Модификация точного метода решения задачи размещения прямоугольных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

И.А. ЧУБ, М.В. НОВОЖИЛОВА

МОДИФИКАЦИЯ ТОЧНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Исследуется оптимизационная задача размещения прямоугольных объектов в полосе, выделяются дополнительные свойства математической модели задачи, на основе которых предлагается модификация точного метода решения задачи, основанного на методе ветвей и границ, позволяющая улучшить оценку вычислительной сложности алгоритма

Постановка задачи. Многие практические оптимизационные задачи управления ресурсами, задачи размещения и упаковки [1-2], в том числе размещения источников физических полей, сводятся к задаче размещения конечного набора прямоугольных геометрических объектов в прямоугольной области. Данная задача оптимизационного геометрического проектирования [1], несмотря на наличие множества подходов к ее решению, в основном приближенных, представляет теоретический и практический интерес, о чем свидетельствует постоянно растущее число публикаций [3-4] как в нашей стране, так и за рубежом. По своей постановке данная задача относится к классу многомерных многоэкстремальных задач дискретной оптимизации, эффективные точные методы решения которых существуют только для частных случаев.

Значительная практическая ценность рассматриваемого класса задач обуславливает необходимость создания программного обеспечения процесса решения, основанного на современном математическом инструментарии.

В данной статье выделены новые свойства математической модели задачи, на основании чего построена эффективная модификация точного метода решения задачи и улучшена оценка вычислительной сложности алгоритма решения.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу геометрического проектирования [1]. Пусть есть конечный набор R = {Rj }, i = 1,N ориентированных прямоугольников, заданных в арифметическом евклидовом пространстве E2, и полубесконечная полоса S0 = {(x, y) е E2|x e [0, z), y e [0, W] W = const, z = var }.

Для каждого объекта Rj известны его метрические характеристики (aj,bj). Положение Rj в общей системе координат XOY, связанной с областью S0, задается вектором параметров размещения uj =(xj,yj), который определяет начало его собственной системы координат XiOiYi (рис. 1).

W

z

Рис. 1. Графическое представление постановки задачи

Задача размещения прямоугольников в области такова: необходимо разместить N объектов без взаимных наложений в полосе , так, чтобы длина занятой части полосы ъ была минимальной.

Анализ предыдущих исследований. Теория и методы оптимизационного геометрического проектирования развиваются учеными известной отечественной научной школы Ю.Г.Стояна. В частности, изучению особенностей оптимизационной задачи размещения прямоугольных объектов, которая является парадигмой теории геометрического проектирования, посвящены работы [1-5].

Для класса задач размещения прямоугольников в прямоугольной области разработаны методы определения глобального минимума функции цели задачи [3,4], основанные на схеме метода ветвей и границ [6], и методы поиска локального минимума функции цели задачи, основанные на применении метода последовательно-одиночного размещения [1], симплекс-метода [7] или метода набора активных неравенств [8].

Математическая модель задачи размещения имеет вид:

*

тт „ u = arg min z /1Ч

Найти: „^N+1 ' (1)

где u = (u1,u2,...,uN,z) = (x1,y1,x2,y2,...,xN,yN,z), D = D1 n D2 - множество допустимых решений задачи.

Подобласть D1, сформированная условиями размещения набора объектов R в S0, описывается системой Fo(u) < 0 линейных неравенств:

Fo(u) := {fohi (ui)}, h = 1,..,4; i = 1,2,...,N , (2)

здесь f0i(ui) = xi - z + ai, fo2i(ui) = yi -W + fo3i(ui) = -Xl, fo4i(ui) = -yi.

Подобласть D 2 , определяемая условиями взаимного попарного непересечения объектов Ri и Rj, i,j = 1,2,...N, i * j, задается системойF(u) наборов Fij(ui,uj) < 0 линейных неравенств вида:

Fij(ui,uj) < 0:= <fij(ui,uj) < 0, k = 1,..,4;i,j = 1,2,...N,i * j, (3)

где

fij(ui,uj) = xj -xi + ^ fij2(ui,uj) = xi -xj + al,

fi3(ui,uj) = yj - yi + bj, f4 (ui,uj) = yi - yj + bi. (4)

Количество М ограничений задачи (1)-(3) составляет 4N + 2N(N-1)/2. Далее будем использовать обозначение вектора u для соответствующей ему точки в пространстве

E 2N+1

Известны [3,4] такие свойства задачи (1)-(3).

