (год) есть пренебрежение этими потребностями во все последующие периоды. Это ничем не обоснованное логически пренебрежение означает только одно: в модель закладывается прогноз о нулевых потребностях в наличности в будущем, которое наступит после планового периода. Невозможно в данной ситуации планировать на один год. Такова внутренняя логика алгоритма расчетов. Игнорирование каких-либо денежных потоков в будущем для математического аппарата дисконтирования означает, что прогнозируются нулевые денежные потоки в будущем (более подробно эти вопросы обсуждаются в книге [9], гл. 33). Таков истинный смысл попытки планирования на один будущий период. В экономической действительности это не так. В силу широкого распространения этого заблуждения приведем простой и наглядный пример.
Предположим, что инвестор достаточно уверен, что через год от своих вложений он получит 100 руб. Пусть требуемая доходность с учетом риска составляет 25 % в год. Что касается остальных доходов, которые он будет получать через несколько лет, инвестор не уверен, а потому оценивает стоимость этого проекта так:
PV = 100 руб. = 80руб.
1 + 025
Этот расчет ошибочен и не соответствует логике, так как данный инвестор в действительности уверенно закладывает в свои расчеты нулевые денежные потоки, которые он будет иметь через несколько лет. Действительно, его расчет дис-
контированной стоимости проекта эквивалентен следующему:
PV =
100
1 + 0.25
руб. +
0
(1 + 0.25)
руб. +
(1 + 0.25) 0
руб. +
(1 + 0.25 )4
РУб. +.... = 80 руб.
То есть инвестор ожидает иметь нулевые денежные потоки, начиная со второго года, что не всегда так. Если наш гипотетический инвестор уверен в том, что через год он получит 100 руб., то для этого дохода он должен использовать безрисковую процентную ставку (которая равна, например, 5 % в год), а не 25 %. Рисковая процентная ставка 25 % как раз и учитывает меру сомнительности в будущих доходах через несколько лет. В этих случаях следует использовать величину ожидаемого, пусть и сомнительного, дохода в будущем. Для этого и предназначена рисковая процентная ставка, которая тем выше, чем сомнительнее будущие доходы.
Требуемая доходность инвестора тем выше, чем выше риск. Но с ростом рисковой ставки дисконтирования еще более сокращается рассчитываемый вклад будущих доходов в сегодняшнюю стоимость при прочих равных условиях. Причем здесь недопустимо использовать «нижнюю планку» прогнозируемого дохода, который практически гарантирован. Для гарантированного дохода следует применять безрисковую процентную ставку. Такая дополнительная оценка может иметь смысл как дополнительная проверка. В противном случае инвестор рискует недооценить инвестиционный проект и ошибочно от него отказаться.
Мы обязаны прогнозировать на бесконечную по времени перспективу в будущем, если только не являемся сторонниками гипотезы о близком конце света, который наступит после планового периода. В других естественных науках можно реализовы-вать лабораторные эксперименты на ограниченном интервале времени, но для экономической науки такое ограничение, как правило, является ошибкой или очень грубым приближением, величина погрешности которого остается неизвестной. Именно это обстоятельство призвана учитывать эконометрика, но игнорируется в статистике.
Следует также иметь в виду, что в модели по молчанию полагается, что в последующие годы все экзогенные финансовые параметры (например, процентная ставка) останутся прежними и условия оптимизации не изменятся. В противном случае модель значительно усложнилась бы.
0
В силу возможных случайных изменений процентной ставки следует использовать ожидаемое значение процентной ставки. Оптимальный период Т между отдельными изъятиями наличности может быть любым и, в частности, способен оказаться значительно больше планового периода (одного года) Т0, что не вполне логично для данной постановки проблемы.
В силу сказанного планирование не должно иметь конечного срока. Следовательно, мы должны устремить к бесконечности время жизни компании в выражении (5). В результате получим £
Рис. 1. Общие затраты по привлечению денежной наличности
РУ0( N) = Р + -0- +
N
£ • N- + Р
(6)
[1 + Яо (т )]N -1 если только Я0 ^ 0 , в противном случае ряд (5) будет расходиться. В большинстве случаев на практике это выражение хорошо применимо и соответствует задачам домашних хозяйств и компаний на длительную перспективу.
Сложность такого планирования компенсируется убывающим вкладом будущих денежных потоков в сегодняшней стоимости затрат. То есть чем далее по времени прогнозируемый денежный поток, тем сложнее предсказать его величину, однако и его вклад в дисконтированную стоимость становится все менее значительным.
Ошибка прогноза величины денежного потока, который должен быть в отдаленном будущем, менее существенна, чем ошибка прогноза для потока, который будет в ближайшее время. И обратно, чем ближе по времени к текущему моменту прогнозируемый денежный поток, тем с большей точностью его следует оценивать. Влияние случайной ошибки прогнозирования нетрудно определить, например в виде дисперсии дисконтированной стоимости общих затрат.
Нельзя не заметить, что выражение (6) значительно проще для вычислений, чем соответствующее ему соотношение (5). Финансовый смысл выражения (6) легко понять, если его преобразовать
с помощью следующих эквивалентных замен [8, 9]:
1 £ ¿нуд я = я(£) = [1+Ro(To)]N -1=[ 1+Яо (т )]£0 -1.
