Управление денежной наличностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

2 (134) - 2006

ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ

УПРАВЛЕНИЕ ДЕНЕЖНОЙ НАЛИЧНОСТЬЮ

Д.Г. МНАЦАКАНЯН,

доктор экономических наук, профессор,заведующий кафедрой «Финансы и кредит» В.И. РЕШЕЦКИЙ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры финансового менеджмента Балтийский институт экономики и финансов (г. Калининград)

В экономике, финансах капитал принято разделять на два вида — основной и оборотный. Практическая польза от такого разделения состояла в том, что были развиты соответствующие оптимальные методы управления этими капиталами. Однако цель или задача этих методов одна — максимизировать стоимость компании, которая представляет собой сегодняшнюю стоимость всех будущих доходов этой компании. В методах управления оборотным капиталом эта цель просматривается не столь явно, а потому ее часто упускают из вида. Как уже отмечалось нами ранее, в первой части статьи, в модели Баумоля-Тобина не учитывалось в полной мере дисконтирование денежных потоков, а оптимальное управление денежной наличностью ограничивалось перспективой в один условный период (один год). Справедливости ради, следует отметить, что в силу исторических причин в моделях Вильсона, Баумоля-Тобина и некоторых других моделях было маловероятно корректное использование метода дисконтирования будущих денежных потоков, так как этот метод еще не был столь разработан и широко известен, как сегодня. Кроме того, в те времена не была широко доступна компьютерная техника, и точный подход был мало пригоден из-за сложности соответствующих расчетов.

Корректное применение методики дисконтирования позволяет относительно просто решить данную проблему и выбрать более оптимальную технологию управления наличными деньгами, а также понять, что собой в действительности представляет модель Баумоля-Тобина. Эта оптимальность проявит себя с течением времени и тем заметнее, чем больше это время, в течение которого предполагается управлять этой наличностью. То есть в данном случае проблема управления денежной наличностью имеет стратегический характер, как и капитальные вложения. Метод дисконтирования (т. е. приведение

к текущей стоимости) дает те же результаты, что и метод расчета будущей стоимости, т. е. метод приведения всех денежных потоков к будущему [1, 2]. Поэтому, минимизируя дисконтированные затраты, мы тем самым минимизируем общие будущие затраты за длительный промежуток времени. Игнорирование дисконтирования при оптимизации дает только сиюминутный успех при снижении затрат с неясными последствиями для будущего.

Потребность в денежной наличности испытывает не только население, но и различные компании, владеющие значительными денежными средствами. Поэтому оптимальное управление денежной наличностью с учетом длительной перспективы развития для этих компаний жизненно необходимо. Принцип этого управления остается таким же, как и для населения, но возможности, как правило, значительно шире.

Переходя к более типичному и общему случаю, начнем со второй составляющей общих затрат, которая обсуждалась в первой части статьи. Пусть, как и раньше — сумма, необходимая для сделок в течение одного года. Лишний раз отметим, что это денежный поток. Предположим, что компания или гражданин планирует снимать деньги со счета в банке Nраз в течение каждого года. Следовательно, при каждом таком снятии менеджер компании будет изымать сумму, равную S0/N, а в течение I лет количество таких изъятий будет равно tN. Если стоимость каждого посещения банка равна Р, то номинальная (без учета фактора времени) стоимость всех затрат, связанная с посещениями банка в течение I лет, равна РШ. Однако здесь не учтен фактор времени. Оценим теперь эту стоимость методом дисконтирования, т. е. приведем или пересчитаем эти затраты будущего на сегодняшний момент, в итоге получим :

Р Р Р

* Окончание. Начало см. 2006. — № 1 (133).

Р^ = Р +

1 + R (1 + R)2

+... +

(1 + Ю)'1

(1)

где было учтено, что первое посещение банка имело место в момент времени I = 0, а каждое последующее посещение происходило через равные промежутки времени Т = 1/N (аннуитетная схема платежей). Соответственно норма дисконтирования R относится к этому промежутку времени Ти определяется через годовую банковскую ставку R0 соотношением [1, 2]:

R = R(T) =[1 + ВД^-1« RT = N

(2)

Период Т здесь измеряется в годах, N= 1/Т имеет размерность 1/год, а Т0=1 год — условно единичный период. Приближенное равенство в выражении (2) справедливо только при R0T< 1. Отметим, что величины R, N и Т пока неизвестны и задача состоит в определении оптимальных значений этих величин, которые являются эндогенными параметрами.

Последовательность (1) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, которая легко упрощается к виду:

РУ2=Р+— 2 R

1-

1

(1 + Я )'

(3)

(1+я Г

=^

РУ _

(1+я у-1' (1+Я)

Аналогично можно рассмотреть выражения для будущей стоимости третьей, четвертой и т.д. последовательно изымаемых сумм в моменты

времени 2Т, 3Т, 4Т, ..., Ш. В совокупности все эти суммы представляют собой будущую стоимость всех расходов на сделки за время, равное I лет или N1 периодов. Стоимость этих сделок определяется потерями процентных доходов. Заметим, что в эти расходы включены будущие стоимости всех сделок при конкретной схеме управления денежной наличностью. В противоположность нашему подходу, в модели Баумоля-Тобина полагается, что доходы можно получать только в течение одного первого периода (периода планирования Т0), что, очевидно, не соответствует действительности: на полученные «проценты» можно было бы и далее получать «проценты».