Свойство 1. Многогранная область D является несвязным замкнутым и при N > 1 невыпуклым точечным множеством. Компоненты связности области допустимых решений D невыпуклые, в общем случае многосвязные множества. Граница области Г = FrD -кусочно-линейная.

Свойство 2. Глобальный минимум z* функции цели достигается в вершине u* области допустимых решений D , которая задается системой (2N +1) линейных уравнений 3* (u) = 0, т.е. набором 3 *(u) активных в точке u * ограничений систем (2)-(3).

Свойство 3. Область D может быть представлена в виде объединения конечного числа выпуклых подмножеств:

Q

D =^Dq, (5)

q=1

где Dq с Е2N+1 - многогранное выпуклое множество, Q = 4N(N-1)/2 . 58

При этом область описывается системой Р0(и) линейных неравенств вида (2) и (К - 1)К / 2 неравенств вида (4) - по одному из каждого набора неравенств вида (3) для каждой пары объектов.

Свойство 4. Покрытие (5) не является разбиением, поэтому для некоторых точек и области Б имеет место такое соотношение:

Qi

u е Dq1 = n Dq, Gi < Q.

q=1

(6)

Свойство 5. В силу выделенных особенностей функции цели и области допустимых решений решение задачи (1)-(3) сводится к решению 4N(N-1) задач линейного программирования вида

u* = arg min Z , (7)

ueDq cD

Dq

iFo(u) < 0,

(8)

4 1/1^1,^) < 0, к е {1,..,4}, у е{1,..,К}, 1 *

Итак, несвязность области допустимых решений б задачи и необходимость перебора конечного числа систем линейных неравенств (систем линейных уравнений) обусловили применение методов дискретной оптимизации, в частности, метода ветвей и границ.

Приведем сравнение двух схем точного метода решения, которые составляют основу предлагаемой в данной работе модификации метода решения задачи.

В [4] предложено дерево решений А1 для формирования и перебора подмножеств Бч, т.е. систем неравенств вида (8) (рис.2,а). Такое дерево имеет (К - 1)К/2 уровней. Уровни дерева А1 упорядочены таким образом:

В= (Р1,Р2,...,РЬ,...,Р(К-1)К/2) = ({1,2},{1,3},...,{1,К},{2,3},...,{2,К},{3,4},...,{К-1,К}},

где в фигурных скобках указаны номера объектов размещения, условия непересечения которых рассматриваются на уровне Ь = 1,2...(К- 1)К/2 дерева решений, отвечающем порядковому номеру компоненты рь вектора Р. Корень дерева АО соответствует системе неравенств Р0 (и) < 0 (2).

А'о

Уровень 1: объекты 1-2

Уровень N(N-i)/2: объекты N и (N-1)

'Fo(u)<0 x1-x2+a1<0

А 21

fFo(u) <0 fFo(

-x2+xi+a2<0 Л -yi

А131

F0(u) <0 +y2+b2<0

А1,

F0(u)<0 x1-x2+a1<0

F0(u)<0 x1-x2+a1<0

xn-i-xn +a N-i<0 -xn+xn-i +a n <0

F0(u)<0 x1-x2+a1<0

yN-i -yN +bN-i<0

б

F0(u) <0 yi-y2+bi<0

F0(u)<0 x1-x2+a1<0

-yN-1+yN +b N<0

Рис. 2. Иллюстрация дерева решений А1

На каждой вершине А^ , к = 1,2..,4 Ь -го уровня дерева решений формируется система

неравенств, состоящая из системы неравенств, полученной на предыдущем (Ь -1) -м

уровне дерева решений, и неравенства ^ (и1, и j) < 0 из набора ^ (и1, и j) < 0 неравенств,

который отвечает уровню Ь дерева решений. Последний уровень дерева содержит 4К(К-1)/2 вершин, которые соответствуют системам неравенств, описывающим всевозможные по-

59

добласти Оч области допустимых решений Б. На каждой области Бд необходимо решить задачу линейного программирования для определения локального минимума ич функции цели задачи (1)-(2).