В результате получается довольно простое выражение для общих затрат, связанных с управлением денежной наличностью:
РУо(£) = Р + £ +
Р + £ Я(Т)
(Р + £ )
1 +
Я (Т )
Очевидно, что это есть дисконтированная стоимость авансового перпетуитета (или вечной ренты) [8, 9], как и выражение (6). На рис. 1 представлены графики затрат, связанных с управлением денежной наличностью.
Сплошная линия, расположенная выше пунктирной линии, соответствует дисконтированным затратам (6) РУ0(№). Для сравнения ниже расположена пунктирная кривая, относящаяся к уточненным затратам модели Баумоля — Тобина в соответствии с уравнением (3) из работы [6]. Эти дисконтированные затраты обозначены здесь с верхним штрихом: РУ0(Ы). Обе кривые соответствуют одним и тем же параметрам: Р = 4 500 руб., ¿0 = 12 000 руб., Я0 = 0,45 за условно единичный период планирования Т0, равный одному году.
Из рис. 1 видно, что затраты РУ0(М) значительно превосходят затраты РУ0(И). На практике это различие может быть еще больше. Это различие обусловлено перспективами планирования затрат в обоих случаях, о чем уже говорилось. В формуле (3) статьи [6] полагается, что через год эти затраты станут нулевыми (это единственно возможная интерпретация), а в формуле (6) учитывается бесконечный по времени горизонт планирования. Поэтому такое различие затрат естественно.
Легко заметить, что обе кривые на рис. 1 имеют свои минимумы при соответствующих значениях N. Для кривой РУ0(М) этот минимум уже был найден нами ранее, а для кривой РУ0(М) будет найден ниже. Обратим внимание, что абсциссы обоих минимумов расположены относительно близко друг к другу, что свидетельствует о справедливости наших результатов.
1
Можно также заметить, что абсцисса минимума верхнего графика немного смещена вправо относительно минимума нижнего графика. Эти сходства позволяют надеяться на получение приближенных результатов с помощью найденного решения (5) работы [6], которое можно будет использовать в качестве первого приближения в методе Ньютона, который рассматривается ниже. Подчеркнем также, что кривая PV0(N) имеет более крутой минимум по сравнению с относительно пологим минимумом кривой рУ0(Ы), что указы(ает на существенность принятия оптимальных решений по управлению кассовыми остатками. Это значит, что в действительности даже небольшие отклонения от оптимального значения могут обусловливать резкий рост затрат. К сожалению, эти затраты носят латентный характер, а это значит, что их нельзя увидеть, а можно только понять.
Цель оптимального управления кассовыми остатками состоит в минимизации общих дисконтированных затрат (6). Условие первого порядка для минимума общих дисконтированных затрат (6) имеет вид:
Сила роста капитала R должна быть определена относительно условно единичного интервала времени Т0 (например, в один месяц или четыре года), и поэтому является константой. Величина Nявляется безразмерной. При получении соотношения (9) из уравнения (8) была учтена следующая система равенств [8, 9]:
[1 к к а )]Р н еР , 1 к к а )н е 1п [1 к к а )]н Г • Т0, 1 к к(а) н ега.
(10)
СРУ СРУ сРУ,
н 0.
СР сР СР
Подставим в это уравнение выражение (6) для PV0. После дифференцирования и элементарных алгебраических преобразований получим следующее уравнение:
С-К н_ ^__к (5р к Р • Р)(1 к к,)Р 1п(1 к к,)
СР Р2 к • Р2 Р3 к2
где для краткости было использовано упрощенное обозначение знаменателя на основе выражения (2) с помощью R = R (Т) и R0 = R0(T0). Для существования решения уравнения (7) относительно N необходимо, чтобы знаменатели в (7) не обращались в нуль.
Теперь приступим к решению уравнения (7) относительно N. Подставим в равенство (7) вместо R выражение (2), и после несложных преобразований получим более простое уравнение Мнацаканя-на — Решецкого (УМР):
н 0, (7)
р {1 к к (а)] р _ р
р
1 к - 1п [1 к к0 (а0)] 5П
Это уравнение можно привести к более наглядному и удобному для дальнейшего исследования виду (вторая эквивалентная форма УМР):
е Р --
Г • а
' 10
Р
(
1 к
г • а0 • р
5
л
н 0. (9)
Введенная здесь мгновенная годовая ставка дисконтирования R (называемая также силой роста капитала, непрерывной ставкой) эквивалентна R0(T0), при этом Т0 может принимать любые значения.
Здесь мы не следуем общепринятым обозначениям, которые, строго говоря, некорректны, так как сила роста R является размерной величиной: 1/время. Поэтому выражение вида вк некорректно, так как показатель степени должен быть безразмерной величиной. Используемый нами показатель степени RT0 является безразмерной величиной, причем из равенств (10) ясно, что сила роста определена относительно указанного периода Т0.
Точного аналитического решения уравнения (9) относительно N в элементарных функциях не существует, то есть это уравнение является трансцендентным. Однако его можно решить приближенными методами с любой степенью точности относительно N.