Дисконтированная стоимость всех этих расходов на сделки, обусловленных недополученными процентами за время tN, равна

S S S

(4)

РУ = S+-

1 + Я (1 + Я)

+... +

(1 + Я)

что представляет собой дисконтированную стоимость авансового аннуитета.

Перейдем теперь к определению дисконтированных затрат, связанных с потерей процентного дохода по банковскому вкладу. Первое снятие денег произойдет в момент времени I = 0, сумма, которая при этом будет регулярно сниматься, равна S=S0/N. Эти равновеликие изъятия с банковского счета будут происходить через равные промежутки времени, как и посещение банка. Каждая изъятая сумма будет расходоваться на сделки в течение времени Т со скоростью (интенсивностью) денежного потока S0, так что должно выполняться равенство S0T = S. То есть через период Т сумма S будет израсходована полностью. После этого будет снята очередная сумма S и вновь израсходована за время Т. Легко понять, что будущая стоимость в момент времени I первой и второй последовательно изъятых сумм соответственно равны следующим:

!У1 = S(1 + Я)№, РУ2 = S(1 + Я)№-1.

Эти стоимости приведены к одному моменту времени N1 в будущем. Если привести эти стоимости к текущему моменту, т. е. определить их дисконтированную стоимость, то будем иметь [1, 2]:

S

Это выражение по своей структуре аналогично (1) и представляет собой авансовый аннуитет. Суть управления сводится к выбору оптимального числа изъятий N а следовательно, Ти S, так как эти величины взаимосвязаны. Поэтому напишем сразу же соответствующее выражение для этой суммы аналогично (3):

1

РУ = S+S 1 Я

1-

(1+Я)'

(5)

Это выражение для текущей (дисконтированной) стоимости всех сделок за I лет. Заметим, что в эту сумму входят не только потери процентного дохода, но и стоимость самих сделок, равная номиналу tS0. Другими словами, (5) представляет собой дисконтированную альтернативную стоимость сделок, где в качестве альтернативы можно рассматривать банковский вклад. Уравнение (5) полезно также для решения вопросов о том, заключать или нет соответствующие сделки. Очевидно, что полезность сделок в их денежном выражении должна быть больше соответствующих денежных затрат (5). При этом имеется в виду, что это стоимостное выражение полезности также будет приведено к текущему моменту. К примеру, деньги в данном случае, могут сниматься менеджером со счета в банке для их реинвестирования, а на домашнее хозяйство — для вложений в собственное дело (или активы) или для размещения денег в более выгодном банке, инвестиционном фонде, выплачивающем более высокие процентные доходы.

Отметим, что при выводе формул (3), (5) было использовано соотношение для эквивалентных процентных ставок [1, 2]:

(1+Я)м = Г(1+я) ] =(1+я),

где было учтено точное равенство (2). Примечательным в этой замене является то, что отсутствует зависимость от N в правой части. Тогда как левая часть этого равенства зависит от N: в показателе степени, а также в функции ставки R = R(N), согласно выражению (2), где N = 1/T. Такая замена значительно упрощает вычисления в дальнейшем. Очевидно, что общее время t не зависит непосредственно от N, а является еще одной независимой (эндогенной) переменной, которую менеджер может менять по своей воле. То есть время t также является параметром финансового управления, т. е. эндогенной переменной, которую можно найти. Здесь можно видеть дальнейшие перспективы развития технологий управления оборотным капиталом. К примеру, это касается планирования растущих год от года оборотных средств. Однако в этом качестве это время здесь рассматриваться не будет, чтобы не удаляться от модели Баумоля-Тобина, где эта возможность также игнорируется. Управление временем t — это совершенно другая и более сложная проблема. Насколько нам известно, эта проблема никогда не рассматривалась ранее. Как будет ясно из дальнейшего изложения, в действительности в модели Баумоля-Тобина планируются постоянные потребности в наличности на длительную перспективу.

Задача оптимального управления денежной наличностью состоит в том, чтобы минимизировать общую стоимость дисконтированных затрат (3) и (5):

min {PV0(N)},

где

PV0 = PV(N) + PV2(N).

Эта общая стоимость затрат PV0 явно зависит от числа ежегодных изъятий Nденежной наличности с банковского счета, приносящего процентный доход. В результате непосредственного сложения выражений (3) и (5) получим: S SN-1 + P

PVo(N) = P + N +

(1+Ro )n-1

1+(1+Ro у , (6)

1 + (1 + Ro . (7)

где Nявляется независимой переменной в математическом смысле, т. е. параметром управления. Эта переменная зависит от воли и желаний менеджера (эндогенная переменная), который управляет денежной наличностью, решая, какое количество денег и как часто следует снимать со счета в банке. Все остальные переменные здесь являются зависимыми от N исключая I. Это время по своей логике должно быть равно времени жизни компании. При создании компаний их срок жизни не указывается в уставе и обычно в соответствии с законом считается равным бесконечности. В типичных ситуациях

это подтверждается на практике [2] непрерывным ростом капитала в мире с течением исторического времени. Этот капитал может трансформироваться в разные формы (виды) бизнеса, переходить от одного собственника к другому, но он не исчезает (как и материя), а напротив, преумножается. Некоторые компании, которые когда-то выпускали плети для лошадей, сегодня могут производить программное обеспечение для компьютеров. Зачастую на практике срок в 50 и более лет можно считать равным бесконечности.