В [3] предложено дерево А2 для задачи (1)-(2), с помощью которого осуществляется формирование и перебор всевозможных систем з(и) = 0 линейных уравнений - множества активных ограничений - (рис. 2,б), в результате чего определяется система з*(и) = 0. Дерево А имеет 2К+1 уровень - по числу независимых переменных задачи. На каждом уровне дерева решений к системе уравнений, сформированной на вершине дерева решений более высокого уровня, добавляется уравнение, содержащее независимую переменную задачи (1)-(3) с ненулевым коэффициентом. Последний уровень дерева А2 содержит 2К2К вершин, которые соответствуют системам зйп(и) = 0, состоящим из 2К уравнений.

Отметим, что дерево решений А1 в силу свойства 3 содержит значительное число вершин, на которых формируются подобласти, имеющие одну и ту же оптимальную вершину и*, т.е. система з*(и) = 0 переопределена. Аналогично, дерево решений А2 содержит множество вершин, определяющих системы уравнений з(и) = 0, решения которых - точки области Б - совпадают. Кроме того, на вершинах дерева решений А1 формируются системы неравенств, определяющие внутренние подобласти Бд с 1п1Б области допустимых решений Б .

Анализ особенностей области Б

Рассмотрим следующие дополнительные особенности математической модели задачи (1)-(3) и области допустимых решений Б, сформулированные в виде свойств и утверждений.

Благодаря невыпуклости области о системы линейных уравнений зйп (и) = 0 могут описывать вершины области о, граничные точки области о , внутренние точки области Б, даже если это вершины подобласти Бд . Кроме того, системаз(и) = 0 может описывать точки иои вне области Б : и°и ё Б и вообще быть несовместной. Больше того, на промежуточных уровнях дерева А2 система з(и) = 0 может описывать линейные многообразия размерности больше 0 - прямые, плоскости, гиперплоскости, т. е. ребра области Б и грани области Б различной размерности. Обозначим V = {и^,и^,...,и^} - множество

вершин области Б,О = {и° ,и2 ,...,и^о } - множество точек вне области б, задаваемых системами вида з(и) = 0,1 = {и^и^11,...^1^ } - множество внутренних точек области Б,

описываемых системами з(и) = 0, |1| = N¡,^1 = N-,0 = N0.

При этом для дальнейшего рассмотрения представляют интерес только граничные точки области Б, больше того - множество V вершин области Б .

Утверждение 1. На системе з*(и) = 0, которая задает оптимальное решение и*, имеет место биекция т вида

т

Х1 о зк = 0, 3*. э {-х1 + X! + а! = 0, к е {1,2,...,2К +1}, 1 е {1,2,...,К};-х1 = 0} , (9)

т

У1 о зк = 0, зк э (-У1 + У1 + Ь1 = 0, к е {1,2,...,2К +1},1 е {1,2,...,К};-у = 0} , (10)

т

2 озк = 0, зк =-2 + х1 + а1, к е{1,2,...,2К +1},1 е {1,2,...,К}. (11)

Выполнение условий утверждения 1 означает, что каждой компоненте - независимой

*

переменной задачи (1)-(3) - оптимального решения и можно поставить в соответствие уравнение системы з* (и) = 0, которое содержит эту переменную со знаком „-".

Доказательство первой части утверждения 1 проведем от противного. Пусть формула (9) неверна. Тогда существует ненулевой шаг (х; + ар) в любом направлении, удовлетворяющий данное ограничение, т.е. оставляющий точку в области d • Так как функция цели

z = max (xj + a;), это допустимое перемещение может привести к уменьшению значения i=1,2...,N

z , т.е. система 3* (и) = 0 не определяет в общем случае оптимальную точку, что противоречит условию утверждения.

Доказательство второй части утверждения 1 (формула (8)) опирается на тот факт, что движение вдоль удерживающих направлений вида yj - yj + bj = 0 или yj - yj + bj = 0 не приведет к изменению функции цели, так как проводится в гиперплоскости ортогональной нормали функции цели.

Третья часть утверждения 1 (формула (11)) очевидна. Модификация схемы точного метода решения задачи (1)-(3) Основная идея модификации состоит в определении принципиальной возможности организации немотононного пошагового процесса оптимизации (с неизбежными возвратами, упорядоченными по дереву решений A1, но конечное число раз), т.е. процесса перехода вида

3h(u) = 0 ^3h+1(u) = 0, где множество функций 3h+1 (и) имеет вид:

3h+1 (и) = К (и) /ff (Uj ,Uj) Л (fhk+1 (Uj ,un) v fhk+1 (ut,uj))}, k,l e {1,..,4};i,j,n,t e {1,2,...N}, (12) i * j,j * n,t * j,f e{1,2,...,2N}.