Дальнейшая наша задача будет состоять в том, чтобы найти некоторые приближенные решения УМР. Трансцендентный характер этого уравнения позволяет надеяться на богатую палитру всевозможных приближенных решений в разных обстоятельствах, которые будут рассмотрены ниже.
Прежде всего хотелось бы сравнить некоторые решения уравнения (9) с результатами модели Баумоля — Тобина, в которой практически игнорировался фактор времени, то есть не учитывалась дисконтированная стоимость всех затрат, производимых в будущем. Кроме того, _1п [1 к к0 (а0)] н (8) использовались приближенные
вычисления, которые корректны только при низкой процентной ставке [6]. Такое пренебрежение дисконтированием может быть обоснованным только при очень низкой норме R. Поэтому предположим, что в (9) ставка R настолько мала, что справедливо неравенство RТ0 / N<< 1. При этом условии экспоненту в уравнении (9) мож-
га
0
г •а
га
0
но заменить разложением в ряд Маклорена с точностью до квадратичных членов включительно: ехр (гТ0 /N) «1 + гТ0 /N + 0.5 • (гТ0 /N)2. Подставив это выражение в уравнение (9), получим уравнение, которое уже легко решить относительно N
N = Ne =
• Т0 • >0 _ К • >0
2 • Р V 2 Р
(11)
е = х +
С г • Т • Р ^ 1 + Г Т Sn
(12)
У1 (х) = е, у^ (х) = а + х , где введено обозначение для константы
(13)
а = 1 +
С ГТоР ^
V
Как видно, решение почти полностью совпало с аналогичным решением (5) статьи [6] в модели Баумоля — Тобина. Последнее выражение справа от знака приближенного равенства получено заменой ставки R на R0 в предыдущем выражении, поскольку при низких ставках справедливо приближенное равенство гТ0 ~R0(ТI0) [8, 9]. Это различие не существенно.
В итоге мы прошли две стадии упрощения точных результатов, чтобы получить соотношение Баумоля — Тобина. Поэтому можно предполагать, что в модели Баумоля — Тобина лучше использовать мгновенную ставку R вместо распределенной («дискретной») ставки R0. Следовательно, модель Баумоля — Тобина позволяет находить оптимальные схемы управления денежной наличностью только при достаточно низких процентных ставках, близких к нулю.
Многое может зависеть и от найденного значения N которое также может оказаться много меньше единицы. Однако, как показано в статье [6], модель Баумоля — Тобина является приближенной. В этой модели не указывается, при каких условиях она дает приемлемые результаты, а при каких нет. Остается не ясной степень точности найденного решения для N. Решение (11) можно использовать в качестве первого приближения для нахождения более точного решения соответствующими числовыми методами.
Но прежде чем к этому приступить, проанализируем УМР на качественном уровне, изобразив графически точное решение уравнения (9). Для этого введем новую переменную х = RТ0 / N в это уравнение и получим УМР в следующем виде:
Очевидно, что если из этого уравнения будет найдено х, то будет найдено и соответствующее оптимальное значение N = R / х. Для анализа решений уравнения (12) воспользуемся следующим приемом, смысл которого — в более обобщенной абстракции. Левой и правой частям уравнения (12) поставим в соответствие две отдельные функции:
Первая из этих функций у1(х) является экспо-нентой, а вторая у2(х) — линейной функцией с угловым коэффициентом наклона, равным единице и углом наклона в 45 градусов соответственно. Аргументы этих функций могут меняться независимо (строго говоря, эти аргументы следовало бы обозначить по-разному). Обе эти функции изображены на рис. 2 при значении константы, равной 1,5.
В общем случае эти функции не равны друг другу. Но функция у1 представляет собой левую часть уравнения (12), а функция у2 — его правую часть. Уравнение (12) в новых обозначениях имеет вид равенства значений двух функций в некоторой неизвестной точке х у1(х) = у2(х), которую следует найти.
Первая из этих функций является экспонен-той, а вторая — линейной функцией. То есть у2 представляет собой прямую линию, которая при х = 0 пересекает ось ординат в точке а = 1 + RТ0P / S0. Эта точка пересечения всегда расположена выше точки пересечения экспоненты с осью ординат в точке у1 = 1 при х = 0, так как практически всегда выполняется неравенство RТ0P / S0 > 0. Система уравнений (13) обобщает уравнение (12), которое соответствует одному частному случаю равенства этих функций: у1(хе) = у2(хе), где хе — абсцисса точки пересечения обеих функций. То есть равенство этих функций имеет место только в точке пересечения соответствующих графиков.
Из этого рисунка явствует, что решение уравнения (12) существует, и оно единственное относительно х, поскольку х может принимать только положительные значения. Это важная информация, так как могло оказаться, что решений вообще не существует или их несколько. При отрицательных значениях аргумента х имеется еще одна точка пересечения экспоненты и прямой. Этот случай может представлять интерес, например при оптимальном снятии денег по кредитной линии. Тогда ставка г в выражении (9) будет отрицательной. Однако этот случай требует отдельного рассмотрения.
Если экспоненциальная функция у1(х) уже однозначно задана только значением своего аргумента х, то линейная функция у2(х) зависит еще и от параметра а = 1 + RТ0P/ S0, то есть от конкретных обстоятельств управления кассовыми остатками (экзогенные параметры), которые определяют величину этого параметра прямой а = 1 + RТ0P / S0.