Заметим, что в качестве независимой эндогенной переменной можно выбрать и величину кассового остатка S = S0/N, тогда выражение для приведенных затрат (6) примет следующий эквивалентный вид:

V + Р

рда)=Р+V+—^Р— (1 + Юз К -1

Это уравнение также можно использовать для поиска оптимальных решений по управлению денежной наличности.

Рассмотрим условия, к которым приспособлена модель Баумоля-Тобина, поскольку ряд этих условий не были отмечены ранее. С точки зрения авторов, наиболее серьезным и распространенным заблуждением является гипотеза о правомерности ограниченного по времени планирования в финансах. Например, в модели Баумоля-Тобина принимается план потребностей в наличности на один период (год). Такой метод анализа получил довольно широкое распространение из-за своей кажущейся простоты. Но в действительности он позволяет решить совсем иную проблему, а не ту, что была заявлена. Недоразумение состоит в том, что такой «однопериодный» план по-прежнему остается бессрочным. Этот факт очень важно понимать. Легко видеть, что оптимальные решения по однопериодному плану будут в точности совпадать с оптимальными решениями по следующему бессрочному плану. Для краткости назовем однопериодный план — план А, а бессрочный план — план В. Согласно финансовому плану В, компания будет нуждаться в наличных деньгах в размере S0 в течение первого периода, а в течение второго, третьего и т.д. перидов потребности в наличности составят нуль рублей. Согласно модели Баумоля-Тобина оптимальные решения для плана А и В будут совпадать. Но вряд ли план А действительно предусматривал нулевые потребности в наличности после первого периода. Как правило, такой прогноз потребностей в наличности на отдаленное будущее считается малодостоверным, а потому не составляется. Однако такой изолированный план А невозможен на практике, и в действительности

здесь принимается план В, с его нулевыми потребностями в наличности в отдаленном будущем. Следовательно, осознанные прогнозы совершенно необходимы, в противном случае за вас их сделает сам математический аппарат дисконтирования в виде плана В, а это не то что нужно.

Как уже отмечалось, время жизни компании I игнорируется в этой модели Баумоля-Тобина. Чтобы не отдаляться от данной модели, рассмотрим один частный, но наиболее важный случай, когда ' ^ ж . Есть все основания, и не только чисто формальные, полагать, что именно этот случай соответствует модели Баумоля-Тобина. Действительно, в этой модели оптимизация проводится относительно только одного года (или периода). Строго говоря, такая оптимизация годится только для компаний со сроком жизни в один год. Если же иметь в виду реальный случай, то необходим бессрочный прогноз [2]. Важно понять, что учет потребностей в наличности на срок в один плановый период (год) есть пренебрежение этими потребностями во все последующие периоды. Это ничем не обоснованное логически пренебрежение означает только одно: в модель закладывается прогноз о нулевых потребностях в наличности в будущем, которое наступит после планового периода. Невозможно в данной ситуации планировать на один год. Такова внутренняя логика алгоритма расчетов. Игнорирование каких-либо денежных потоков в будущем для математического аппарата дисконтирования означает, что прогнозируются нулевые денежные потоки в будущем. Таков истинный смысл попытки планирования на один будущий период. В экономической действительности это не так. Мы обязаны прогнозировать на бесконечную по времени перспективу в будущем, если только не являемся сторонниками гипотезы о ближайшем конце света, который наступит после планового периода. В других естественных науках можно реализовывать лабораторные эксперименты на ограниченном интервале времени, но для экономической науки такое ограничение, как правило, является ошибкой или очень грубым приближением, величина погрешности которого остается неизвестной.

Следует также иметь в виду, что в модели по молчанию полагается, что в последующие годы все экзогенные финансовые параметры (например, процентная ставка) останутся прежними и условия оптимизации не изменятся. В противном случае модель значительно усложнилась бы. Оптимальный период Т между отдельными изъятиями наличности может быть любым, и в частности оказаться значительно больше планового периода (одного года), что не вполне логично для данной постановки проблемы.

Планирование здесь не должно иметь конечного срока. Следовательно, мы должны устремить к бесконечности время жизни компании (' ^ ж) в выражении (6). В результате получим

9 9 N-1 + Р РУ0(Ы) = Р + ^ + °°" + 0 N '

(8)

(1 + Я ) -1

если только Я0 ф 0 , в противном случае ряд (6) будет расходиться. В большинстве случаев на практике это выражение хорошо применимо и соответствует задачам большинства домашних хозяйств и компаний на длительную перспективу. Сложность такого планирования компенсируется убывающим вкладом будущих денежных потоков в сегодняшнюю стоимость затрат. То есть, чем далее по времени прогнозируемый денежный поток, тем сложнее предсказать его величину, однако и его вклад в дисконтированную стоимость становится все менее значительным. Ошибка прогноза величины денежного потока, который должен быть в отдаленном будущем, менее существенна, чем ошибка прогноза для потока, который будет в ближайшее время. И наоборот: чем ближе по времени к текущему моменту прогнозируемый денежный поток, тем с большей точностью его следует оценивать. Влияние случайной ошибки прогнозирования нетрудно определить, например в виде дисперсии дисконтированной стоимости общих затрат.