из недопустимой начальной точки uout g D, которая является, например, оптимальным решением релаксованой задачи вида

u0ut = argmjnz (13)

ueD1czE2N+1 , (13)

D1 := F0 (u) < 0, (14)

к некоторой допустимой точке u e FrD, более того, использование правил отсечения,

описанных ниже, позволяет удовлетворить условие: u e V.

Итак, согласно (12) на каждом шаге процесса решения происходит подстановка одного активного ограничения f]k+1(uj,un) или f1k+1(ut,uj), k,le {1,..,4};j, j,n,t e{1,2,...N}, в соответствии с порядком прохода по дереву решений A1 вместо определенного уравнения

ff(uj,uj) = 0 в текущей системе 3h(u) = 0 .

Отметим важный факт. На основе утверждения 2 на каждом шаге алгоритма известно, какое именно ограничение становится активным, а на основе утверждения 1 на каждом шаге процесса известен номер f ограничения ff(uj,uj) = 0 , l e {1,..,4},f e {1,2,...,h}, которое подлежит замене на (h +1) - м уровне дерева решений.

Утверждение 2. Каждое новое ограничение, генерируемое по дереву A1, должно быть активным.

Доказательство необходимости такого подхода состоит в непременном отслеживании исключительно точек u e FrD , так как множество граничных точек области d содержит множество V = {uV,uJ,...,uN }вершин области, в том числе и оптимальную вершину.

Добавление каждого нового ограничения: fhk+1 (uj,un) = 0 или fh+1(ut, u j) = 0 из набора ограничений (3) по дереву решений A1 означает выполнение условия касания пары (j,n) или (t,j) объектов размещения соответственно, т.е. пошаговое приближение к границе области D .

Для поддержки процесса решения разработан набор правил отсечения, основные из них таковы:

Правило 1 (Условие несовместности). Если текущей является вершина Aj,h , k е {1,..,4} уровня h > N дерева A1, на котором рассматриваются условия касания объектов (i, j), то при выполнении следующих условий:

при k=1 активны вершины и A2j_; при k=2 активны вершины A^i_i и A^_i ;

при k=3 активны вершины и A4j_i; при k=4 активны вершины A и A^j_i, h > j > i

вершина Akh является концевой.

Правило 2 (Отсечение внутренних точек). Пусть текущей является вершина Akh , k e{i,..,4} уровня h дерева Ai, на которой построена система активных ограничений

3h(u) = 0.

Если ограничение fj (ui, u j) = 0, k е {i,..,4}, i, j е {i,.., N}, i Ф j, задающее условия касания объектов (i, j), принадлежит системе 3h (u) = 0 , то при выполнении следующих условий: при k е {i,2} yi + bi < yj или yj + bj < yi; при k е{3,4} xi + ai < Xj или Xj + aj < xi вершина Akh является концевой.

Правило 3 (Проактивное отсечение). Если текущим является уровень h > N дерева Ai, на котором рассматриваются условия касания (fik(ui,uj) = 0, k = i,..,4 объектов (i, j), то при выполнении соответствущих условий непересечения уровень h > N дерева Ai исключается из рассмотрения.

Результаты численных экспериментов

Данный подход был реализован программно на Object Pascal 6.0 в программной среде Delphi. Рассматривались задачи размещения различных наборов прямоугольников (N < i0) с различными метрическими характеристиами и количеством объектов размещения. Время решения - О(!мин).

Усредненные предварительные результаты сведены в таблице. При этом N - количество объектов размещения, N all - общее количество просмотренных вершин дерева решений Ai, Nj - количество построенных систем уравнений, описывающих внутренние точки области D , N O - количество вершин дерева решений Ai , соответствующих точкам вне области D, Nun - количество несовместных систем (такие вершины дерева считались концевыми), Nv - количество вершин области D, N0pt - номер первой вершины дерева решений, соответствующей оптимальной системе уравнений 3*(u) = 0 . Отметим, что приведенная статистика представляет теоретический интерес, так как, во-первых, учитывались вершины промежуточных уровней дерева Ai , а во-вторых, рассматривались задачи без учета ограничений вида f0i (ui) < 0 , f^ (ui) < 0 , т.е. по сути проводился полный перебор вершин дерева решений.