Рис. 2. Графическое представление решения УМР в общем случае, которое находится в точке пересечения экспоненты и прямой линии
Рассмотрим второй крайний случай, когда можно получить приближенное аналитическое решение УМР. Предположим, что х принимает достаточно большое значение, так чтобы выполнялось неравенство ехр (х) >> х. Это неравенство будет выполняться уже при х > 3, так как ехр (3) = (18), 09. Учитывая, что х = RТ0 / N получаем более конкретное условие х = R / N > 3, откуда следует основное условное неравенство: г > 3Р (14).
Очевидно, что это неравенство может выполняться при достаточно высоких процентных ставках, но это не является обязательным условием. Заметим, что RТ0 / N может быть достаточно большим и при незначительных по величине ставках R, если при этом N окажется достаточно малым, например порядка N= 0,01 или еще меньше. Хотя на практике такие случаи встречаются редко.
При выполнении основного неравенства (14) слагаемым х в правой части уравнения (12) можно пренебречь по сравнению с экспоненциальным слагаемым. В результате будем иметь более простое
Рис. 3. Точки пересечения прямых с экспоненциальной функцией соответствуют множеству различных решений
уравнение: е
н 1 к г • Т0 • Р • 8д.
решение
которого имеет вид:
Геометрически этот параметр представляет собой длину отрезка оси ординат между точкой пересечения прямой у2(х) с осью ординат и точкой начала координат. То есть все возможные на практике случаи описываются семейством параллельных прямых. Эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент наклона, равный единице, и пересекают ось ординат в различных точках с координатами, равными значению параметра й = 1 + RТ0P / £0, как показано на рис. 3.
На рис. 3 изображены экспоненциальная кривая ух(х) = в (х) и три прямые указанного выше семейства при различных параметрах а = 1,5; 3; 5: у2 = 1,5 + х, у"2 = 3 + х, у'" 2 = 5 + х. Все эти прямые взаимно параллельны и пересекают экспоненту в трех разных точках.
Построив на миллиметровой бумаге (или с помощью компьютера) кривые у1(х) и у2(х), при заданных значениях R, Р, нетрудно приближенно найти корень уравнения (12), значение которого можно использовать в качестве первого приближения в дальнейших аналитических расчетах более точного значения корня.
X н-
гак
р
г
н 1п
1 к
г-а-р
5
Откуда находим оптимальное значение:
Р н N н -
га
1п
г • а
1 к г а
Р
(15)
5
Теперь следует вспомнить об основном неравенстве (14), которое должно выполняться при этом значении N. Рассмотрим один вариант дальнейшего упрощения, когда слагаемое RТ0P / 50 под знаком логарифма очень мало по абсолютной величине, то есть RТ0P / 50 много меньше единицы. Это наиболее типичный случай, так как для этого необходимо выполнение неравенства гТ0Р << S0, что обычно выполняется.
Особенно это характерно для пенсионных фондов, которые вкладывают значительные средства пенсионеров в высоконадежные облигации, а значит, должны периодически и обналичивать также значительные суммы для пенсионных выплат. Тогда выражение для логарифма упрощается к виду:
X = -
г • Т
' 10
N
= 1п(1 + гТ0 • Р • ¿-1)« г • Т0 • Р • ¿-1.
В итоге имеем следующее решение для оптимального значения N N = Ne = ¿0 / Р. Это решение значительно отличается от решения (15), которое в данном случае неприменимо. Особенностью этого решения является то, что оно не зависит от процентной ставки. Кроме того, это решение принципиально отличается от соответствующего решения модели Баумоля — Тобина, которое в данном случае неприменимо. Однако это решение следует проверить на выполнение основного неравенства (14), согласно которому R > 3N, что равносильно неравенству R > 3S0 / Р, если учесть полученное выше решение.
Проведенный анализ носит /
Рассмотрим одно очень простое, но более точное, чем дает модель Баумоля — Тобина, решение УМР в форме (12). Возьмем натуральный логарифм от обеих частей полученного равенства (12). В результате будем иметь еще одну логарифмическую форму УМР, эквивалентную предыдущим:
г • Т
' 10
N
= 1п
1 +
г • Т
_±0
N
г • Т • Р
0 + 0 1
N
(16)
Это уравнение по-прежнему является точным и тождественно (12), однако его уже можно решить более точно, чем ранее, и в аналитическом виде. Для этого воспользуемся известным разложением логарифма в ряд Тейлора относительно единицы с точностью до квадратичных слагаемых включительно:
1п
1 +
г • Тп
N
скорее теоретический и методический характер по выявлению условий применимости решения, так как именно в таких случаях нередко допускаются ошибки. Для реальных случаев неравенство (14) пока нетипично. Однако следует иметь в виду возможность довольно радикальных изменений макроэкономических обстоятельств (экзогенных параметров) на качественном уровне. В частности, такие необычные обстоятельства появились в Японии на начало 2004 г. По сообщениям средств массовой информации, японские банки начали предоставлять кредиты по отрицательной процентной ставке. Этот парадокс можно объяснить дефляцией, которая характерна для японской экономики.