Нельзя не заметить, что выражение (8) значительно проще для вычислений, чем соответствующее ему соотношение (6). Финансовый смысл выражения (8) легко понять, если его преобразовать с помощью следующих эквивалентных замен [1, 2]:

9 = ^Щ, Я = Я(9) = [1 + -1 = [1 + Я] -1.

В результате получается довольно простое выражение для общих затрат, связанных с управлением денежной наличностью

РУ0(9) = Р+9 +

Р + 9 ).

(9)

Очевидно, что это есть дисконтированная стоимость авансового перпетуитета (или вечной ренты), как и выражение (8). На рис. 1 представлены графики затрат, связанных с управлением денежной наличностью.

Сплошная линия, расположенная выше пунктирной линии, соответствует дисконтированным затратам (8) PV0(N). Для сравнения ниже расположена пунктирная кривая, относящаяся к уточненным затратам модели Баумоля-Тобина в соответствии с уравнением (4) из ч. 1 этой статьи. Эти дисконтированные затраты обозначены здесь с верхним штрихом: PV'0(N). Обе кривые соответствуют одним и тем же параметрам: Р = 4 500 руб./сд., S0 = 12 000 руб./год, R0=0,45 в год. Из рисунка видно, что затраты PV0(N) значительно превосходят затраты

9

Р^(^) (на практике это разли- 1-Ю-' чие может быть еще больше). Это различие обусловлено перспективами планирования затрат в обоих случаях. В формуле (4) ч. 1 полагается, что через год эти 5404 - -затраты станут нулевыми (это единственно возможная интерпретация), а в формуле (8) учитывается бесконечный по времени горизонт планирования. Поэтому такое различие затрат естественно. Легко заметить, что обе кривые на рис.1 имеют свои минимумы при соответствующих значениях N. Для кривой PV0(N) этот минимум уже был найден нами ранее, а для кривой PV0(N) будет найден. Обратим внимание, что абсциссы обоих минимумов расположены относительно близко друг к другу, что свидетельствует о справедливости наших результатов. Можно также заметить, что абсцисса минимума верхнего графика немного смещена вправо относительно минимума нижнего графика. Эти сходства позволяют надеяться на получение приближенных результатов с помощью найденного решения (6) из ч. I статьи, которое можно будет использовать в качестве первого приближения в методе Ньютона, который рассматривается ниже. Подчеркнем также, что кривая PV0(N) имеет более крутой минимум по сравнению с относительно пологим минимумом кривой PV0(N), что указывает на существенность принятия оптимальных решений по управлению кассовыми остатками. Это значит, что в действительности даже небольшие отклонения от оптимального значения могут обусловливать резкий рост затрат. К сожалению, эти затраты носят латентный характер, а это значит, что их нельзя увидеть, а можно только понять.

Цель оптимального управления кассовыми остатками состоит в минимизации общих дисконтированных затрат (8). Условие первого порядка для минимума общих дисконтированных затрат (8) имеет вид:

0 12 3 4

Рис. 1. Общие затраты по привлечению денежной наличности

5 N

ёРУ0 ёРУ,

dN dN dN

= 0.

ёРУ,

dN N т2

(№ + ^ )(1+^г 1п(1+и,) N'Я2

= 0,

(10)

где для краткости было использовано упрощенное обозначение знаменателя на основе выражения (2) с помощью R. Для существования решения

уравнения (10) относительно Nнеобходимо, чтобы знаменатели в (10) не обращались в нуль.

Теперь приступим к решению уравнения (10) относительно N. Подставим в равенство (10) вместо R выражение (2), и после несложных преобразований получим более простое уравнение Мнацаканя-на-Решецкого (УМР):

N(1+ЦУ - N

1+—1п (1 + Я0)

- 1п (1 + Я0 )= 0. (11)

Это уравнение можно привести к более наглядному и удобному для дальнейшего исследования виду (вторая эквивалентная форма УМР):

(

е"---

N

\

1+—

. №0 )

= 0.