N Nall Nj (%) No NUN Nv Nopt

3 80 32 (-38%) 19 4 16 7

4 2391 1670 (-70%) 383 167 191 233

5 i02800 83500 (-80%) 11200 6900 1200 980

8 7* 1016 6,12*1016(-86%) 1,08* 1016 73950 9100 43000

Выводы

Проведен анализ структуры области допустимых решений задачи размещения прямоугольников, выделены дополнительные особенности, на основе которых разработана модификация точного метода решения задачи, состоящая в осуществлении обхода дерева решений, которое обеспечивает пошаговый переход из точки вне области допустимых решений в граничную точку области (вершину) с последующим усеченным перебором вершин. Предложенная модификация позволяет существенно сократить число просматриваемых элементов области допустимых решений задачи. Данный подход программно реализован. В дальнейшем предусматривается проведение численных экспериментов с наборами данных практической размерности.

Список литературы: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 2. НовожиловаМ.В., ПопельнюхН.О. Розв'язання задачi ошгашзацп ресурав проекту при точних вихщних даних// Вюник ЖДТУ/ Техшчш науки. 2006. № 4 (39). С. 225-230. 3. Stoyan, Yu.G., Novozhilova, M. V. Non-guillotine placement or rectangles into a strip of given width / Pesquisa Operacional. 1999. Vol. 19, N 2. 145 p. 4. Магас С.А. Методы решения экстремальных задач размещения многоугольных геометрических объектов в полосе: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1984. 20 с. 5. Dyckhoff H, Scheithauer G, Terno J. Cutting and packing. In: Dell'Amico M, Maffioli F, Martello S (eds) Annotated bibliographies in combinatorial optimization. Wiley, Chichester, Chapt. 22, 1997. Р. 393-412. 6. ТахаХ.А.Введение в исследование операций. М.:Вильямс, 2001. 912с. 7. Петров Е.Г., Новожилова М.В., rpe6eHHÍK I.B. Методи i засоби прийняття ршень у сощально-екожмчних системах. К. : Техтка, 2003. 240с. 8. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 252с.

Поступила в редколлегию 27.11.2008 Чуб Игорь Андреевич, канд. техн. наук, доцент, докторант Университета гражданской защиты Украины. Научные интересы: математическое моделирование, прикладная геометрия, методы оптимизации. Адрес: Украина, 61023, Харьков, ул. Чернышевского, 94, тел.: 707-34-90, e-mail: chubia@apbu.edu.ua

Новожилова Марина Владимировна, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой компьютерного моделирования и информационных технологий Харьковского государственного технического университета строительства и архитектуры. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Сумская, 40, тел.: 706-20-49, e-mail: novozhilova@kstuca.kharkov.ua.

УДК 519.677

С.А. ТАЯНОВ, В.А. ТАЯНОВ

МЕТОДИКА КЛАСТЕРИЗАЦИ ЗОБРАЖЕНЬ ДЛЯ ÏX КОМПРЕСП НА ОСНОВ1 КОМПОНЕНТНОГО АНАЛ1ЗУ

Пропонуеться нова методика кластеризаци зображень для 1х подальшого адаптивного стиску. Проводиться дослщження ефективносп стискання зображень шляхом використан-ня двох рiзних метсдав кластеризаци та стиску класт^в з допомогою адаптивно1 методики на основi перетворення Карунена-Лоева.

1. Вступ

В багатьох системах для збертання графiчноï шформацп часто виникае необхщнють стискання зображень, причому не тшьки шдивщуальних зображень, а також i ï^ груп для того, щоб отримати кращ1 ступеш компресп. Це досягаеться шляхом зменшення шформацп, що мютиться в заголовках, оскшьки ця шформащя буде спшьною для всiеï серп зображень.

Суть бшьшосп алгоршмв для стискання зображень полягае в дшенш зображення на окремi блоки (кластери) та в подальшому стисканню цих блоюв за допомогою рiзних алгоршмв. Тому перспективним е не тшьки розробка алгоршмв для стиску зображень, а й розробка нових методик кластеризаци зображень.

В данш робот пропонуеться методика кластеризаци зображень та алгоритм для покра-шення ступеня компресп зображення на основi перетворення Карунена-Лоева (ПКЛ).

Використання ПКЛ для стискання зображень е дуже ефективним, оскшьки воно мiнiмiзуе середньоквадратичну похибку при використанш часткового набору базисних функцш у