Более точные аналитические решения УМР
Важно отметить, что время относительно которого оптимизировалось управление денежной наличностью, не входит в УМР. Следовательно, это время никак не влияет на принятие оптимальных решений. Важно при этом только, чтобы все внешние параметры R, Р, S0 в течение этого времени оставались относительно постоянными. Изменение хотя бы одного из этих внешних параметров соответствующим образом изменит оптимальные решения, но они по-прежнему должны будут соответствовать УМР.
На тех интервалах времени, пока внешние (экзогенные), не зависящие от воли конкретного человека параметры будут оставаться постоянными, можно использовать полученные выше результаты, а также те методы, которые рассматриваются ниже.
Тр • Р
N
Л (
г • Т
'__10
N
г • Т • Р
0 + ' 10 1
N
1
+ — 2
г • Т
_£0
N
г • Т • Р
0 + ' 10 1
У
N
. (17)
Это разложение представляет собой правую часть уравнения (12) и выполнено с точностью до квадратичных членов ряда Тейлора. Данное разложение справедливо при выполнении неравенства
г • Т0/N + г • Т0 • Р / N < 1,
(18)
которое будем полагать выполненным. То есть полученные ниже решения можно применять на практике, удостоверившись в выполнении этого неравенства. Чем сильнее выполняется это неравенство, тем точнее будут полученные ниже результаты, так как при этом более точным становится разложение в ряд Тейлора.
Теперь подставим разложение (17) в правую часть (16) и получим:
(г • Тй/N + г • Т0 • Р / ¿,)2 = 2 • г • Т0 • Р / ¿0 (19) Это уравнение легко можно решить относительно N. Однако это решение выглядит громоздко и неудобно для расчетов. Его можно выразить более компактно, если произвести замену параметра управления N на эквивалентный ему эндогенный параметр управления S (кассовый остаток), учитывая, что они связаны между собой соотношением: NS = ¿0, N = V 5 . (20)
Подставив предложенное выше выражение для N в уравнение (19), выполним элементарные преобразования, в результате которых получим решение:
N = N = ^ - Р. гТ
(21)
Если это решение обратно подставить во второе равенство системы (20), то можно найти соответствующее число оптимальных значений N = выражение для которого более громоздко:
5
Р н Р н н
е 5
5
2Р50 га
(22)
- р
Проверим, удовлетворяет ли решение (21) условию (18). Подставим в (18) вместо N решение (22) и после несложных преобразований получим: 5 < 50 / га - Р. Этому условию должно удовлетворять решение (22), тогда оно будет справедливо. Подставим в это неравенство решение (22) и после очевидных сокращений будем иметь более простое неравенство: 2г • а • Р < 50.
В большинстве случаев, встречающихся на практике, это неравенство выполняется, причем даже более сильное неравенство: 2RТ0P << S0. Во всех таких случаях решение (21) будет с высокой степенью точности определять оптимальную сумму денежной наличности Б для снятия ее с банковского счета.
Важность решений (21) и (22) не только в том, что они точнее решения модели Баумоля — Тобина. Как уже отмечалось выше, в решении для модели Баумоля — Тобина остается открытым вопрос о его точности. К примеру, выше был рассмотрен один случай, когда решение этой модели неприменимо. Решение (22) может оказаться справедливым и для относительно больших ставок г, важно только, чтобы при этом выполнялось неравенство (18), что вполне возможно при достаточно больших значениях Б0 и малых — Р. Но при сравнительно больших значениях R, а значит и R0, уже не выполняется приближенное равенство: г • а « к0. Точное соотношение между этими ставками есть: гТ0 = 1п (1 + R0). Чтобы выделить существенные отличия решения (22) от соответствующего решения модели Баумоля — Тобина, подставим это выражение вместо R в (22):
5 н 5 н ' 2Р50
- Р.
1п(1 к к)
Ниже приводится соответствующий пример для сравнительного анализа, с относительно высокой процентной ставкой. Высокие процентные ставки обычно наблюдаются при значительных темпах инфляции.
Как известно, при инфляции объявляемые банками процентные ставки являются номинальными. В таких обстоятельствах возможны два подхода.
1) Если использовать номинальные процентные ставки, то и все денежные потоки должны оставаться номинальными.
2) Зная темп инфляции, можно определить соответствующие реальные процентные ставки,
но тогда и все денежные потоки должны быть реальными, а не номинальными [8, 9].
Оба подхода почти эквивалентны. Однако первый более предпочтителен, так как более точен и приспособлен к конкретным обстоятельствам. Дело в том, что инфляция учитывает средний рост цен по всем товарам и услугам, что может значительно отличаться от роста индивидуального индекса цен производителя (или потребителя), который пользуется весьма ограниченной рыночной корзиной. Поэтому в нашем примере мы отдаем предпочтение первому способу.
Перечень возможных применений УМР
Перечислим практические проблемы, которые можно решать методом, предложенным в данной работе, на основе УМР.
1) Как уже отмечалось, мы с тем же основанием можем применить наши результаты к вложениям в высокодоходные проекты, например в недвижимость или акции. Так, по некоторым оценкам, рост цен на недвижимость обеспечивал доходность для некоторых инвесторов сотни процентов годовых в течение длительного времени. Приобретенные квартиры постепенно продавались, то есть инвестиции в недвижимость обналичивались.