(12)

Подставим в это уравнение выражение (8) для PV0. После дифференцирования и элементарных алгебраических преобразований получим следующее уравнение:

При его получении в (11) была учтена следующая очевидная система равенств [1, 2]:

(1 + Я^У = еN, 1 + Я = ег, 1п (1 + Я0 )= г, (13)

где введена мгновенная годовая ставка дисконтирования г (называемая также силой роста капитала, непрерывной ставкой) эквивалентная R0. Точного аналитического решения уравнения (12) относительно N в элементарных функциях не существует, т. е. это уравнение является трансцендентным. Однако его можно решить приближенными методами с любой степенью точности относительно N. Но прежде всего хотелось бы сравнить некоторые решения уравнения (12) с результатами работы Баумоля-Тобина, в которой игнорировался фактор времени, т. е. не учитывалось дисконтирование стоимости затрат, производимых в будущем. Такое пренебрежение дисконтированием может быть отчасти оправдано при очень низкой норме г. Поэтому предположим, что в (12) ставка г настолько мала, что справедливо неравенство ^N<<1. При этом условии экспоненту в уравнении (12) можно заменить разложением в ряд Маклорена с точностью до квадратичных членов включительно:

ехр (г / N)«1 + г / N + 0,5(г / N )2.

0

0

Представив это выражение в уравнение (12), получим уравнение, которое уже легко решить относительно N

15 т

10 --

N = N =

(11)

5

^(х)

0

2Р \ 2Р

Как видно, решение почти полностью совпало с аналогичным решением (6) в ч. 1 статьи в модели Баумоля-Тобина. Последнее выражение справа от приближенного знака равенства получено заменой ставки г на R0 в предыдущем выражении, поскольку при низких ставках справедливо приближенное равенство г« Rg [1, 2]. Это различие несущественно. В итоге, прошли две стадии упрощения точных результатов, чтобы получить соотношение Баумоля-Тобина. Поэтому можно предполагать, что в модели Баумоля-То-бина лучше использовать мгновенную ставку г, вместо распределенной («дискретной») ставки R. Следовательно, модель Баумоля-Тобина позволяет находить оптимальные схемы управления денежной наличностью только при достаточно низких процентных ставках, близких к нулю. Многое может зависеть и от найденного значения N которое также может оказаться много меньше единицы. Однако при этом остается неясной степень точности найденного решения для N. Решение (14) можно использовать в качестве первого приближения для нахождения более точного решения соответствующими приближенными методами.

Но прежде чем к этому приступить, проанализируем УМР на качественном уровне, изобразив графически точное решение уравнения (12). Для этого введем новую переменную х = г/И в это уравнение и получим УМР в следующем виде:

У2(Х)

0,5

1,5

2,5

(

е = х +

Л

1+Р

^ )

Очевидно, что если будет найдено х из этого уравнения, то будет найденом и соответствующее оптимальное значение N = г/х. Для анализа решений этого уравнения воспользуемся следующим приемом, смысл которого в более обобщенной абстракции. Левой и правой части уравнения (15) соответствуют следующие две функции:

ух(х) = ех, У2(х) = а + х, (16)

где введено обозначение для константы а=1 + (гР/ S0). Первая из этих функций является экспонентой, а вторая линейной функцией с угловым коэффициентом наклона, равным единице. Аргументы этих функций могут меняться независимо (строго говоря, эти аргументы следовало бы обозначить по-

Рис. 2. Графическое представление решения УМР в общем случае

разному). Обе эти функции изображены на рис.2, при значении константы, равной, а = 1,5.

В общем случае эти функции не равны друг другу. Но функция у1 представляет собой левую часть уравнения (15), а функция у2 — его правую часть. Само это уравнение (15) формально имеет вид

У1(х) = У2(х).

Первая из них является экспоненциальной функцией, а вторая — линейной функцией. То есть у2 представляет собой прямую линию, которая пересекает ось ординат в точке а = 1 + гР/ S0. Эта точка пересечения всегда расположена выше точки пересечения экспоненты с осью ординат в точке у1 = 1, когда х = 0, так как на практике всегда выполняется неравенство rP/S0 > 0. Система уравнений (16) обобщает уравнение (15), которое соответствует одному частному случаю равенства этих функций: у(х) = у(х), где хе- абсцисса точки пересечения обеих функций.

То есть равенство этих функций имеет место только в точке пересечения соответствующих графиков. Из этого рисунка явствует, что решение уравнения (15) существует и оно единственное относительно х, поскольку х может принимать только положительные значения. Это важная информация, так как могло оказаться, что решений вообще не существует или их несколько.

Если экспоненциальная функция у1(х) уже однозначно задана только значением своего аргумента х, то линейная функция у2(х) зависит еще и от параметра а = 1 + гР/ S0, т. е. от конкретных обстоятельств управления кассовыми остатками (экзогенные параметры), которые определяют величину этого параметра прямой а = 1+гР^0. Геометрически этот параметр представляет собой длину отрезка оси ординат между точкой пересечения прямой у2(х) с осью ординат и точкой начала координат. То есть все возможные на практике случаи описываются семейством параллельных прямых. Эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент наклона, равный

(15)

1

2

3

х

единице, и пересекают ось ординат в различных точках с координатами, равными значению параметра a = 1 + rP/S0, как показано на рис. 3.

На рис. 3 изображены экспоненциальная кривая yl(x)=ex и три прямые указанного выше семейства при различных параметрах а = 1,5, 3, 5:

у2 = 1,5 + х, у 2' = 3 + х, у 2''= 5 + х.