2) Собственный доходный бизнес дает прибыль. Часть ее можно реинвестировать в развитие бизнеса, а другую направить на собственное потребление. Естественно, должен возникнуть вопрос, как часто можно изымать прибыль на собственное потребление и какую сумму.
3) Гражданин получил наследство в денежной форме и всю сумму вложил в гособлигации или положил на банковский депозит. С какой периодичностью ему следует снимать деньги со счета?
4) Акционерную компанию должна интересовать оптимальная частота выплаты дивидендов по акциям из полученной прибыли, как и оптимальный размер дивидендов. То же самое касается и выпущенных компанией облигаций и других ценных бумаг.
5) Перечисление денежных средств из государственного (или иного) бюджета на реализацию различного рода программ или проектов может быть оптимизировано.
6) Компания планирует использовать свои финансовые резервы для производственных нужд, находящиеся на банковском депозите.
7) Если у компании нет никаких резервов в банке (или их не хватает), то она может открыть кредитную линию или револьверный кредит в бан-
ке. Понятно, что решение данной проблемы практически ничем не будет отличаться от остальных. Компания по-прежнему должна решить, как часто ей следует снимать деньги по выделенному кредиту, так как на снятые с кредитного счета деньги будут начисляться проценты по более высокой ставке, чем на компенсационный остаток.
Во всех этих случаях актуален вопрос оптимального обналичивания. Однако мы по-прежнему будем следовать традиционному описанию и рассматривать хранение денег на банковском депозите.
Пример решения УМР с помощью компьютера
Предлагаемый ниже пример поможет правильно использовать полученные в работе результаты в виде УМР. Мы намеренно не используем стандартный пример, когда в качестве планового периода принимается один год. На практике в качестве планового периода обычно выступает какой-то производственный цикл, продолжительность которого может оказаться любой, например три года и два месяца. Это условно единичный период, то есть собственная единица измерения времени данного производителя.
В таких случаях нередко возникают недоразумения и возникают ошибки, связанные с перерасчетом процентных ставок при переходе от одного периода к другому. Поэтому мы детально проводим все расчеты, используя принятые в статье обозначения параметров.
Пример. Компания имеет на банковском депозите свои денежные средства. Ставка по депозиту составила 15,8 % годовых. В соответствии со своими прогнозами компания планирует в течение четырех лет (Т0 = 4 года) использовать S0 = 20 млн руб. наличности из резервов своего банковского депозита. Стоимость одного изъятия наличных денег с депозита оценивается в Р = 10 тыс. руб. Требуется определить оптимальный режим управления денежной наличностью, то есть как часто компания должна снимать деньги со своего депозита и какова сумма каждого изъятия; показать, что найденный способ управления действительно оптимален.
Решение. Мы будем использовать обозначения, принятые в данной статье. Плановый период составил Т0=4 года, это условная единица времени, то есть Т0 = 4 года = 1 у. е. времени. Зная годовую ставку по депозиту 15,8 %, находим ставку относительно условной единицы времени:
Я0 (Т0)=(1 + 0,158)4 — 1 = 0,8. Рассчитав эту ставку, определяем соответствующую ей силу роста за условно единичный период согласно (10) RТ0 = 1п (1,8) = 0,588.
Это есть сила роста капитала относительно единицы времени четыре года. Значение 0,588 является приближенным, поэтому в целях повышения точности будем использовать точное значение 1п (1,8) для RТ0.
Прежде всего следует проверить, выполнимо ли условие (18):
2гР = 2 • 0,588 -104 руб. = 1,2 -104 руб. Рассчитанные параметры подставляем в (9), в результате получим соответствующее УМР.
ln(1.8) э N
ln(1.8)
N
1 +
104 • ln(1.8) 2 •lO7
= 0.
(23)
Неизвестную величину N рассчитаем с помощью компьютера и приложения MS Excel, в котором есть соответствующая программа (утилита) «Подбор параметра». Эта утилита способна находить только одно решение (корень) практически любого уравнения, включая и наше (23). Например, квадратное уравнение может иметь два вещественных корня, но эта утилита найдет только один из них. Выше было доказано, что УМР имеет только одно решение при N > 0. Следовательно, мы можем воспользоваться этой утилитой для расчета оптимального значения N. Далее мы подробно опишем, как это сделать.
Запустите приложение Excel. Введите в любую ячейку формулу (23), например в ячейку А1. Напомним, что ввод формул начинается со знака равенства. При вводе формулы следует иметь в виду, что в формуле (23) величина N является переменной, то есть она должна иметь возможность меняться. Поэтому вместо ввода буквы N нужно для нее выбрать отдельную ячейку, например А2. Содержимое ячейки А2 будет играть роль переменной величины в формуле (23). Пока вы не ввели ничего в эту ячейку, там находится нуль. Однако нуль это особое («королевское») число, и лучше его не использовать в таких случаях.
В нашем случае N = 0, даст бесконечное «число» в выражении (23), так как на нуль делить нельзя. Поэтому предварительно введем любое число (кроме нуля) в ячейку А2, например 1. Теперь можно приступить к вводу самой формулы (23). При этом вместо буквы N щелкните по ячейке А2. В результате вместо буквы N в формуле будет находиться А2. Можно также напечатать А2 вместо N. Кроме того, следует иметь в виду, что число Эйлера е = 2,72 в первом слагаемом формулы (23) — это функция
для MS Excel, поэтому оно вводится как exp (), где в скобках следует указать показатель степени. Это слагаемое должно выглядеть так: = exp (lN (1,8) /А2). Знак равенства в конце вводимой формулы, как и следующий за ним нуль, ставить не надо. Результат в строке формул выглядит так: = EXP (ln (1,8) /A1) - ln (1,8) /A1 - (1 + ln (1,8) / (2 x 1000)).
Теперь приступим к расчету оптимального значения N. Выбираем в меню: Сервис ^ Подбор параметра... В результате щелчка мышью появится маленькое окно с тремя строками для ввода. В верхней строке с названием «Установить в ячейке:» нужно указать ячейку, в которой находится формула, то есть А1. В следующую строку «Значение:» вводим нуль, согласно (23). А в последней строке «Изменяя значение ячейке:» указываем ячейку А2, где находится переменная (управляющий параметр) N. Далее — ОК. Соответствующая программа начнет подбирать такие значения для N в ячейке А2, чтобы выражение в ячейке А1 стало равным нулю. На нашем компьютере в ячейке А2 появилось число 13,9135. А в ячейке А1 — число 0,000611, которое близко к нулю, но не нуль! Значит, полученное оптимальное значение N = N1 = 13,9135 может оказаться не совсем оптимальным. Вопрос не в абсолютной точности, которая недостижима и не нужна для практики, а в том, насколько это пригодно для практического применения.
Из проведенных анализа и графиков можно заметить, что минимум дисконтированных затрат носит пологий характер, то есть выражен не ярко. Действительно, как будет показано ниже, у нас получился результат, который совершенно не приемлем. Убедиться в этом нам помогла другая более точно считающая программа, которая дала следующее оптимальное значение N= N2 = 24,3423. Отличия результатов оказались настолько значительными (почти в два раза), что первый из них можно считать ошибочным и непригодным.
Почему мы убеждены, что именно первый результат, полученный в MS Excel, неверен? Проще всего это сделать, если подставить последнее значение N2 = 24,3423 в ячейку А2, где находится N. В результате в ячейке А1, где находится формула, появится отрицательное значение — 5,8 10-10, которое значительно ближе к нулю, чем предыдущее. Следовательно, мы получили более оптимальное решение N2 = 24,3423 по сравнению с N1 = 13,9135.
Для полноты картины найдем еще одно оптимальное значение N = N3, которое дает модель Баумоля — Тобина [1—7, 9—12]:
N3 = N .1ША = 28,284.
V 2-P v 2-104
Это значение N3 оказалось ближе к оптимальному N2, чем найденное с помощью MS Excel.
Однако более правильным и убедительным будет сравнение общих затрат согласно выражению (6). Действительно ли нами достигнут минимум этих затрат? Это выражение позволит нам оценить стоимость оптимального решения. Для этого надо сравнить общие затраты по формуле (6) для каждого из рассмотренных случаев. Запишем выражение (6) в более компактном виде:
PVo( N) = |P + N
1 + -
1
1
[1 + Ro (T0)]N-1 и подставим в него известные параметры:
PVo( N) = | 104 р +
2-107 p
N
!1 + -
1.8N - 1j
Последовательная подстановка значений N1, N2, N3 в это выражение дает соответствующие дисконтированные стоимости затрат в каждом из трех рассмотренных случаев: РУ0 (Р1)н 3,499 407руб.; РУ0 (Р2)н 3,486 ■ 107руб.; РУ0 (Р3)н 3,486 ■ 107руб.
Из сравнения этих величин видно, что самые минимальные затраты имеют место во втором случае при N= N2 = 24,3423. Самые большие затраты возникают в первом случае. Сравнительная стоимость оптимального решения по отношению к первому случаю можно оценить как разность этих стоимостей:
РУ0 (Р1)-РУ0 (Р2) = 1,339 • 105 руб., то есть примерно 134 тыс. руб. на сегодняшний момент. Но с течением времени в будущем эта стоимость будет расти по экспоненте [8, 9]. Аналогично рассчитываются сравнительные стоимости в остальных случаях:
РУ0 (Р3)-РУ0 (Р2)= 9,379 • 103 руб., РУ0 (Р1)-РУ0 (Р3)= 1,245 • 105 руб. Очевидно, что если совсем не придерживаться никакой оптимальной стратегии, то затраты из-за ошибочного управления наличностью могут стать значительно больше, чем РУ0 (Р1). Чем крупнее компания, тем важнее оптимальная стратегия управления наличностью.
Для оптимального случая N= N2 = 24,3423 определим, с какой периодичностью Тнужно будет снимать деньги со счета:
• <
1
Т 4•365 Т = -0- ^ = 59,978 = 60 (дней).
N 24,3423
Найдем, какую сумму нужно будет снимать каждые 60 дней:
5 (Т ) = ^ =
2-10'
= 8, (19) 6 • 105 руб.