Все эти прямые взаимно параллельны и пересекают экспоненту в трех разных точках. Построив на миллиметровой бумаге (или с помощью компьютера) кривые y1(x) и у2(х) при заданных значениях г, Р, S0 нетрудно приближенно найти корень уравнения (15), значение которого можно использовать в качестве первого приближения в дальнейших аналитических расчетах более точного значения корня.

Рассмотрим второй крайний случай, когда можно получить приближенное аналитическое решение УМР. Предположим, что х принимает достаточно большое значение, так чтобы выполнялось неравенство ехр(х)>>х. Это неравенство будет выполняться уже при х > 3, так как ехр(3) = 20,09. Учитывая, что x = г/N, получаем более конкретное условие x = r/N>3, откуда следует основное условное неравенство:

г > 3N. (17)

Очевидно, что это неравенство может выполняться при достаточно высоких процентных ставках, но это не является обязательным условием. Заметим, что r/N может быть достаточно большим и при незначительных по величине ставках г , если при этом N окажется достаточно малым, например порядка N = 0,01 1/г или еще меньше. Хотя на практике такие случаи встречаются редко.

При выполнении основного неравенства (17) слагаемым х в правой части уравнения (15) можно пренебречь по сравнению с экспоненциальным слагаемым. В результате будем иметь более простое уравнение:

eX = 1 + rPS-

15-г

10 —

решение которого имеет вид:

( rP^

1 + —

X = — = 1п

N

J0 у

Откуда находим оптимальное значение

r

N= N =- Г

(

1п

1+

rP

J0

у

(18)

—(— 0,5

—h-1,5

2

Рис. 3. Точки пересечения прямых с экспоненциальной функцией соответствуют множеству различных решений

Теперь следует вспомнить об основном неравенстве (17), которое должно выполняться при этом значении N. Рассмотрим один вариант дальнейшего упрощения, когда слагаемое rP/S0 под знаком логарифма очень мало по абсолютной величине, т. е. rP/S0 много меньше единицы. Это наиболее типичный случай, так как для этого необходимо выполнение неравенства rP«S0, что обычно выполняется.

Особенно это характерно для пенсионных фондов, которые вкладывают значительные средства пенсионеров в высоконадежные облигации. Тогда выражение для логарифма упрощается к виду:

X = N = 1п (1 + )«

В итоге имеем следующее решение для оптимального значения N

N = N = №0/ Р. (19)

Это решение значительно отличается от решения (18), которое в данном случае неприменимо. Особенностью этого решения является то, что оно не зависит от процентной ставки. Однако это решение следует проверить на выполнение основного неравенства (17), согласно которому г > 3^ что равносильно неравенству г > 3S0/P, если учесть полученное выше решение.

Проведенный анализ носит скорее теоретический и методический характер по выявлению условий применимости решения, так как именно в таких случаях нередко допускаются ошибки.

Для реальных случаев неравенство (17) пока нетипично. Однако следует иметь в виду возможность довольно радикальных изменений макроэкономических обстоятельств (экзогенных параметров), на качественном уровне. В частности такие необычные обстоятельства появились в Японии на начало 2004 г. По сообщениям средств массовой информации, японские банки начали предоставлять кредиты по от-

у 2'(x)

Ъ (XL

У2(Х)

-ч—

2,5

I

3 x

5

0

рицательной процентной ставке. Этот «парадокс» можно объяснить дефляцией, которая характерна для японской экономики.

Важно отметить, что время относительно которого оптимизировалось управление денежной наличностью, не входит в УМР. Следовательно, это время никак не влияет на принятие оптимальных решений. Важно при этом только, чтобы все внешние параметры г, Р, S0 в течение этого времени оставались относительно постоянными. Изменение хотя бы одного из этих внешних параметров соответствующим образом изменит оптимальные решения, но они по-прежнему должны будут соответствовать УМР. На тех интервалах времени пока внешние (экзогенные), не зависящие от воли конкретного человека, параметры будут оставаться постоянными, можно использовать полученные результаты, а также те методы, которые рассматриваются ниже.

Рассмотрим одно очень простое, но более точное, чем дает модель Баумоля-Тобина, решение УМР в форме (15). Возьмем натуральный логарифм от обеих частей полученного равенства (15). В результате будем иметь еще одну логарифметическую форму УМР, эквивалентную предыдущим:

— = 1п N

Л

г гР

1 + — + —

V N у

(20)

Это уравнение по-прежнему является точным и совершенно тождественно (15), однако его уже можно решить более точно, чем ранее, и в аналитическом виде. Для этого воспользуемся известным разложением логарифма в ряд Тейлора относительно единицы с точностью до квадратичных слагаемых включительно:

(

1п

Л

г гР

1 + — + —

V N ¿0 у

(

г гР

V N + ¿Г у

1

+ — 2

г гР

— + —

V N ¿0 у

(21)

Это разложение представляет собой правую часть уравнения (15) и выполнено с точностью до квадратичных членов ряда Тейлора. Данное разложение справедливо при выполнении неравенства:

г / N + гР / ¿0 < 1, (22)

которое будем полагать выполненным. То есть полученные ниже решения можно применять на практике, удостоверившись в выполнении этого неравенства. Чем сильнее выполняется это неравенство, тем точнее будут полученные ниже результаты, так как при этом более точным становится разложение в ряд Тейлора. Теперь подставим разложение (21) в правую часть (20) и получим:

(г / N + гР / 30)2 = 2гР / ¿0. (23)

Это уравнение легко можно решить относительно N. Однако это решение выглядит громоздко

и неудобно для расчетов. Его можно выразить более компактно, если произвести замену параметра управления N на эквивалентный ему эндогенный параметр управления S (кассовый остаток), учитывая, что они связаны между собой соотношением:

N3 = ¿0, N = ¿0/ 3. (24)

Подставив предложенное выражение для N в уравнение (23), выполним элементарные преобразования, в результате которых получим решение:

3=3 - - Р.