N 24,3423 В заключение дадим соответствующий алгоритм для написания компьютерной программы по расчету с любой степенью точности оптимального значения N.
Числовой алгоритм решения УМР
Рассмотренный выше пример показал, что не каждая стандартная компьютерная программа способна дать удовлетворительный результат при вычислении корня УМР (9). Метод Ньютона позволяет с любой степенью точности определить корни УМР в форме (9). Запишем это уравнение в виде: f (*) = ех - * - (1 + г • То • Р • &0-1) = 0,
где х = / N. Требуется найти корни функции f(х). В действительности имеется только один корень при х > 0, как явствует из графического построения на рис. 2. Согласно методу Ньютона корни вычисляются с любой требуемой степенью точности с помощью следующего рекуррентного соотношения [8, 9]:
*и+1 = хи - f (хя) / / (хп) / (хп) = df / ах = ех -1,
где п = 0, 1, 2... Каждое последующее более точное значение корня вычисляется с помощью предыдущего менее точного значения корня. Сходимость к точному значению корня хе во многом зависит от точности первого приближения х0. Чем оно ближе к истинному значению корня, тем быстрее последовательность вычисляемых корней будет сходиться к этому значению. В качестве первого приближения можно использовать, например, приближенное решение:
N = N =4 ¡^Тр0- = N0
Учитывая, что в общем случае х =
г • Т
дим первое приближение х0 =
г • Т
__0_
N
N
(24)
нахо-
Подстановка
выражения (24) вместо N дает величину первого 12 • г • Т0 • Р
приближения х0 = -. Далее вычисляем
V 50
второе приближение: х1 = х0 + f (х0)/ f (х0) .
Во многих случаях можно использовать в качестве первого приближения решение (21) или (22),
при выполнении условия (18), которое обычно хорошо удовлетворяется на практике.
В заключение коснемся дальнейших обобщений, которые в основном относятся к управлению кассовыми остатками компаний.
В общем случае организации могут иметь не только кассовые остатки в абсолютно ликвидной форме, но и держать часть средств на текущих счетах до востребования, которые приносят небольшой процентный доход. Эта возможность не учитывалась выше, но ее легко учесть на практике.
К примеру, так поступают компании, реализующие некоторый инвестиционный проект, требующий дополнительных вложений, распределенных по времени на начальной стадии [8, 9]. Эта проблема связана с финансовым планированием и управлением денежными потоками. Важным критерием эффективности управления финансовыми потоками является ставка доходности финансового менеджмента, обобщающая модифицированную внутреннюю норму доходности [8, 9].
Некоторые компании находятся в стадии роста. Следовательно, в перспективе можно ожидать роста потребности в кассовых остатках. Финансовый план должен учитывать это обстоятельство. Современные вычислительные технологии позволяют легко справиться и с этими проблемами и найти для таких случаев оптимальную величину кассового остатка. Многое здесь зависит от качества финансового планирования. Однако отказ от такого планирования есть планирование нулевых денежных потоков в будущем. То есть избежать финансового планирования невозможно в принципе, как и от инвестирования.
Основные выводы
В данной работе обоснованно показано: нет принципиальной разницы в методах управления основным и оборотным капиталом, как это считалось ранее. Планирование в отношении оборотных средств должно учитывать долгосрочные перспективы, а не ограничиваться конечным интервалом времени. Такое ограничение является ошибочным и в действительности невозможно. Приближенная модель Баумоля — Тобина не позволяет оценить финансовые последствия погрешности. Общие затраты, связанные с управлением наличными деньгами, принимаемые в этой модели, значительно занижены. Не любое программное обеспечение дает удовлетворительные результаты для выбора оптимальной стратегии управления наличностью.
Список литературы
1. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов / пер. с англ. М.: Олимп-Бизнес, 1997. 1087 с.
2. Бригхем Ю, Гапенски Л. Финансовый менеджмент. СПб.: Экономическая школа, 1997. Т. 2. 668 с.
3. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996. 799 с.
4. Ворст И., Ревентлоу П. Экономика фирмы. М.: Высшая школа, 1994. 272 с.
5. Ковалев В. В. Введение в финансовый менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1999. 768 с.
6. Мнацаканян А. Г., Решецкий В. И. Уточнение модели Баумоля — Тобина по управлению денежной наличностью. Финансы и кредит. 2008. № 47. С. 48—54.
7. Мэнкью Г. Н. Макроэкономика. М.: МГУ, 1994. 735 с.
8. Решецкий В. И. Финансовая математика. Анализ и расчет инвестиционных проектов. Калининград: БИЭФ, 1998. 395 с.
9. Решецкий В. И. Экономический анализ и расчет инвестиционных проектов. Калининград: Янтарный сказ, 2001. 477 с.
10. Тренёв Н. Н. Управление финансами. М. : Финансы и статистика, 1999. 495 с.
11. Ченг Ф. Ли, Дж. И. Финнерти. Финансы корпораций: теория, методы и практика. М. : ИН-ФРА-М, 2000. 685 с.
12. Шим Д. К. , Сигель Д. Г. Финансовый менеджмент. М.: Филинъ, 1996. 365 с.