(25)

Если это решение обратно подставить во второе равенство системы (24), то можно найти соответствующее число оптимальных значений N = N, выражение для которого более громоздко:

N = N = = е 3

2РБп

-Р

(26)

Проверим, удовлетворяет ли решение (25) условию (22). Подставим в (22) вместо Nрешение (26) и после несложных преобразований получим: S < S0/r — Р.

Этому условию должно удовлетворять решение (26), тогда оно будет справедливо. Подставим в это неравенство решение (26) и после очевидных сокращений будем иметь более простое неравенство:

2гР < S0.

В большинстве случаев, встречающихся на практике, это неравенство выполняется, причем даже более сильное неравенство: 2rP<<S0. Во всех таких случаях решение (25) будет с высокой степенью точности определять оптимальную сумму денежной наличности S для снятия ее с банковского счета.

Важность решений (25) и (26) не только в том, что оно точнее решения модели Баумоля-Тобина. Как уже отмечалось, в решении для модели Баумо-ля-Тобина остается открытым вопрос о точности этого решения. К примеру, выше был рассмотрен один случай, когда решение этой модели неприменимо. Решение (26) может оказаться справедливым и для относительно больших ставок г, важно только, чтобы при этом выполнялось неравенство (22), что вполне возможно при достаточно больших значениях S0 и малых — Р. Но при сравнительно больших значениях г, а значит, и R0 , уже не выполняется приближенное равенство: г « R0 . Точное соотношение между этими ставками есть: г = 1п(1 + R0). Чтобы выделить существенные отличия решения (26) от соответствующего решения модели Баумоля-Тоби-на, подставим это выражение вместо г в (26):

3 = 3 =.

2Р3

[1п(1 + Д)

-Р.

0

2

Приведем соответствующий пример для сравнительного анализа, с соотносительно высокой процентной ставкой. Высокие процентные ставки обычно наблюдаются при значительных темпах инфляции. Как известно, при инфляции объявляемые банками процентные ставки являются номинальными. В таких обстоятельствах возможны два подхода: 1) если использовать номинальные процентные ставки, то и все денежные потоки должны оставаться номинальными; 2) зная темп инфляции, можно определить соответствующие реальные процентные ставки, но тогда и все денежные потоки должны быть реальными, а не номинальными [ 1, 2]. Оба подхода почти эквивалентны. Однако первый более предпочтителен, так как более точен и приспособлен к конкретным обстоятельствам. Дело в том, что инфляция учитывает средний рост цен по всем товарам и услугам, что может значительно отличаться от роста индивидуального индекса цен производителя (или потребителя), который пользуется весьма ограниченной рыночной корзиной. Поэтому в нашем примере мы отдаем предпочтение первому способу.

Пример 1. Компания А разместила на банковском депозите свои денежные средства. Из-за инфляции банковская ставка по депозитам оказалась высокой и составляла 80% годовых, т. е. R0 = 0,8. Компания А запланировала ежегодно использовать 20 млн руб. в виде наличности из резервов своего банковского депозита. Стоимость одного изъятия наличных денег с депозита оценивается в 10 тыс. руб. Требуется определить оптимальный режим управления денежной наличностью, т. е., как часто компания А должна снимать деньги со своего депозита, и какова сумма каждого изъятия.

Решение. Ставка R0 = 0,8 является номинальной из-за инфляции. Прежде всего следует проверить, выполнимо ли условие (22):

2гР = 2 • 0,588 • 104 (руб.) = 1,2 • 104 (руб.),

где было вычислено и подставлено значение г= 1п(1,8) = 0,588 1/г. Ясно, что эта величина намного меньше, чем S0 = 2 х 107 (руб./г.). Следовательно, можно воспользоваться решением (25). Подставляя числовые значения в (25), находим:

№ = I4-Ш11 1П4 _о 1ИП щ5/

содержится 365 дней, то банк придется посещать через каждые

365 дн. / 24,543 = 14,87 дня = 15 дней.

Для сравнения попытаемся управлять денежной наличностью, используя решение (6) в ч. I статьи модели Баумоля-Тобина:

N1 =

ДА

2Р

= 28,28 (раз/г.).

-104 = 8,149 -105(руб.).

0,588

Эта сумма должна сниматься с депозита при каждом посещении банка. Число таких посещений в течение года равно:

N = 20 • 106(руб.г.-1)/8,149 -105(руб.) = 24,542 (раз/г.).

Заметим, что этот результат почти совпадает с точным решением 24,342 раз/г., полученным с помощью компьютера из УМР (15). Если в году

При этом каждый раз будет сниматься сумма: № = №0/N = 7,07-105 (руб.).

Количество дней между каждым последовательным посещением банка равно:

365 (дн. г.-1)/N = 12,9 (дн.) = 13 (дн.).

Сравнивая эти результаты с предыдущими, нетрудно заметить различия. Однако сами по себе эти различия ни о чем еще не говорят. То есть неясно, существенные они или нет. Очевидно, что должен быть экономический критерий. В качестве такого можно использовать дисконтированную стоимость общих затрат, которая в данном случае определяется выражением (8) или (9). Но еще лучше и нагляднее было бы использовать в качестве критерия будущую стоимость этих затрат по каждому из принятых решений. Поскольку результаты этих решений скажутся с течением времени.

Итак, имеем два решения по управлению денежной наличностью. Первое решение было основано на формуле (25), второе — на (6) в ч. I статьи. Оба эти решения предполагались оптимальными. Вначале проверим первое из них. Подставим в (8) найденные выше оптимальные параметры и вычислим:

PV0 = (104 + 81,49-104)(1 +1/0,02424) = 3485,54 104(руб.).

Теперь подставим в (12) оптимальные параметры, вычисленные на основе решения (6) в ч. I статьи модели Баумоля-Тобина:

= РУ0 = (104 + 70,7 • 104)(1 +1/0,02100) = 3485,99 • 104 (руб.).

Сравнивая, видим, что приведенные затраты при управлении денежной наличностью в соответствии с моделью Баумоля-Тобина оказались выше на 4 500 руб. Это очень незначительная сумма на сегодняшний день. Однако уже через 10 лет она будет составлять 1606,7 тыс. руб. Несмотря на эти различия, следует признать, что в данном случае модель Баумаля-Тобина дала довольно точные результаты. Таким образом, проведенные вычисления и сравнения показывают, что действительно оптимальным из этих двух решений будет первое, основанное на формуле (25) или (26). Действительно последовательный учет дисконтирования дает более оптимальные решения по управлению денежной наличностью, чем модель Баумоля-Тобина.

Метод Ньютона позволяет с любой степенью точности определить корни УМР, например, в форме (12). Запишем это уравнение в виде: Т(х) = ех - х - (1 + гР30-1) = 0,

где обозначено х = г Т. Требуется найти корни функции Т(х). В действительности имеется только один корень, как явствует из графического построения на рис. 2. Согласно методу Ньютона корни вычисляются с любой требуемой степенью точности с помощью следующего рекуррентного соотношения [1, 2]:

хя+1 = хп - {(хп)Д'(х„) {'(хп) = ^/ёх.

Следующее более точное значение корня вычисляется с помощью предыдущего менее точного значения корня. Сходимость к точному значению корня хе во многом зависит от точности первого приближения х. Чем оно ближе к истинному значению корня, тем быстрее последовательность вычисляемых корней будет сходиться к истинному значению. Во многих случаях можно использовать в качестве первого приближения решение (25) или (26), при выполнении условия (22), которое обычно хорошо удовлетворяется на практике.

В заключение коснемся дальнейших обобщений, которые в основном относятся к управлению кассовыми остатками компаний. В общем случае компании могут иметь не только кассовые остатки в абсолютно ликвидной форме, но и держать часть средств на текущих счетах до востребования, которые приносят небольшой процентный доход. Эта возможность не учитывалась, но ее легко учесть на практике. К примеру, так поступают компании, реализующие некоторый инвестиционный проект, требующий несколько дополнительных вложений, распределенных по времени на начальной стадии [1, 2]. Эта проблема связана с финансовым планированием и управлением денежными потоками. Важным критерием эффективности

управления финансовыми потоками является ставка доходности финансового менеджмента, обобщающая модифицированную внутреннюю норму доходности.

Некоторые компании находятся в стадии роста. Следовательно, в перспективе можно ожидать роста потребности компании в кассовых остатках. Финансовый план должен учитывать это обстоятельство. Современные вычислительные технологии позволяют легко справиться и этими проблемами и найти для таких случаев оптимальную величину кассового остатка. Многое здесь зависит от качества финансового планирования. Однако отказ от такого планирования есть планирование нулевых денежных потоков в будущем. То есть избежать финансового планирования невозможно в принципе, как и от инвестирования.

Как было обоснованно показано в данной работе, нет принципиальной разницы в методах управления основным и оборотным капиталом, как это считалось ранее. Планирование в отношении оборотных средств должно учитывать долгосрочные перспективы, а не ограничиваться конечным интервалом времени. Такое ограничение является ошибочным и в действительности невозможно. Приближенная модель Баумоля-Тобина не позволяет оценить финансовых последствий погрешности. Общие затраты, связанные с управлением наличными деньгами, принимаемые в этой модели, значительно занижены.

Литература

1. Решецкий В.И. Экономический анализ и расчет инвестиционных проектов.- Калининград: Янтарный сказ, 2001. 477 с.

2. Решецкий В.И. Финансовая математика. Анализ и расчет инвестиционных проектов. — Калининград: БИЭФ, 1998. 395 с.